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高三数学参数方程与极坐标


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参数方程与极坐标 一. 本周教学内容: 《平面解析几何》第三章“参数方程与极坐标”全章小结与巩固提高,主要包括: (1) 知识要点与方法的回顾; (2)典型例题分析与讲解; (3)单元检测。 二. 重点、难点: 1. 参数方程与普通方

程的区别与联系: 在求曲线的方程时,一般地需要建立曲线上动点 P(x,y)的坐标 x,y 之间满足的等量 关系 F(x,y)=0,这样得到的方程 F(x,y)=0 就是曲线的普通方程;而有时要想得到 联系 x,y 的方程 F(x,y)=0 是比较困难的,于是可以通过引入某个中间变量 t,使之与 曲 线 上 动点 P 的坐 标 x ,y 间 接地联 系 起 来, 此 时可得 到 方 程组
?x ? f ( t ) ,即点P的运动通过变量t的变化进行描述。若对t的每一个值,由方程组确定的点 ? ?y ? ? ( t ) (x,y)都在曲线C上;反之对于曲线C上的每一个点(x,y),其中x,y都是t的函数, ?x ? f ( t ) 则把方程组 ? 叫做曲线C的参数方程,其中的 t 称为参数。 ? y ? g( t )

显然, 参数方程与普通方程的最明显的区别是其方程形式上的区别, 更大的区别是普通 方程反映了曲线上任一点坐标 x,y 的直接关系,而参数方程则反映了 x,y 的间接关系。 尽管参数方程与普通方程有很大的区别, 但他们之间又有着密切的联系, 这种联系表现 在两方面: (1)这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式,是同一事物的两个方面; (2)这两种方程之间可以进行互化,通过消参可以把参数方程化为普通方程,而通过引入 参数,也可把普通方程化为参数方程。需要注意的是,在将两种方程互化的过程中,要注意 两种方程(在表示同一曲线的)等价性,即注意参数的取值范围对 x,y 的取值范围的影响。 实质上, 参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法, 因此也 可认为引入参数就是引入函数的自变量。 参数法在求曲线的轨迹方程, 以及研究某些最值问 题时是一种常用的甚至是简捷的解题方法。 2. 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减 消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法。 3. 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数 t,先确定一个关系 x=f(t)(或 y=?(t)) ,再代入普通方程 F(x,y)=0,求得另一关系 y=?(t)(或 x=f(t)) 。一般 地,常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标) 。 4. 常见曲线的参数方程的一般形式: (1)经过点 P0(x0,y0) ,倾斜角为?的直线的参数方程为
?x ? x 0 ? t cos ? (t为参数) ? ?y ? y 0 ? t sin ?

设P是直线上的任一点,则t表示有向线段P0 P的数量
利用直线的参数方程,研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算,有时比较方便。 方法是:
?x ? x 0 ? t cos ? 把l: ? 代入圆锥曲线C:F(x,y) ? 0,即可消去x,y; ?y ? y 0 ? t sin ?

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而得到关于t的一元二次方程:at 2 ? bt ? c ? 0(a ? 0)

则(1)当△<0 时,l 与 C 无交点; (2)当△=0 时,l 与 C 有一公共点; (3)当△>0 时, 2 l 与 C 有两个公共点;此时方程 at +bt+c=0 有两个不同的实根 t1、t2,把参数 t1、t2 代入 l 的 参数方程,即可求得 l 与 C 的两个交点 M1、M2 的坐标;另外,由参数 t 的几何
意义,可知弦长 M 1 M 2 ? t 1 ? t 2 ?

?t 1 ? t 2 ? 2

? 4t 1 t 2 。

(2)椭圆、双曲线、抛物线的参数方程
椭圆 x2 a
2

?

?x ? a cos ? ? 1的参数方程为 ? (?为参数) b ?y ? b sin ? y2
2

双曲线

x2 a
2

?

