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广东省潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试数学(理)试题


潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试 数学(理科)
参考公式:球的表面积 S ? 4?R
2

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 1.若复数 (2 ? i)(1 ? ai) 是纯虚数( i 是虚数单位, a 是实数),则 a 等于( A. -1 B. ? )

1 2

>C.2

D. 3

2.为了了解潮州市居民月用电情况,抽查了该市 100 户居民月用电量(单位:度) ,得到频率分布 直方图如下:根据下图可得这 100 户居民月用电量在〔150,300〕的用户数是( A. 70 B. 64 C. 48 D.30 )

3.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ,则 a3 ? a2 的值为(
2 2

) D.11 )

A. 9
2

B. 16
2 2

C.21

4. 在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是( A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 开始 输入 p

5.执行右边的程序框图,若输出 s ? 则输入 p ? ( A.6 B. 7 ) C.8

127 , 128

n ? 0, S ? 0

D.9

n? p




n ? n ?1
6. 设集合 A ? ? x

输出 S 结束

? x ?1 ? ? 0? , B ? x x ? 1 ? a , ? x ?1 ?

?

?

S?S?

则“ a ? 1 ”是“ A ? B ? ? ”的(

1 2n



A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又必要条件

7.已知 A(1,?2) , B(a,?1) , C (?b,0) 三点共线,其中 a ? 0, b ? 0 ,则 A.2 B.4 C.6 D.8

1 2 ? 的最小值是( a b



8.已知奇函数 y ? f ( x) 的导函数 f ? ? x ? ? 0 在 R 恒成立,且 x, y 满足不等式

f ( x 2 ? 2x) ? f ( y 2 ? 2 y) ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是(
A. [0,2 2 ] B. [0,2] C. [1,2]

) D. [0,8]

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1) , 若 P( x ? 1) ? p, 则 P?? 1 ? x ? 0? ? ________. 10.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 得该几何体的表面积是________. 11.已知 n 为正偶数,且 ( x ?
2

1 n ) 的展开式中 2x
. (用数字作答) .

第 3 项的二项式系数最大,则第 3 项的系数是 12.抛物线 y ?

1 2 x 上到焦点的距离等于 6 的点的坐标为 4

13.函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 y ? f ?( x) 的部分图像 右图所示,其中, A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为 图像的最低点,P 为图像与 y 轴的交点.若在曲线段 ? ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的 概率为 .

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程 ? ? 2 cos ? , 直线的极坐标方程为 ? cos ? ? 2? sin ? ? 7 ? 0 ,

则圆心到直线距离为



15. (几何证明选讲选做题)如图所示,⊙ O 的两条切线 PA 和 PB 相交于点 P ,与⊙ O 相切于 A, B 两点, C 是⊙ O 上的一点,若 ?P ? 70? ,则 ?ACB ? ________.

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ? sin ,?1? , n ? ?

? ?

x 3

? ?

? ?? ? 3 1 x? ?, ( A ? 0) ,函数 f ? x ? ? n ? m 的最大值为 2. A , A cos ? 2 2 3? ? ?

(1)求 f ( x) 的最小正周期和解析式; (2)设 ? , ? ? [0,

?
2

] , f (3? ?

?
2

)?

10 6 , f (3? ? 2? ) ? ,求 sin(? ? ? ) 的值. 13 5

17. (本小题满分 12 分) 甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定 获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为

1 2 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立。 3 3

(1)求乙在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)若每局比赛胜利方得 1 分,对方得 0 分,求甲最终总得分 X 的分布列及数学期望。

18. (本小题满分 14 分) 如图 1,平面五边形 SABCD 中 SA ?

15 2? , AB ? BC ? CD ? DA ? 2, ?ABC ? , ?SAD 沿 AD 折起成. 2 3
1 . 2

如图 2,使顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O , M 为 BC 上一点, BM ? (1)证明: BC ? 平面SOM ; (2)求二面角 A ? SM ? C 的正弦值。

D S

C D O

S C

A 如图 1 19. (本小题满分 14 分)

B

A 如图 2

M B

已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Tn 满足 an?1 ? 2Tn ? 6 ,且 a1 ? 6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 S n ; ? an ?
1 1 1 ? 2 ?? n ? 3. 3 ? S1 3 ? S2 3 ? Sn

(3)证明:

20.(本小题满分 14 分) 已知直线 l : y ?

x2 y2 3 x ? 1 过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶点。 3 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点). 点 D 在椭圆 C 上,且

AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴交于点 M,求常数 ? 使得 k AM ? ?k BD

