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浙江省2016届高三数学下学期六校联考试题 理


2016 届浙江省六校联考数学(理科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。考试时间为 120 分钟。 参考公式: 柱体的体积公式 V ? Sh 锥体的体积公式 V ? 1 Sh
3

其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1 , S2 分别表示台体的上,下底面积 其中

R 表示球的半径, h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

台体的体积公式 V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 )
3

球的表面积公式 S ? 4? R2 球的体积公式 V ? 4 ? R 3 3

选择题部分(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合要求的.
2 1.已知集合 A= x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x 2 ? x ? 4 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. ( 1, 3 )

B. (1, 4 )

C. (2 ,3 )

D. (2,4)

2.已知直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m 与 l2 : 2x ? (5 ? m) y ? 8 ,则“ l1 // l2 ”是“ m ? ?7 ” 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知空间两条不同的直线 m , n 和平面 ? ,则下列命题中正确的是 A.若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n C.若 m // ? , n // ? ,则 m // n 4.将函数 y ? sin(4 x ? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m ? ? , n // ? ,则 m // n

π π ) 的图像上各点的横坐标伸 长为原来的 2 倍,再向右平移 个单 6 3

位,得到的函数的图像的一个对称中心为

π π π π ,0 ) B. ( ,0 ) C. ( ,0 ) D. ( ,0 ) 16 9 4 2 2 5.等差数列 {an } 的公差为 d ,关于 x 的不等式 dx ? 2a1 x ? 0 的解集为[ 0 , 9 ],则使数列
A. (

{an } 的前 n 项和 S n 最大的正整数 n 的值是
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

1

x2 y2 6.已知 O 为坐标原点,双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,以 OF 为直径作 a b
圆交双曲线的渐近线于两点 A , B (异于原点) ,若 ( AO ? AF ) ? OF ? 0 ,则双曲线的离 心率 e 为 A. 3 B. 2 C. 3 D. 2

???? ??? ? ??? ?

7.设 m 为不小于 2 的正整数,对任意 n ? Z ,若 n ? qm ? r (其中 q , r ? Z ,且 0 ≤ r ? m ) , 则记 f m (n) ? r ,如 f 2 (3) ? 1 , f3 (8) ? 2 .下列关于该映射 f m : Z ? Z 的命题中,不正 .. 确 的是 . A.若 a , b ? Z ,则 f m (a ? b) ? f m (a) ? f m (b) B.若 a , b , k ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) ,则 f m (ka) ? f m (kb) C.若 a , b , c , d ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) , f m (c) ? f m (d ) ,则 f m (a ? c) ? f m (b ? d ) D.若 a , b , c , d ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) , f m (c) ? f m (d ) ,则 fm (ac) ? f m (bd ) 8.如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB ? 2 , CD ? 4 , BC ? 5 ,点 E , F 分别为 AD ,

BC 的中点。如果对于常数 ? ,在等腰梯形 ABCD 的四条边上,有且只有 8 个不同的点 P
使得 PE ? PF ? ? 成立,那么 ? 的取值范围是
A E B F

5 9 ,? ) 4 20 9 1 C. (? ,? ) 20 4
A. (?

9 11 , ) 20 4 5 11 D. (? , ) 4 4
B. (? 非选择题 部分(共 110 分)

D

P

C

(第 8 题图)

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为______,表面积为 ______.

2
2 1 1 11 侧视图

x x 2 x 10.已知 f ( x) ? 3 sin cos ? cos ,则 f ( x ) 的最小正周期为 2 2 2
______,单调递减区间为______.

1 1 正视图

? 2 x , x ? [?1,2] 11. 设 函 数 f ( x) ? ? 则 f (log2 3) =______ , 若 8 ? 2 x , x ? ( 2 , 4 ] ?
f ( f (t )) ? [ 0 , 1],则实数 t 的取 值范围是______.

(第 9 题图) 俯视图

12.动直线 l : (3? ? 1) x ? (1 ? ? ) y ? 6 ? 6? ? 0 过定点 P ,则点 P 的坐标为______,若直

2

? x?0 ? 线 l 与 不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域有公共点,则实数 ? 的取值范围是_____. ?2 x ? y ? 2 ? ??? ? 2 ??? ? 13.在 ?ABC 中,点 D 满足 BD ? BC ,点 E 是线段 AD 上的一个动点(不含端点) , 3
若 BE ? ? AB ? ? AC ,则

??? ?

