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函数的图象及其变换


第二章

函数、导数及其应用

第九节 函数的图象及其变换

考 纲 要 求
1.掌握图象变换的规律,如平移变换、对称变换、翻折变

换、伸缩变换等.
2.会利用函数的图象来研究函数的性质.

课 前 自 修
知识梳理
函数图象的作图方法

有两种:描点法和利用基本函数图象

变换作图.
一、描点法作图 用描点法作函数图象的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化 单调性、奇偶性、 简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即____________________ 周期性、最值 ___________ (甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.

二、图象变换法作图 1.要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、 指数函数、 对数函数、三角函数等基本初等函数的图象及性质. 2.识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等. 3.四种图象变换:平移变换、对称变换、翻折变换和 _________________________________ 伸缩变换 _________. (1)平移变换. ①水平平移:函数 y=f(x+h)的图象可以把函数 y=f(x)的图 象沿 x 轴方向向左 (h>0) 或向右 (h<0) 平移 |h| 个单位长度得到,即 h>0,左移 ― ― → y=f(x+h); y=f(x) h<0 ,右移 ②竖直平移:函数 y= f(x)+ k的图象可以把函数 y=f(x)的图 象沿 y 轴方向向上 (k>0) 或向下 (k<0) 平移 |k| 个单位长度得到,即 ,上移 y=f(x) k>0 ― ― → y=f(x)+k.
k<0,下移

(2)对称变换.
①函数y=-f(x)的图象可以将函数y=f(x)的图象关于x轴对 称得到; ②函数y=f(-x)的图象可以将函数y=f(x)的图象关于y轴对 称得到;

③函数y=-f(-x)的图象可以将函数y=f(x)的图象关于原
点对称得到;

④函数y=f-1(x)的图象可以将函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称得到; ⑤函数y=f(2a-x)的图象可以将函数y=f(x)的图象关于直 线x=a对称得到.即 y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x)
关于x轴
关于原点

y=-f(x),y=f(x) y=-f(-x), y=f-1(x), y=f(2a-x).

关于y轴

y=f(-x),

关于直线y=x

关于直线x=a

(3)翻折变换. ①函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象(如图①)的

x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保
留y=f(x)的x轴上方部分即可得到(如图②); ②函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象(如图①)右 边沿y轴翻折到y轴左边,替代原y轴左边部分并保留y=f(x)在y 轴右边部分即可得到(如图③).即

保留x轴上方图象 ??????????? ? y=|f(x)|. y= f ( x) 将x轴下方图象翻折上去
保留y轴右边图象,并作关于y轴对称图象 y=f(|x|). y=f(x) ?????????????????? ? 去掉y轴左边图象

(4)伸缩变换. ①函数y=f(ax)(a>0)的图象可以将函数y=f(x)的图象中的每
1 一点纵坐标不变,横坐标缩短(a>1)或伸长(0<a<1)为原来的 倍 a

得到;

②函数y=af(x)(a>0)的图象可以将函数y=f(x)的图象中的每
一点横坐标不变,纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)为原来的a倍得 到.即
1 a ?1,横向缩短为原来的 倍 a y=f(x) ?????????????? ? y=f(ax), 1 0?a?1,横向伸长为原来的 倍 a a ?1,纵向伸长为原来的a倍 y=f(x) ?????????????? y=af(x). 0?a?1,纵向缩短为原来的a倍

基础自测
x ? ? ? 1.(2012· 佛山市二模)函数 y= ,x∈? π)的图象可能是下 ?-π,0?∪(0, sin x 列图象中的 ( )

x 解析:y= 是偶函数,故排除A.令f(x)=x-sin x,则f′(x) sin x =1-cos x,x∈(0,π),易知f′(x)≥0在x∈(0,π)恒成立, x ∴fmin(x)>f(0)=0.∴x>sin x,x∈(0,π).∴y= >1.故选 sin x

C.

