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2015 全国2卷理数 官方校准版(含官方校准答案)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 2 卷) 理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1) 已知集合 A={-2,-1,0,2} ,B={x|(x-1) (x+2)<0},则 A∩B= (A) (A) {-1,0} (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (D) {,0,,

1,2} (2)若为实数且(2+ai) (a-2i)=-4i,则 a= (A)-1 (B)0 (C)1 (B) (D)2

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下 结论不正确的是 (D)

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (4)等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 = (A)21 (B)42 (C)63 (D)84
12

(B)

(5)设函数 f ( x) ? ?

?1 ? log 2(2? x ) , x ? 1. ? 2 , x ?1
(C)9
x ?1

则 f (?2) ? f (log2 ) ? (D)12

(C)

(A)3

(B)6

理科数学试题

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(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部 分体积与剩余部分体积的比值为 (A) (C) (C)

1 8

(B)

1 7

1 6

(D)

1 5

(7)过三点 A(1,3) ,B(4,2) ,C(1,-7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN = (A)2 6 (B)8 (C)4 6 (D)10

(C)

(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更 相减损术”。执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a= (B) A.0 B.2 C.4 D.14

(9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若 三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π (C)

D.256π

(10) .如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿 着边 BC,CD 与 DA 运动,∠BOP=x。将动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为 (B)

A. B. C. D. (11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角 为 120° ,则 E 的离心率为 (D) (A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2

理科数学试题

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(12)设函数 f , ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0, 当x ? 0时,

xf , ( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是
(A) (??, ?1)

(A)

(0,1)

(B) (?1 , 0)

(1 , +?)

(B)(C) (??, ?1)

(-1 , 0)

(D) (0,1)

(1 , +?)

二、填空题 (13)设向量 a, b 不平行,向量 ? a ? b 与 a +2b 平行,则实数 ? = (

1 ) 2

? x ? y ?1 ? 0 3 ? (14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为___( )_____. 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
(15) (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 α=______(3)___. (16)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 α1=-1, an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn=_____( -

1 )___. n

三.解答题 (17)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠ BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ )

sin ? B b 1 ? ? sin ? C c 2

(Ⅱ ) 若AD ? 1, DC ?

2 ,求BD和AC的长 BD ? 2, AC ? 1 2

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得 到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ;

理科数学试题

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通过茎叶图的观察得出如下结论:A 的分数大部分集中在 70-80,B 的分数大部分集中在 60-70,因此 A 的平均分比 B 高些,并且 A 地区的分数较 B 地区更集中。

(Ⅱ )根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 P(A) P(B) 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

1 5 1 2

3 5 2 5

1 5 1 10

记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的 评价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的 概率。 解:作出如图所示的表格,要想 A 等级高于 B 等级,只有以下这几种情况:

3 1 3 ? = 5 2 10 1 9 9 2、A 非常满意,B 满意或不满意 P2= ? = 5 10 50 12 所以,P=P1+P2= 25
1、A 满意,B 不满意 P1=

理科数学试题

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19. (12 分)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在

A1B1 , D1C1 上, A1E ? D1F =4。过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个
正方形。

(Ⅰ )在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) 解:作出的正方形如图所示:EFMN(AM=10) (Ⅱ )求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值 解: (等体积法) 三棱锥 F-AFM 的体积与三棱锥 A-EFM 体积相等,求出线段 AF 在正方形 EFMN 的高线
1 VF-AFM = 1 3 ?10 ? 8 ? 2 ?10 1 VA-EFM = 1 3 ?10 ?10 ? 2 ? h

VF-AFM =VA-EFM

得出 h=8

AF= 64 ? 100 ? 16 ? 180 ? 6 5

记直线 AF 与平面 ? 所成角为 ? ,所以 sin ? ?

h 8 4 5 = = AF 6 5 15

理科数学试题

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20. 已知椭圆 C: 9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有 两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ )证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ )若 l 过点 ? m ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边行?若 3 , m? 能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由. 解:

21.设函数 f ( x) ? e

mx

? x2 ? mx

(Ⅰ )证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ )若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ,求 m 的取值范围

理科数学试题

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请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写 清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M、N 两点与底边上 的高 AD 交于点 G,且与 AB、AC 分别相切于 E、F 两点. (1)证明:EF 平行于 BC EBCF 的面积。 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ? (2) 若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN= ,求四边形

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O ? y ? t sin ? ,

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I) 求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II) 若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值.

理科数学试题

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解:

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ?cd 充要条件. ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的

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