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第一次习题课答案


第一次习题课
#第 1 讲作业 绪论 1 微波的频率和波长范围分别是多少? 答: 频率范围从 300MHz 到 3000GHz, 波长从 O.1mm 到 1m。 2 微波与其它电磁波相比,有什么特点? 答:主要特点是:微波波长可同普通电路或元件的尺寸 相比拟,即为分米、厘米、毫米量级,其他波段都不具备这 个特点。普通无线电波的波长大于或远大于电路或元件的尺 寸,电路或元件内部的波的传播过程(相移过程)可忽略不 计,故可用路的方法进行研究。光波、 X 射线、 ? 射线的波 长远小于电路或元件的尺寸,甚至可与分子或原子的尺寸相 比拟,难以用电磁的或普通电子学的方法去研究它们。 (有同学仅仅写微波的特点,有同学是把课本上微波特点 写下来) 正是上述特点,使人们对微波产生极大兴趣,并将它从 普通无线电波波段划分出来进行单独研究。 3 微波技术、天线、电波传播三者研究的对象分别是什么 ? 它们有何区别和联系? 答:微波技术:主要研究引导电磁波在微波传输系统中 如何进行有效传输,它希望电磁波按一定要求沿传输系统无

辐射地传输。 天线:是将微波导行波变成向空间定向辐射的电磁波, 或将空间的电磁波变为微波设备中的导行波。 电波传播:研究电波在空间的传播方式和特点。 微波技术、天线与电波传播是微波领域研究的三个重要 组成部分,它们共同的基础是电磁场理论,但三者研究的对 象和目的有所不同。(有同学没有写区别和联系) #第 2 讲作业 1.导出如图 9.1(C)所示的平行导体板传输线的等效电路参 量。假设平行导体板间填充媒质的电参数为 ?,? ,其中

? ? ? ' ? j? '' ,且 W ?? b 。
解:令传输线上仅传播沿 z 向的行波,则传输线上的行波电
? j?z 压为 U ? U0e? j?z ,行波电流为 I ? I 0e 。

I

W
b
U0

?I

从能量或者功率的角度来求,方程中有未知量为 E,H, 所以求得这两个未知量就可以。 由于 W ?? b 的条件,可以忽略不均匀性,视两板间为均匀电

场,有

E?
其中, U ? U0e? j?z

U b

由于传输线理论和电路理论中传输线单位长度的电场储能 相等,可得: S 为电场和磁场所处的横截面积,这里的 S 是标量

C? ? ?

?'
U 02
2 0

?

S

Et ? Et*dS
2

? ? ? ? Wb U ? b ?

? ' ? U0 ?

? 'W
b

注意是 ? ' 而不是 ? ed ,因为点容与损耗无关。 由于传输线理论和电路理论中传输线周围填充的有耗电介 质引起的单位长度的损耗功率相等,可得:

G? ?

?? ''
U 02
2 0

?

S

Et ? Et*dS
2

? ? ? Wb U ? b ? ?W ? b
也可以用下面的方法来求电容 C 作包围单位长度导体板的高斯面,由高斯定理
Q ? ? D ? dS ? ?
S

?? '' ? U 0 ?

U ?UW ? W ?1 ? ? CU b b

注意 S 的值,是 W*1,S 面应该与电场垂直,这里的 S 是矢 量。有同学把这个 S 写成 W ? b 得到

c?

?W
b
? F / m?

注:这实际上就是平板电容的公式。 求单位长度电感,同样认为板间磁场强度均匀分布,并忽略 导体板的厚度(忽略内自感);设由上边导体板上电流产生 的磁场为 H1 ,作包围上导体板的曲线 l1 ,由安培环路定理,

? H ? dl
l1 1

1

? I , H1 ? 2W ? I

? j?z 其中, I ? I 0e

得到

H1 ?

I 2W

注意这里得出的 H1 只是上边导体板上电流产生的,在图中方 向朝左;下边导体板产生的磁场方向也向左;得到导体板上 电流在板间产生的总磁场:
H? I W

由于传输线理论和电路理论中输线单位长度的电场储能相 等,可得:

L? ?

?
I 02
2 0

?

S

H t ? H t*dS
2

? ? ? Wb I ?W ? ?b ? W
由于传输线理论和电路理论中有限电导率引起的单位长度 的损耗功率相等,可得:

? ? I0 ?

