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福建省厦门六中2013-2014学年高一上学期期中数学试卷 Word版含答案


厦门六中 2013—2014 学年上学期高一数学期中考解答


满分 150 分

学 试



考试时间 120 分钟

一、选择题:本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个 选项中,只有一个是正确的,把正确选项的代号填在答题卡的指定

位置上.
A1. 设集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B=( ) A.[0,2] B.[1,2] C.[0,4] D.[1,4] A2..在映射 f : A ? B中, A ? B ? {( x, y) | x, y ? R} ,且 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) ,则 与 A 中的元素 (?1,2) 对应的 B 中的元素为( A. ( ?3,1) B. (1,3) C. (?1,?3) ) D. (3,1) ks5u

?log3 x ( x ? 0) 1 C3.若函数 f ( x) ? ? x ,则 f [ f ( )] 的值是 9 ( x ? 0) ? 2
A. 9 B.

(

)

1 9

C.

1 4

D.4

D4.函数 f(x)=ln x+2x-8 的零点所在区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D.(3,4) A5.设 a=错误!未找到引用源。 ,b=错误!未找到引用源。 ,c=错误!未找到引用源。 , 则 a,b,c 的大小关系为 ( ) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b C6.函数 y= log A. (
1 2

( 2 x ? 1 ) 的定义域为(
C. (

) D. (-∞,1)

1 ,+∞) B. [1,+∞ ) 2

1 ,1 ] 2

x B7. 将函数 y ? 10 的图象向右平移 2 个单位,再向下移 2 个单位,得到函数 y ? f ( x) 的图

象,函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称,则 g ( x) 的表达式为( )
? x ?2 B. g ( x) ? 10 ?2 ?2 x?2 x?2 C. g ( x) ? ?10 ? 2 D. g ( x) ? ?10 ? 2 2x ? 1 B8. 函数 y = 的值域是 ( ) 3x ? 2 2 2 3 3 A.(-∞,- )∪(- ,+ ∞) B.(-∞, )∪( ,+ ∞) 3 3 2 2 1 1 1 1 C. (-∞,- )∪(- ,+ ∞) D. (-∞, )∪( ,+ ∞) 2 2 2 2

A. g ( x) ? 10

? x?2

B9. 已知 0<a<1,m>1,则函数 y=loga(x-m)的图象大致为( )

B10. 函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与 y=-logax(a>0,且 a≠1)在同一坐标系中的图象可能是( )

ks5u B C A 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) A A) 11.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2, 2 ),则 f(9)= 3 。 D

12. 已知 f(x)是奇函数,x≥0 时,f(x)=-2x2+4x,则当 x<0 时,f(x)= 2 x ? 4 x
2

13.函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 1(a ? 0且a ? 1) 恒过定点 (2,1)

.

2 14. 若函数 f ( x) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为2,则 a 的范围是 a ? 0或a ? 4 .

15 . 设 奇 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [ - 5,5] , 在 ? 0 , 5 ? 上 是 减 函 数 , 又 f( - 3) = 0 , 则 不等式 xf(x)<0 的解集是 ? ?5, ?3?

?3,5? .

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分;解答应写出文字说明与演算步骤)
16. (本小题满分 13 分) 已知 M={x| ?2≤x≤5}, N={x| a+1≤x≤2a?1}. (1)若 a=3 时,求 M ? ?C R N ? ; (2)若 M N,求实数 a 的取值范围.

解: (1) a ? 3 时, N ? ? x 4 ? x ? 5? , CR N ? ? x x ? 4或x ? 5?

……4'

?M

?CR N ? ? R

……6' ……9'

1 当 2a ? 1 ? a ? 1 ,即 a ? 2 时, N ? ? ? M (2)○

?a ? 1 ? ?2 ?a ? ?3 2 当 a ? 2 时, ? ○ ?? ? 2a ? 1 ? 5 ? a?3
-2 a+1 2a-1 5

?2 ? a ? 3

……12' ……13'

综上, a 的取值范围为 ? ??,3?

17. (本小题满分 13 分)设 2 ? x ? 8 , 求函数 f ( x) ? log 2 并求出相应的 x 轴。
2

x x ? log 2 的最大值和最小值, 2 4

解:记 y ? f ? x ? ? ? log 2 x ? 1?? log 2 x ? 2 ? ? ? log 2 x ? ? 3log 2 x ? 2 ……4' 令 t ? log2 x
2

2? x?8
2

?l o g 2 ? lo g? 2 2x
……7'

l2 o g ? 81 ? t ? 3 ……6'

? 3? 1 ? y ? t ? 3t ? 2 ? ? t ? ? ? ? 2? 4
当t ?