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 (a ? R) ln( x ? a) ? ax

(1)当 a=0 时,求函数 f ( x) 的单调区间;

(2)当 a=1 时,设 h( x) ?

x2 , f ( x)

(i)若对任意的 x ? ?0,??? , h( x) ? kx 2 成立,求实数 k 的取值范围; (ii)对任意 x1 ? x2 ? ?1 ,证明:不等式

x1 ? x2 x ?x ?2 恒成立. ? 1 2 h( x1 ) ? h( x1 ) ? x1 ? x2 2

潮州市 2014-2015 学年度高考第二次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分说明
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题 号 答 案 C B B A B A D D 1 2 3 4 5 6 7 8

解析: 5.? S ?

1 1 1 1 127 ? 2 ?? ? n ? 1? n ? ?p ?7. 1 2 2 2 2 128

6. A ? (?1,1) , B ? (1 ? a,1 ? a) ,当 a ? 1 时, B ? (0, 2) , A ? B ? ? ,反之,若 A ? B ? ? ,不 一定有 a ? 1 , 7.由 AC ? ? ?b ? 1, 2? , AB ? ? a ? 1,1? 共线,有 2a+b=1 有

????

??? ?

2 ? 2a ? b ? 1 2a ? b 2a ? b ? ? ? ?8. ? ? ? ab 2ab ? 2 ? 4
2 2 8. 因为函数 y= f ( x) 为奇函数, 所以 f ( x ? 2x) ? f (2 y ? y ) , 由函数 y= f ( x) 的导函数 f ? ? x ? ? 0
2 2 在 R 恒成立,知函数 y= f ( x) 为减函数,? x ? 2x ? 2 y ? y

2

2 2 即?( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,故 x ? y 的最小值为 0,最大值为直径 2 2 ,

从而 x 2 ? y 2 的最小值为 0,最大值为直径的平方 8 二、填空题: 9.

1 ? p; 2

10. 12π



11. 3 ; 2

12. (2 5,5), (?2 5,5) ;

13.

?
4



14.

8 5 ? ; 15. 55 5

解析:

2? 1 ? T ? 13.由图知 AC ? ? ? ? , S? ABC ? AC ? ? ? ,设 AC 的横坐标分别为 a , b . 2 2 2 2 ?
设曲线段 ? ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S 则

S?

?

b

a

f ?( x)dx ? f ( x)

b a

? sin(? a ? ? ) ? sin(?b ? ? ) ? 2 ,

由几何概型知该点在△ABC 内的概率为 P ? 三、解答题: 16.解: (1) f ( x) ?

S? ABC 2 ? ? ? . S 2 4

?

? 3 3 x 1 x x 1 x? x ?? ? ? A sin ? A sin ? A cos ? A? sin ? cos ?( ? ? ? ? 2 3 2 3 3 2 3? ? 3 6? ? 2

?3 分

f ( x) 的最小正周期 T ?

2? ? 6? 1 3

?????????????????4 分

因为 A ? 0 ,由题意知 A=2, 所以 f ( x) ? 2sin( x ?

???????????5 分 ???????????6 分

1 3

?
6

), x ? R

(2)?

10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ?

6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , 5 6? 2? ?3 ? ???8 分
? sin ? ?

? 5 3 , cos ? ? , ? , ? ? [0, ] 2 13 5
2 2

12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ? 4 ?3? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

???????????10 分

sin(? ? ? )= sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

5 3 12 4 33 ? ? ? ?? 13 5 13 5 65

???????12 分

17 解:用 A 表示“乙在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛” , Ak 表示“第 k 局乙获胜” , Bk 表示“第

k 局甲获胜” ,则 P( Ak ) ?

2 1 , P( Bk ) ? , k ? 1, 2,3, 4,5 3 3

??????1 分

(Ⅰ) P( A) ? P( A 1A 2 ) ? P( B 1 A2 A 3 ) ? P( A 1B2 A 3 A4 )

? P( A1 ) P( A2 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P ( B2 ( A3 ) P ( A4 ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 56 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3 ???????4 分

???????????5 分 ???????????6 分 ?????7 分

P( X ? 0) ? P ( A1 A2 ) ?

