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高中数学高考导数题型分析及解题方法


生命是永恒不断的创造,因为在它内部蕴含着过剩的精力,它不断流溢,越出时间和 空间的界限,它不停地追求,以形形色色的自我表现的形式表现出来。 --泰戈尔

导数题型分析及解题方法
一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、 差、 基本导数公式, 利用导数研究函数的单调性和极值, 函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析

题型一:利用导数研究函数的极值 、最值。

??1,1? 上的最大值是 2 1. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间
3 2
2 2.已知函数 y ? f ( x) ? x( x ? c) 在x ? 2 处有极大值,则常数 c=

6



3.函数 y ? 1 ? 3x ? x 有极小值 -1

3

,极大值

3

题型二:利用导数几何意义求切线方程
1.曲线 y ? 4 x ? x 在点
3

? ?1, ?3? 处的切线方程是

y ? x?2
(1,0)

4 2.若曲线 f ( x) ? x ? x 在 P 点处的切线平行于直线 3 x ? y ? 0 ,则 P 点的坐标为

3.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 4 x ? y ? 3 ? 0
4

4.求下列直线的方程:
3 2 (1)曲线 y ? x ? x ? 1 在 P(-1,1)处的切线; 2 (2)曲线 y ? x 过点 P(3,5)的切线;

3 2 / 2 / 解: (1) ? 点P(?1,1)在曲线y ? x ? x ? 1上, ? y ? 3x ? 2x ? k ? y |x ?-1? 3-2 ? 1

即x ? y ? 2 ? 0 所以切线方程为 y ? 1 ? x ? 1 ,
2 / (2) 显然点 P (3, 5) 不在曲线上, 所以可设切点为 A( x0 , y0 ) , 则 y0 ? x0 ①又函数的导数为 y ? 2 x ,

k ? y / |x? x0 ? 2x0 所 以 过 A( x0 , y0 ) 点 的 切 线 的 斜 率 为 , 又 切 线 过 A( x0 , y0 ) 、 P(3,5) 点 , 所 以 有
2 x0 ? y0 ? 5 x0 ? 3

? x0 ? 1 ? x0 ? 5 ? y ? 1 或 ? y ? 25 ? 0 ②,由①②联立方程组得, ? 0 ,即切点为( 1 , 1 )时,切线斜率为

k1 ? 2 x0 ? 2;

;当切点为(5,25)时,切线斜率为 k2 ? 2 x0 ? 10 ;所以所求的切线有两条,方程分

即y ? 2 x ? 1 或y ? 10 x ? 25 别为 y ? 1 ? 2( x ? 1)或y ? 25 ? 10( x ? 5),

题型三:利用导数研究函数的单调性 ,极值、最值

1.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 y=3x+1
3 2

(Ⅰ)若函数 f ( x)在x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y ? f ( x) 在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围
3 2 2 解: (1)由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 求导数得f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b.

过 y ? f ( x)上点P(1, f (1)) 的切线方程为:

y ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1),即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1).

的切线方程为 y ? 3x ? 1. 而过 y ? f ( x)上P[1, f (1)]
?3 ? 2a ? b ? 3 ? 故 ?a ? c ? ?3 ?2a ? b ? 0 即? ?a ? c ? ?3
① ② ③

? ∵ y ? f ( x)在x ? ?2时有极值, 故f (?2) ? 0,? ?4a ? b ? ?12
由①②③得 a=2,b=-4,c=5

3 2 ∴ f ( x) ? x ? 2x ? 4x ? 5.

2 (2) f ?( x) ? 3x ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2).

2 ? 3 ? x ? ?2时, f ?( x) ? 0; 当 ? 2 ? x ? 时, f ?( x) ? 0; 3 当
2 当 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0. ? f ( x) 极大 ? f (?2) ? 13 3

又 f (1) ? 4,? f ( x) 在[-3,1]上最大值是 13。
2

? (3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又 f ( x) ? 3x ? 2ax ? b, 由①知 2a+b=0。
2 ? ? 依题意 f ( x) 在[-2,1]上恒有 f ( x) ≥0,即 3x ? bx ? b ? 0.

x?
①当

b ? 1时, f ?( x) min ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0,? b ? 6 6 ; b ? ?2时, f ?( x) min ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0,? b ? ? 6 ;

x?
②当

?2?
③当

6 12b ? b 2 ? 1时, f ?( x) min ? ? 0, 则0 ? b ? 6. b 12

综上所述,参数 b 的取值范围是 [0,??)
3 2 2.已知三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; (3) 若函数 g ( x) ? f ( x ? m) ? 4m (m ? 0) 在区间 [m ? 3, n] 上的值域为 [?4, 16] ,试求 m 、 n 应满足 的条件.
2 ? 解:(1) f ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
2 由题意得, 1, ? 1 是 3x ? 2ax ? b ? 0 的两个根,解得, a ? 0, b ? ?3 .

