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2013版【名师一号】高中数学(人教A版)必修4第二章 平面向量 测试题(含详解)


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第二章测试
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.有下列四个表达式: ①|a+b|=|a|+|b|; ②|a-b|=± (|a|-|b|); ③a2>

;|a|2; ④|a· b|=|a|· |b|. 其中正确的个数为( A.0 B.2 ) C.3 D.4

解析 对于①仅当 a 与 b 同向时成立.对于②左边|a-b|≥0,而 右边可能≤0,∴不成立.对于③∵a2=|a|2,∴a2>|a|2 不成立.对于 ④当 a⊥b 时不成立,综上知,四个式子都是错误的. 答案 A )

2.下列命题中,正确的是(

A.a=(-2,5)与 b=(4,-10)方向相同 B.a=(4,10)与 b=(-2,-5)方向相反 C.a=(-3,1)与 b=(-2,-5)方向相反 D.a=(2,4)与 b=(-3,1)的夹角为锐角 解析 在 B 中,a=(4,10)=-2(-2,-5)=-2b, ∴a 与 b 方向相反. 答案 B

→ 3.已知 A,B 是圆心为 C,半径为 5的圆上两点,且|AB|= 5,
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→ → 则AC· CB等于( 5 A.-2 C.0 解析 应选 A. 答案 A

) 5 B.2 5 3 D. 2

→ → 5 易知△ABC 为正三角形,AC· CB= 5· 5cos120° =-2,

1 ? ? 4.已知向量 a=?8+2x,x?,b=(x+1,2),其中 x>0,若 a∥b,
? ?

则 x 的值为( A.8 C.2

) B.4 D.0

1 解析 ∵a∥b,∴(8+2x)×2-x(x+1)=0,即 x2=16,又 x>0, ∴x=4. 答案 B

5.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满 → → → → → 足AP=2PM,则AP· (PB+PC)等于( 4 A.9 4 C.-3 解析 ) 4 B.3 4 D.-9

→ → → → M 为 BC 的中点,得PB+PC=2PM=AP,

→ → → → ∴AP· (PB+PC)=AP2.
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→ → → 2 → 2 又∵AP=2PM,∴|AP|=3|AM|=3. → → 4 ∴AP2=|AP|2=9. 答案 A

6.(2010· 广东)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件 (8a-b)· c=30,则 x=( A.6 C.4 ) B.5 D.3

解析 8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3),c=(3,x), ∴(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=18+3x. 又(8a-b)· c=30,∴18+3x=30,x=4. 答案 C

7.向量 a=(-1,1),且 a 与 a+2b 方向相同,则 a· b 的取值范围 是( ) A.(-1,1) C.(1,+∞) B.(-1,+∞) D.(-∞,1)

解析 依题意可设 a+2b=λa(λ>0), 1 则 b=2(λ-1)a, 1 1 ∴a· b=2(λ-1)a2=2(λ-1)×2=λ-1>-1. 答案 B

8.设单位向量 e1,e2 的夹角为 60° ,则向量 3e1+4e2 与向量 e1 的夹角的余弦值为( 3 A.4 ) 5 B.37

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25 C.37 解析

5 37 D. 37 ∵(3e1+4e2)· e1=3e2 e2=3×12+4×1×1×cos60° = 1 + 4e1·
2 1

5 , |3e1 + 4e2|2 = 9e 24×1×1×cos60° =37. ∴|3e1+4e2|= 37.

+ 16e

2 2

+ 24e1· e2 = 9×12 + 16×12 +

设 3e1+4e2 与 e1 的夹角为 θ,则 cosθ= 答案 5 5 = . 37×1 37 D

9.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 为线段 OD → → → 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F, 若AC=a, BD=b, 则AF=( 1 1 A.4a+2b 1 1 C.2a+4b 2 1 B.3a+3b 1 2 D.3a+3b )

→ → → 解析 如右图所示,AF=AD+DF,

由题意知,DE BE=DF BA= → 1→ ∴DF=3AB.

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→ 1 1 11 1 2 1 ∴AF=2a+2b+3(2a-2b)=3a+3b. 答案 B

10.已知点 B 为线段 AC 的中点,且 A 点坐标为(-3,1),B 点坐
?1 3? 标为?2,2?,则 C 点坐标为( ? ?