RS RS ? I 0 * R ? 2 ? H? ? H? dl ? 2 ? ? I0 l I0 l ? ?W RS ? 2 I0 2 RS ? I0 ? ? 2 W ? ? ? W ?W ?
?I
W ? b ? IL
L?
2

? ? ? dl ?

2

或者:单位长度导体板间的磁通量:

? ? B ? (b ?1) ?
得到

?b
W

? H / m?

2.一同轴线的内外导体半径分别为 a 和 b , 内外导体间填充媒 质的介电常数为 ? ed ?? ed ? ? '? j? ''? ,磁导率为 ? ,且内外导体的 表面电阻为 Rs 。已知内外导体间的复电压为 U 0 ,其中外导体 接地,求同轴线的等效电路参量。

b
a

解答: 因为内外导体存在表面电阻 Rs ,介质存在损耗 ? '' ,均会产生 能量损耗,它们二者分别对应了等效电路中的串联电阻和并 联电导。(结构内部有电场才会有损耗,如果电场根本进不

去,也就不会产生损耗。同时,如果只有电场而电导率为零, 也没有电流流过,也无损耗) 1)由电场强度求电容; 对同轴线结构,由电位方程
?2? ? 0

电位只是 r 的函数,在圆柱坐标系下,上式变为
1 ? ? ?? ? ?r ? ? 0, r ?r ? ?r ?

边界条件为 ?r?a ? U0 ,?r?b ? 0 可得
ln(r / b) ln(b / a)

? ? U0

同轴线内外导体间的电场强度为
E ? ??? ? ? d? U0 ar ? ar dr r ln ? a / b ?

可以由面电荷公式求单位长度内外导体带电量,也可以像上 一题用高斯定理求,结果是一样的。 内导体表面的面电荷密度 ? s |r ?a ? Dr |r ?a ? ? ' 单位长度面电荷 Q ? 2? a ? s ? 单位长度电容 C ?
2?? 'U 0 ln ? a / b ? U0 a ln ? a / b ?

2?? ' ? F / m? , ln ? a / b ?

C? ?

?'
U 02

?

S

Et ? Et*dS ? U0 ? ?a ? ? r ln(b / a) ? ? rdrd? ? ?
b 2

?'
U 02

?

2?

0

2?? ' ? ln(b / a)
2)求单位长度电感(这里忽略内电感,只计算外电感) 由安培环路定理可得内外导体间的磁感应强度为

B?
单位长度电感:

?0 I 2? r

L?

?
I

?

?0 I dr ? 2? r a
b

I

?0 ? ln ? b / a ? ? H / m? 2?

或者:

L? ?

?
I 02

?

S

H t ? H t*dS
2? b 2

? I0 ? ? ? rdrd? 2 ? ? 0 a I0 ? 2?r ? ? b ? ln( ) 2? a

?

3)求串联电阻 表面电阻代表高频电流通过导体时电导率有限产生的热损 耗,对应串联电阻。根据表面电阻的定义,不难得到单位长 度同轴线串联

? I0 ? ?l1 ?l2 ? ? 2?r ? ? dl ? ? 2 2 ? ? I0 ? RS ? ? I 0 ? ? ? ? 2 ?? ? dl1 ? ? ? dl2 ? ? ? ? ? l l 1 2 I 0 ? ? 2?a ? ? ? 2?b ? ? ? RS RS * R ? 2 H ? H dl ? ? ? I 0 ?l I 02 RS ? I 0 ? RS ? ? 2? ? 2 ? a ? 2 ? I0 ? 2 ? a I ? ? 0 R ?1 1? ? S? ? ? 2? ? a b ?
4)求并联电导 由 1 中求得的内外导体间电场强度可得泄漏电流密度大小为
2

2

? I0 ? ? ? 2?b ? ? ? 2?b ? ?

2

J

J ? ? 'E ? ? '

U0 , r ln ? a / b ?

其中 ? ' 是内外导体间介质的电导率,因为介质不理想绝缘。 且有 ? '' ?
?' ?
2?? 'U 0 ln ? a / b ?

单位长度泄漏电流大小为 I ? J ? 2? r ? 1 ? 得到单位长度并联电导:
G?

I 2?? ' 2??? '' ? ? U 0 ln ? a / b ? ln ? a / b ?

