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2014届高考数学(文)一轮复习课件:第2章 第5讲指数及指数函数


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第5讲

指数及指数函数

第二章 第5讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第二章 第5讲

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1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌

握幂的运算.
3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指 数函数图象通过的特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.

第二章 第5讲

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1个必会关键点画指数函数,y=ax(a>0,且a≠1)的图象, 应抓住三个关键点:(1,a),( 1 ( 0 ) , 2个重要关系 1. 分数指数幂与根式的关系:根式与分数指数幂的实质是 1 -1, ). a

相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数 指数幂进行根式的化简运算.

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2. 函数y=ax、y=a|x|的关系:函数y=ax与y=|ax|是同一个 函数的不同表现形式,函数y=a|x|与y=ax不同,前者是一个偶 函数,其图象关于y轴对称,当x≥0时两函数图象相同.

2项必须防范
1. 换元时注意换元后“新元”的范围. 2. 指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此解题 时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论.

第二章 第5讲

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课前自主导学

第二章 第5讲

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1. 根式 (1)根式的概念
根式 符号表示 如果________,那么x叫做a的n次方 根 当n为奇数时,正数的n次方根是一个 n a __数,负数的n次方根是一个____数. 当n为偶数时,正数的n次方根有____ n ± a(a>0) 个,它们互为________. 备注 n>1且n∈N* 零的n次方根是 ______ ______没有偶次方 根

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2 两个重要公式 ( ) ① n
? ? n a =? ? ?
n

, ,

n=2k-1?k∈Z?, n=2k?k∈Z?. n

②( a) =____(a必须使 a有意义).

n

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下列说法是否正确. ①-2是16的四次方根( ) ②正数的n次方根有两个( ) ③a的n次方根就是 a( ) ④ an=a( ) n n

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1 ( )

?3-π? =___ ___ __
2

; ?-5?3=___ ___ __

3

. ___ ___ __ .

2 若 a2-2a+1=a-1,则a的 值 围 ( ) 取范是 2 指幂运 . 数及算 1 分指幂意 ( 数数的义 ) ① ② =___ ___ __( =__ __ __ a>0,m、n∈N*,n> ; 1 ) =___ __( __

a>0,m、n∈N*,n> . 1 )
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(2) 有理数指数幂的运算性质 ①ar·as=________(a>0,r、s∈Q);

②(ar)s=________(a>0,r、s∈Q);
③(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q). 上述有理数指数幂的运算性质,对于无理数指数幂也适 用.

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下列根式和分数指数幂的互化是否正确 1 ①(- x)=(-x) (x≠0 ( ) 2 ② =- x(x≠0 ( ) 3 ) ) )

4 x x ③(y) = ?y?3(x,y> 0 ( ) ④ y2= 6 (y< 0 ( ) )

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1 计算: ( ) (2
n+1 2

1 3 3 3 64- 38+ 0.125=________;

1 2n+1 ) ·2) =________. ( + =3,则a+a-1=________;a2+a-2

2 已知: ( ) =________.

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3. 指数函数的图象与性质
y=ax 图象 定义域 值域 ____ ________ 过定点________ 当x>0时, 当x>0时, ________;当x<0 ________;当x<0 时,________ 时,________ 在R上是________ 在R上是________
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a>1

0<a<1

性质

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1 x 指数函数y=a (a>0,a≠1)与y=( ) (a>0,a≠1)两图象 a
x

有何关系?

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1 函数f(x)= 1-2x的定义域为________; ( ) 1 x-2 1x 2 若2 ≤(2) ,则y=(2) 的值域为________. ( )
x

3 若4x+2x-6 ,则x的范围为________. ( ) > 0

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1. xn=a 正 负 零 两 相反数 负数 a 判一判:①√ ②× ③× ④× 填一填:( 1 π ) n -3 -5 2 a≥1 ( ) 1 n am

|a| a

2.

a

m

ar

+s

ars arbr

判一判:①× ②× ③√ ④× 3 填一填:( 2 2 1 )
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2 7 ( )

