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江苏省东海高级中学2013届高三第一学期期中考试数学文试题


东海高级中学 2013 届高三文科数学期中试题

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.对于命题 p : ?x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0. 则 ? p 为____________
2

2.若函数 y = loga (3- ax) 在 [0,1] 上是减函数,则 a 的取值范围是

3.若函数 f ( x) = e x - 2 x - a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是_______ 4.函数 y ? 1 ?

sin x ( x ? R ) 的最大值与最小值之和为 x ? x2 ? 1
4

5.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? ) ? f ( x) ? 0 且 y ? f ( x ? 3 ) 为奇函数.给出下列命题: 2 4 ⑴函数 f ( x ) 的最小正周期为 3 ;
2

3

⑵函数 y = f ( x) 的图象关于点 ( 3 , 0) 对称;
4

⑶函数 y = f ( x) 的图象关于 y 轴对称.其中真命题有 6. 已知函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ?

.(填序号)

?
3

) ? 1 ,给定条件 p :

?
4

?x?

?
2

,条件 q : ? 2 ? f ( x) ? m ? 2 , .

若 p 是 q 的充分条件,则实数 m 的取值范围为 7. 已知函数 f ( x) ? a sin 的解集为________. 8.如图,平面四边形 ABCD 中,若 AC= 5,BD=2, ? ? ? ? 则( AB + DC )·( AC + BD )= .

2? ? x x ? b tan x(a, b为常数,x ? R).若f(1)=-1,则不等式f(24)>log 2 5 5
A D

B
(第 8 题图)

C

9.若正六棱锥的底面边长为 3cm ,侧面积是底面积的 3 倍,则这个 棱锥的高是 .

10. 设 ? ? (? , 2? ) ,若 tan(? ? ) ? 2 ,则 cos( ? 2? ) 的值为 6 6
? x2 ? 2ax ? 3 ? a ? 0 11、设关于 x 的不等式组 ? 解集为 A,Z 为整数集,且 A ? Z 共有两个元素, ?| x ? 1|? 2

?

?

则实数 a 的取值范围为

.

12.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1) ,此时圆上一点 P 的位置 在 (0, 0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于 (2,1) 时, OP 的坐标为___________. 13.已知 | AB |? 3 ,C 是线段 AB 上异于 A,B 的一点, ?ADC , ?BCE 均为等边 三角形,则 ?CDE 的外接圆的半径的最小值是 . D E

??? ?

A

C 第 13 题

B

14.若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是

_______.

二、解答题:(本大题 6 小题,共 90 分)
x ? (a 2 ? 2) 15. (本题满分 14 分)已知集合 A ? {x | ( x ? 2)( x ? 2a ? 5) ? 0}, 函数 y ? lg 的定义域为 2a ? x
集合 B。(1)若 a ? 4 ,求集合 A ? B ; (2)已知 a ? ?

? , 且 " x ? A " 是“ x ? B ”的必要条件,求实数 a 的取值范围。 2

16.(本题满分 14 分) 如图的几何体中, AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三 角形, AD ? DE ? 2 AB ? 2 , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; B (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE . A

E

C F

D

17.(本题满分 15 分)已知 ?ABC 中, AC ? 1, ?ABC ? (1)求 f ( x ) 解析式及定义域; (2)设 g ( x) ? 6m ? f ( x) ? 1

??? ??? ? ? 2? , ?BAC ? x ,记 f ( x) ? AB ? BC . 3

? 3 x ? ( 0 , ,是否存在实数 m ,使函数 g ( x) 的值域为 (1, ] ?若存在, ) 3 2

请求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

18.(本大题满分 15 分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一 天 中 环 境 综 合 放 射 性 污 染 指 数

f ? x? 与 时 刻 x ( 时 ) 的 关 系 为

f ? x? ?

x 2 ? 1? ? a ? 2a ? , x ? ?0, 24? ,其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? ?0, ? ,若用每天 x ?1 3 ? 2? f ? x ? 的最大值为当天的综合放射性污染指数,记作 M ? a ? .
2

(Ⅰ)令 t ?

x , x??0, 24? ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(Ⅱ)省规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否 超标?