3 再由 f (?2) ? ?4 可得 c ? ?2 .∴ f ( x) ? x ? 3x ? 2 .
2 ? (2) f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) ,

? ? 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ; ? ? 当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ; ? 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 .∴函数 f ( x) 在区间 (??, ?1] 上是增函数; ] 在区间 [ ?1,1 上是减函数;在区间 [1, ? ?) 上是增函数.

函数 f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 0 ,极小值是 f (1) ? ?4 . (3) 函数 g ( x) 的图象是由 f ( x) 的图象向右平移 m 个单位,向上平移 4 m 个单位得到的, 所以,函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? m] 上的值域为 [?4 ? 4m, 16 ? 4m] ( m ? 0 ) . 而 f (?3) ? ?20 ,∴ ?4 ? 4m ? ?20 ,即 m ? 4 .

于是,函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? 4] 上的值域为 [?20, 0] . 令 f ( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 2 .由 f ( x) 的单调性知, ?1 剟n ? 4 综上所述, m 、 n 应满足的条件是: m ? 4 ,且 3 剟n
6. 2 ,即 3 剟n 6.

3.设函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) . (1)若 f ( x ) 的图象与直线 5x ? y ? 8 ? 0 相切,切点横坐标为2,且 f ( x ) 在 x ? 1 处取极值, 求实数 a , b 的值; (2)当 b=1 时,试证明:不论 a 取何实数,函数 f ( x ) 总有两个不同的极值点.

? 解: (1) f ( x) ? 3x ? 2(a ? b) x ? ab.
2

? ? 由题意 f (2) ? 5, f (1) ? 0 ,代入上式,解之得:a=1,b=1.

? (2)当 b=1 时, 令f ( x) ? 0得方程 3x ? 2(a ?1) x ? a ? 0.
2

因 ? ? 4(a ? a ? 1) ? 0, 故方程有两个不同实根 x1 , x 2 .
2

不妨设 x1 ? x 2 ,由 f ( x) ? 3( x ? x1 )(x ? x2 ) 可判断 f ( x) 的符号如下:
' '

f ( x) >0;当 x1 ? x ? x2时, f ( x) <0;当 x ? x2时, f ( x) >0 当 x ? x1时,
' ' '

因此 x1 是极大值点, x2 是极小值点. ,当 b=1 时,不论 a 取何实数,函数 f ( x ) 总有两个不同的 极值点。

题型四:利用导数研究函数的图象
/ 1.如右图:是 f(x)的导函数, f ( x) 的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是( D )

(A) 2.函数
y?

(B)
1 3 x ? 4 x ? 1的图像为 3 ( A

(C) )

(D)

6 4 2 -4 -2

y

o 2 4 -2 -4

x

6 4 2 -4 -2

y

6 4 2 x -4

y

6 4 2 x

y

o 2 4 -2 -4

o y 2 4 -2 -2 -4

o 2 4 -2 -4

x

3 2 3.方程 2 x ? 6 x ? 7 ? 0在(0,2)内根的个数为

( B D 、3

)

A、0

B、1

C、2

题型五:利用单调性、极值、最值情况 ,求参数取值范围
1 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 3 1.设函数
(1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值.

? (2)若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ( x) |? a ,试确定 a 的取值范围.
2 2 x ? a, x2 ? 3a ? ? 解: (1) f ( x) ? ? x ? 4ax ? 3a = ?( x ? 3a)( x ? a) ,令 f ( x) ? 0 得 1

列表如下: x (-∞, a) a

(a,3a) 3a + 0 极大

(3a,+∞) -

f ?( x ) f ( x)

-

0 极小

?

?

?

∴ f ( x ) 在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减

4 f极小 ( x ) ? b ? a 3 3 , x ? 3a 时, f极小 ( x) ? b x ? a 时,

? (2) f ( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ∵ 0 ? a ? 1 ,∴对称轴 x ? 2a ? a ? 1 ,
2 2

? ∴ f ( x ) 在[a+1,a+2]上单调递减


? ? ?(a ? 1)2 ? 4a(a ? 1) ? 3a2 ? 2a ?1 fmin ? ? ?(a ? 2)2 ? 4a(a ? 2) ? 3a2 ? 4a ? 4 f Max ,

? |? a | f ? |? a , | f min ? 依题 | f ( x) |? a ? Max
4 ? a ?1 解得 5 ,又 0 ? a ? 1

即 | 2a ? 1|? a,| 4a ? 4 |? a

4 [ ,1) ∴a 的取值范围是 5

2 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 3 与 x=1 时都取得极值(1)求 a、b 的值与函
数 f(x)的单调区间 (2)若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c2 恒成立,求 c 的取值范围。 解: (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f?(x)=3x2+2ax+b

由 f?(



2 12 4 1 - a+b=0 - 3 )= 9 3 ,f?(1)=3+2a+b=0 得 a= 2 ,b=-2
1 (1,+?)