或者:

G? ? ?

?? ''
U
2 0 ''

?

S

Et ? Et*dS ? U0 ? ?a ? ? r ln(b / a ) ? ? rdrd? ? ?
b 2

??

U 02

?

2?

0

2?? ln(b / a)

总结:方法不止一种,重要的是对这些概念的理解。如理解 为何要考虑导体和介质损耗(内外导体电导率有限、介质不 理想绝缘)、什么是表面电阻、什么是泄漏电流,以及它与 内外导体中传播的电流的区别等等。

#第 3 讲作业 3-5 求图所示各均匀无耗传输线输入端的反射系数及输入阻 抗。
3 / 4?
?/4

Z c ? 200?

A

?1?
Z
c

3/

5

Zl ? Zc

? 2?

?

(a ) 解:(a)从 A 端口向 ?1? 看过去
Zin1 ? jZc tan ?

?
4

? j 200tan

?
2

??

(或根据 ? / 4 变换特性直接得出)
A 端口向 ? 2 ? 看过去,因为阻抗匹配,所以:

Zin2 ? Zl ? Zc

得到 A 端口输入阻抗
ZinA ? Zin1 ? Zin2 ? Zc ? 200?
A 端口阻抗匹配,因此

Zin ? Zc ? 200? , ?in ? 0

1 / 4?
Z c ? 150?

?/2
A
Zc

?1?

/2

Zl ? 300?

? 2?

Zc

(b ) 根据 ? / 2 重复性, A 端口向 ?1? 、 ? 2 ? 看过去的输入阻抗分 别为
Zin1 ? ? , Zin2 ? 300?

?
得到 A 端口输入阻抗

ZinA ? Zin1 ? Zin2 ? 300?

所以
Zin ? Zc 2 / ZinA ? 1502 / 300 ? 75? ,

?in ?

Z in ? Z c 1 ?? Z in ? Z c 3

注意:要求的是输入端的反射系数和输入阻抗
补充题 A:半无限长开路线上的电磁波处于何种工作状态?

解答:半无限长,电磁波走不到,没有发生反射,行波状态。

或者,通过计算反射系数的值来说明, ??z ? ? ??0?e
z ? ? 时, ??z ? ? 0 ,电磁波处于行波状态。

? j 2 ?z

,当

补 充 题 B :

已 知 传 输 线 沿 线 电 压 分 布 表 达 式 为

U ( z) ? Ul cos ? z ? jIl Zc sin ? z ,试从数学角度阐明传输线各点处的电

压在匹配情况下模值为常数,在非匹配下呈周期变化的缘由。

解答:
U l ? I l Zl

| U ( z ) |? U l 2 cos2 ? z ? ( Il Zc )2 sin 2 ? z

在匹配条件下, Zl ? Zc
| U ( z ) |? U l 2 cos2 ? z ? (U l )2 sin 2 ? z ? U l 2 ?| U l |

非匹配条件下, Zl ? Zc
| U ( z ) |? Ul 2 cos2 ? z ? ( I l Zc )2 (1 ? cos 2 ? z) ? ( Il Zc )2 ? (Ul 2 ? Il 2 Zc 2 )cos2 ? z
? ( I l Z c ) 2 ? (U l 2 ? I l 2 Z c 2 ) 1 ? cos 2 ? z 2

U l 2 ? Il 2Zc 2 cos 2? z ? ? (U l 2 ? I l 2 Z c 2 ) 2 2

可以看出,沿线电压的模值以 ? / ? 为周期变化。 有同学化成 U
? Asin??z ? ? ? 的形式,明显不对。

因为这个公式的周期是 2 ? / ? , 而且模值一定是大于等于 0 的,sin 函数有正有负。 还有同学把电压写成 U ? U 认为模值就是 U
? U ? (1 ? ?)
?

( z)(1 ? ?) ? U ? (1 ? ?)e j?z 的形式,

,可是不匹配的时候 ? 是复数,前

面所说根本不是模值。 #第 4 讲作业 3-7:在一无耗传输线上传输频率为 3GHz 的导波,已知其 特性阻抗 Zc ? 100? ,终端接 Zl ? (75? j100)? 的负载。试求:①传 输线上的驻波系数;②离终端 10cm 处的反射系数。 解:①传输线上的驻波系数:

??
其中终端反射系数

1 ? ?l 1 ? ?l

?l ? ?