?x ? a sec ? ? 1的参数方程为 ? (?为参数) b ?y ? btg? y2
2

?x ? 2pt 2 抛物线y 2 ? 2px的参数方程为 ? (t为参数) ?y ? 2pt

5. 极坐标系与点的极坐标: 极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系, 它由极点 O 与极轴 Ox 组成。 对于平面内任一点 P,若设?OP?=?(?0) ,以 Ox 为始边,OP 为终边的角为?,则点 P 可用 有序数对(?,?)表示, (由于角?表示方法的多样性,故(?,?)的形式不唯一,即一个 点的极坐标有多种表达形式) 。对于极点 O,其极坐标为(0,?) ,?为任意值,但一般取?=0, 即极点的极坐标为(0,0) 。 6. 极坐标与直角坐标的互化: 互化的前提条件: (1)极点与原点重合; (2)极轴与 x 轴正方向重合; (3)取相同的单 位长度。 设点 P 的直角坐标为(x,y) ,它的极坐标为(?,?) ,则
?? 2 ? x 2 ? y 2 ?x ? ? cos ? ? 或 ? ? y y ? ? sin ? ? ?tg? ? ? x

若把直角坐标化为极坐标,求极角?时,应注意判断点 P 所在的象限(即角?的终边的 位置) ,以便正确地求出角?。 利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 7. 特殊位置的直线与圆的极坐标方程:
(1)直线:? cos? ? a,? cos? ? ?a,? sin ? ? a,? sin ? ? ?a(a ? 0) (2)圆:? ? 2a cos? ,? ? ?2a cos? ,? ? 2a sin ? ,? ? ?2a sin ?(a ? 0)

ep 1 ? e cos? 利用圆锥曲线的极坐标方程可以简捷地解决与焦点弦、焦半径有关的问题。 注:本章的重点是(1)参数方程与普通方程的互化;一般要求是把参数方程化为普通 方程;较高要求是利用设参求曲线的轨迹方程或研究某些最值问题; (2)极坐标与直角坐标 8. 圆锥曲线的统一极坐标方程:? ?
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的互化,重点方法:<1>消参的种种方法;<2>极坐标方程化为直角坐标方程的方法;<3>设 参的方法。 【典型例题】 例 1. 与普通方程x 2 ? y ? 1 ? 0等价的参数方程为(
?x ? sin t A. ? 2 ?y ? cos t ?x ? t g t B. ? 2 ?y ? 1 ? tg t
)(t为参数)

?x ? 1 ? t C. ? ?y ? t

?x ? cos t D. ? 2 ?y ? sin t

分析与解:
所谓与方程x 2 ? y ? 1 ? 0等价,是指若把参数方程化为普通方程,形式一致,且x,y

的变化范围对应相同,按照这一标准逐一验证。

(A)化为普通方程为x 2 ? y ? 1 ? 0,x ???1,1?,y ??0,1?
(B)化为普通方程为x 2 ? y ? 1 ? 0,x ? R,y ?(??,1] (C)化为普通方程为x 2 ? y ? 1 ? 0,x ?[0, ? ?) ,y ?(??,1]

(D)化为普通方程为x 2 ? y ? 1 ? 0,x ???1,1?,y ??0,1?
而已知方程x 2 ? y ? 1 ? 0,x ?R,y ?(??,1],显然与之等价的方程是(B)。

?x ? 2 t ? 2 ? t ? 例 2. 方程? (t为参数)表示的曲线是( t ?t ? ?y ? 2 ? 2



A. 双曲线 B. 双曲线的上支 C. 双曲线下支 D. 圆 分析与解: 把方程化为我们熟悉的普通方程,再去判断它表示的曲线类型。注意到 2t 与 2-t 互为倒 数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含 t 的项:
x 2 ? y 2 ? 2 t ? 2 ?t

?

? ? ?2
2

t

? 2 ?t

?

2

? ?4 ,即y 2 ? x 2 ? 4

又注意到2 t ? 0,2 t ? 2 ?t ? 2 2 t ? 2 ?t ? 2,即y ? 2
可见与以上参数方程等价的普通方程为:y 2 ? x 2 ? 4(y ? 2)

显然它表示焦点在 y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选 B。
?x ? 2 ? t 例 3. 直线? (t为参数)被双曲线x 2 ? y 2 ? 1上截得的弦长为 y ? 3 t ?



分析与解: 方法之一可把直线的参数方程化为普通方程,与双曲线方程联立,消元,再结合韦达
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定理,利用弦长公式 AB ?

