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浙江省衢州市五校联考2015届高三上学期期中数学试卷(理科)


浙江省衢州市五校联考 2015 届高三上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分)已知向量 =(1,﹣2) , =(﹣ ,y) ,若 ∥ ,则 y=() A.1 B.﹣1
2 2

C. 2

D.﹣2

2. (5 分)已知 a,b

都是实数,那么“a >b ”是“a>b”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

4. (5 分)若{an}为等差数列,且 a2+a5+a8=π,则 tan(a3+a7)的值为() A. B. ﹣ C. D.﹣

5. (5 分)sin(﹣600°)的值是() A. B. ﹣ C. D.﹣

6. (5 分)已知 sinα﹣cosα= A.1 B.﹣1

,α∈(0,π) ,则 tanα=() C. D.

7. (5 分)已知函数 A.x0>8 B.x0<0 或 x0>8

若 f(x0)>3,则 x0 的取值范围是() C.0<x0<8 D.x0<0 或 0<x0<8 )的图象()

8. (5 分)要得到函数 y=cos2x 的图象,可由函数 y=cos(2x﹣ A.向左平移 C. 向左平移 个长度单位 个长度单位 B. 向右平移 D.向右平移

个长度单位 个长度单位

9. (5 分)若函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ,x∈R(其中 ω>0, 且 ,则()

)的最小正周期是 π,

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,若 sinA、sinB、sinC 依次成等 比数列,则角 B 的取值范围是() A. (0, ] B. (0, ] C.

14. (4 分)等比数列{an}中,S4=5S2,则

=.

15. (4 分)在平面直角坐标系中, , 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量,平面内 三点 A、B、C 满足, m 的值为. = +2 , =2 +m .若 A、B、C 三点构成直角三角形,则实数

16. (4 分)平面向量 , , 满足| |=1, ? =1, ? =2,| ﹣ |=2,则 ? 的最小值为. 17. (4 分)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈时 f(x)=x,若在区间内,关于 x 的 方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠﹣1)有四个根,则 k 的取值范围是.

三、解答题:本大题共 5 题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分)已知{an}是递增的等差数列,a1=2, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=an+ ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. =a4+8

19. (14 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,已知 cos2A=﹣ . (1)求 sinA; (2)当 c=2,2sinC=sinA 时,求△ ABC 的面积.

20. (14 分)已知函数 f(x)= 范围.

,x∈,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2,求实数 a 的取值

22. (15 分)已知 =(

sinx,cosx+sinx) , =(2cosx,sinx﹣cosx) ,f(x)= ? .

(1)求函数 f(x)的单调递增区间;

(2)当 x ∈时,对任意 t∈R,不等式 mt +mt+3≥f(x)恒成立,求实数的 m 取值范围.

2

浙江省衢州市五校联考 2015 届高三上学期期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分)已知向量 =(1,﹣2) , =(﹣ ,y) ,若 ∥ ,则 y=() A.1 B.﹣1 C. 2 D.﹣2

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的共线的充要条件列出方程求解即可. 解答: 解:向量 =(1,﹣2) , =(﹣ ,y) ,若 ∥ , 所以﹣2× =y,解得 y=1.

故选:A. 点评: 本题考查向量的共线条件的应用,基本知识的考查. 2. (5 分)已知 a,b 都是实数,那么“a >b ”是“a>b”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 常规题型. 2 2 2 2 2 2 分析: 首先由于“a >b ”不能推出“a>b”; 反之, 由“a>b”也不能推出“a >b ”. 故“a >b ” 是“a>b”的既不充分也不必要条件. 2 2 解答: 解:∵“a >b ”既不能推出“a>b”; 2 2 反之,由“a>b”也不能推出“a >b ”. 2 2 ∴“a > b ”是“a>b”的既不充分也不必要条件. 故选 D. 点评: 本小题主要考查充要条件相关知识. 3. (5 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) 考点: 函数的零点与方程根 的关系;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用.
x 2 2

D.(1,2)

分析: 根据函数零点的判定定理求得函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间. 解答: 解:由 ,以及及零点定理知,f(x)的零点

x

在区间(﹣1,0)上, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题. 4. (5 分)若{an}为等差数列,且 a2+a5+a8=π,则 tan(a3+a7)的值为() A. B. ﹣ C. D.﹣

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用{an}为等差数列,且 a2+a5+a8=π,求出 a5= 可求出 tan(a3+a7)的值. 解答: 解:∵{an}为等差数列,且 a2+a5+a8=π, ∴3a5=π, ∴a5= , , ,进而可得 a3+a7=2a5= ,即

∴a3+a7=2a5=

∴tan(a3+a7)=﹣ . 故选:D. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查特殊角的正切值,是一个综合题目, 5. (5 分)sin(﹣600°)的值是() A. B. ﹣ C. D.﹣

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:sin(﹣600°)=sin(﹣720°+120°)=sin120°=sin(180°﹣60°)=sin60°= 故选:C. 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 6. (5 分)已知 sinα﹣cosα= A.1 B.﹣1 ,α∈(0,π) ,则 tanα=() C. D. ,

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值.