Z l ? Z c 75 ? j100? 100 ? 1 ? 4 j ? ? Z l ? Z c 75 ? j100? 100 7 ? 4 j

9 32 ?j ? 0.138? j 0.492 ? 0.51?74.3? 65 65

有同学直接用 ?l 的模值和幅值公式,也是可以的。 所以

??
②:导波的波长:

1 ? ?l 1 ? ?l

?

1 ? 0.51 ? 3.08 1 ? 0.51

c 3 ?108 ?? ? ? 0.1m ? 10cm 9 f 3 ?10
离终端 10cm 相当于离终端 1 个波长,所以反射系数不 变,为:

?l ?

9 32 ?j ? 0.138 ? j 0.492 ? 0.51?74.3? 65 65

3-8:一未知负载 Zl 接在 Zc ? 50? 的无耗传输线终端,现测得 线上电压极大值为 100mV,极小值为 20mV,离负载第一个电 压波节的位置为 zmin1 ? ? / 3 。试求负载阻抗 Zl 。 解:传输线终端的驻波系数:

??

U max 100 ? ?5 U min 20

驻波系数满足 1 ? ? ? ? ,传输线工作在行驻波状态。 终端反射系数的模值:

?l ?

? ?1 2 ? ? ?1 3

因为离负载第一个电压波节的位置为: zmin1 ? ? / 3 ? ? / 4 所以第一个电压波腹点的位置为: zmax1 ? ? / 3 ? ? / 4 ? ? / 12 行驻波状态下:

zmax1 ?
所以

? ?l 4?
?

?l ? z max1 ?
即:

4?

?

? 4? ? ? ? 12 ? 3
2 j3 ? e 3
?

?l ? ?l e

j?l

负载阻抗 Zl 为:

2 j3 1? e 1? ? Zl ? Zc ? 50 3 ? 1? ? 2 j3 1? e 3 250? j 300 3 ? ? 35.7 ? j 74.2 ? 82.4?64.3? 7
3-26:有一无耗传输线系统,波源产生波长为 1m 的电磁波, 波 源 的 电 动 势 E g ? 100 e j 90 V , 内 阻 抗 Z g ? 50? , 传 输 线 长 l ? 50 cm ,终端负载阻抗 Zl ? ?50 ? j 20?? ,先的单位长度电感和 电容分别为 L ? 165nH / m, C ? 87.3PF / m 。求:①传输线上波导的 相速、传输线的特性阻抗和波源的工作频率;②传输线上距 始端 25cm 处以及终端的电压、电流复数和瞬时表达式;③ 传输线时段和终端的复功率。 解:波导的相速度:
?

?

? p?

1 1 ? ? 2.63?108 m / s LC 165?10?9 ? 87.310?12
p

有同学写成?

? c ,可是算出来并不等。

无耗传输线的特性阻抗:

L 165 ?10 ?9 Zc ? ? ? 43.47? ?12 C 87.310
波源的工作频率:

2.63?108 f ? ? ? 2.63?108 Hz ? 1 vp

有同学写成 f ?

c

?

是不对的。传输线上波的频率不会变,波

源的工作频率应该等于传输线上的工作频率。 ②: 在传输线始端, 距离传输线终端的距离为 50cm,即是 ? / 2 。 根据 ? / 2 阻抗重复性,所以始端处,传输线的输入阻抗为:
Zing ? Zl ? ?50 ? 20 j ??

在传输线的始端的等效电路如上图,有: 令 U 为传输线始端的电压,I 为传输线始端的电流, Zing 为传
U ?、U ? 分别为始端电压的入射波电压和反 输线的输入阻抗,

射波电压。

U?

Z ing Z ing ? Z g

Eg ? ?

125 675 ?j 13 13
j100.49 ?

? ?9.62 ? 51.92 ? 52.83e
?

(1)

125 675 ?j U 13 ? 5 ? j 25 I? ? 13 ?50 ? 20 j ? 26 26 Z ing ? 0.19 ? j 0.96 ? 0.98e
j 78.69 ?

方法一:以从负载端到源端为 z 的正方向,有公式:

U z ' ? U l cos ?z ' ? jI l Z c sin ?z '
' ' l l

? ? U I ?z ? ? I cos ?z ? j Z
2?

sin ?z '

c

其中, ? ?