?1 ? k? 2 ?x1 ? x 2 ? 2 可求得弦长;若不把参数方程化为普通方

?x ? x 0 ? t cos ? 程,又怎样求弦长呢?注意到直线参数方程不是标准形式 ? ,故上述方程 ?y ? y 0 ? t sin ? 中的t不具有显而易见的几何意义,因此有必要先将其化为标准形式:
1 1 ? x ? 2 ? ?2 t ? ? 2 ? t ' ? 2 2 ? (t ' ? 2 t为参数) ? ?y ? 3 ?2 t ? ? 3 t ' ? ? 2 2
2 ? 3 ? 1 ? ? 代入x ? y ? 1,得:? 2 ? t '? ? ? t '? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2

整理,得:t ' 2 ?4t '?6 ? 0

设其二根为t 1 ' ,t 2 ' ,则 t 1 '? t 2 ' ? 4,t 1 ' ? t 2 ' ? ?6
从而弦长为 AB ? t 1 '? t 2 ' ?

?t 1 '? t 2 '? 2

? 4 t 1 ' t 2 ' ? 4 2 ? 4? ?6? ? 40 ? 2 10

例 4. 设P是椭圆2x 2 ? 3y 2 ? 12上的一个动点,则x ? 2y的最大值是

,最小值是



分析一:注意到变量(x,y)的几何意义,故研究二元函数 x+2y 的最值时,可转化为 几何问题。 若设 x+2y=t, 则方程 x+2y=t 表示一组直线 (t 取不同的值, 方程表示不同的直线) , 2 2 显 然 ( x , y ) 既 满 足 2x +3y =12 , 又 满 足 x+2y=t , 故 点 ( x , y ) 是 方 程
?2 x 2 ? 3y 2 ? 12 组? 的公共解。依题意,可知直线x ? 2 y ? t与椭圆总有公共点。从而转化为 ?x ? 2 y ? t 研究消元后的一元二次方程的判别式? ? 0。

解法一:
令x ? 2y ? t,x,y还满足2x 2 ? 3y 2 ? 12,故
?x ? 2 y ? t 方程组 ? 2 有公共解,消去x 2 ?2x ? 3y ? 12

得y的一元二次方程:11y 2 ? 8t ? y ? 2t 2 ? 12 ? 0 由? ? 64t 2 ? 4 ? 11 ? 2t 2 ? 12 ? 0解得: ? 22 ? t ? 22
? x ? 2y的最大值为 22,最小值为 ? 22
分析二: 由于研究二元函数 x+2y 相对困难,因此有必要消元,但由 x,y 满足的方程 2x2+3y2=12
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?

?

?

?

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表出 x 或 y,会出现无理式,这对进一步求函数最值依然不够简洁,能否有其他途径把二元 函数 x+2y 转化为一元函数呢?
方法是利用椭圆的参数方程 ?x ? 6 cos? x2 y2 ? ? 1? ? 代入x ? 2y中,即可转化为以 6 4 ?y ? 2 sin ?

? 为变量的一元函数。
解法二:

由椭圆的方程2x 2 + 3y 2 = 12,可设x = 6 cos?,y ? 2 sin ? 代入x ? 2y,得:x ? 2y ? 6 cos? ? 2 ? 2 sin ? ? 22 sin?? ? ? ?
6 ,由于 ? 1 ? sin?? ? ? ? ? 1,所以 ? 22 ? x ? 2 y ? 22 4 ? x ? 2 y的最小值为 ? 22 ,最大值为 22 其中tg? ?

[注] 以上两种解法都是通过引入新的变量来转化问题, 解法一是通过引入 t, 而把 x+2y 几何化为直线的纵截距的最值问题;解法二则是利用椭圆的参数方程,设出点 P 的坐

标( 6 cos?,2 sin ?),代入x ? 2y中,转化为一元函数f ?? ?求其最值,这两种解法不妨都
称为“参数法” 。 例 5. 已知线段 BB’=4,直线 l 垂直平分 BB’,交 BB’于点 O,在属于 l 并且以 O 为起点的同 一射线上取两点 P,P’,使 OP·OP’=9,求直线 BP 与直线 B’P’的交点 M 的轨迹方程。
y B M P P’ B’ O x

解: 以 O 为原点,BB’为 y 轴,l 为 x 轴建立直角坐标系,则 B(0,2) ,B’(0,-2) , ?9 ? 设P(a, 0),a ? 0,则由OP ? OP' ? 9 ,得:P' ? , 0? ?a ?

直线BP的方程为:

x y ? ?1 a 2
y x ? ?1 9 ? ? ? ? 2? ? ? ? a?

直线B' P' 的方程为:

即2x ? ay ? 2a ? 0与2ax ? 9y ? 18 ? 0

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?2 x ? ay ? 2a ? 0 设M(x,y),则由 ? 解得: ?2ax ? 9 y ? 18 ? 0

? x? ? ? ? ?y ? ? ?

