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第2讲 等差数列及其前n项和


第2讲
【2013 年高考会这样考】

等差数列及其前 n 项和

1.考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题. 2.考查等差数列的性质、前 n 项和公式及综合应用. 【复习指导】 1.掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前 n 项和公式等. 2.掌握等差数列的判断方法,等差数列求和的方法.

基础梳理 1.

等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 a+b 如果 A= 2 ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q, 则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*). (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列. (4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an. nd (6)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= 2 ; 若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项).

5.等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? 若已知首项 a1 和末项 an,则 Sn= ,或等差数列{an}的首项是 a1,公差 2 n?n-1? 是 d,则其前 n 项和公式为 Sn=na1+ 2 d. 6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d? d ? Sn=2n2+?a1-2?n, 数列{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn(A, 为常数). B ? ? 7.最值问题 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最大值,若 a1<0,d>0,则 Sn 存 在最小值.

一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式: Sn=a1+a2+a3+?+an,① Sn=an+an-1+?+a1,② n?a1+an? ①+②得:Sn= . 2 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,a-2d,a-d,a,a+d,a +2d,?. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,a-3d,a-d,a+d,a+ 3d,?,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an-an-1 为同一常数; (2)等差中项法:验证 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立; (3)通项公式法:验证 an=pn+q; (4)前 n 项和公式法:验证 Sn=An2+Bn. 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.

双基自测 1. (人教 A 版教材习题改编)已知{an}为等差数列, 2+a8=12, a5 等于( a 则 A.4 B.5 C.6 D.7 ).

解析 a2+a8=2a5,∴a5=6. 答案 C 2.设数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6=2 且 S5=30,则 S8 等于 ( A.31 B.32 C.33 D.34 ).

?a1=26, ? 3 ?a1+5d=2, 解析 由已知可得? 解得? 4 ?5a1+10d=30, ?d=-3. ?
8×7 ∴S8=8a1+ 2 d=32. 答案 B 3.(2011· 江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1.那么 a10=( A.1 ). B.9 C.10 D.55

解析 由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10?a10=S10-S9=S1=a1=1. 答案 A 4.(2012· 杭州质检)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于( A.13 ). B.35 C.49 D.63

7?a1+a7? 解析 ∵a1+a7=a2+a6=3+11=14,∴S7= =49. 2 答案 C 5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________. 解析 设公差为 d. 则 a5-a2=3d=6, ∴a6=a3+3d=7+6=13. 答案 13

考向一

等差数列基本量的计算

【例 1】?(2011· 福建)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. [审题视点] 第(1)问,求公差 d; 第(2)问,由(1)求 Sn,列方程可求 k. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3 可得 1+2d=-3. 解得 d=-2.从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n. n[1+?3-2n?] 所以 Sn= =2n-n2. 2 进而由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35. 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7 为所求. 等差数列的通项公式及前 n 项和公式中,共涉及五个量,知三可求二, 如果已知两个条件,就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质、几何意 义去考虑也可以.体现了用方程思想解决问题的方法. 【训练 1】 (2011· 湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升. 解析 设竹子从上到下的容积依次为 a1,a2,?,a9,由题意可得 a1+a2+a3+ a4=3,a7+a8+a9=4,设等差数列{an}的公差为 d,则有 4a1+6d=3①,3a1+ 7 13 13 7 67 21d=4②,由①②可得 d=66,a1=22,所以 a5=a1+4d=22+4×66=66. 67 答案 66 考向二 等差数列的判定或证明

1 【例 2】?已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an+2Sn·n-1=0(n≥2),a1=2. S

?1? (1)求证:?S ?是等差数列; ? n?

(2)求 an 的表达式. [审题视点] (1)化简所给式子,然后利用定义证明. (2)根据 Sn 与 an 之间关系求 an. (1)证明 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2),又 an=-2Sn·n-1, S

1 1 ∴Sn-1-Sn=2Sn·n-1,Sn≠0,∴S - S =2(n≥2). Sn-1 n
?1? 1 1 由等差数列的定义知?S ?是以S =a =2 为首项,以 2 为公差的等差数列. ? n?
1 1

(2)解

1 1 由(1)知S =S +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,
n 1

1 1 ∴Sn=2n.当 n≥2 时,有 an=-2Sn×Sn-1=- , 2n?n-1?

?1,n=1, ?2 1 又∵a1=2,不适合上式,∴an=? 1 ?-2n?n-1?,n≥2. ?
等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式法 和前 n 项和公式法主要适合在选择题中简单判断. 【训练 2】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数,且 a1=-2,a2=2, S3=6. (1)求 Sn; (2)证明:数列{an}是等差数列.

(1)解

?-2=A+B+C, 设 Sn=An2+Bn+C(A≠0),则?0=4A+2B+C, ?6=9A+3B+C,

解得:A=2,B=-4,C=0. ∴Sn=2n2-4n. (2)证明 当 n=1 时,a1=S1=-2.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)] =4n-6. ∴an=4n-6(n∈N*).

当 n=1 时符合上式,故 an=4n-6, ∴an+1-an=4, ∴数列{an}成等差数列. 考向三 等差数列前 n 项和的最值

【例 3】?设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值. [审题视点] 第(1)问:列方程组求 a1 与 d; 第(2)问:由(1)写出前 n 项和公式,利用函数思想解决. 解 (1)由 an=a1+(n-1)d 及 a3=5,a10=-9 得 ?a1+2d=5, ?a1=9, ? 可解得? ?a1+9d=-9, ?d=-2. 数列{an}的通项公式为 an=11-2n. (2)由(1)知,Sn=na1+ n?n-1? 2 2 d=10n-n .