47 提示:∵

=9,∴a+a-1=7,

∴a2+a-2=(a+a-1)2-2=47. 3. R (0,+∞) 1 0 ) ( , y>1 0<y<1 0<y<1 y>1

增函数 减函数 想一想:提示:两函数的图象关于y轴对称. 填一填:( 1 ( ) -∞,0] 2 [ ( ) 1 3 ( ) 2,+∞) 1 ,+∞)

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核心要点研究

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例1 化简下列各式(其中各字母均为正数). 1 ( ) 7 0 5.0 4 3 2 ×(- ) +8 × 2 +( 2 × 6 ; 3 )6-

.
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[审题视点]

熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关

键.根式与指数式间互化也是解题关键.
[解] 2 2 3 6 (1)原式=(3) ×1+(2 ) ×2 +(2 ×3 ) -(3)

=2+4×27=110.

(2)原式=



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指数式的化简求值问题,要注意与其他代数式的化简规则 相结合,遇到同底数幂相乘或相除,可依据同底数幂的运算规

则进行,一般情况下,宜化负指数为正指数,化根式为分数指
数幂.对于化简结果,形式力求统一.

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[变式探究] 化 下 各 简列式 0) 1 2 ( .7 ) 2 ( ) 1 -2 7 -(7) +(29) -( 2-1)0; 5 a b-2· -3a () 6 b-1÷ a ·-3) × ab. ) 4 ( b

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27 解:( 原式=( 1 ) ) 1000 =-45. 5 2 原式=(- a ( ) 2 b ÷ ) 2 (
-3

25 10 5 -7 +( ) -1= -49+ -1 9 3 3
2

3 a b- )· b a 2

5 5 -1 5 =-4a- b- ×a b =-4b =-4b.

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例2 22 [1 0· 可能是( )

1 四川卷]函数y=a - (a>0,且a≠1)的图象 a
x

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[审题视点] 征、灵活赋值.

指数函数y=ax有一个重要性质——图象必过点

(0,1),所以我们考虑函数图象上的定点问题,抓住解析式特

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[解析]

1 方法1:当a>1时,函数y=a - 在R上单调递 a
x 0

1 1 1 增,而当x=0时,y=a - a =1- a ,因为a>1,所以0< a 1 <1,故0 - < 1 <1,即函数图象与y轴的交点在坐标原点和 a 1 0 ) ( , 之间,显然可排除A、B两项;当0<a<1时 函 ,数
0

y=ax

1 - 在R上 调 减 而 单递,当 a

1 a-1 x=0时,y=a - = <0,即 a a

函数图象与y轴的交点在x轴下方,故可排除C项.综上选D.
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1 方法2:由函数解析式,可知当x=-1时,y=a - = a
-1

0,故函数图象必过定点(-1,0),只有D选 中 图 满 项的象 足,故选D.

[答案] D

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奇思妙想:本例B、C改为下图,A、D不变,则函数y=ax

-a(a>0,且a≠1)的图象可能是?

解:C 由f(1)=0可知选C.

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1.与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应 指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.

2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的
指数型函数图象数形结合求解.

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[变式探究] 23 [1 0·

泉模 州拟

]若函数y=ax+b的图象如 )

1 图所示,则函数y=b+ 的图象为( x+a

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答案:C
解析:由函数y=ax+b的图象,可知函数y=ax+b在R上 单调递减,故0<a<1.因为函数y=ax+b的图象与y轴的交点在负 1 半轴上,故b<-1.函数y=b+ 的图象可以看做是由函数y x+a 1 = 的图象向左平移a个单位,然后向下平移-b个单位得到 x 的,结合反比例函数的图象和a、b的范围可知选C.

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例3 23 [1 0·

1 2 宁波模拟]已知函数f(x)=( )ax -4x+3. 3

1 若a=-1,求f(x)的 调 间 ( ) 单区; 2 若f(x)有最大值3,求a的值. ( ) 3 若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值. ( )

第二章 第5讲

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1 [解] 1 当a=-1时,f(x)=( )-x2-4x+3, ( ) 3 令g(x)=-x2-4x+3, 由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上 1t 单调递减,而y=( ) 在R上单调递减, 3 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单 调递增,即函数f(x)的 调 增 间 单递区是 减区间是(-∞,-2). (-2,+∞),单调递

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1 h(x) 2 令h(x)=ax -4x+3,f(x)=( ) , ( ) 3
2

由于f(x)有最大值3, 以 h(x)应有最小值-1, 此 所 因必 ?a>0 ? 有?3a-4 ,解得a=1, ? a =-1 ? 即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.