18a a2 ? 9 (a为参数) 2a 2 ? 18 a2 ? 9

消去a,可得:4x 2 ? 9y 2 ? 36(x ? 0)
? 点M的轨迹是长轴长为6,短轴长为4的椭圆(除去点B,B' )

[注]这是一道参数法(引入 a 作为参数)求轨迹方程的典型题,注意体会参数在解决 问题中的作用。 例 6. 极坐标方程4? ? sin 2 A. 圆 B. 椭圆 分析与解:
2 4? ? s i n

?
2

? 5表示的曲线是(
C. 双曲线的一支


D. 抛物线

?
2

? 4? ?

1? c o? s ? 2? ? 2? c o ? s ?5 2

化为直角坐标方程:2 x 2 ? y 2 ? 2x ? 5
25 4 显然该方程表示抛物线,故选 D。 若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线, 因此通常要把极坐标方程化为直角坐标 方程,加以研究。 化简,得:y 2 ? 5x ?

?? 2 ? ,则极点到该直线的距离是 例 7. 已知直线的极坐标方程为? sin?? ? ? ? ? ? 4 2
分析: 对于求一点到一条直线的距离问题, 我们联想到的是直角坐标系中的距离公式, 因此应 首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法, 这需把极点, 直线的方程化为直 角坐标系内的点的坐标、直线的方程。 解: 极点的直角坐标为 O(0,0)
? 2 ? ?? 2 2 ?s i ? n? ? ? ? ?? sin ?? c o? s? ? ? ? 4? ? 2 2 ? 2
?? s i n ? ? ?c o? s ? 1,化为直角坐标方程为:x ? y ? 1 ? 0
? 点O(0,0)到直线x ? y ? 1 ? 0的距离为d ?
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1 2

?

2 2

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?? 2 2 ? 即极点到直线? sin?? ? ? ? 的距离为 ? 4? 2 2


8.

?? ?? ?? ? ? ? 已知?ABC的三顶点的极坐标分别为A ? 5, ? ,B? 5, ? ,C? ?4 3, ? ,判断三 ? ? ? ? ? 6 2 3?
角形 ABC 的形状,并求出它的面积。 分析: 判断△ABC 的形状,就需要计算三角形的边长或角,在本题中计算边长较为容易,不妨 先计算边长。
B

A O x

C

解:

?AOB ?

?
3

,?BOC ?

5? 5? ,?AOC ? 6 6

又 OA ? OB ? 5, OC ? 4 3
由余弦定理,得:

AC ? OA ? OC ? 2 OA ? OC ? cos ?AOC

2

2

2

? 52 ? 4 3
? AC ? 133

? ?

2

? 2 ? 5 ? 4 3 ? cos

5? ? 133 6

同理, BC ? 133
? AC ? BC ??A B C 为等腰三角形

又 AB ? OA ? OB ? 5

? AB边上的高h ?

13 3 2 ?1 ? AC ? ? AB ? ? ?2 ? 2

2

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? S ?ABC ?

1 13 3 65 3 ? ?5? 2 2 4

例 9. 如图,点 A 在直线 x=5 上移动,等腰△OPA 的顶角∠OPA 为 120°(O,P,A 按顺 时针方向排列) ,求点 P 的轨迹方程。

y P A

O

x

分析一: 若设 A(5,t) ,即引入变量 t,则可求点 P 的轨迹的参数方程。为此,只需寻找两个等 量关系: (1)?PO?=?PA?; (2)?APO=120? 解法一: 设 A(5,t) ,P(x,y)
? PO ? PA
? x2 ? y2 ?

? x ? 5? 2 ? ? y ? t ? 2
?1?
k AP ? k OP 1 ? k AP ? k OP

整理,得:10x ? 2t ? y ? 25 ? t 2 ? 0
? ?A P O ? 120? , ? tg?APO ? tg120? ?

k AP ?

y?t y ,k OP ? ,代入上式,得: x?5 x 5y ? t ? x ?? 3 ?2? x 2 ? y 2 ? 5x ? t ? y

由<1><2>,消去 t,可得点 P 的轨迹方程(此时发现:消去 t 显得多么繁杂,甚至不可 能。因此此法应放弃,该选择新的方法) 。 分析二: 若建立极坐标系,也许求点 P 的轨迹的极坐标方程更简明些。只需以 O 作为极点,Ox 轴的正方向为极轴建立极坐标系。再寻找点 P(?,?)与点 A(?0,?0)的坐标之间的关系, 可分别寻求?与?0 的关系以及?与?0 的关系。 解法二: 取 O 为极点,x 正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线 x=5 的极坐标方程为?cos?=5 设 A(?0,?0) ,P(?,?)
? 点A在直线? cos? ? 5上
??0 c o ? s0 ?5 ?1?