答案:C

2.(2012· 大连市模拟)已知函数f(x)=(x -a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象 如右图所示,则函数g(x)=ax+b的

图象是

( A )

3.(2012· 中山市桂山中学月考)设函数y=f(x)是最小正周期为2的

偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如下图所示的线段,则在
区间[1,2]上,f(x)=________. 解析:依题意,函数在区间[1,2]上

的图象与线段AB关于直线x=1对
称,∴点A(0,2)关于直线x=1的对 称点A′(2,2)在所求函数的图象上, 易求得f(x)=x. 答案:x

4.(2012· 华南师大附中检测)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=

f(x),且x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,则函数y=f(x)的图象与函
数y=log3|x|的图象的交点的个数是______. 4

考 点 探 究
考点一
根据函数值变化趋势判断函数的图象 (2012· 江西卷)如右图,已

【例1】

知正四棱锥S -ABCD所有棱长都为1,点

E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC
的截面将正四棱锥分成上、下两部分, 记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积 为V(x),则函数y=V(x)的图象大致为

(

)

单调递减,且递减的速度越来越快;当

1 解析:当0<x< 时,随着x的增大,观察图形可知,V(x) 2 1 2

≤x<1时,随着x的增

大,观察图形可知,V(x)单调递减,且递减的速度越来越慢; 再观察各选项中的图象,发现只有A图象符合.故选A. 答案:A

点评:对于函数图象的识别问题,若函数y=f(x)的图象对 应的解析式很难求时,作为选择题,由于解题时间的限制,没 必要去求解具体的解析式,那样不但过程繁琐,而且计算复 杂.因此,根据函数值变化趋势,使用定性法来判断图象的形 状,不但求解快速,而且准确、节约时间.解题的关键在于准 确把握变化趋势,必要时可用特殊值(点)检验.

变式探究
1.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定 为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所 示),那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是 ( ) A.在t1时刻,甲车在乙车前面 B.t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在t0时刻,两车的位置相同 D.t0时刻后,乙车在甲车前面 解析: 由图象可知,曲线v甲比v乙 在0~t0,0~t1与x轴所围成图形面 积大,则在t0,t1时刻,甲车均在 乙车前面.故选A. 答案:A

考点二

利用对称、翻折变换作函数图象
(1)作函数y=| x-x2|的图象;

【例2】

(2)作函数y=x2-|x|的图象.

思路点拨:根据函数解析式的特点,可按翻折变换法作
图.

2 ? ?x-x ,0≤x≤1, 解析:(1)y=? 2 ? ?x -x,x>1或x<0,

图象如图①所示.

(2)y=x2-|x|= 1 ?2 1 ?? x- ? - ,x≥0, ?? 2? 4 ? ?? ?2 1 1 ??x+ ? - ,x<0. ? ? 2? 4 作出 y=x
2

? 1?2 1 -x=?x-2? - 的图象,保留的图象为 4 ? ?

y=x2-x=

? 1? 1 ?x- ?2- 的图象中 2? 4 ?

x≥0 的部分, 加上的图象为 x>0 部分关于 y 轴

对称部分,即得 y=x2-|x|的图象,如图②所示.

点评: (1)对于含绝对值符号的函数,可利用“零点分区间” 法去掉绝对值号,变为一个分段函数,再画图.

(2)第(1)题属于作 y=|f(x)|的图象,由上面的作图得如下画法:
画出y=f(x)的图象;保留f(x)≥0 的部分,将 f(x)<0的部分以 x 轴 为对称轴翻折上去,即得 y=|f(x)|的图象.

变式探究
2.已知定义在[-2,2]上的函数f(x)图象

如右图所示,给出四个函数:①y=
f(-x);②y=-f(x);③y=|f(x)|; ④y=f(|x|),再给出下面四个图象, 则配对正确的是 ( )

A.①→d,②→c,③→b,④→a B.①→a,②→c,③→d,④→b C.①→c,②→d,③→a,④→b D.①→b,②→d,③→c,④→a 解析:①函数y=f(-x)与y=f(x),x∈[-2,2]的图象关于y轴对 称,即题中图c; ②函数y=-f(x)与y=f(x),x∈[-2,2]的图象关于x轴对称,即 题中图d; ③将函数y=f(x),x∈[-2,2]的图象在x轴下方的部分翻折到x 轴上方,x轴上方的部分不变,得到y=|f(x)|的图象,即题中图 a; ④考虑到函数y=f(|x|)为[-2,2]上的偶函数,所以函数y=f(x), x∈[-2,2]在y轴右侧的部分不变,左侧部分换为右侧关于y轴 对称的图象即可得到y=f(|x|)的图象,即题中图b. 答案:C

