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两角和与差的三角函数(含答案) 一轮复习随堂练习


两角和与差的三角函数 基础巩固强化 4 1.(2011· 银川三模)已知 sinθ=5, sinθ-cosθ>1, sin2θ=( 且 则 24 A.- 25 4 C.-5 [答案] A 3 [解析] 由题意可知 cosθ=-5, 24 所以 sin2θ=2sinθcosθ=-25,故选择 A. 2. (文)(2011· 北京东城区期末)在△ABC 中, C=120° tanA+tanB , 2 3 = 3 ,则 tanAtanB 的值为( 1 A.4 [答案] B [解析] ∵C=120° ,∴A+B=60° , ∴tan(A+B)= tanA+tanB = 3, 1-tanAtanB 1 B.3 1 C.2 ) 5 D.3 12 B.-25 24 D.25 )

2 3 1 ∵tanA+tanB= 3 ,∴tanAtanB=3. 3 (理)已知 sinα=5,α 为第二象限角,且 tan(α+β)=1,则 tanβ 的 值是( ) B.7 3 D.4

A.-7 3 C.-4

[答案] B 3 4 [解析] 由 sinα=5,α 为第二象限角,得 cosα=-5, 3 则 tanα=-4. ∴tanβ=tan[(α+β)-α]= 3 1+4 tan?α+β?-tanα 1+tan?α+β?tanα



? 3? 1+?-4? ? ?

=7.

π 3 3 3.(文)已知 0<α<2<β<π,cosα=5,sin(α+β)=-5,则 cosβ 的 值为( ) 7 B.-1 或-25 24 D.± 25

A.-1 24 C.-25 [答案] C

π π π 3π [解析] ∵0<α<2,2<β<π,∴2<α+β< 2 , 4 4 ∴sinα=5,cos(α+β)=-5,
? 4? 3 ∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=?-5?· 5 ? ? ? 3? 4 24 +?-5?·=-25,故选 C. 5 ? ?

3π (理)已知 sinβ=5(2<β<π),且 sin(α+β)=cosα,则 tan(α+β)= ( ) A.1 B.2 C.-2 8 D.25

[答案] C 3 π 4 [解析] ∵sinβ=5,2<β<π,∴cosβ=-5, ∴sin(α+β)=cosα=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ 4 3 =-5cos(α+β)+5sin(α+β), 2 4 ∴5sin(α+β)=-5cos(α+β),∴tan(α+β)=-2. asin2+bcos2 π 4.已知实数 a,b 均不为零, =tanβ,且 β-2=6, acos2-bsin2 b 则a=( A. 3 C.- 3 [答案] B 3 tan2+ 3 asin2+bcos2 atan2+b π [解析] tanβ=tan(2+6)= = = , acos2-bsin2 a-btan2 3 1- 3 tan2 3 b 3 所以 a=1,b= 3 ,故a= 3 . 5.函数 f(x)=(3sinx-4cosx)· cosx 的最大值为( A.5 [答案] C [解析] f(x)=(3sinx-4cosx)cosx 3 =3sinxcosx-4cos2x=2sin2x-2cos2x-2 9 B.2 1 C.2 5 D.2 ) ) 3 B. 3 3 D.- 3

5 4 =2sin(2x-θ)-2,其中 tanθ=3, 5 1 所以 f(x)的最大值是2-2=2.故选 C. π 6. (文)(2011· 合肥质检)将函数 y=sin(2x+3)的图象上各点向右平 π 移6个单位,再把每一点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标保持不 变,所得函数图象的一条对称轴是( π A.x=8 π C.x=3 [答案] A ) π B.x=6 π D.x=2

[解析]

π y = sin(2x + 3 )

y = sin2x

y=sin4x, 其对称轴方程为 4x=kπ π +2,k∈Z, kπ π π ∴x= 4 +8,令 k=0 得 x=8. (理)(2013· 陕西师大附中上学期一模)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 π A>0,|φ|<2)的图象如图所示,为了得到函数 g(x)=sin2x 的图象,则 只需将 f(x)的图象( )