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: x

2 2 (-?,- 3 ) - 3
0 极大值

2 (- 3 ,1)
- ?

f? (x) + f(x) ?

0 极小值

+ ?

2 2 所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 3 )与(1,+?) ,递减区间是(- 3 ,1) 1 2 22 (2)f(x)=x3- 2 x2-2x+c,x?〔-1,2〕 ,当 x=- 3 时,f(x)= 27 +c
为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。 要使 f(x)?c2(x?〔-1,2〕 )恒成立,只需 c2?f(2)=2+c,解得 c?-1 或 c?2

题型六:利用导数研究方程的根
1 3 ? b =( 2 , 2 ).

? 1.已知平面向量 a =( 3 ,-1).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y y x a b a b x (1)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 = +(t2-3) , =-k +t , ⊥ ,
试求函数关系式 k=f(t) ; (2) 据(1)的结论,讨论关于 t 的方程 f(t)-k=0 的解的情况. 解:(1)∵ x ⊥ y ,∴ x ? y =0

?

? ?

? ? ?

即[ a +(t2-3) b ]·(-k a +t b )=0.

?

?

?

?

整理后得-k a +[t-k(t2-3)] a ? b + (t2-3)· b =0

?2

? ?

?2

1 ? ? ?2 ?2 ∵ a ? b =0, a =4, b =1,∴上式化为-4k+t(t2-3)=0,即 k= 4 t(t2-3) 1 1 (2)讨论方程 4 t(t2-3)-k=0 的解的情况,可以看作曲线 f(t)= 4 t(t2-3)与直线 y=k 的交点个
数.

3 3 于是 f′(t)= 4 (t2-1)= 4 (t+1)(t-1).
令 f′(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表: t f′(t) F(t) (-∞,-1) + ↗ -1 0 极大值 (-1,1) ↘ 1 0 极小值 (1,+ ∞) + ↗

1 当 t=-1 时,f(t)有极大值,f(t)极大值= 2 . 1 当 t=1 时,f(t)有极小值,f(t)极小值=- 2 1 函数 f(t)= 4 t(t2-3)的图象如图 13-2-1 所示,
可观察出:

1 1 (1)当 k> 2 或 k<- 2 时,方程 f(t)-k=0 有且只有一解; 1 1 (2)当 k= 2 或 k=- 2 时,方程 f(t)-k=0 有两解; 1 1 (3) 当- 2 <k< 2 时,方程 f(t)-k=0 有三解.

题型七:导数与不等式的综合
1.设 a ? 0,函数f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 上是单调函数.
3

(1)求实数 a 的取值范围; (2)设

x0 ≥1, f ( x) ≥1,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0 .

2 2 ? ? ? 解: (1) y ? f ( x) ? 3x ? a, 若 f ( x) 在 ?1,??? 上是单调递减函数, 则须 y ? 0,即a ? 3x , 这

样的实数 a 不存在.故 f ( x) 在 ?1,??? 上不可能是单调递减函数.
2 若 f ( x) 在 ?1,??? 上是单调递增函数,则 a ≤ 3 x ,

1,???, 故3x ? 3 .从而 0<a≤3. 由于 x ? ?
2

( 2 ) 方 法 1 、 可 知 f ( x) 在 ?1,??? 上 只 能 为 单 调 增 函 数 .

若 1≤

x0 ? f ( x0 ) , 则

f ( x0 ) ? f ( f ( x0 )) ? x0矛盾, 若 1≤ f ( x0 ) ? x0 , 则f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ),即x0 ? f ( x0 ) 矛盾,故
只有

f ( x0 ) ? x0 成立.
2 : 设
3 f ( x0 ) ? u, 则f (u) ? x0 , ? x0 ? ax0 ? u, u 3 ? au ? x0 , 两 式 相 减 得

方 法

3 2 ( x0 ? u 3 ) ? a( x0 ? u) ? u ? x0 ? ( x0 ? u)(x0 ? x0u ? u 2 ? 1 ? a) ? 0,? x0 ≥1,u≥1, 2 2 ? x0 ? x0u ? u 2 ? 3, 又0 ? a ? 3 ,? x0 ? x0u ? u 2 ? 1 ? a ? 0

3 f ( x) ? ( x 2 ? )( x ? a) 2 2.已知 a 为实数,函数
(1)若函数 f ( x ) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围 (2)若 f '( ?1) ? 0 , (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间

x 、x2 ? (?1,0) ,不等式 (Ⅱ)证明对任意的 1
? f ( x) ? x 3 ? ax 2 ?
解:

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?