19. (本题满分16分) 已知定义域为[0, 1]的函数满足以下三个条件: ①对任意 x ? [0,1] , 总有 f ( x) ? 0 ; ② f (1) ? 1 ;③若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. (1) 求 f (0) 的值; (2) 函数 g ( x) ? 2 ?1在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明;
x

(3) 假定存在 x0 ? [0,1] ,使得 f ( x0 ) ?[0,1] ,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0

20.(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 6x2 ? 3x ? t )e x , t ? R . (1)若函数 y ? f ( x) 依次在 x ? a, x ? b, x ? c(a ? b ? c) 处取到极值. ① t 的取值范围; 求 ② a ? c ? 2b ,求 t 的值. 若
2

(2) 若存在实数 t ??0, 2? , 使对任意的 x ? ?1, m? , 不等式 f ( x) ? x 恒成立. 求正整数 m 的最大值.

答案
2 1. ?x ? R ,均有 x ? x ? 1≥0;2. 1 ? a ? 3

3. (2-2ln2, ?? ) 11. ( ,3]

4.2; 5.(2)(3);

6. ? 3,5? 12 . k ?0.

7.(0,2); 8. 9.

3 6cm 10. 2

7 5

13. ? 3 / 2 14 . k ? 4 或

15、 16.解:

BC 1 AB ;…………………………2 分 ? ? sin x sin 2? sin(? ? x) 3 3 ? sin( ? x) 1 3 ∴ BC ? …………………………………………4 分 sin x , AB ? 2? 2? sin sin 3 3 ??? ??? 4 ? ? ? 1 2 3 1 ∴ f ( x) ? AB ? BC ? sin x ? sin( ? x ) ? ? ( cos x ? sin x)sin x 3 3 2 3 2 2 1 ? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? (0 ? x ? ) ……………………………………… 6 分 3 6 6 3 ? ? (2) g ( x) ? 6mf ( x) ? 1 ? 2m sin(2 x ? ) ? m ? 1 (0 ? x ? ) 6 3 ? 假设存在实数 m 符合题意,? x ? (0, ) 3 ? ? 5? ? 1 ,则 sin(2 x ? ) ? ( ,1] ……………………9 分 ∴ ? 2x ? ? 6 6 6 6 2 ? 当 m ? 0 时, g ( x) ? 2m sin(2 x ? ) ? m ? 1 的值域为 (1, m ? 1] 6 3 1 又 g ( x) 的值域为 (1, ] ,解得 m ? ………………11 分 2 2 ? 当 m ? 0 时, g ( x) ? 2m sin(2 x ? ) ? m ? 1 的值域为 [m ? 1,1) 6 3 又∵ g ( x) 的值域为 (1, ] 解得 m 无解………………………13 分 2 1 3 ∴存在实数 m ? ,使函数 f (x) 的值域恰为 (1, ] ……………14 分 2 2
17.。解:(1)由正弦定理有: 18.解:(Ⅰ)当 x=0 时,t=0

1 ? 2(当且仅当 x ? 1取等号 ) x x 1 1 ?t ? ? ? (0, ] 2 1 1? x 2 x? x
当 0< x≤24 时, x ? 故 t 的取值范围是 ?0, ? 2 (Ⅱ)当 a ? ?0, ? 时,记 g ? t ? ? t ? a ? 2a ? 3 ? 2?

? 1? ? ?
2

……………………4 分

? 1?

2 ? ??t ? 3a ? 3 , 0 ? t ? a ? 则 g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ? 1 ? 3 2 ?

……………………8 分

∵g ? t ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ? 上单调递增, 2

? ?

1? ?

且 g ? 0 ? ? 3a ?

2 ?1? 7 1? ?1? ? , g ? ? ? a ? , g ?0? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? . 3 ?2? 6 4? ?2? ?

? ?1? 1 ? 7 1 ?g ? 2 ? , 0 ? a ? 4 ? a ? 6 , 0 ? a ? 4 ? ? 故 M ?a? ? ? ? ? . ……………………10 分 ?? 1 1 ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? g ? 0? , ? a ? ? 3 4 2 ? ? 4 2 ?
∴当且仅当 a ? 故当 0 ? a ?