分析: 利用辅助角公式可得 sinα﹣cosα= 而 α∈(0,π) ,从而可得 tanα 的值. 解答: 解:∵sinα﹣cosα= ∴sin( ∴ ∴α=2kπ+ ∴tanα=tan )=1, =2kπ+ (k∈Z) , ( sinα﹣

sin(

)=

,即 sin(

)=1,

cosα)=

sin(

)=



(k∈Z) ,α∈(0,π) , =﹣1,

故选:B. 点评: 本题考查同角三角函数基本关系的运用, 着重考查辅助角公式的应用, 属于中档题.

7. (5 分)已知函数 A.x0>8 B.x0<0 或 x0>8

若 f(x0)>3,则 x0 的取值范围是() C.0<x0<8 D.x0<0 或 0<x0<8

考点: 对数函数的单调性与特殊点;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 分析: 通过对函数 f(x)在不同范围内的解析式,得关于 x0 的不等式,从而可解得 x0 的 取值范围. 解答: 解:①当 x≤0 时,f(x0)= ∴x0+1>1, ∴x0>0 这与 x≤0 相矛盾, ∴x∈?. ②当 x>0 时,f(x0)=log2x0>3, ∴x0>8 综上:x0>8 故选 A. 点评: 本题主要考查对数函数的单调性,及分段函数,在解不等式时注意分类讨论,是个 基础题. >3,

8. (5 分)要得到函数 y=cos2x 的图象,可由函数 y=cos(2x﹣ A.向左平移 C. 向左平移 个长度单位 个长度单位 B. 向右平移 D.向右平移

)的图象()

个长度单位 个长度单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解: 由函数 y=cos (2x﹣ ) 的图象向左平移 个长度单位, 可得函数 y=cos=cos2x

的图象, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 9. (5 分)若函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ,x∈R(其中 ω>0, 且 A. ,则() B. C. D. )的最小正周期是 π,

考点: 三角函数的周期性及其求法. 分析: 先根据最小正周期求出 ω 的值,再由 围可确定出答案. 解答: 解:由 ∵ . .由 求出 sinφ 的值,再根据 φ 的范 .

故选 D 点评: 本题主要考查三角函数解析式的确定.属基础题. 10. (5 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,若 sinA、sinB、sinC 依次成等 比数列,则角 B 的取值范围是() A. (0, ] B. (0, ] C.

分析: 由 sinA、sinB、sinC 依次成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,利用正 弦定理化简,再利用余弦定理表示出 cosB,把得出关系式代入并利用基本不等式求出 cosB 的范围,利用余弦函数的性质确定出 B 的范围即可. 解答: 解:∵在△ ABC 中,sinA、sinB、sinC 依次成等比数列, 2 ∴sin B=sinAsinC, 2 利用正弦定理化简得:b =ac, 由余弦定理得:cosB= 则 B 的范围为(0, ], = ≥ = (当且仅当 a=c 时取等号) ,

故选:B. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理及公式是解本 题的关键.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. (4 分)已知集合 A={x∈N|x﹣3≤0},B={x∈Z|x +x﹣2≤0},则 A∪B={﹣2,﹣1,0,1, 2,3}. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 分别求解一次不等式和二次不等式化简集合 A, B, 然后直 接利用并集运算得答案. 解答: 解:∵A={x∈N|x﹣3≤0}={0,1,2,3}, 2 B={x∈Z|x +x﹣2≤0}={﹣2,﹣1,0,1}, 则 A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}. 故答案为:{﹣2,﹣1,0,1,2,3}. 点评: 本题考查了并集及其运算,考查了不等式的解法,是基础题. 12. (4 分)已知实数 a,b 满足等式 log2a=log3b,给出下列五个关系式:①a>b>1;②b >a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能成立的关系式是②④⑤. 考点: 对数函数的定义. 专题: 数形结合. 分析: 在同一坐标系中做出 y=log2x 和 y=log3x 两个函数的图象,结合图象求解即可. 解答: 解:实数 a,b 满足等式 log2a=log3b,即 y=log2x 在 x=a 处的函数值和 y=log3x 在 x=b 处的函数值相等, 当 a=b=1 时,log2a=log3b=0,此时⑤成立 做出直线 y=1,由图象知,此时 log2a=log3b=1,可得 a=2,b=3,由此知②成立,①不成立 作出直线 y=﹣1,由图象知,此时 log2a=log3b=﹣1,可得 a= ,b= ,由此知④成立,③ 不成立 综上知②④⑤ 故答案为:②④⑤.
2