因为 Sn=-(n-5)2+25,所以当 n=5 时,Sn 取得最大值. 求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法: (1)利用等差数列的单调性或性质,求出其正负转折项,便可求得和的最值. (2)利用等差数列的前 n 项和 Sn=An2+Bn(A、B 为常数)为二次函数,根据二次函 数的性质求最值. 【训练 3】 在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,Sn 取得最大值,并求出它的最大值. 解 法一 ∴10×20+ 5 ∴d=-3. 5 65 ? 5? ∴an=20+(n-1)×?-3?=-3n+ 3 . ? ? ∴a13=0.即当 n≤12 时,an>0,n≥14 时,an<0. 12×11 ? 5? ∴当 n=12 或 13 时,n 取得最大值, S 且最大值为 S12=S13=12×20+ 2 ×?-3? ? ? ∵a1=20,S10=S15, 10×9 15×14 d=15×20+ d, 2 2

=130. 5 法二 同法一求得 d=-3. n?n-1? ? 5? ? ∴Sn=20n+ 2 ·-3? ? ? 5 125 =-6n2+ 6 n 25? 3 125 5? ? =-6?n- 2 ?2+ 24 . ? ∵n∈N*, ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值, 且最大值为 S12=S13=130. 5 法三 同法一得 d=-3. 又由 S10=S15,得 a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即 a13=0. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值, 且最大值为 S12=S13=130. 考向四 等差数列性质的应用

【例 4】?设等差数列的前 n 项和为 Sn,已知前 6 项和为 36,Sn=324,最后 6 项 的和为 180(n>6),求数列的项数 n. [审题视点] 在等差数列 {an}中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p, q∈N*)用此性质可优化解题过程. 解 由题意可知 a1+a2+?+a6=36① an+an-1+an-2+?+an-5=180② ①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+?+(a6+an-5)=6(a1+an)=216. n?a1+an? ∴a1+an=36.又 Sn= =324, 2 ∴18n=324. ∴n=18. 本题的解题关键是将性质 m+n=p+q?am+an=ap+aq 与前 n 项和公 n?a1+an? 式 Sn= 结合在一起,采用整体思想,简化解题过程. 2

【训练 4】 (1)设数列{an}的首项 a1=-7,且满足 an+1=an+2(n∈N+),则 a1+ a2+?+a17=________. (2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和 等于________. 解析 (1)∵an+1-an=2,∴{an}为等差数列. ∴an=-7+(n-1)· 2,∴a17=-7+16×2=25, ?a1+a17?×17 ?-7+25?×17 S17= = =153. 2 2 (2)由已知可得(a1 +a2+a3)+(a18 +a19+a20)=-24+78?(a1+a20)+(a2+a19)+ a1+a20 18 (a3+a18)=54?a1+a20=18?S20= 2 ×20= 2 ×20=180. 答案 (1)153 (2)180

阅卷报告 6——忽视 an 与 Sn 中的条件 n≥2 而致误 【问题诊断】 在数列问题中, 数列的通项 an 与其前 n 项和 Sn 之间存在下列关系: an=\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1?n=1?,,Sn-Sn-1?n≥2?.))这个关系对任意数列都是 成立的, 但要注意的是这个关系式是分段的,在 n=1 和 n≥2 时这个关系式具有 完全不同的表现形式, 这也是解题中经常出错的一个地方,在使用这个关系式时 要牢牢记住其“分段”的特点. 【防范措施】 由 an=Sn-Sn-1 求出 an 后,一定不要忘记验证 n=1 是否适合 an. 【示例】?(2009· 安徽改编)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn.求数列{an}与{bn}的通项公式. 错因 求 an、bn 时均未验证 n=1. 实录 ∵an=Sn-Sn-1, ∴an=2n2+2n-2(n-1)2-2(n-1)=4n. 又 Tn=2-bn, ∴bn=Tn-Tn-1=2-bn-2+bn-1, 1 ?1? 即 bn=2bn-1,∴bn=?2?n-1=21-n. ? ? 正解 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2+2n-2(n-1)2-2(n-1)=4n,

又 a1=S1=4,故 an=4n, 当 n≥2 时,由 bn=Tn-Tn-1=2-bn-2+bn-1, 1 得 bn=2bn-1, 又 T1=2-b1,∴b1=1, ?1? ∴bn=?2?n-1=21-n. ? ? 【试一试】 已知在正整数数列{an}中,前 n 项和 Sn 满足: 1 Sn=8(an+2)2. (1)求证:{an}为等差数列. 1 (2)若 bn=2an-30.求数列{bn}的前 n 项和的最小值. [尝试解答] 1 (1)证明:当 n=1 时,S1=a1=8(a1+2)2,

∴(a1-2)2=0,∴a1=2. 1 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=8(an+2)2-8(an-1+2)2, ∴an-an-1=4, ∴{an}为等差数列. (2)由(1)知:an=a1+(n-1)4=4n-2, 1 31 由 bn=2an-30=2n-31≤0 得 n≤ 2 . ∴{bn}的前 15 项之和最小,且最小值为-225.


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