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高中数学必修4综合题与答案


高中数学必修 4 模块测试(期末复习)

一 题号 得分 1-10

二 11-16

三 17 18 19 20 21 总分

说明:1. 本试卷共 8 页,共有 21 题,满分共 100 分,考试时间为 90 分钟. 2. 答题前请将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题 :(本大题共 10 小题 ,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选择项中,只 有一项是符合题目要求的. 请将选择题答案填入下答题栏内) 题号 答案 1.下列能与 sin 20 ? 的值相等的是( A. cos 20? C. sin 70 ? ). B. sin(?20?) D. sin 160 ? ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? (

? BC ?
A.

1 BA 2

? BC ?
B.

1 BA 2 1 BA 2
).

BC ?
C.

1 BA 2

BC ?
D.

3.半径为 10 cm,面积为 100cm2 的扇形中,弧所对的圆心角为( A.2 弧度 B. 2 ? C. 2? 弧度

D.10 弧度 ). D.

? ? ? ? | a | ? 2 , | b |? 5, a ? b ? ?3 ,则 a ? b 等于( 4.已知
A. 23 B. 35 C.

23

35

y ? cos( 2 x ?
5.为了得到函数

?
3

), x ? R

的图象,只需把函数 y ? cos 2 x 的图象(

).

? A.向左平行移动 3 个单位长度

? B.向左平行移动 6 个单位长度 21 世纪教育网

第 1 页 共 8 页

1

? C.向右平行移动 3 个单位长度

? D.向右平行移动 6 个单位长度
2 2

6.平行四边形 ABCD 中,AD=3,AB=5,则 | AC | ? | BD | 的值是( A.16 B.34 C.68 D.32

).

tan ? ?
7. 已知 A.2

1 cos ? ? sin ? ? 2 ,则 cos ? ? sin ? (
B. ?2

). C.3 D. ?3 21 世纪教育网

8.如图所示:某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数:

f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? b , x ? [6,14] ,则这段曲线的解析式为(
f ( x) ? 12 sin(
A.

)。

?
8

x?

3? ) ? 12 4

f ( x) ? 6 sin(
B.

?
8

x?

3? ) ? 12 4

1 3? f ( x) ? 6 sin( x ? ) ? 12 8 4 C. 1 3? f ( x) ? 12 sin( x ? ) ? 12 8 4 D.

? 8? x ? [0, ) f( ) 2 时, f ( x) ? 3 tanx ? 1,则 3 的 9.函数 f ( x) 是周期为π 的偶函数,且当
值是( A. ? 4 ). B. ? 2 C. 0 D. 2

10.给出下面的三个命题:

?? ? ? y ?| sin ? 2 x ? ? | 3 ? 的最小正周期是 2 ? ①函数
3? ? ? ? 3? y ? sin? x ? ? ?? , 2 2 ? ? ②函数 在区间 ?
x?


? ? ? 上单调递增

5? ? ? 5? y ? sin ? 2 x ? ? 6 ? 的图象的一条对称轴。21 世纪教育网 ? 4 是函数
) C.2 D.3
第 2 页 共 8 页 2

其中正确的命题个数( A.0 B.1

二、填空题:(共 6 小题,每题 3 分,共 18 分) 11. 比较大小:

cos50

0

sin 44 ;

0

tan

?
5

2? t an 5 ;

cos5080

cos1440 .
. .

12.非零向量 a, b满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a, b 的夹角为 13.若三点 P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则 x=

1 3 cos( ? ? ? ) ? , cos( ? ? ? ) ? , 5 5 则 tan? ? tan ? ? 14.已知:


.21 世纪教育

sin ? ? cos ? ?
15.已知

? 3 cos( ? 2? ) ? 2 3 ,则



f ( x) ? 3 sin x cos x ? sin 2 x ?
16.函数

3 ? [? ,0] 2在 2 上的值域是



三、解答题: (17、18、20 每题 8 分,19、21 题 9 分,共 42 分,解答题应书写合理的解答或 得分 评卷人

sin ? ?

推理过程.)17.已知

? 5 ? ? ( , ?) 2 5 , .

试求(Ⅰ) sin2 ? 的值; (Ⅱ)

tan(

?
3

??)
的值. 21 世纪教育网

a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a 18 .已知 评卷人 得分 ?

?

?

? ? ?1, 2 ?

.

(1)若 | c |? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标;21 世纪教育网

5 , ? ? ? ? (2) 若| b |= 2 且 a +2 b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? .

第 3 页 共 8 页

3

19. 第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,共 8 分

1 ? ( 1 ) 已 知 函 数 f(x) = sin( 2 x + 4 ), 求 函 数 在 [?2? ,2? ] 的 单 调 增 区 间 ( 2 ) 计 算 :
得分 评卷人

tan70? cos10?( 3 tan20? ? 1)

得分 cos( 评卷人 ? x ) ? , x ? (? ,? ), 4 5 2 4 20.已知

?

4

?

?

21 世纪教育网

sin 2 x ? 2 sin 2 x 1 ? tan x 求 的值

? ? 3 3 ? ? ? x x? a ? ? cos x, sin x ?, b ? ? cos ,? sin ? 2 2 ? 2 2?, ? ? 21. 已知向量 ? ?? ? ? ? ? x ? ?0, ?, f ?x ? ? a ? b ? 2 ? a ?b ? 2? 且 ,( ? 为常数)求 ? ? ? ? a ?b (1) a ? b 及 ;
(2)若 f ?x ? 的最小值是

?