)
? 5 5? B.?-4,4? ? ?

A.(1,-3) C.(4,2)

D.(-2,4)

→ → 解析 设 C(x,y),则由AB=BC,得 3 ? ? 1 3? ?1 ? -?-3?, -1?=?x- ,y- ?, 2 ? ? 2 2? ?2 1 7 ? x - ? 2=2, ∴? 3 1 ? y - ? 2=2, 答案 C
?x=4, ? ?? ∴C(4,2). ? ?y=2,

→ → → → 11. 已知向量OA=(2,2), OB=(4,1), 在 x 轴上求一点 P, 使AP· BP 有最小值,则点 P 的坐标为( A.(-3,0) C.(3,0) ) B.(2,0) D.(4,0)

→ → → 解析 设OP=(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),∴ → → AP· BP=(x-2)(x-4)-2×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1, ∴当 x=3 → → 时,AP· BP有最小值 1,此时 P(3,0). 答案 C
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12.下列命题中正确的个数是(

)

①若 a 与 b 为非零向量,且 a∥b,则 a+b 必与 a 或 b 的方向相 同; ②若 e 为单位向量,且 a∥e,则 a=|a|e; ③a· a· a=|a|3; ④若 a 与 b 共线,又 b 与 c 共线,则 a 与 c 必共线; → → → → ⑤若平面内有四点 A,B,C,D,则必有AC+BD=BC+AD. A.1 C.3 B.2 D.4

→ → → → 解析 易知①②③④均错误,⑤正确,因为AC+BD=BC+AD, → → → → → → ∴AC-AD=BC-BD,即DC=DC,∴⑤正确. 答案 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.将答案填在 题中横线上) 13. 已知 a=(2cosθ, 2sinθ), b=(3, 3), 且 a 与 b 共线, θ∈[0,2π), 则 θ=________. 3 解析 由 a∥b,得 2 3cosθ=6sinθ,∵cosθ≠0,∴tanθ= 3 , π 7π 又 θ∈[0,2π),∴θ=6或 6 . π 7 答案 6或6π 14.假设|a|=2 5,b=(-1,3),若 a⊥b,则 a=________. 解析 设 a=(x,y),则有 x2+y2=20.① 又 a⊥b,∴a· b=0,∴-x+3y=0.②
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由①②解得 x=3 2,y= 2,或 x=-3 2,y=- 2, ∴a=(3 2, 2),或 a=(-3 2,- 2). 答案 (3 2, 2)或(-3 2,- 2)

15. 已知 a+b=2i-8j, a-b=-8i+16j, 那么 a· b=________.(其 中 i,j 为夹角 90° 的单位向量) 解析
? ? ?a+b=2i-8j, ?a=-3i+4j, ? 由 得? ?a-b=-8i+16j, ? ? ?b=5i-12j.

∴a=(-3,4),b=(5,-12). ∴a· b=-3×5+4×(-12)=-63. 答案 -63

16. (2009· 天津高考)若等边△ABC 的边长为 2 3, 平面内一点 M → 1→ 2→ → → 满足CM=6CB+3CA,则MA· MB=________. 解析 ∵等边△ABC 的边长为 2 3, ∴如下图建立直角坐标系.

→ → ∴CB=( 3,-3),CA=(- 3,-3). → 1→ 2→ ? 3 5? ∴CM=6CB+3CA=?- ,- ?. 2 2? ?
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→ → → ∴OM=OC+CM =(0,3)+?-
? ?

3 5? ? 3 1? ?=?- , ?. ,- 2 2? ? 2 2?

→ → ? 3 1? ?3 3 1? ? ? ∴MA· MB=?- ,- ?· ,- 2 2? ? 2 2? ? 9 1 =-4+4=-2. 答案 -2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,c=3a+5b, d=ma-3b. (1)当 m 为何值时,c 与 d 垂直? (2)当 m 为何值时,c 与 d 共线? 解 (1)令 c· d=0,则(3a+5b)· (ma-3b)=0,

即 3m|a|2-15|b|2+(5m-9)a· b=0, 29 解得 m=14. 29 故当 m=14时,c⊥d. (2)令 c=λd,则 3a+5b=λ(ma-3b) 即(3-λm)a+(5+3λ)b=0, ∵a,b 不共线,
? ?3-λm=0, ∴? ?5+3λ=0, ?