π A.向右平移6个长度单位 π B.向右平移12个长度单位 π C.向左平移6个长度单位 π D.向左平移12个长度单位 [答案] A T 7π π π [解析] 由图可知 A=1,4=12-3=4,∴T=π, 2π ∴ ω =π,∴ω=2, ∴f(x)=sin(2x+φ), 7π 7π 将(12,-1)代入得 sin( 6 +φ)=-1, 7π 3π π ∴ 6 +φ= 2 +2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ+3,k∈Z. π π π ∵|φ|<2,∴φ=3,∴f(x)=sin(2x+3), π π π 将 f(x)的图象向右平移6个单位可得,sin[2(x-6)+3]=sin2x,故 选 A. π 7.函数 f(x)=asinx-bcosx 的图象的一条对称轴是直线 x=4,则

直线 ax-by+c=0 的倾斜角的大小为________. [答案] 3π ) 4 (或 135°

[解析] f(x)的图象的对称轴过其最高点或最低点, a-b π ∴f(4)=± a2+b2,∴ =± a2+b2,解得 a+b=0.∴直线 ax 2 a -by+c=0 的斜率 k=b=-1, 3π ∴直线 ax-by+c=0 的倾斜角为 135° 4 ). (或 8.下列命题:①存在 α、β∈R,使 tan(α+β)=tanα+tanβ;②存 π 在 φ∈R,使 f(x)=cos(3x+φ)为奇函数;③对任意 α,β∈(0,2),若 π tanα· tanβ<1,则 α+β<2;④△ABC 中,sinA>sinB 的充要条件是 A>B. 其中真命题的序号是________. [答案] ①②③④ π [解析] ①α=0,β=3时,原式成立; π ②φ=2时,f(x)为奇函数; π? ? ③∵tanα· tanβ<1,α,β∈?0,2?,
? ?

sinα· sinβ ∴cosα· <1,∴sinα· sinβ<cosα· cosβ, cosβ π ∴cos(α+β)>0,∵α+β∈(0,π),∴α+β<2; ④在△ABC 中,A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB(其中 R 为△ABC 外接圆的半径). π π 9. (文)函数 y=cos(3-2x)+sin(2-2x)的最小正周期为________.

[答案] π π π [解析] y=cos3cos2x+sin3sin2x+cos2x 3 3 3 1 =2cos2x+ 2 sin2x= 3( 2 cos2x+2sin2x) π = 3sin(2x+3),∴T=π. (理)函数 y=cos(x+20° )+sin(x-10° )的最大值为________. [答案] 1 [解析] y=cosxcos20° -sinxsin20° +sinxcos10° -cosxsin10° =(cos10° -sin20° sinx+(cos20° )· -sin10° )cosx = a2+b2sin(x+φ). 这里 a=cos10° -sin20° ,b=cos20° -sin10° , tanφ= cos20° -sin10° cos10° -sin20°

∵a2+b2=(cos10° -sin20°2+(cos20° ) -sin10°2 ) =2-2sin20° cos10° -2cos20° sin10° =2-2sin30° =1. ∴最大值为 a2+b2=1. 10.(文)设函数 f(x)= 3cos2ωx+sinωxcosωx+a(其中 ω>0,a∈ R),且 f(x)的最小正周期是 2π. (1)求 ω 的值; π 5π (2)如果 f(x)在区间[-3, 6 ]上的最小值为 3,求 a 的值. 3 1 3 [解析] (1)f(x)= 2 cos2ωx+2sin2ωx+ 2 +a π? ? 3 =sin?2ωx+3?+ 2 +a, ? ? 2π 1 依题意得2ω=2π?ω=2.

π? ? 3 (2)由(1)知,f(x)=sin?x+3?+ 2 +a. ? ? π? ? π 5π π 7π 1 又当 x∈[-3, 6 ]时,x+3∈[0, 6 ],故-2≤sin?x+3?≤1,从
? ?