??? ?

??? ?

? ?1 =______. ?

D

E

C

14.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中, E 为正方形边上的动点, 现将△ ADE 所在平面沿 AE 折起,使点 D 在平面 ABC 上的射 影 H 在直线 AE 上,当 E 从点 D 运动到 C ,再从 C 运动到 B , 则点 H 所形成轨迹的长度为______.
A B

(第 14 题图)

2 15.设 a , b , c ? R ,对任意满足 x ? 1 的实数 x ,都有 ax ? bx ? c ? 1 ,则 a ? b ? c

的最大可能值为______. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D = 2?B ,且 AD ? 1 , CD ? 3 , cos B ?
A

3 . 3
D

(I)求△ ACD 的面积; (II)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

B

C

17.如图(1) ,在等腰梯形 CDEF 中, CB, DA 是梯形的高 , AE ? BF ? 2, AB ? 2 2 , 现将梯形沿 CB , DA 折起,使 EF // AB 且 EF ? 2AB ,得一简单组合体 ABCDEF 如 图(2)示,已知 M , N 分别为 AF , BD 的中点. C D
C N D

B

F

B

图(1)

A

E

F

M

A E

图(2)

(I)求证: MN // 平面 BCF ; (II)若直线 DE 与平面 ABCD 所成角的正切值为 小.
2 ,求平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面角大 2

3

18.已知函数 f ( x) ?

ax 3 2 (a ? 0, b ? 1) ,满足: f (1) ? 1 ,且 f ( x) 在 R 上有最大值 . x ?b 4
2

(I)求 f ( x) 的解析式; (II)当 x ? [ 1, 2 ]时,不等式 f ( x) ?

3m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ( x ? 2) x ? m
2

19.如图,椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 和圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,已知圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等分, a 2 b2

且圆 C2 的面积为 π 。椭圆 C1 的下顶点为 E ,过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2 相 交于点 A , B ,直线 EA , EB 与椭圆 C1 的另一个交点分别是点 P , M . (I)求椭圆 C1 的方程; (II)求△EPM 面积最大时直线 l 的方程.
M O B E x y P A

20.已知数列 {an } 满足: an ?1 ? (I)若 a3 ?

1 4 (an ? ) ; 2 an

41 ,求 a1 的值; 20

(II)若 a1 ? 4 ,记 bn ?| an ? 2 | ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求证: Sn ?

8 3

2016 届浙江省六校联考 数学(理科)答案 一、选择题 1.C 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.C

二、填空题(第 9,10,11,12 题每空 3 分,第 13,14,15 题每空 4 分,共 36 分) 9.

? 3

, 2?

1? 5 ? 2

10.

2?



(2k? ?

2? 5? , 2 k? ? ) k ? Z 3 3
4

11. 13.

3,

[log 2

7 9 , ] 2 4
14. ?

12.

(0, ?6)
15. 3

1? ? ?

7 3

1 2

三、解答题 16. 解: (Ⅰ) cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?
2

1 3

?????????(2 分)

因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以 sin D ? 所以△ACD 的面积 S ?

2 2 ,??????????(4 分) 3

1 ? AD ? CD ? sin D ? 2 .??????(7 分) 2

(Ⅱ)解法一:在△ACD 中, AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 .????????????????????(9 分) 在△ABC 中, AC2 ? AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 12 ?????(12 分) 把已知条件代入并化简得: AB2 ? 4 AB ? 0 因为 AB ? 0 ,所以 AB ? 4 ??(15 分) 解法二:在△ACD 中,在△ACD 中, AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 .??????????????????????(9 分) 因为 BC ? 2 3 ,

2 3 AB AC AB ? ? ,所以 ,???(12 分) sin B sin ?ACB sin B sin ?? ? 2B ?

得 AB ? 4 .???????????????????????????? (15 分) 17. 解: (Ⅰ)证明:连 AC ,∵四边形 ABCD 是矩形, N 为 BD 中点, ∴ N 为 AC 中点. 在 ?ACF 中, M 为 AF 中点,故 MN // CF . ∵ CF ? 平面 BCF , MN ? 平面 BCF ,? MN // 平面 BCF .????????(4 分) (Ⅱ)依题意知 DA ? AB, DA ? AE 且 AB ? AE ? A ∴ AD ? 平面 ABFE ,过点 E 作 EH ? AB于点H ,连接 DH ? DE 在面 ABCD 上的射影是 DH . 所以 ?EDH 为 DE 与平面 ABCD 所成的角。???????????(6 分) 所以: tan ?EDH ?