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1 h(x) 3 由指数函数的性质知,要使y=( 3 ) 的 域 ( ) 值为 ∞).应使h(x)=ax2-4x+3的值域为R, 因此只能a=0 因为若a≠0,则h(x)为 次 数 其 (. 二函,值 域不可能为R).故a的值为0 .

(0,+

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奇妙: 思想 和值域.

本已变 例知为

1 |x+1| f(x)=(3) ,写出其单调区间

解:如右图 单调增区间为(-∞,-1), 单调减区间为(-1,+∞),其值域为(0,1].

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求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函 数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数 的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同

增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关
的问题加以解决.

第二章 第5讲

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[变式探究]

[2013· 天 津 模 拟 ] 如 果 函 数 y = a2x + 2ax -

1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,试求a的值. 解:设t=ax,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.其对称轴为直线t

=-1,
当a>1时,t∈[a-1,a],ymax=a2+2a-1=14,解得a=3或 a=-5(舍); 当0<a<1时,t∈[a,a-1], ymax=(a-1)2+2a-1-1=14,

第二章 第5讲

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1 1 解得a=3或a=-5(舍). 1 故所求a的值为3或3.

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课课精彩无限

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【选题· 热考秀】 22 [1 0· 山东高考]若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1 2 ] , 上

的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m) +∞)上是增函数,则a=________.

x 在[0,

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[规范解答] 当0<a<1时,f(x)=ax在[-1,2]上 最 值 的大 1 1 2 为a =4,即a= 4 ,最小值为a =m,从而m= 16 ,这时g(x)
-1

1 3 =(1-4× 16 ) x ,即g(x)= 4 x 在[0,+∞)上 增 数 当 是函. a>1时,f(x)=ax在[-1,2]上的最大值a2=4得a=2,最小值a
-1

1 =m,即m= 2 ,这时g(x)=(1-4m) x =- x 在[0,+∞)

1 上为减函数,不合题意,舍去,所以a=4. 1 [答案] 4
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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:易错分析

指数函数的单调性与底数a有关,当底数a与1的大小关系
不确定时,要注意分类讨论.然后对讨论结果进行整合,有些 同学往往忽视这一点而导致错解.

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No.2

角度关键词:备考建议

利用指数函数的图象、性质解决有关问题时,还有以下几 个误区,在备考中要高度关注:

(1)忽视函数的定义域而失误;
(2)未能将讨论的结果进行整合而失误; (3)利用幂的运算性质化简指数式时失误; (4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误.

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经典演练提能

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1.已知函数f(x)=4+ax-1 的图象恒过定点P,则点P的坐标 是( )

A.(1,5)
C.(0,4) 答案:A

B.(1,4)
D.(4,0)

解析:f(x)恒当定点(1,5),选A项.

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2.[1 23 0·

黑龙江质检]函数y= 1 B.(3,1)

的值域为(

)

A.(-∞,1) 1 C.[3,1)

1 D.[3,+∞)

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答案:C
1 解析:∵ 2 ∈(0,1],∴ x +1 1 即y∈[3,1). 1 ∈[ ,1), 3

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3.设y1=4 ,y2=8 A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3

9.0

8.0 4

1 -.1 ,y3=( ) 5 ,则 2 B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

(

)

答案:D 解析:y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5,

∴y1>y3>y2,故选D.

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4.[1 23 0·

咸阳模考]定 运 义算 )

a*b=

?b?a≤b? ? ? ?a?a>b? ?

,则函数

f(x)=e-x*ex的图象是(

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答案:D
?ex?x≥0? ? 解析:由题意知,函数f(x)=? -x ?e ?x<0? ?

,根据各个选项

中图象的特征易知选D.

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5.[2012·上海高考]方程4x-2x+1-3=0的解是________.

答案:x=log23
解析:∵(2x)2-2·2x-3=(2x-3)(2x+1)=0,∴2x=3,x= log23.

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限时规范特训

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