? 2? ? ' 可以看出当 z ? ? / 2 时,即在源端时,

U ? U z' I ? I z'
即:

? ?

z ' ?? / 2

? U l cos? ? jI l Z c sin ? ? ?U l Ul sin ? ? ? I l Zc

? ?

z ' ?? / 2

? I l cos? ? j

U l ? ?U ?

? 125 675 ?j ? 52.83e ? j 79.51 13 13 ? 5 25 Il ? ?I ? ? ?j ? 0.98e ? j101.31 26 26

' 当 z ? ? / 4 时,

U ?? / 4 ? ? U z '

? ?

z ' ?? / 4

? U l cos

?
2
?

? jI l Z c sin

?
2

? j 101 .31 ? j11.31? ? ? jI l Z c ? j ? ? 0.98e ? ? 43.47 ? 42.26e ? ? U ? ? I ?? / 4 ? ? I z ' ' ? I l cos ? j l sin z ?? / 4 2 Zc 2

? ?

? Ul 52.83e j ?79.51 ? j ? j ? 1.22e j10.49 Zc 43.47

?

我理解成 U1 是源端的电压,而公式中 U1 为负载端的电压,所 以应该有一个负号。 方法二:以源端到负载端为 z 的正方向,传输线始端的电压 满足:

U ? U ? ? U ? ? U ? ?1? ?ing ?
? ? 其中, U ? ?ingU

(2)

始端传输线的反射系数:

?ing

U ? Z ing ? Z c 50 ? 20 j ? 43.47 ? ? ? ? U Z ing ? Z c 50 ? 20 j ? 43.47
j 59.92 ?

? 0.11? j 0.19 ? 0.22e
?

(3)

由以上公式(1)、(2)、(3),可以得:

U ? 0.65 ? j 46.8 ? 46.8e

j 90.8?
?

U ? ? ?8.98 ? j5.04 ? 10.3e j150.7
传输线上的电压电流满足:

U ?z ? ? U ?e? j?z ? U ?e j?z
I ?z ? ? 1 ? ? j?z U e ? U ? e j?z Zc
2?

(4)

?

?

(5 )

其中, ? ?

?

? 2?

离终端 25cm 处,相当于离始端 50-25=25cm 处,即离始端为

? / 4 。所以在离终端 25cm 处

?j ? j ? ??? ? ? ? 4 U? ? ?U e ?U e ? 4 ?4? ? ? jU ? ? jU ?

2? ?

2? ?

? 41.76 ? j8.33 ? 42.26e

? j11.31?

2? ? 2? ? ?j ? j ? ? ?? ? 1 ? ? ? ? 4 ? 4 ? ?U e I? ? ? ? U e ? ? 4 ? Zc ? ? ? ? 1 ? ? jU ? ? jU ? ? 1.22e j10.49 Zc

?

?

瞬时表达式:

? ? 2?f ? 5.26?108 ?
?? ? U ? ? ? 42.26cos 5.26?108 ?t ? 11.31? ?4? ?? ? I ? ? ? 1.22cos 5.26?108 ?t ? 10.49? ?4?

?

?

?

?

因为传输线长 50cm,为 ? / 2 ,所以终端处:
?j ? j ? ?? ? ? ? ? 2 U? ? ?U e ?U e ? 2 ?2? ? ?U ? ? U ? ? ?U 2? ? 2? ?

?

? 125 675 ?j ? 52.83e ? j 79.51 13 13

2? ? 2? ? ?j ? j ? ? ??? 1 ? ?U ? e ? 2 ? U ? e ? 2 ? I? ? ? ? ? 2 ? Zc ? ? ? 1 ? ?U ? ?U ? ? ?I Zc

?

?

5 25 ? j101.31? ?? ? j ? 0.98e 26 26
瞬时表达式:

??? U ? ? ? 52.83cos 5.26?108 ?t ? 79.51? ?2? ??? I ? ? ? 0.98cos 5.26?108 ?t ? 101.31? ?2?

?

?

?

?

有同学直接用下面的公式是不对的

Zc U ? Eg 或者? e ? j?z Zc ? Z g
?