HE 2 ? DH 2

所以: DH ? 2, DA ?

2

设 P ? EF 且 AP ? EF ,分别以 AB, AP, AD 所在 的直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系
5

则 A(0,0,0), D(0,0, 2), E(? 2, 2,0), F (3 2, 2,0)

??? ? ??? ? ??? ? ???? AD ? (0,0, 2), AE ? (? 2, 2,0), DE ? (? 2, 2, ? 2), DC ? (2 2,0,0)
????????????(9 分) 设 m ? ( x, y, z), n ? (r, s, t ) 分别是平面 ADE 与平面 CDFE 的法向量

??

?

?? ???? ? ?m?AD ? 0 令 ? ?? ??? ? ?m?AE ? 0 ?
即?

? ???? ? ?n?DC ? 0 , , ? ? ???? ?n?DE ? 0 ?

? ?2 2 x ? 0 ,? ? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ?? ? 取 m ? (1,1,0), n ? (0,1,1) ???? ????????(13 分) ?? ? ?? ? m?n 1 则 cos ? m, n ?? ?? ? ? m ?n 2
? 平面 ADE 与平面 CDFE 所成锐二面角的大小为
18. 解: (1)因为 f (1) ? 1 ,得: a ? b ? 1 , 又因为 f ( x) max ?

? ? 2z ? 0

π . 3

????????(15 分) ???????2 分

a 2 b

?

3 2, 4

???????4 分

?a ? 3 解得: ? ?b ? 2 或
即: f ( x ) ? (2)解法一:因为

3 ? a? ? ? 2 ? ?b ? 1 (舍) ? 2 ?
???????6 分

3x x ?2
2

3m 在 x ? [1, 2] 恒有意义,? m ? (??,1) U (2, ??) ?8 分 ( x ? 2) x ? m
2

则问题为

3x 3m m ? 2 即x? 对 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 2 ( x ? 2) x ? m | x?m|
2

即 x x ? m ? m ? 0 对 x ? [1,2] 恒成立 令 g ? x ? ? x x ? m ? m , g ? x ? ? 0 对 x ? [1,2] 恒成立, 由?

? g ?1? ? 1 ? m ? m ? 0 ? ? ? g ? 2? ? 2 2 ? m ? m ? 0



4 ?m?4 3

????10 分

6

整理得 g ( x) ? ?

? x 2 ? m x ? m, ( x ? m) 2 ?? x ? m x ? m, ( x ? m)

问题转化为:求 g ( x) 在 [1,2] 上的最大值 g ( x) max ? 0 ① 当

4 ? m ? 2 时, g ( x) max ? max?g (1), g (2)? 3

g (1) ? ?1, g (2) ? 4 ? 3m
4 5 ? m ? 时 , g (2) ? g (1) 3 3 5 4 ? m ? 2 时, g (1) ? g (2) ,? ? m ? 2 成立 3 3
② 当 2 ? m ? 4 时, g ( x) max ? g ?
2 ?m? m ?m?0 ?? ?2? 4

????12 分

?2 ? m ? 4
又 m ? (??,1) U (2, ??) 综上,实数 m 的取值范围为 2 ? m ? 4 解法二: 因为

????14 分

??????15 分

3m 在 x ? [1, 2] 恒有意义,? ( x ? 2) x ? m
2

m ?(??,1) ? (2, ??) ??8 分

问题即为

3x 3m m ? 2 对 x ? [1, 2] 恒成立,即 x ? 对 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 2 ( x ? 2) x ? m | x?m|
2

x?m ?


m m m ? ? x?m? x x x x ? 1 显然成立
m?4

???????10 分

x2 当 x ? 1 时, m ? x ?1
② 对于 m ?

x2 x2 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( ) max , x ?1 x ?1

令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (2,3] ,

x2 (t ? 1) 2 1 x2 4 4 ? ? t ? ? 2 , t ? (2,3] 递增, ? ( ) max ? , 即 m ? , x ?1 t t x ?1 3 3
综上,实数 m 的取值范围为 2 ? m ? 4 ???????15 分