3 2 ,求实数 ? 的值.

第 4 页 共 8 页

4

高中数学必修 4 模块测试(期末复习) 参考答案及评分标准 一、选择题 :(本大题共 10 小题 ,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选择项中,只 有一项是符合题目要求的. 请将选择题答案填入下答题栏内) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 C 7 C 8 B 9 D 10 C D A A C B 二、填空题:(共 6 小题,每题 3 分,共 18 分)

11.<,<,<

2? 12. 3 2 15. 3

13.3

1 14. 2

3 16.[-3,- 2 ]

三、解答题: (17、18、20 每题 8 分,19、21 题 9 分,共 42 分,解答题应书写合理的解答或 推理过程.)

sin ? ?
17.解(Ⅰ)由

? 5 ? ? ( , ?) 2 5 , ,得

cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

2 5 5 ,
? 4 5.

…………2 分

∴ sin 2? ? 2 sin ? cos ? =

…………4 分

5 sin ? 1 tan? ? ? 5 ?? cos? 2 2 5 ? 5 (Ⅱ)∵ ,

…………6 分

1 3 ? (? ) ? 2 ? 2 3 ?1 ? 5 3 ? 8 3 tan( ? ? ) ? ? 3 2? 3 3 1 ? tan tan? 1? 3 2 ∴ = .

tan

?

? tan?

…8 分

18.解:⑴设 c ? ( x, y), ? c // a, a ? (1,2),? 2x ? y ? 0,? y ? 2x

…………2 分

?| c | ? 2 5 ,? x 2 ? y 2 ? 2 5 ,? x 2 ? y 2 ? 20 x 2 ? 4 x 2 ? 20 ,
第 5 页 共 8 页 5

?x ? 2 ? x ? ?2 ? ? y ? 4 或 ? y ? ?4 ∴?
∴ c ? (2,4),或c ? (?2,?4) ⑵? (a ? 2b) ? (2a ? b),?(a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0 …………4 分

2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,? 2 | a | 2 ?3a ? b ? 2 | b | 2 ? 0

2

2

?| a | 2 ? 5, | b | 2 ? (

5 2 5 ) ? , 2 4 代入上式,
5 5 ? 0?a ? b ? ? 4 2

? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ?

…………6 分

5 a ?b ?| a |? 5 , | b |? ,? cos? ? ? 2 | a |?|b|
?? ? [0, ? ] ?? ? ?
19. 第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,共 8 分 (1)解:由题意:

?

5 2

5 5? 2

? ?1,

…………8 分

? 1 ? ? - 2 +2k?≤ 2 x+ 4 ≤ 2 +2k?,k?Z
3? ? 解得:- 2 +4k?≤x≤ 2 +4k?,k?Z 3? ? 当 k=0 时,得:- 2 ≤x≤ 2 3? ? [- 2 , 2 ] ? [?2? ,2? ] ,且仅当 k=0 是符合题意。 1 ? 3? ? 函数 f(x)=sin( 2 x+ 3 )在 [?2? ,2? ] 的单调增区间是[- 2 , 2 ] ………4 分
(2)解: tan70? cos10?( 3 tan20? ? 1)

………2 分

?

sin 70? 3 sin 20? ? cos 20? cos10? cos70? cos 20?
第 6 页 共 8 页 6

?

sin 70? ? 2 sin 10? cos 10? cos 70? cos 20?

…………2 分

?

sin 70? ? 2 sin 10? cos 10? cos 70? cos 20? sin 70? sin 20? ?? cos 70? cos 20 ?
?? cos 20 ? sin 20 ? sin 20? cos 20 ? = ? 1 x ? (?
…………5 分

?

20.解:∵

,? ), x ? ? (? ,0), 2 4 ∴ 4 4

?

?

?

cos(


?
4

? x) ?

4 ? 3 , sin( ? x) ? ? , 5 ∴ 4 5

sin x =

sin(

?
4

?x?

?

4 =

) sin(

?
4

? x) cos

?
4

? cos(

?
4

? x) sin

?
4

3 2 4 2 7 2 ? ?? , 5 2 10 = 5 2 ? cos x ?


2 10

…………4 分

sin 2 x ? 2 sin 2 x 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x ? sin x 1 ? tan x 1? cos x ∴
? 2 sin x cos x(cos x ? sin x) 28 cos x ? sin x = 75

…………8 分

(其它解法酌情给分)

a ? b ? cos
21. 解:⑴

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x 2 2 2 2

…………1 分

3 x 3 x | a ? b |? ( c o s x ? c o s ) 2 ? ( s i n x ? s i n ) 2 2 2 2 2

? 2 ? 2 cos2x ? 2 cos2 x
? x ? [0, ],? c o sx ? 0,?| a ? b |? 2 c o sx 2
第 7 页 共 8 页

?

…………5 分
7

⑵ f ( x) ? cos 2 x ? 4? cos x ? 2(cosx ? ? ) ? 1 ? 2?
2

2

? x ? [0, ],? 0 ? cos x ? 1. 2

?

①当 ? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0 时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾;

时,当且仅当cos x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ? 2?2 ,由已知得: ②当 0 ? ? ? 1
3 1 ? 1 ? 2?2 ? ? , 解得 ? ? 2 2;
1 ? 4? ? ? 2 ③当 ? ? 1时,当且仅当cos x ? 1时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知得 3

??
解得

5 8 ,这与 ? ? 1 相矛盾,

??
综上所述,

1 2 为所求.

…………9 分

第 8 页 共 8 页

8


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