有同学直接用书上 49 页的公式 3.28 来计算,也是可以的。 ③:传输线的复功率 因为是无耗传输线,传输线上任意观察点的复功率都相等。 所以可以用传输线始端的电压、电流值来计算

1 P ? UI * 2 1 ? 125 675? ? 5 25 ? ? ?? ?j ??? ? j ? 2 ? 13 13 ? ? 26 26 ? ? 625 125 ? ?j ? 25.9e j 21.8 26 13 或者: ?
? ? ? 1 ? 52.83e j100.49 ? 0.98e ? j 78.69 ? 25.9e j 21.8 2

P?

1 Re U ?z ?I * ( z ) 是平均功率,不是复功率。 2
*

?

?

有同学写成 P ? UI 补充题:当传输线上任一点处的输入阻抗均为特性阻抗时, 传输线处于何种工作状态?若输入阻抗均为纯电抗时又 如何? 由传输线的输入阻抗:(此时 z 的正方向是从负载到源端)

Z l ? jZ ctg?z Z in ?z ? ? Z c Z c ? jZ l tg?z
任一点处的输入阻抗均为特性阻抗,即是每一点都满足

Zin ?z ? ? Z c
?in ( z ) ? Z in ( z ) ? Z c ?0 Z in ( z ) ? Z c

每一点的反射系数都为 0,传输线工作在行波状态。 输入阻抗均为纯电抗时,设纯电抗为 jX ?z ? 则:

?in ( z ) ?

Z in ( z ) ? Z c jX ?z ? ? Z c ? Z in ( z ) ? Z c jX ?z ? ? Z c
2 2

所以反射系数的模值为:

Z ? X ?z ? ?in ( z ) ? c 2 ?1 2 Z c ? X ?z ?
所以传输线工作在纯驻波状态。 有学生写反射系数=1,讨论终端开路、终端短路,这并 不全面。 #第 5 讲作业 1、如图所示,一均匀无耗传输系统加上信号 Eg ? 200e j 90 V ,
Z g ? 100? , Zc ? 50? , Rl ? 50? , l1 ?
?0
?

? l2 ? l3 ? 0 。 , 4 2

1) 画出 l1 、 l2 、 l3 三段传输线上电压、电流、阻抗分布图; 2) 求出负载上的吸收功率。

解:1)对称性决定 l2 、 l3 上波的传输情况相同,可将 Rl 看作 2 个 2 Rl 负载的并联,分别连于 l2 、 l3 终端,从而可去掉连接 l2 与 l3 终端的导线。等效电路图如下:

Zin 2

Zc2 ? Zin3 ? ? 25? 2Rl
1 2

从 b 点左端向负载看去的等效阻抗 Z in (b) ? Z in 2 ? 12.5? 。 又
l1 ?

?
2

,故

Zin (a) ? Zin (b) ? 12.5?
Ua ? Zin (a) 200 j 90o Eg ? e V Zin (a) ? Z g 9

16 j 90o Ia ? ? e A Zin (a) ? Z g 9
2)a 点的功率为:

Eg

1 1600 * Pa ? U a I a ? W 2 81
由于传输线无耗,故 Rl 的吸收功率即

Pl ? Re( Pa ) ?

1600 W 81

l2 , l3 段电压、电流、阻抗分布均相同,可看作终端接大

电阻的情况。 l1 段可看作终端接小电阻的情况。 最大电压很多同学求的不对。 l1 、 l2 、 l3 三段传输线上电压、电流、阻抗分布图见

2、一均匀无耗传输线的 Z0 ? 500? ,负载 ZL ? (300 ? j 400)? , ? ? 3m ,传输线长度为 l ? 1.25? ,源 Eg ? 50V , Z g ? Z0 ? 500? , 求: 1)负载反射系数与传输线驻波比; 2)用两种方法(含圆图法)求第一波节点和第一波腹点距终

端的距离以及最大、最小输入电阻值; 3)输入阻抗与输入导纳; 4)负载吸收功率。 解:1) ?l ?
??
Z l ? Z c 300 ? j 400 ? 500 ? ? 0.5 j Z l ? Z c 300 ? j 400 ? 500

1 ? ?l ?3 1 ? ?l

2)求第一波节点和第一波腹点距离终端的距离: ? 常规方法: 由 1)中 ? 的值可知,传输线工作在行驻波状态,终端接 感性负载,由 ?l ? 0.5 j 知, ? l ?
? ,所以第一波腹点位置: 2

zmax ?