19. 解: (1)由题意得: b ? 1 ,则 a ? 3b ,所以椭圆方程为:

x2 ? y 2 ? 1??????5 分 9
7

(2)由题意得:直线 PE, ME 的斜率存在且不为 0, PE ? EM , 不妨设直线 PE 的斜率为 k (k ? 0) ,则 PE : y ? kx ? 1

18k ? x? 2 ? y ? kx ? 1 ? ? 9k ? 1 ? x ? 0 ? 由: ? x 2 ,得: ? 或? 2 2 ? y ? 9k ? 1 ? y ? ?1 ? ? y ?1 ?9 ? 9k 2 ? 1 ?
18k 9k 2 ? 1 , ) 所以: P : ( 2 9k ? 1 9 k 2 ? 1 ?18k 9 ? k 2 , ) 同理得: M : ( 2 k ? 9 k2 ? 9
??????8 分

k PM ?

k 2 ?1 10k

由?

? y ? kx ? 1 2k k 2 ? 1 k 2 ?1 A : ( , ) k ? ,得: , 所以: AB 2 2 1? k 2 1? k 2 2k ?x ? y ? 1

1 162(k ? ) 1 162(k ? k 3 ) k 所以: S?EPM ? PE ? EM ? ??????12 分 ? 4 2 2 9k ? 82k ? 9 9k 2 ? 82 ? 9 k2 1 162t 162 27 设t ? k ? , 则 S?EPM ? 2 ??13 分 ? ? k 9t ? 64 9t ? 64 8 t 1 8 1 2 7 当且仅当 t ? k ? ? 时取等号,所以 k ? ? ? k 3 k 3
则直线 AB : y ?

k 2 ?1 1 1 x ? (k ? ) x 2k 2 k

所以所求直线 l 方程为: y ? ?

7 x 3

??????15 分

20. 解: (1)Q

41 1 4 ? (a2 ? ) 20 2 a2

5 8 ?a2 ? 或a2 ? 2 5

.........2 分

5 时,解得 a1 =1或4 .........4 分 2 8 当 a2 = 时,无解 所以, a1 =1或 4 5
当 a2 = (2)方法 1:Q an ?1 ? 2 ?

.........6 分

1 4 1 1 (an ? ? 4) ? (an 2 ? 4an ? 4) ? (an ? 2) 2 2 an 2an 2an



8

1 4 1 1 an?1 ? 2 ? (an ? ? 4) ? (an 2 ? 4an ? 4) ? (an ? 2) 2 2 an 2an 2an
①/②得,因为



an?1 ? 2 (an ? 2)2 ? an?1 ? 2 (an ? 2)2

.........9 分

(an ? 2) (an?1 ? 2)2 (an?2 ? 2)4 (a1 ? 2) 2n?1 1 n?1 ? ? ? ? .... ? ( ) ? ( )2 2 4 (an ? 2) (an?1 ? 2) (an?2 ? 2) (a1 ? 2) 3
1 n?1 1 ? ( )2 3 .........12 分 ? an ? 2 ? 1 2n?1 1? ( ) 3 1 n?1 1 ? ( )2 4 4 3 | an ? 2 |? 2 ? ? 2 ? 2n?1 ? n 1 n?1 3 ?1 3 1 ? ( )2 3

? Sn ?| a1 ? 2 | ? | a2 ? 2 | ?...? | an ? 2 | 1 1 ? n ?1 4 4 4 2 1 8 .........14 分 ? 2 ? 2 ? ... ? n ? 2 ? ( 3 ) ? 2 ? (1 ? n?1 ) ? 3 3 9 1? 1 3 3 3 3
方法 2:因为 a1 ? 4 , an ?1 ? 2 ? 又因为 a1 ? 4 ,所以 an ? 2 所以 an ?1 ? an ?

1 (an ? 2)2 ? 0 2an

4 ? an 2 ? 0 ,所以 {an } 为单调递减数列 2an
an ? 2 1 1 1 ? ? ? 2an 2 an 4
1 1 an ? 2 ? ( ) n ?1 (a1 ? 2) ? 2 ? ( ) n ?1 4 4

所以 2 ? an ? 4

an ?1 ? 2 ?
所以:

an ? 2 1 (an ? 2) ? (an ? 2) , 2an 4

Sn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? ... ? an ? 2 2 1 1 2 1 8 ? 2 ? ? 2 ? ( ) 2 ? ... ? 2 ? ( ) n ?1 ? 2 ? (1 ? ( ) n ) ? 4 4 4 3 4 3

9


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