3 3 ? log 2 x ? 即 x ? 2 2 时 2 2

ym i n? ?

1 4

……10' ……13'

当t ? 3即 x ? 8 时 18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? 断函数的奇偶性,并加以证明。 解: (1)

ymax ? 2

2x ? 1 , (1)求该函数的定义域和值域; (2)判 2x ? 1
(2) f ? x ? 为奇函数 事实上,定义域为 R,关于原点对称, 且 f ??x? ?

2x ? 1 ? 1

? x ? R ……2'

记 y ? f ? x? ?

2x ? 1 2x ? 1 ? 2 ? 2x ? 1 2x ? 1 2 ? 1? x 2 ?1

由 2x ? 1? ?1, ??? 知

?
= ……6


?2

2? x ? 1 2? x ? 1 ? 2? x ? 1? ? 2x
?x

? 1? ? 2 x

?1 ? y ? 1

? 值域为 ? ?1,1?

1 ? 2x 1 ? 2xx 2 ?1 ?? x ? ? f ? x? 2 ?1
……13
'

19. (本小题满分 13 分) 设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意的 a,b∈[-1,1], f?a?+f?b? 当 a+b≠0 时,都有 >0.(1) 用定义证明 f(x) 在[-1,1]上为增函数;(2)若 a>b,试 a+b 1 1 比较 f(a)与 f(b)的大小; (3)解不等式 f(2x- )<f(x- ). 2 4 解: (1)设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1

? x2 ? x1 ? 0 即 x2 ? ? ? x1 ? ? 0


?

f ? x2 ? ? f ? ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ?

? 0 ……3'

f ? x ? 为奇函数

? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 0
(2)

? f ? x ? 在?-11 , ? 上为曾函数……6'

即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ……8'

?1 ? b ? a ? 1 ,? f ? a ? ? f ?b ?

(3)

f ? x ? 在??1,1? 上为增函数
1 ? ? ?1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? 1? 1? 1 ? ? ? ? f ? 2 x ? ? ? f ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? ? 1 2? 4? 4 ? ? ? 1 1 ? ? 2x ? 2 ? x ? 4 ?
解得 ?

……11

'

1 1 ?x? 4 4

故原不等式解集为 ? x ?

? ?

1 ?x? 4

1? ? 4?

……13

'

20. (本小题满分 14 分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器 需增加投入 100 元,已知总收益满足函数: ?400x-1x2 ?0≤x≤400? ? 2 R(x)=? ,其中 x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函

?80000 ?x>400? ?

数(用 f(x)表示);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益= 总成本+利润) ' 解: (1)由每月产量 x 台,知总成本为 20000 ? 100 x ……1

? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000 ?0 ? x ? 400 ? ' 从而 f ? x ? ? ? 2 ……7 ? ?100 x ? 60000 ? x ? 400 ? ?
1 2 ? x ? 300 ? ? 25000 2 当 x ? 300时,fmax ? x ? ? 25000 ……10'

1 当 0 ? x ? 400时, f ? x ? ? ? (2) ○

2 当 x ? 400时,f ? x ? ? ?100x ? 60000 为减函数 ○

? f ? x ? ? ?100 ? 400 ? 60000 ? 20000 ? 25000 ……12

'

答:当月产量为 300 台时,利润最大,最大利润 25000 元。……14'
x2+2x+a 1 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞).(1)当 a= 时,用定义探 x 2 讨函数 f(x)在 x∈[1,+∞)上的单调性并求 f(x)最小值;(2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

1 1 a ? 时,f ? x ? ? x ? ?2 2 2x 解: (1)当 ks5u 设 1 ? x1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ?

1 1 ? x2 ? 2 x1 2 x2 x ?x ? ? x1 ? x2 ? ? 2 1 2 x1 x2

? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? 2 x1 x2 ?
2 x1 x2 ? 1 2 x1 x2 由 1 ? x1 ? x2 得x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1 ? 2x1 x2 ? 1 ? 0 ? ? x1 ? x2 ?

? f ? x ? 在?1,+?? 上为增函数, 7 ' ? f min ? x ? ? f ?1? ? ……8 2 x2 ? 2 x ? a ? 0在 ?1, ?? ? 上恒成立 ? a ? ? x2 ? 2 x 在 ?1, ?? ? 上恒成立, (2) x 2 2 记 g ? x ? ? ? x ? 2 x ? ? ? x ? 1? ? 1 ,? gmax ? x ? ? g ?1? ? ?3
故 a ? ?3 ……14
'

? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0

即f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,


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