? ? ?l ? ? 0.375 m 4? 8

第一波节点:

zmin ?

?
8

?

?
4

? 1.125m

? 圆图法:对负载阻抗归一化得 Zl ? 0.6 ? j0.8

0.125
x ? 0.8

向波源

A
0
r ? 0.6

0.25

在圆图中找到 r ? 0.6 和 x ? 0.8 两圆的交点 A, 即为 Zl 在圆图 中的位置。 延长 OA 与圆周交于一点,读得向波源方向的波长数为 0.125,由于电压腹点和节点分别为 ? ? 1 和 ? ? ?1 的位置, 因 此第一波腹点和第一波节点距离终端的距离分别为 0.125? 和
0.375?

最大输入阻抗
Zin max ? ? Zc ? 1500?

最小输入阻抗
Zin min ? Zc / ? ? 500? 3

3)由 ? / 4 阻抗变换性,

Zc2 Zin ? ? (300 ? j 400)? Zl
Yin ? 1 ? (0.0012 ? 0.0016 j )S Zin

4)求负载吸收的功率
I ( z ' ? 1.25? ) ? Eg Z g ? Zin ? (0.05 ? 0.025 j ) V

U ( z ' ? 1.25? ) ?

Eg ? Zin Z g ? Zin

? (25 ? 12.5 j ) V

P?
功率不等于 1 U 2 / Z 0
2

1 Re[U ( z ') I * ( z ')] ? 0.46875W 2

#第 6 讲作业 3-23 一 无 耗 传 输 线 的 特 性 阻 抗 为 70 Ω , 负 载 阻 抗
Zl ? ?70 ? j140?? ,波导的波长 ? ? 20cm 。试设计一单支节调配器

使之匹配,计算支节点的接入位置和长度。

图 28 单支节调配器

解:单支节调配器如上图所示。题中 Rl ? Zc ,所以 t 的值为:

t??

Xl 140 ?? ? ?1 2Z c 2 ? 70

主传输线 AA ' 处右端的电纳值为:

R t ? ?Z c ? X l t ?? X l ? Z c t ? B1 ? l 2 2 Z c Rl ? ? X l ? Z c t ?
2

702 ? ?? 1? ? ?70 ? 140??140? 70? 1 ? ? ? 2 35 70 702 ? ?140? 70?

?

?

?

?

距离负载的距离 d1 为:

d1 ?

? ?? ? arctan?t ?? ? ? ?? ? arctan?? 1?? 2? 2? ? ? ? ? 3? ? ?? ?? ? 7.5cm ? 2? ? 4? 8

注意:距离合长度不可能为负值,所以考虑到:

t ? tan? ? tan?? ? n? ? ? ? ? n? ? arctant ? ? ? arctant ? n?
主传输线上 AA ' 处右端的输入导纳为:

1 1 Yc ? ? Z c 70
因为题目中没有说支节线是短路线还是开路线,所以分两种 情况讨论:

终端短路支节线的长度 l1 为:

l1 ?

? ? Yc ?? ? ? ? 1 ?? ? ? ? ? arctan ? ? ? arctan ? ? ?? ? ? ? ?B ? ? 2 ?? ? 1 ?? 2? ? ? ? 8.52cm

? 2?

终端开路支节线的长度 l 2 为:

l2 ? ?

? B1 ? ? ? ? ? ?? 2? arctan ? ? arctan ?Y ? 2? 2 ? ? c?

? 3.52cm
3-27 雷达的两部分发射机共用一副天线, 两部发射机的工作 波长分别为 ?1 ? 4cm, ?2 ? 3cm ,如图 3.43 所示。若适当选取同轴 线的长度 l1 到 l6 的尺寸, 即可使雷达的每部发射机的发射功率 畅通无阻地通过天线发射出去,而不进入另一部发射机。试 确定长度 l1 到 l6 最短尺寸。

解:先分析发射机 1 出来的波长为 ?1 的导波 发射机 1 出来的波长为 ?1 的导波畅通无阻地进入天线而不 流入发射机 2,需要满足以下条件: 1). l1 和 l2 两并联支节对于波长为 ?1 的导波来说相当于开路; 2).从 B 端口向右看过去对于波长为 ?1 的导波也相当于开

路; 3). l5 和 l6 两并联支节对于波长为 ?1 的导波来说相当于短路。 对于发射机 2 出来的波长为 ?2 的导波,情况完全类似。 由条件 2 和 3 容易联想到 l3 和 l4 起到四分之波长变换器作 (把 短路变为开路)。 即是说:
l3 ?