3+1 π 5π 1 3 而 f(x)在区间[-3, 6 ]上的最小值为-2+ 2 +a= 3,故 a= 2 . πx π πx (理)(2011· 日照模拟)设函数 f(x)=cos( 4 -3)-cos 4 . (1)求 f(x)的最小正周期; (2)设 g(x)=f(-2-x);当 x∈[0,2]时,求函数 y=g(x)的最大值. [解析] π π π π πx 3 π 1 π (1)f(x)=cos4xcos3+sin4xsin3-cos 4 = 2 sin4x-2cos4x

π π =sin(4x-6). 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= π =8. 4 π π π (2)由题设条件得 g(x)=f(-2-x)=sin[4(-2-x)-6]=sin[-2- π π π π x-6]=-cos(4x+6). 4 π π π 2π π π π 当 0≤x≤2 时, ≤4x+6≤ 3 , t=4x+6, y=-cost, 6, 设 则 在[ 6 2π 3 ]上是增函数,因此 y=g(x)在区间[0,2]上的最大值为 g(x)max=- 2π 1 cos 3 =2. 能力拓展提升 π 11.(文)(2012· 河南六市联考)已知函数 y=f(x)= 3sin( 6 +x)+ π cos(6+x),则函数 f(x)应满足( )

5π π π A.函数 y=f(x)在[- 6 ,6]上递增,且有一个对称中心(6,0) 3π π π B.函数 y=f(x)在[- 4 ,6]上递增,且有一个对称中心(-3,0) 5π π π C.函数 y=f(x)在[- 6 ,6]上递减,且有一个对称中心(-3,0) 3π π π D.函数 y=f(x)在[- 4 ,6]上递减,且有一个对称中心(6,0) [答案] B [解析] π 3),故选 B. π? ? (理)已知 a=(sinα,1-4cos2α),b=(1,3sinα-2),α∈?0,2?,若
? ?

π π π π f(x)= 3sin(6+x)+cos(6+x)=2sin(6+x+6)=2sin(x+

π? ? a∥b,则 tan?α-4?=(
? ?

)

1 1 2 2 A.7 B.-7 C.7 D.-7 [答案] B [解析] ∵a∥b,∴1-4cos2α=sinα(3sinα-2), ∴5sin2α+2sinα-3=0, π? ? 3 3 ∴sinα=5或 sinα=-1,∵α∈?0,2?,∴sinα=5,
? ?

π? tanα-1 ? 3 1 ∴tanα=4,∴tan?α-4?= =-7. ? ? 1+tanα π 12.(文)设动直线 x=a 与函数 f(x)=2sin2(4+x)和 g(x)= 3cos2x 的图象分别交于 M,N 两点,则|MN|的最大值为( A. 2 B. 3 C.2 D.3 [答案] D )

[解析] 易知|MN|=|f(a)-g(a)| π =|2sin2(4+a)- 3cos2a| π =|1-cos(2+2a)- 3cos2a| π =|1+2sin(2a-3)|≤3,即最大值是 3. 5 (理)(2012· 东北三校联考)设 α、β 都是锐角,且 cosα= 5 ,sin(α 3 +β)=5,则 cosβ=( 2 5 A. 25 2 5 2 5 C. 25 或 5 [答案] A [解析] 2 5 依 题 意 得 sinα = 1-cos2α = 5 , cos(α + β) = ) 2 5 B. 5 5 5 D. 5 或 25

4 ± 1-sin2?α+β?=± .又 α、 均为锐角, β 因此 0<α<α+β<π, cosα>cos(α 5 4 5 4 4 +β),因为5> 5 >-5,所以 cos(α+β)=-5. 4 5 cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)· sinα=-5× 5 3 2 5 2 5 +5× 5 = 25 ,选 A. 3 12 π π 13.已知 sin(2α-β)=5,sinβ=-13,且 α∈(2,π),β∈(-2, 0),则 sinα=________. [答案] 3 130 130