考点三

根据函数的奇偶性作函数的图象
(2012· 唐山市模拟)奇函数f(x)、偶函数g(x)的图

【例3】

象分别如图1,图2所示,方程f(g(x))=0,g(f(x))=0的实根个数
分别为a,b,则a+b= ( )

A.3

B.7

C.10

D.14

解析:由f(g(x))=0,得g(x)=-1或g(x)=0或g(x)=1,由
图2知g(x)=-1有2个根,g(x)=0有3个根,g(x)=1有2个根, 所以a=7;由g(f(x))=0得f(x)=-1.5或f(x)=0或f(x)=1.5,由 图1知f(x)=-1.5有0个根,f(x)=0有3个根,f(x)=1.5有0个根, 所以b=3,所以a+b=10.故选C. 答案:C

变式探究
3.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围 是____________.
解析:曲线 y=x2-|x|+a 关于 y 轴对称,当 ? 1?2 1 2 ? ? x≥0 时,y=x -|x|+a= x-2 +a- ,结 4 ? ? 合图象要使直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a

? ?a>1, 5 有四个交点,需? 解得 1<a< . 1 4 a- <1, ? ? 4
故a
? 5? ? 的取值范围是 1,4?. ? ?

? 5? ? 答案: 1,4? ? ?

考点四

利用函数的奇偶性判断函数的图象
下图为函数y=f(x)与y=g(x)的图象,则函数y= ( )

【例4】

f(x)· g(x)的图象可能是

解析:(法一)∵函数y=f(x)· g(x)的定义域是函数y=f(x)与y

=g(x)的定义域的交集(-∞,0)∪(0,+∞),图象不经过坐标原
点,故可以排除C,D.由于当x为很小的正数时f(x)>0且g(x)<0, 故f(x)· g(x)<0.故选A. (法二)由函数f(x),g(x)的图象可知,f(x),g(x)分别是偶函 数,奇函数,则f(x)g(x)是奇函数,可排除B,又因为函数y=

f(x)· g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集
(-∞,0)∪(0,+∞),图象不经过坐标原点,故可以排除C,D. 故选A. 答案:A

变式探究
4.(2012· 深圳高级中学期末)已知f(x) 是定义在(-3,3)上的偶函数,当

0<x<3时,f(x)的图象如图所示,
那么不等式f(x)sin x<0的解集是 ( A.(-3,-1)∪(0,1) B.(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3)
?π ? ? C.(-3,-1)∪ 2,3? ? ? ? ? π? ?π D.?-3,- 2?∪?2,3? ? ? ? ?

)

解析:∵f(x)是(-3,3)上的偶函数,由图可知,当x∈(-3,-1)
时,f(x)>0,而sin x<0,∴f(x)sin x<0.当x∈(-1,0)时,f(x)<0, 而sin x<0,∴f(x)sin x>0.当x∈(0,1)时,f(x)<0,而sin x>0, ∴f(x)sin x<0.当x∈(1,3)时,f(x)>0,而sin x>0,∴f(x)sin x>0.综 上可知,不等式的解集为(-3,-1)∪(0,1).故选A. 答案:A

考点五

利用函数图象的平移变换作图

【例5】 说明由函数y=2x的图象经过怎样的图象变换得 到函数y=2-x-3+1的图象. 解析:(法一) (1)将函数y=2x的图象向右平移3个单位长度,得到函数y= 2x-3的图象; (2)作出函数y=2x-3的图象关于y轴对称的图象,得到函数y =2-x-3的图象; (3)把函数y=2-x-3的图象向上平移1个单位长度,得到函 数y=2-x-3+1的图象.

(法二) (1)作出函数y=2x的图象关于y轴的对称图象,得到y= 2-x的图象; (2)把函数y=2-x的图象向左平移3个单位长度,得到y =2-x-3的图象; (3)把函数y=2-x-3的图象向上平移1个单位长度,得 到函数y=2-x-3+1的图象.