?2
4

l4 ?

?1
4

并可先确定 l5 ?

?1
2

(也可以是 l6 ) 由于:

Zin5 ? 0
这样,无论 l6 长度为多少,都能保证 C 端口向右看过去始终 对 ?1 短路。经过 l4 四分之波长变换后,从 B 端口向右看过去 相当于开路,发射机 1 发出的导波只能向天线端传播。
l5 的存在使 C 端口向右看过去对 ?1 短路,而 l5 和 l6 同时又需满

足另一个条件,即:让发射机 2 发出的波长为 ?2 的导波顺利 通过 (一个支节无法同时满足这两个条件,这便是 C 处要设置 两根枝节的原因!!) 现在来确定 l6 :对于波长为 ?2 的导波,(注意是 ?2 )在 C 端 口有
Yin5 ? Yin6 ? 0
? 2? ? ?? ? Yin5 ? ? jYc cot ? ? l5 ? ? ? jYc cot ? ? ?1 ? ? ?2 ? ? ?2 ?

? 2? ? ?? ? Yin 6 ? ? jYc cot ? ? l6 ? ? ?Yin5 ? jYc cot ? ? ?1 ? ? ?2 ? ? ?2 ?

由 ? cot x ? cot(n? ? x) ,其中 x ? 2? ? l6 可得:
?2

2?

? l6 ?

? ? l6 ? ? ?1 ? n? ?2 ?2 n?2 ? ?1
2
l6min ? 1m

因为需要满足 l6 ? 0 ,且 ?2 ? ?1 ? 2?2 ,所以取 n=2 时得到最小值

可通过同样的分析方法得到 l1 ? 因此 l1 到 l6 的最小长度分别为

?2
2

, l2min ? 0.5m

l1 ? 1.5m l2 ? 0.5m l3 ? 0.75m l4 ? 1m l5 ? 2m l6 ? 1m
补充题:如图所示,一电动势 Eg ? 100e j 0 V 的匹配信号源通过 一特性阻抗 Zc ? 50? 的均匀无耗传输线, 以相等的功率馈送给
?

两个分别为 Rl1 ? 100? 和 Rl 2 ? 25? 的并联负载,并用长为 l1 ? 3? 和
l2 ?

?
4

4

的均匀无耗传输线来实现与主传输线的匹配。试求,

(1) l1 和 l2 传输线的特性阻抗 Z c1 和 Z c 2 ; (2) l1 和 l2 传输线上的电压驻波比; (3)负载电阻 Rl1 和 Rl 2 的吸收功率; (4)负载电阻 Rl1 和 Rl 2 所接收到信号的相位差;

l1

Rl1

Zg

Z c1

Eg

Z c ,?c

l2
Z c1
Zc2

Rl 2
解答: (1)首先有
2 Z c21 Z ? Zc 2 Z inA1 ? inA 2 Zl 2 Z l1

本题关键点:A 处要阻抗匹配,且功率平分,考虑到传输线 上各点的功率相等,所以 A 点处两传输线功率相等,所以

ZinA1 ? ZinA2 ? 2Zc
得到
Zc1 ? 100? Zc 2 ? 50?

(2) l1 传输线上的反射系数为:
?l1 ? Zl1 ? Z c1 ?0 Zl1 ? Z c1

l1 传输线上的电压驻波比为:

?l1 ? 1

l 2 传输线上的电压反射系数为:

?l 2 ?

Zl 2 ? Z c 2 1 ?? Zl 2 ? Z c 2 3

l 2 传输线上的电压驻波比为:

?l 2 ? 2
(3) 源端输出功率
1 1 | 0.5Eg | 1 502 2 Pout ? PA ? | U A | / ZinA ? ? ? 25W 2 2 ZinA 2 50
2

各个负载功率

P W ? 12.5W l1 ? P l 2 ? 0.5P out ? 0.5*25
负载的总功率等于电源功率的一半,也可以计算,但是 要注意电源的电流。 (4)从 b 到 R1 相位变化 3? ,从 b 到 R2 相位变化 ? ,所
2 2

以相位相差为 ? 。


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