π [解析] ∵2<α<π,∴π<2α<2π. π π 5π 又-2<β<0,∴0<-β<2,π<2α-β< 2 , 3 而 sin(2α-β)=5>0, 5π 4 ∴2π<2α-β< 2 ,cos(2α-β)=5. π 12 5 又-2<β<0 且 sinβ=-13,∴cosβ=13, ∴cos2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ 4 5 3 12 56 =5×13-5×(-13)=65. 9 又 cos2α=1-2sin2α,∴sin2α=130. π 3 130 又 α∈(2,π),∴sinα= 130 . 2cos10° -sin20° 14.求值: =________. cos20° [答案] 3 2cos?30° -20° ?-sin20° cos20°

[解析] 原式= = =

2cos30° cos20° +2sin30° sin20° -sin20° cos20° 3cos20° +sin20° -sin20° = 3. cos20°

5 15.(文)(2011· 珠海模拟)已知 A、B 均为钝角且 sinA= 5 ,sinB 10 = 10 ,求 A+B 的值.

5 10 [解析] ∵A、B 均为钝角且 sinA= 5 ,sinB= 10 , ∴cosA=- 1-sin2A=- cosB=- 1-sin2B=- 2 2 5 =- 5 , 5

3 3 10 =- 10 , 10

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB 2 5 3 10 5 10 2 =- 5 ×(- 10 )- 5 × 10 = 2 , π π 又∵2<A<π,2<B<π, 7π ∴π<A+B<2π,∴A+B= 4 . π (理)(2011· 成都二诊)已知函数 f(x)=2sinxcos(x+6)-cos2x+m. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π π (2)当 x∈[-4,4]时,函数 f(x)的最小值为-3,求实数 m 的值. π [解析] (1)∵f(x)=2sinxcos(x+6)-cos2x+m 3 1 =2sinx( 2 cosx-2sinx)-cos2x+m = 3sinxcosx-sin2x-cos2x+m 1-cos2x 3 = 2 sin2x- -cos2x+m 2 3 1 1 = 2 sin2x-2cos2x-2+m π 1 =sin(2x-6)-2+m. 2π ∴f(x)的最小正周期 T= 2 =π.

π π π π (2)∵-4≤x≤4,∴-2≤2x≤2, 2π π π π 3 ∴- 3 ≤2x-6≤3,∴-1≤sin(2x-6)≤ 2 , 1 ∴ f(x)的最小值为-1-2+m. 1 3 由已知,有-1-2+m=-3.∴m=-2. 3 5 π 16.(文)(2011· 晋中一模)已知 sinα+cosα= 5 ,α∈(0,4),sin(β π 3 π π -4)=5,β∈(4,2). (1)求 sin2α 和 tan2α 的值; (2)求 cos(α+2β)的值. 9 [解析] (1)由题意得(sinα+cosα)2=5, 9 4 即 1+sin2α=5,∴sin2α=5. π 3 又 2α∈(0,2),∴cos2α= 1-sin22α=5, sin2α 4 ∴tan2α=cos2α=3. π π π π (2)∵β∈(4,2),β-4∈(0,4), π 4 ∴cos(β-4)=5, π π π 24 于是 sin2(β-4)=2sin(β-4)cos(β-4)=25. π 24 又 sin2(β-4)=-cos2β,∴cos2β=-25. π 7 又 2β∈(2,π),∴sin2β=25.

又 cos2α=

1+cos2α 4 =5, 2

2 5 5 π ∴cosα= 5 ,sinα= 5 (α∈(0,4)). ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β 2 5 24 5 7 11 5 = 5 ×(-25)- 5 ×25=- 25 . π π α 1 5 (理)已知 0<α<2,2<β<π,且 tan2=2,sin(α+β)=13. (1)求 cosα 和 cosβ 的值; α-β (2)求 tan 2 的值. α 1 4 [解析] (1)∵tan2=2,∴tanα= =3, α 1-tan22 4 ∴sinα=3cosα, 9 代入 sin2α+cos2α=1 中消去 sinα 得,cos2α=25, π 3 4 π 3π 5 ∵0<α<2, ∴cosα=5, ∴sinα=5, 2<α+β< 2 , ∵ sin(α+β)=13>0, π ∴2<α+β<π, 12 ∴cos(α+β)=- 1-sin2?α+β?=-13, ∴cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα 12 3 5 4 16 =-13×5+13×5=-65. 3 16 ∴cosα 和 cosβ 的值依次为5和-65. α 2tan2