2 2 4 ? ? 3 3 9

1 2 2 2 1 2 2 20 P( X ? 1) ? P( B1 A2 A3 ) ? P( A1B2 A3 A4 ) ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 81
P( X ? 2) ? P( B1 B2 ) ? P( A1 B2 B2 ) ? P ( A1 B2 A3 B4 A5 ) ? P ( B1 A2 B3 A4 A5 ) 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 61 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 243

P( X ? 3) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ?
故 X 的分布列为

14 243

?????????9 分

X P

0

1

2

3

4 20 61 9 81 243 4 20 61 14 224 ? EX ? 0 ? ? 1 ? ? 2? ? 3? ? 9 81 243 243 243

14 243
???????????12 分

18.解: (Ⅰ)证明:题知四边形 ABCD 为菱形, O 为菱形中心,连结 OB ,则 AO ? OB , 因 ?BAD

?

?
3

,故 OB ? AB ? sin ?OAB ? 2sin

?
6

?1

???????????1 分

又因为 BM

?

1 ? ,且 ?OBM ? ,在 ?OBM 中 3 2
2
2

1 ? 3 ?1? OM ? OB ? BM ? 2OB ? BM ? cos ?OBM ? 1 ? ? ? ? 2 ?1? ? cos ? 2 3 4 ? 2?
2 2

2

?3 分

2 2 2 所以 OB ? OM ? BM ,故 OM ? BM 即 OM ? BC

?????????4 分

又顶点 S 在底面的射影是四边形 ABCD 的中心 O 有 SO ? 平面ABCD , 所以 SO ? BC , ???????????5 分 ???6 分

从而 BC 与平面 SOM 内两条相交直线 OM,SO 都垂直,所以 BC ? 平面SOM

(Ⅰ)法二如图 2,连结 AC , BD ,因 ABCD 为菱形,则 AC ? BD ? O ,且 AC ? BD , 以 O 为坐标原点, OA, OB, OS 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系 o ? xyz , 因 ?BAD ? ???????????2 分

??? ? ??? ? ??? ?

?
3

,故 OA ? AB ? cos

?
6

? 3, OB ? AB ? sin

?
6

? 1,

z S D O C

D S

C

A 如图 1 所以 O ? 0, 0, 0 ? , A 由 BM ?

B x

A 如图 2

M B y

?

??? ? ??? ? 3, 0, 0 , B ? 0,1, 0 ? , C ? 3, 0, 0 , OB ? ? 0,1, 0 ? , BC ? ? 3, ?1, 0 .

?

?

?

?

?

?3 分

???? ? 1 ??? ? ? 1 3 1 ? , BC ? 2 知, BM ? BC ? ? ? ? 4 ,? 4 ,0? ? 2 4 ? ?

从而 OM ? OB ? BM ? ? ?

???? ?

??? ? ???? ?

? ? ?

? 3 3 ? 3 3 ? , ,0? ,即 M ? ? ? 4 , 4 ,0? ?. 4 4 ? ? ? ?

???????4 分

题意及如图 2 知 SO ? AB ,有

SO ? SA2 ? OA2 ?

??? ? 15 3 3 , OS ? (0, 0, ) ?3 ? 2 4 2

?????????5 分

?OS ? BC ? 0, OM ? BC ? 0, 所以 BC ? 平面SOM
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, AS ? ? ? 3, 0,

???????????6 分

? ? ? 3 ? ???? ? 3 3 3 ? ??? 3? , MS ? , ? , , CS ? 3, 0, ? ? ? ? ?, ? ? 4 ? 2 ? 4 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? 设平面 ASM 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,平面 SMC 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ?8 分 ??? ?

? 3 3 x ? z1 ? 0 ? 1 ? ??? ? ? ???? ? 2 由 n ? AS ? 0, n ? MS ? 0, 得 ? ? 3 x ?3 y ? 3 z ?0 1 1 1 ? ? 4 4 2
故可取 n1 ? ? 1,

??

? 5 3 ? ,2? ? ?, 3 ? ?

??????????????????9 分

? 3 3 3 x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ? 4 4 2 由 n2 ? MS ? 0, n2 ? CS ? 0, 得 ? ? 3x ? 3 z ? 0 2 2 ? ? 2 ?? ? 故可取 n2 ? 1, ? 3, ?2 ????????????????????11 分

?

?