5 ? λ =- ? 3, 解得? 9 ? m =- ? 5.

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9 故当 m=-5时,c 与 d 共线. 18.(12 分)如图所示,在△ABC 中,∠C 为直角,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上的点,且 AE=2EB,求证:AD⊥CE.

证明 设此等腰直角三角形的直角边长为 a,则 → → → → → → AD· CE=(AC+CD)· (CA+AE) → → → → → → → → =AC· CA+CD· CA+AC· AE+CD· AE 2 2 2 a2 2 2 =-a2+0+a· 3 a·2 +2· 3 a·2 2 1 =-a2+3a2+3a2=0, → → ∴AD⊥CE,∴AD⊥CE. 19.(12 分)已知在△ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1), → AD 为 BC 边上的高,求|AD|与点 D 的坐标. → 解 设 D 点坐标为(x,y),则AD=(x-2,y+1), → → BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2),

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→ → ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ,使BD=λBC, 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3).
? ?x-3=-6λ, ∴? ∴x-3=2(y-2), ? ?y-2=-3λ,

即 x-2y+1=0.① → → 又∵AD⊥BC,∴AD· BC=0, 即(x-2,y+1)· (-6,-3)=0. ∴-6(x-2)-3(y+1)=0.②
? ?x=1, 由①②可得? ?y=1. ?

→ ∴|AD|=

?1-2?2+22= 5,

→ 即|AD|= 5,D(1,1). → → → 20.(12 分)在直角坐标系中,已知OA=(4,-4),OB=(5,1),OB → → → 在OA方向上的射影数量为|OM|,求MB的坐标. 解 设点 M 的坐标为 M(x,y). → → → ∵OB在OA方向上的射影数量为|OM|, → → → → ∴OM⊥MB,∴OM· MB=0. → → 又OM=(x,y),MB=(5-x,1-y), ∴x(5-x)+y(1-y)=0.
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→ → 又点 O,M,A 三点共线,∴OM∥OA. x y ∴4= . -4

?x?5-x?+y?1-y?=0, ∴?x y = ?4 -4,

?x=2, ? 解得? ? ?y=-2.

→ → → ∴MB=OB-OM=(5-2,1+2)=(3,3). → → → → 21.(12 分)在四边形 ABCD 中,AB=a,BC=b,CD=c,DA= d,且 a· b=b· c=c· d=d· a,判断四边形的形状. 解 ∵a+b+c+d=0, ∴(a+b)2=(c+d)2, ∴a2+2a· b+b2=c2+2c· d+d2. ∵a· b=c· d, ∴a2+b2=c2+d2.① 同理 a2+d2=b2+c2.② ①②两式相减,得 b2-d2=d2-b2, ①②两式相加,得 a2=c2, ∴|b|=|d|,|a|=|c|. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又 a· b=b· c, ∴b· (a-c)=0. ∴b· 2a=0,即 a· b=0. ∴a⊥b,即 AB⊥BC. ∴四边形 ABCD 是矩形.

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22.(12 分)已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). → → (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值. 解 (1)证明:A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

→ → ∴AB=(1,1),AD=(-3,3). → → → → 又∵AB· AD=1×(-3)+1×3=0,∴AB⊥AD. → → (2)∵AB⊥AD,若四边形 ABCD 为矩形, → → 则AB=DC. 设 C 点的坐标为(x,y),则有 (1,1)=(x+1,y-4),
? ? ?x+1=1, ?x=0, ? ∴ ∴? ?y-4=1, ? ? ?y=5.

∴点 C 的坐标为(0,5). → → 由于AC=(-2,4),BD=(-4,2), → → → → ∴AC· BD=(-2)×(-4)+4×2=16,|AC|=2 5,|BD|=2 5. 设对角线 AC 与 BD 的夹角为 θ, → → AC· BD 16 4 则 cosθ= = = >0. → → 20 5 |AC||BD| 4 故矩形 ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为5.

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