16 π (2)由(1)知 cosβ=-65,又已知2<β<π, 63 63 63 ∴sinβ=65,∴tanβ=-16.∴ =-16, β 1-tan22 π β β 9 ∵2<β<π,∴tan2>0,∴tan2=7, α β 1 9 tan2-tan2 2-7 α-β 11 ∴tan 2 = = =-23. α β 1 9 1+tan2· 2 1+2×7 tan β 2tan2

x2 y2 1.方程cos2012° sin2012° 所表示的曲线为( - =1 A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆

)

C.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线 [答案] D [解析] cos2012° =cos(5×360° +212° )=cos212° =-cos32° =- sin58° <0,而 sin2012° =sin(5×360° +212° )=sin212° =-sin32° <0, 所以该曲线为焦点在 y 轴上的双曲线. cosα-sinα 2.已知 α、β 均为锐角,且 tanβ= ,则 tan(α+β)的值 cosα+sinα 为( ) A.-1 B.1 C. 3 D.不存在 [答案] B [解析] tanβ= cosα-sinα 1-tanα ?π ? = =tan?4-α?, ? ? cosα+sinα 1+tanα

? π π? ? π π? π ∵4-α,β∈?-2,2?且 y=tanx 在?-2,2?上是单调增函数, ? ? ? ?

π π π ∴β=4-α,∴α+β=4,∴tan(α+β)=tan4=1. 5 10 3.已知 sinα= 5 ,sin(α-β)=- 10 ,α、β 均为锐角,则 β 等 于( ) 5π π π π A.12 B.3 C.4 D.6 [答案] C π π [解析] ∵α、β 均为锐角,∴-2<α-β<2, 3 10 ∴cos(α-β)= 1-sin2?α-β?= 10 , 5 ∴sinα= 5 ,∴cosα= ∴sinβ=sin[α-(α-β)] 2 =sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)= 2 . π π ∵0<β<2,∴β=4,故选 C. 4.(2012· 重庆文)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,- π π<φ≤π)在 x=6处取得最大值 2,其图象与 x 轴的相邻两个交点的距 π 离为2. (1)求 f(x)的解析式; 6cos4x-sin2x-1 (2)求函数 g(x)= 的值域. π f?x+6? 1-?
? 5?2 2 5 ?= 5 . ? 5?

π [分析] (1)由周期为 π 求出 ω,代入点(6,2),由 φ 范围求出 φ, A. (2)分子化同名,即 sin2x 用 1-cos2x 代换,分母用诱导公式和二 倍角公式. [解析] (1)由题设条件知 f(x)的周期 T=π, 2π 即 ω =π,解得 ω=2, π 因为 f(x)在 x=6处取得最大值 2,所以 A=2, π π π 从而 sin(2×6+φ)=1,所以 2×6+φ=2+2kπ,k∈Z, π 又由-π<φ≤π,得 φ=6, π 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+6). 6cos4x-sin2x-1 6cos4x+cos2x-2 (2)g(x)= π = 2cos2x 2sin?2x+2? ?2cos2x-1??3cos2x+2? 3 2 1 = =2cos x+1(cos2x≠2). 2 2?2cos x-1? 1 因 cos2x∈[0,1],且 cos2≠2. 7 7 5 故 g(x)的值域为[1,4)∪(4,2]. [点评] 本题考查了三角函数的周期、最值、同角基本关系式、 二倍角公式等. 在解三角恒等变换(化简)题时的方法有: 异名化同名, 异角化同角,降幂化同次等.


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