?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 15 ? ?? 从而法向量 n1 , n2 的夹角的余弦值为 cos ? n1 , n2 ?? ??? ?? 5 | n1 | ? | n2 |
故所求二面角 A ? SM ? C 的正弦值为

?????13 分

10 . 5

???????????14 分

19.解: (1)由 an?1 ? 2Tn ? 6 ①得 an ? 2Tn?1 ? 6(n ? 2) ② ②-①:有 an?1 ? an ? 2Tn ? 2Tn?1 即 an?1 ? 3an (n ? 2) , ??????????2 分 ??????????4 分

又 a1 ? 6 ,由②有 a2 ? 2T1 ? 6 ? 2a1 ? 6 ? 18 知 a2 ? 3a1

??????5 分 ?6 分

∴数列 ?an ? 是以 6 为首项,公比为 3 的等比数列,∴ an ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n (2)由(1)得:

1 1 1 ? ? , an 2 3n

???????????7 分

1 1 (1 ? n ) n 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 ? 3 ?1 , 得 Sn ? ? ?? ? ( 1 ? 2 ?? n ) ? ? a1 a2 an 2 3 3 3 2 1? 1 4 ? 3n 3
(3)证法一:由(2)得:由

?8 分

1 4 ? n 3 ? Sn 3 ? 1
n

???????????9 分

∵ 3 ?1 ? 3 ? 3
n

n ?1

? 1 ? 2 ? 3n?1 ? 3n?1 ? 1 ? 2 ? 3n?1

?????????11 分



1 4 4 4 2 ? k ? ? ? k ?1 ,(k ? 1, 2,..., n) k ?1 k ?1 k ?1 3 ? Sk 3 ? 1 2 ? 3 ? 3 ? 1 2 ? 3 3
k

?????12 分

1 n 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ?? n ? 2(1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ) ? 2 3 ? 3(1 ? n ) ? 3 ???14 分 1 3 ? S1 3 ? S2 3 ? Sn 3 3 3 3 1? 3 1?
1 4 3 ?1 ? n ?4 n ? 6? n 3 ? Sn 3 ? 1 (3 ? 1)(3n ?1 ? 1) (3 ? 1)(3n ?1 ? 1)
n n ?1

2 ? 3n ?

证法二: ?

2 3

? 6?
?

2 ? 3n 1 1 ? 6?( n ? n?1 ) ?????????12 分 n n ?1 (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ?1 3 ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ?? n ? 6[( 1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ??? ( n ? n?1 )] 3 ? S1 3 ? S2 3 ? Sn 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
1 1 6 ? 6 ? ( ? n ?1 ) ? 3 ? n ?1 ? 3 ?????????14 分 2 3 ?1 3 ?1

证法三:当 n ? 1 时,不等式显然成立, 当 n ? 2 时,令 cn ?

1 4 4 4 1 1 4 1 ? n , cn ? n ? ? ? ? n?1 ? ? cn?1 ?11 分 1 3 ? Sn 3 ? 1 3 ? 1 3 3n?1 ? 3 3 ?1 3 3
n

1 1 1 1 ? cn ? ? cn ?1 ? 2 ? cn ? 2 ? ? ? n ?1 ? c1 ? 2 ? n ?1 , 3 3 3 3
1?

???????????12 分

1 n 1 1 1 1 ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? 2(1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? 2 ? 3 ? 3(1 ? n ) ? 3 . ????14 分 1 3 3 3 3 1? 3
综上得命题得证. 证法四:令 cn ?

1 4 ? n , 下面用数学归纳法证明, 3 ? Sn 3 ? 1
n

①当 n ? 1 时,结论显然成立 ②假设当 n ? k (k ? 1) 时,结论成立,即 c1 ? c2 当 n ? k ? 1 时, 左边= c1 ? c2

???????????9 分

? ??? ? ck ? 3,

4 4 ? ??? 1 1 1 3(3 ? ) 3(32 ? ) 3(3k ? ) 3 3 3 1 1 4 4 4 ? 2? ( ? 2 ?? ? k ) ? 2 ? ?3 ? 3 3 3 3 ?1 3 ?1 3 ?1

???? ? ck ? ck ?1 ? 2 ?

4

所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立 综合①、②可知 c1 ? c2 ????? cn ? 3 即

???????????13 分

1 1 1 ? 2 ?? n ? 3 对 n ? N? 都成立. ?14 分 3 ? S1 3 ? S2 3 ? Sn

20.解: (1)直线 l : y ?

3 x ? 1 过两点 ? 0,1? , ? 3, 0 3

?

?

?????????1 分

因为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点在 x 轴时, a2 b2

故焦点为 ? 3, 0 ,顶点为 ?0,1?

?

?

???????????????2 分.

? b ? 1, c ? 3

???????????????3 分. ???????????????4 分.