? ?O P A 为等腰三角形,且?O P A ? 120? ,而 OP ? ? , OA ? ? 0 以及?POA ? 30?

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? ? 0 ? 3?,且? 0 ? ? ? 30?

?2?

把<2>代入<1>,得点 P 的轨迹的极坐标方程为:

3? cos?? ? 30?? ? 5
【模拟试题】

?? ? 1. 已知点 M 的极坐标为 ? ?5, ? , 下列所给出的四个坐标中能表示点 M 的坐标有 ( ? 3?
个。



?? ? A. ? 5, ? ? ? 3?

4? ? ? B. ? 5, ? ? 3 ?

2? ? ? C. ? 5, ? ? ? 3 ?

5? ? ? D. ? ?5, ? ? ? 3?

2. 点 2, ? 2 的极坐标为(

?

?

) ) )

?? ? 3. 圆心为 C ? 3, ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程为( ? 6?

4. 极坐标方程为 ? ? cos? ? 3 sin ? ? 0 表示的圆的半径为(

?? ?? ? ? 5. 若 A ? 3, ? ,B ? ?3, ? ,则|AB|=___________, S ?AOB ? ___________。 (其中 O 是 ? ? 3? 6?
极点) 6. 极点到直线 ??cos? ? sin ? ? ? 3 的距离是_____________。 7. 极坐标方程 ? sin 2 ? ? 2 ? cos? ? 0 表示的曲线是____________。 8. 若圆 C 的方程是 ? ? 2a sin ? ,则它关于极轴对称的圆心方程为____________,它关于 直线 ? ?

3? 对称的圆的方程为____________。 4

?x ? a sec ? (?为参数,ab ? 0) 表示的曲线是____________。 9. 方程 ? ?y ? b cos ?

?x ? x 0 ? t 10. 直线 ? (t 为参数)上任一点 P 到 P0 ? x 0 ,y 0 ? 的距离为__________。 ?y ? y 0 ? 3t
1 ? x ?1? t ? 2 ? (t为参数)与圆x 2 ? y 2 ? 16交于A、B两点 , 11. 直线 ? 则 AB 的中点坐标 ?y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2

为__________。 12. 若F1 、F2 是椭圆
x2 y2 ? ? 1的焦点,P为椭圆上不在x轴上的点,则?PF1 F2 的重心G 25 16

的轨迹方程为____________。 13. 求椭圆
x2 y2 ? ? 1上一点P与定点(1, 0)之间距离的最小值 。 9 4
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14. 若方程 m? cos2 ? ? 3? sin 2 ? ? 6 cos? ? 0的曲线是椭圆,求实数m的取值范围。
?x ? 2 cos ? 15. 已知曲线C: ? ,若 A、B 是 C 上关于坐标轴不对称的任意两点,AB 的垂直 ?y ? sin ?

平分线交 x 轴于 P(a,0) ,求 a 的取值范围。

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【试题答案】 1. 能表示点 M 的坐标有(三)个,分别是 B、C、D。 2. 由 x ? 2,y ? ? 2 ,得 ? ? x 2 ? y 2 ? 6,而点 2 , ? 2 位于第四象限且
tg? ? y ?? 2 ? 7? ? ?? ,? ? ? 或 ? ? ,故点 (2, ? 2 ) 的极坐标为 ? 6 , ? ? 或写 成 ? 4? x 2 4 4

?

?

7? ? ? ? 6, ?。 ? 4 ?