点评: 本题考查对数函数图象的应用,考查数形结合思想的应用. 13. (4 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若 b +c =a ﹣bc, 则△ ABC 的面积等于 .
2 2 2



考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算. 分析: 由 b +c =a ﹣bc,结合余弦定理,我们可以求出 cosA 的值,进一步可以求出 sinA 值,又由
2 2 2 2 2

,可以求出 bc=8,代入三角形面积公式即可求出答案.
2

解答: 解:∵b +c =a ﹣bc, ∴ 又∵A 为三角形内角 ∴A=120° sinA= 又∵ ∴bc=8, , ,即 bccos120°=﹣4, ,

故答案为: 2 2 2 点评: 求三角形的面积有多种办法,观察本题中的已知条件,b +c =a ﹣bc, ,发现他们都与 b,c 及其夹角 A 有关,故可以根据已知条件,求出 b,c 及其夹角 A 的正弦值,然后根据:S= 求解.

14. (4 分)等比数列{an}中,S4=5S2,则

=0 或



考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的前 n 项和公式,对公比 q 分类讨论分别化简 S4=5S2,利用整体思 想求出 q 的值,利用等比数列的通项公式化简 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q,且 S4=5S2, 当 q=1 时,4a1=5×2a1,解得 a1=0,舍去; 当 q≠1 时,
4 2 2

,再代入求出即可.

=5×
2 2



化简得,q ﹣5q +4=0,解得 q =4 或 q =1, 当 q =4 时,
2

=

=



当 q =1 时,

2

=

=0,

故答案为:0 或



点评: 本题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式,以及整体思想,注意需要对 q 分类 讨论,考查化简计算能力.

15. (4 分)在平面直角坐标系中, , 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量,平面内 三点 A、B、C 满足, m 的值为 m=﹣1 或 . = +2 , =2 +m .若 A、B、C 三点构成直角三角形,则实数

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由题意,得到向量 AB,AC 的坐标,进 而得到向量 BC 的坐标,再讨论 A,B,C 为直角,运用向量垂直的条件,列出方程,解得即可. 解答: 解:由题意,可得, 则 = ﹣ =(1,m﹣2) , =0,即 2+2m=0,解得,m=﹣1; =0,即 1+2(m﹣2)=0,解得,m= ; =0,即 2+m(m﹣2)=0,解得 m∈?. =(1,2) , =(2,m) ,

若 AB⊥AC,即有 若 ,则 ,则有 则 m=﹣1 或 . 故答案为:m=﹣1 或 .

点评: 本题考查向量的垂直的条件,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于中档 题.

16. (4 分)平面向量 , , 满足| |=1, ? =1, ? =2,| ﹣ |=2,则 ? 的最小值为 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 如图所示,建立直角坐标系.由| |=1,不妨设 =(1,0) .由 ? =1, ? =2,可 设 =(1,m) , =(2,n) .利用| ﹣ |=2,可得 再利用数量积运算 =2+mn 即可得出. , (m+n) =3+4mn≥0,
2

解答: 解:如图所示,建立直角坐标系. ∵| |=1,∴不妨设 =(1,0) . ∵ ? =1, ? =2, ∴可设 =(1,m) , =(2,n) . ∴ =(﹣1,m﹣n) .

∵| ﹣ |=2, ∴
2

,化为(m﹣n) =3,

2

∴(m+n) =3+4mn≥0, ∴ ∴ ,当且仅当 m=﹣n= =2+mn . 时取等号.

故答案为: .

点评: 本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、 数量积运算及其性质、 不等式 的性质,考查了推理能力和解决问题的能力,属于难题. 17. (4 分)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈时 f(x)=x,若在区间内,关于 x 的 方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠﹣1)有四个根,则 k 的取值范围是(﹣ ,0) .

考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题.

分析: 把方程 f(x)=kx+k+1 的根转化为函数 f(x)的图象和 y=kx+k+1 的图象的交点在 同一坐标系内画出图象,由图可得结论. 解答: 解:由已知可画出函数 f(x)的图象, 先画出 f(x)在 x∈上的图象,利用偶函数的性质画出 在 x∈上的图象,再利用函数的周期性画出 R 上的图象,下面画出的是函数在 x∈上的图象, 如图: 又可知关于 x 的方程 y=kx+k+1(k≠1)恒过点 M(﹣1,1) , 在上图中画出直线 l0,l1,l2, 显然当这些过定点 M(﹣1,1)的直线位于 l0 与 l2 之间, 如 L1 时,才能与函数 f(x)有四个交点. 又因为直线 l0 与 l2 的斜率分别为 k0=0 和 k2=﹣ ,因此 k 的取值范围应为:﹣ <k<0, 故答案为 (﹣ ,0) .