4 时, M ? a ? ? 2 . 9

4 时不超标, 9 4 1 当 ? a ? 时超标. 9 2

……………………15 分

19.(1)解:由①知: f (0) ? 0 ;由③知: f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ,即 f (0) ? 0 ; ∴ f (0) ? 0 (2 ) 证明:由题设知: g (1) ? 2 ?1 ? 1 ; 由 x ? [0,1] 知 2x ?[1, 2] ,得 g ( x) ?[0,1] ,有 g ( x) ? 0 ; 设 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,则 2 1 ? 1 , 2
x x2

?1;

∴ g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? (2 1 即 g ( x1 ? x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 )
x

x ? x2

?1) ? [(2x1 ?1) ? (2x2 ?1)] ? (2x1 ?1)(2x2 ?1) ? 0

∴函数 g ( x) ? 2 ?1在区间[0,1]上同时适合①②③. (3) 证明:若 f ( x0 ) ? x0 ,则由题设知: f ( x0 ) ? x0 ?[0,1] ,且由①知 f [ f ( x0 ) ? x0 ] ? 0 , ∴由题设及③知: x0 ? f ( f ( x0 )) ? f [( f ( x0 ) ? x0 ) ? x0 ] ? f [ f ( x0 ) ? x0 ] ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) 矛盾; 若 f ( x0 ) ? x0 ,则则由题设知: x0 ? f ( x0 ) ?[0,1] ,且由①知 f [ x0 ? f ( x0 )] ? 0 , ∴同理得: f ( x0 ) ? f [( x0 ? f ( x0 )) ? f ( x0 )] ? f [ x0 ? f ( x0 )] ? f ( f ( x0 )) ? f ( f ( x0 )) ? x0 ,矛盾; 故由上述知: f ( x0 ) ? x0 20.解:(1)① f ?( x) ? (3x ?12x ? 3)e ? ( x ? 6x ? 3x ? t )e ? ( x ? 3x ? 9x ? t ? 3)e
2 x 3 2 x 3 2 x

? f ( x)有3个极值点,? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3 ? 0有3个根a, b, c. 令g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3, g '( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ?1)( x ? 3)

?g(-1)>0 g ( x)在(-?,-1),(3,+?)上递增, (-1,3)上递减.? g ( x)有3个零点? ? ??8 ? t ? 24. ? g (3) ? 0
② a, b, c是f ( x)的三个极值点 ?

? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3 ? (x-a)(x-b)(x-c)=x3 ? (a ? b ? c) x2 ? (ab ? bc ? ac) x ? abc
?a ? 1 ? 2 3 ?a ? b ? c ? 3 ? 3 ? ? ?ab ? ac ? bc ? ?9 ? b ? 1或 ? (舍 ? b ? (-1,3)) ? ?b ? 1 ?t ? 8 2 ?t ? 3 ? ? abc ? ? ?c ? 1 ? 2 3
3 2 x (2)不等式 f ( x) ? x ,即 ( x ? 6 x ? 3x ? t )e ? x ,即 t ? xe
?x

? x 3 ? 6 x 2 ? 3x .
? x3 ? 6 x 2 ? 3x 恒成立.

转化为存在实数 t ??0, 2? ,使对任意的 x ? ?1, m? ,不等式 t ? xe 即不等式 0 ? xe 即不等式 0 ? e 设 ? ( x) ? e
?x
?x

?x

? x3 ? 6 x2 ? 3x 在 x ? ?1, m? 上恒成立.

?x

? x2 ? 6 x ? 3 在 x ? ?1, m? 上恒成立.

? x2 ? 6 x ? 3 ,则 ??( x) ? ?e? x ? 2x ? 6 .
?x

设 r ( x) ? ??( x) ? ?e

? 2x ? 6 ,则 r?( x) ? e? x ? 2 ,因为 1 ? x ? m ,有 r ?( x) ? 0 .

故 r ( x) 在区间 ?1, m? 上是减函数. 又 r (1) ? 4 ? e
?1

? 0, r (2) ? 2 ? e?2 ? 0, r (3) ? ?e?3 ? 0

故存在 x0 ? (2,3) ,使得 r ( x0 ) ? ? ?( x0 ) ? 0 . 当 1 ? x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 ,当 x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 . 从而 y ? ? ( x) 在区间 ?1, x0 ? 上递增,在区间 ? x0 , ??? 上递减. 又 ? (1) ? e ? 4 ? 0, ? (2) ? e ? 5>0, ? (3) ? e ? 6>0,
?1 ?2 ?3

? (4) ? e?4 ? 5>0,? (5) ? e?5 ? 2 ? 0,? (6) ? e?6 ? 3 ? 0.
所以当 1 ? x ? 5 时,恒有 ? ( x) ? 0 ;当 x ? 6 时,恒有 ? ( x) ? 0 ; 故使命题成立的正整数 m 的最大值为 5.


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