3. 如下图,设圆上任一点为 P( ? ,? ) ,则 OP ? ? ,?POA ? ? ?
Rt?OAP中, OP ? OA ? cos ?POA

?
6

, OA ? 2 ? 3 ? 6

?? ? ? ? ? 6 cos? ? ? ? ? 6?
P A C O x

?? ? 4. 方法一:方程变形为 ? ? cos? ? 3 sin ? ? 2 cos?? ? ? ,该方程表示的圆的半径与圆 ? 6? ? ? 2 cos? 的半径相等,故所求的圆的半径为 r=1
方法二:把方程化为 ? 2 ? ? cos? ? 3? sin ? ? 0 化为直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? x ? 3y ? 0 即? ?x ? ?
2 ? 1? 3? ? ?1 ? ? ?y ? 2? 2 ? ? 2

可见所求圆的半径 r=1 5. 在极坐标系中画出点 A、B,易得 ?AOB ? 150?
?AOB中,由余弦定理,得: AB ? OA ? OB ? 2 OA ? OB cos ?AOB ? AB ? 32 ? 32 ? 2 ? 3 ? 3 ? cos 150? ? 18 ? 9 3 ? 3 2 ? 3 ? S ?OAB ? 1 1 9 OA ? OB ? sin ?AOB ? ? 3 ? 3 ? sin 150? ? 2 2 4 3 2
2 2 2

?

6? 2

?

6. 极点为(0,0) ,直线的直角坐标方程为 x ? y ? 3 ? 0

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? 极点到直线的距离 d ?

3 2

?

6 。 2
2

7. 方程两边同乘以 ? ,则 ?? sin ? ? ? 2? cos? ? 0,即y 2 ? 2x,它表示抛物线。 8. 关 于 极 轴 对 称 的 圆 方 程 为 ? ? ?2a sin ? , 关 于 直 线 ? ?

3? 对称的圆的方程为 4

? ? ?2a cos? 。
9. 方程表示的曲线为双曲线(可把参数方程化为普通方程 xy=ab) 10. 所求距离为 2|t|(把直线的参数方程化为标准形式) 11. 中点坐标为 3, ? 3 (把 x ? 1 ?

?

?

1 3 t,y ? ?3 3 ? t 代入 x 2 ? y 2 ? 16,得:t 2 ? 8t ? 12 ? 0 ,设 A、B 对应 2 2 1 1 的参数分别为 t 1 ,t 2 ,则 AB 中点对应的参数为 t 0 ? ?t 1 ? t 2 ? ? ? 8 ? 4 ,将 t 0 ? 4 代入直 2 2

线参数方程,可求得中点的坐标。 ) 12. 设 G? x,y?,P?5 cos?,4 sin ? ?,而F1 ? ?3,0?,F2 ?3,0?
5 cos ? ? ? ?3? ? 3 5 cos ? ? x? ? ? ? 3 3 (?为参数) 由重心坐标公式,得: ? 4 sin ? ? 0 ? 0 4 sin ? ?y ? ? ? ? 3 3

消参,得点 G 的轨迹方程为

9x 2 9y 2 ? ?1 25 16

13. 解: (先设出点 P 的坐标,建立有关距离的函数关系)

设P?3 cos ?, 2 sin ? ?,则P到定点(1, 0)的距离为 d?? ? ? 3? 16 ?3 cos? ? 1? 2 ? ?2 sin ? ? 0? 2 ? 5 cos2 ? ? 6 cos? ? 5 ? 5? ? cos ? ? ? ? ? 5? 5
2

3 4 5 时,d?? ) 取最小值 5 5 14. 解:将方程两边同乘以 ? ,化为: 当 cos ? ?

m?? c o ? s ? ? 3?? s i n ? ? ? 6? c o ? s ?0
2 2

即mx 2 ? 3y 2 ? 6x ? 0 3? ? ?x ? ? ? m? 整理,得: 9
2

y2 ?1 3 m m2 若方程表示椭圆,则m须满足: ?

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? 9 ? m2 ? 0 ? ?3 ? ? 0 ? m ? 0且m ? 3 ? m ??0, 3? ??3, ? ?? ?m 3 ? 9 ? m2 ? m ?

15. 解: 设A?2 cos ?, sin ? ?,B?2 cos ?, sin ? ?
? A、B关于坐标轴不对称 ? ? ? 2 k? ? ?,且? ? ?2 k ? 1?? ? ?,k ? z ? AB的 垂直平分线 与x轴交于点P ····· ? PA ? PB

??a ? 2 c o ? s ? ? ?s i n ? ? ? ?a ? 2 c o ? s ? ? ?s i n ??
2 2 2

2

解之,得:a ?

3?cos ? ? cos ? ? 4 3 ; 2

当 cos ? ? cos ? ? 1时,a取最大值

当 cos ? ? cos ? ? ?1时,a取最小值 ? 3? ? 3 ? a的取值范围为? ? , ? ? 2 2?

3 。 2

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