点评: 本题考查函数的奇偶性、周期性以及直线系方程的应用,体现了数形结合的思想, 属于基础题. 三、解答题:本大题共 5 题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (14 分)已知{an}是递增的等差数列,a1=2, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=an+ ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. =a4+8

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设等差数列的公差为 d,d>0,依题意可得(2+d) =2+3d+8,解得 d,而 a1=2,可求得数列{an}的通项公式; 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an=2n,从而得 bn=2n+2 ,利用分组求和的方法即可求得数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列的公差为 d,d>0, ∵a1=2,
2 2

=a4+8

∴(2+d) =2+3d+8, 2 ∴d + d﹣6=0,

解得 d=2 或 d=﹣3(舍) ,…(3 分) ∴d=2…(5 分) 代入:an=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)×2=2n, ∴数列{an}的通项公式为:an=2n …(7 分) (Ⅱ)∵bn=an+ =2n+2
2n

…(9 分)

∴数列{bn}的前 n 项和: 2 4 2n Sn=b1+b2+…+bn=(2+2 )+(4+2 )+…+(2n+2 ) 2 4 2n =(2+4+…+2n)+(2 +2 +…+2 ) )…(11 分) = +

=n(n+1)+

…(14 分)

点评: 本题考查等差数列的通项公式,考查数列求和,着重考查分组求和与公式法求和, 属于中档题. 19. (14 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,已知 cos2A=﹣ . (1)求 sinA; (2)当 c=2,2sinC=sinA 时,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理的应用;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: (1)由 cos2A=﹣ ,利用倍角公式可得 得 sinA>0. 解得 sinA= . .由于 a>c,可得 ,由于 A∈(0,π) ,可

(2)由于 c=2,2sinC=sinA,由正弦定理可得 a=2c=4.sinC=
2 2 2

.由余弦定理可得:c =a +b ﹣2abcosC,解得 b,利用△ ABC 的面积 S= 即可得出.

解答: 解: (1)∵cos2A=﹣ , ∴ ,化为 sin A= ,
2

∵A∈(0,π) ,∴sinA>0. ∴sinA= .

(2)∵c=2,2sinC=sinA,由正弦定理可得 a=2c=4.

∴sinC=



∵a>c,∴cosC>0. ∴
2

=
2 2



由余弦定理可得:c =a +b ﹣2abcosC, ∴ 化为 ∴△ABC 的面积 S= , ,解得 b= = 或2 或 . .

点评: 本题考查了正弦定理与余弦定理的应用, 考查了同角三角函数基本关系式、 倍角公 式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20. (14 分) 已知函数 f(x)= 范围.

,x∈,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2,求实数 a 的取值

考点: 函数奇偶性的性质;二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意先求出 m,代入求函数解析式; (1)由 x|x|≥x 可得 或 ,从而解不等式;

(2)由 f(x)=

可知 f(x)在 R 上单调递增,从而化对任意 x1,x2∈,总有

|f(x1)﹣f(x2)|≤2 为 f(1+a)﹣f(1)≤2,从而解得. 解答: 解:∵f(x)=x|x+m|是定义域为 R 的奇函 数, ∴m=0, ∴f(x)=x|x|; (1)由 x|x|≥x 得, 或 ;

解得,x≥1 或﹣1≤x≤0, 故不等式的解集为{x|x≥1 或﹣1≤x≤0}; (2)f(x)= 则 f(x)在 R 上单调递增, ∴f(x)在上单调递增, ∴f(1+a)﹣f(1)≤2, ,

即(1+a)|1+a|﹣1≤2, 又∵1+a>1, ∴0<a< ﹣1. 点评: 本题考查了分段函数的应用,属于中档题.

22. (15 分)已知 =(

sinx,cosx+sinx) , =(2cosx,sin x﹣cosx) ,f(x)= ? .

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; 2 (2)当 x∈时,对任意 t∈R,不等式 mt +mt+3≥f(x)恒成立,求实数的 m 取值范围. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式,进一步变函数为正弦型函数, 最后求出单调区间. (2)根据函数与的定义域 求出函数的值域,进一步利用恒成立问题,利用分类讨论的思想 求出 m 的取值范围. 解答: 解: (1)已知, =( 则:f(x)= ? = = =2 令 解得: , , (k∈Z) , sinx,cosx+sinx) , =(2cosx,sinx﹣cosx) , (sinx﹣cosx)

所以:函数 f(x)的单调递增区间为: (k∈Z) . (2)当 x∈时, , 对任意 t∈R,不等式 mt +mt+3≥f(x)恒成立. 2 只需满足:mt +mt+3≥f(x)max 成立即可. 2 即 mt +mt+1≥0 即可. ①当 m=0 时,恒成立 ②当 m≠0 时,只需满足 解得:0<m≤4 综合所得:0≤m≤4. 点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,向量的坐标运算,正弦型函数 的单调区间,恒成立问题的应用.属于基础题型.
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