5 16 恒成立

3 3 3 x ? a ? f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 2 2 , 2

? 函数 f ( x) 的图象有与 x 轴平行的切线,? f '( x) ? 0 有实数解
?? ? 4a 2 ? 4 ? 3 ? 3 9 3 3 ? 0 a2 ? ( ? ?, ? 2] ? [ 2, ? ?) 2 2 ,所以 a 的取值范围是 2 2 ,

3 9 9 3 1 ? 3 ? 2a ? ? 0 a ? ? f '( x) ? 3x 2 ? x ? ? 3( x ? )( x ? 1) ? f '(?1) ? 0 , 2 4, 2 2 2 ,
由 f '( x) ? 0, x ? ?1 或

x??

1 1 f '( x) ? 0, ?1 ? x ? ? 2 ;由 2

? f ( x) 的单调递增区间是

1 1 (??, ?1), (? , ??) ( ?1, ? ) 2 2 ;单调减区间为 25 1 49 27 f (? ) ? f (0) ? 8 , f ( x) 的极小值为 2 16 ,又 8 27 49 m? 8 ,最小值 16 27 49 5 ? ? 8 16 16

易知 f ( x ) 的最大值为

f (?1) ?

? f ( x) 在 [?1, 0] 上的最大值

M ?

? 对任意 x1 , x2 ? (?1,0) ,恒有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ?

题型八:导数在实际中的应用

1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六 棱锥(如右图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最大? 解:设 OO1 为 x m ,则 1 ? x ? 4 由题设可得正六棱锥底面边长为:

3 2 ? ( x ? 1) 2 ? 8 ? 2 x ? x 2

, (单位: m )

6?
故底面正六边形的面积为:

3 3 3 ?( ? (8 ? 2 x ? x 2 ) 2 2 2 8 ? 2 x ? x ) 4 = 2 , (单位: m )

帐篷的体积为:

V(x) ?

1 3 3 3 (16 ? 12x ? x 3 ) (8 ? 2 x ? x 2 ) [ ( x ? 1) ? 1] ? 3 3 2 2 (单位: m )

V' (x) ?
求导得

3 (12 ? 3x 2 ) 2 。

(x) ? 0 ,解得 x ? ?2 (不合题意,舍去) 令 V' ,x ? 2, (x) ? 0 , V ( x) 当 1 ? x ? 2 时, V' 为增函数; (x) ? 0 , V ( x) 当 2 ? x ? 4 时, V' 为减函数。
∴当 x ? 2 时, V(x) 最大。

3 答:当 OO1 为 2 m 时,帐篷的体积最大,最大体积为 16 3 m 。

2.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/

y?
小时)的函数解析式可以表示为:

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80

已知甲、乙两地相距 100 千米。 (I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

100 ? 2.5 解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 40 小时, 1 3 ( ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 80 要耗没 128000 (升) 。 100 (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小时,设耗油量为 h( x) 升, 1 3 100 1 2 800 15 h( x ) ? ( x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 128000 80 x 1280 x 4 依题意得

h '( x) ?

x 800 x3 ? 803 ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2

令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.
因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。 答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。

题型九:导数与向量的结合

? 3 1 ? 1 3 a?( , ? ), b ? ( , ). 2 2 2 2 若存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 k,使 1.设平面向量

x ? a ? (t 2 ? k )b, y ? ?sa ? tb,且x ? y,
(1)求函数关系式 S ? f (t ) ;

, ? ? ? 上是单调函数,求 k 的取值范围。 (2)若函数 S ? f (t ) 在 ?1
a?(
解: (1)

? ? 3 1 1 3 ? ? ,? ), b ? ( , ). a ? b ? 1, a ?b ? 0 2 2 2 2

? ? ? ? ? ? 又 x ? y, x ? y ? 0,得 ? ? ? ? 2 ?a ? ? ? sa ? tb) ( t ? k )( b ? 0, ? ? ?2 ?2 ? ? 即 ? sa ?( t t 2 ? k) b -(t ? st 2 ? sk) a ? b ? 0。 ?? s ? (t 2 ? k)t ? 0,故s ? ( f t) ? t 3 ? kt。
(2)

f? (t) ? 3t 2 ? k且f(t)在?1 , ? ??上是单调函数,

? ? ?0 则在 ?1,??? 上有 f (t ) ? 0或f (t)

? 由 f (t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t ? k ? (3t ) min ? k ? 3 ;
2 2 2

? 由 f (t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t 。
2 2

因为在 t∈ ?1,??? 上 3t 是增函数,所以不存在 k,使 k ? 3t 在 ?1,??? 上恒成立。故 k 的取值范
2 2

围是 k ? 3 。


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