变式探究
5.(1)为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图 象上所有的点 ( )

A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

2 (2)将 y=-x的图象向左平移 1 个单位长度,再向上平移 3 个单位 长度,所得到的函数解析式是 ( ) 3x - 1 3x- 1 3x+ 1 3x+ 1 A.y= B.y= C.y= D.y= x- 1 x+ 1 x- 1 x+ 1 - 解析:(1)由 y=2x 得到 y=2x 3-1,只需将 y=2x 的图象向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度即可.故选 A. 3(x+1) 2 2 (2)依题意得到的函数解析式为 y=- +3=- + = x+ 1 x+ 1 x+ 1 3x+1 .故选 D. x+ 1

课时升华
函数的图象是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆

函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、 化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法, 掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性 质.

1.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函
数图象的.题型多以选择与填空为主,属于必考内容之一,但近

年来在大题中也有出现,须引起重视.

2.运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲 目地连点成线.要把表列在关键处,要把线连在恰当处.这就

要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个
大概的研究,而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等 理论和手段,是一个难点.用图象变换法作函数图象要确定以 哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换,这 也是个难点.

3.函数的对称性.
(1) 满 足 条 件 f(x + a) = f(b - x) 的 函 数 的 图 象 关 于 直 线
a?b x= 对称; 2

(2)点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y),函数y=f(x)关于y

轴的对称曲线方程为y=f(-x);
(3)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),函数y=f(x)关于x 轴的对称曲线方程为y=-f(x); (4)点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),函数y=f(x)关 于原点的对称曲线方程为y=-f(-x);

(5)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),曲线f(x,y)=
0关于直线y=x的对称曲线的方程为f(y,x)=0,点(x,y)关于直 线y=-x的对称点为(-y,-x),曲线f(x,y)=0关于直线y=- x的对称曲线的方程为f(-y,-x)=0;

(6) 曲线 f(x, y) = 0 关于点 (a , b) 的对称曲线的方程为 f(2a -

x,2b-y)=0;

ax ? b (7)形如y= (c≠0,ad≠bc)的图象是双曲线,其两渐近线 cx ? d a d 分别是直线x=- (由分母为零确定)和直线y= (由分子、分 c c ? d a? 母中x的系数确定),对称中心是点 ? ? , . ? ? c c?

从以上结论可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利

用代入法转化为求点的对称问题.证明函数图象的对称性,即证 明图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上.证 明图象C1与C2的对称性,需证两方面:①证明C1上任意点关于对 称中心(对称轴)的对称点仍在C2上;②证明C2上任意点关于对称 中心(对称轴)的对称点仍在C1上.

感 悟 高 考
品味高考
1.(2012· 四川卷)函数y=ax-
1 (a>0,a≠1)的图象可能是( a

)

解析:当a>1时,函数单调递增,且在y轴上的截距为1- 1 ∈(0,1),所以A,B不正确.
a

1 当0<a<1时,函数单调递减,且在y轴上的截距为- <0, a

故C不正确,D正确. 答案:D

cos 6x 2.(2012· 山东卷)函数 y= x -x的图象大致为 2 -2

(

)

解析:函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A.令 y=0 得 π π k cos 6x=0,所以,6x= +kπ,x= + π,函数零点有无穷多个, 2 12 6 ?π ? - 排除 C, 且 y 轴右侧第一个零点为?12,0?, 又函数 y=2x-2 x 为增 ? ? π cos 6x - 函数, 当 0<x< 时, y=2x-2 x>0, cos 6x>0, 所以函数 y= x - 12 2 -2 x >0,排除 B.故选 D. 答案:D

高考预测
1. (2012· 安徽江南十校联考)已知关于x的方程|x2-6x|=a(a>0)的 解集为P,则P中所有元素的和可能是 ( ) A.3,6,9 B.6,9,12 C.9,12,15 D.6,12,15 解析: y=|x2-6x|的图象是把y=x2 -6x的图象在x轴下方的部分翻到上 方,上方的部分保持不变,如右图 所示.由图可知,画任意一条横线, 方程的根所对应的点总是关于x=3 直线对称,将该直线从下往上移动 可知,P中所有元素的和可能是 6,9,12.故选B. 答案:B

2.(2012· 大连市模拟)函数f(x)=ln| x-1|的图象大致是

( B )


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