? a ? b2 ? c 2 ? 2
所以,所求椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

???????????????5 分

(2)设 A( x1, y1 )( x1 y1 ? 0), D( x2 , y2 ) ,则 B(? x1 , ? y1 ) ,直线 AB 的斜率 k AB ?

y1 ,?6 分 x1

又 AB ? AD ,所以直线 AD 的斜率 k ? ?

x1 , y1

?????????????7 分

设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m ,由题意知 k ? 0, m ? 0 ,

?????????8 分

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 ,可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4m2 ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
所以 x1 ? x2 ? ?

8mk , 1 ? 4k 2

????????????????9 分

因此 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 由题意知, x1 ? x2 ,所以 kBD ?

2m , 1 ? 4k 2

y1 ? y2 y 1 ?? ? 1 , x1 ? x2 4k 4 x1

???????????11 分

所以直线 BD 的方程为 y ? y1 ?

y1 ( x ? x1 ) , 4 x1

令 y ? 0 ,得 x ? 3x1 ,即 M (3x1 ,0) . 可得 k AM ? ?

y1 . 2 x1

????????????????13 分

所以 k AM ? ?2kBD ,即 ? ? ?2 .因此存在常数 ? ? ?2 使得结论成立.

??????14 分

x2 x ? 2ln x ? 1? f ( x ) ? ( x ? 0, x ? 1) , f ?( x) ? ( x ? 0, x ? 1) 2 21.解: (Ⅰ)当 a=0 时, ln x ? ln x ?

?1 分

令f ?( x) ? 0得x> e ,令f ?( x)<0得0<x< e 且x?1
? f ( x)的单调减区间为:? 0,1? , 1, e ;单调增区间为
(Ⅱ)当 a=1时, h( x) ? ln( x ? 1) ? x( x ? 0),

???????2 分

?

?

?

e , ??

?

?????4 分 ???????5 分

2 (i)? k ? 0时, 取x ? 1, h(1) ? ln 2 ? 1 ? 0,知 h( x) ? kx 不恒成立,? k ? 0 舍去 ?6 分

?当k ? 0, 设g ( x) ? h( x) ? kx2 ? ln( x ? 1) ? x ? kx2
1 ? x(2kx ? 2k ? 1) ? 1 ? 2kx ? x ?1 x ?1 2k ? 1 ? ?1 令 g ?( x) ? 0 得 x1 ? 0, x2 ? ? 2k 2k ? 1 1 若x2 ? ? ? 0,即k ? - ,g? ? x ? >0在x ? ? 0, ?? ? 上恒成立 2k 2
则 g ?( x) ? ???????7 分

? g ? x ? 在?0, ??? 上是增函数,从而有g ? x ? ? g ? 0? =0,即h ? x ? ? kx2在?0, ??? 恒成立
?k ? 1 2
???????8 分

若x2 ? ?

2k ? 1 1 2k ? 1 ? ? ? 0,即- <k<0,当x ? ? 0, ? ? 时,g? ? x ? <0, 2k 2 2k ? ?

2k ? 1 ? ? ? g ? x ? 在 ? 0, ? ? 上单调递减 2k ? ?
2k ? 1 ? ? 2 ? 当取x0 ? ? 0, ? ? 时,g ? x0 ? <g ? 0 ? =0,即h ? x0 ? ? kx0 不成立 2 k ? ? 1 ? ? ? k ? 0不合舍去 2

??????9 分

综上:? k ? -

1 2

???????10 分

(ii)要证明

x1 ? x2 x ?x ?2 ? 1 2 h( x1 ) ? h( x1 ) ? x1 ? x2 2

只需证明

( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ( x ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 1 ln(x1 ? 1) ? ln(x2 ? 1) 2
( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) 1 ? ?ln( x1 ? 1) ? ln( x2 ? 1)? ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) 2
???????11 分

只需证明

( x1 ? 1) ?1 x ?1 ( x 2 ? 1) t ?1 1 1 x ?1 ? ln t ? 0 (t ? 1) ,则需证明 ? ln 1 即证明 ,令 t ? 1 ( x1 ? 1) t ?1 2 2 x2 ? 1 x2 ? 1 ?1 ( x 2 ? 1)
令 ? ( x) ?

?12 分

t ?1 1 ? (t ? 1) 2 ? ln t (t ? 1) ,则 ? ?( x) ? 1, ? ?)上单调递减 ? 0 ?? (t )在( t ?1 2 2t (t ? 1) 2

? ? (t ) ? ? (1) ? 0即
故不等式

t ?1 1 ? ln t ? 0 t ?1 2
???????14 分

x1 ? x2 ( x ? 1) ? ( x2 ? 1) 得证 ? 1 ln(x1 ? 1) ? ln(x2 ? 1) 2

-END-


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