当前位置:首页 >> >>

高考数学选择题满分答题技巧


高考数学答题技巧
高考在即,每名考生都希望发挥出自己应有的水平,避免不当失分,那么掌握 一些基本的答题技巧 是至关重要的。 一、考前准备 1.调适心理,增强信心 (1)合理设置考试目标,创设宽松的应考氛围, 以平常心对待高考; (2)合理安排饮食,提高睡眠质量; (3)保持良好的备考状态,不断进行积极的 心理暗示; (4)静能生慧,稳定情绪,净化心灵,满怀信心地迎接即将到来的考试。 2.悉心准备,不 紊不乱 (1)重点复习,查缺补漏。对前几次模拟考试的试题分类梳理、整合,既可按 知识分类,也可 按数学思想方法分类。强化联系,形成知识网络结构,以少胜多, 以不变应万变。 (2)查找错题,分 析病因,对症下药,这是重点工作。 (3)阅读《考试说明》和《试题分析》 ,确保没有知识盲点。 (4)回归课本,回归基础,回归近年高考试题,把握通性通法。 (5)重视书写表达的规范性和简洁性,掌握各类常见题型的表达模式,避免“会 而不对,对而不全” 现象的出现。 (6)临考前应做一定量的中、低档题,以达到熟悉基本方法、典型问题的目的, 一般不再做难题, 要保持清醒的头脑和良好的竞技状态。 3.入场临战,通览全卷 最容易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段,此时保持 心态平稳是非常 重要的。刚拿到试卷,一般心情比较紧张,不要匆忙作答,可先通 览全卷,尽量从卷面上获取最多的信 息,为实施正确的解题策略作铺垫,一般可在 五分钟之内做完下面几件事: (1)填写好全部考生信息, 检查试卷有无问题; (2)调节情绪,尽快进入考试状态,可解答那些一眼就能看得出结论的简单选择 或填空题(一旦解 出,信心倍增,情绪立即稳定) ; (3)对于不能立即作答的题目,可一边通览,一边粗略地分为 A、B 两类:A 类指 题型比较熟悉、 容易上手的题目;B 类指题型比较陌生、自我感觉有困难的题目, 做到心中有数。 二、高考数学题型特 点和答题技巧 选择题—— 不择手段” ——“ 1.选择题——“不择手段” 题型特点: (1)概念性强:数学中的每个术语、符号,乃至习惯用语,往往都有明确具体的 含义,这个特点反 映到选择题中,表现出来的就是试题的概念性强,试题的陈述和 信息的传递,都是以数学的学科规定与 习惯为依据,决不标新立异。 (2)量化突出:数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分,也是数学 考试 中一项主要的内容,在高考的数学选择题中,定量型的试题所占的比重很大,而且 许多从形式上看 为计算定量型选择题,其实不是简单或机械的计算问题,其中往往 蕴含了对概念、原理、性质和法则的 考查,把这种考查与定量计算紧密地结合在一 起,形成了量化突出的试题特点。 (3)充满思辨性:这 个特点源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。作为数 学选择题,尤其是用于选择性考试的高考数学 试题,只凭简单计算或直观感知便能 正确作答的试题不多,几乎可以说并不存在,绝大多数的选择题, 为了正确作答, 或多或少总是要求考生具备一定的观察、分析和逻辑推断能力。思辨性的要求充满 题目 的字里行间。 (4)形数兼备:数学的研究对象不仅是数,还有图形,而且对数和图形的讨论 与研究, 不是孤立开来分割进行,而是有分有合,将它们辩证统一起来。这个特色 在高中数学中已经得到充分的 显露。因此,在高考的数学选择题中,便反映出形数 兼备这一特点,其表现是几何选择题中常常隐藏着 代数问题,而代数选择题中往往 又寓有几何图形的问题。因此,数形结合与形数分离的解题方法是高考 数学选择题 的一种重要且有效的思想方法与解题方法。 (5)解法多样化:以其他学科比较, “一题多解”的现象在数学中表现突出, 尤其是数学选择题由于 它有备选项,给试题的解答提供了丰富的有用信息,有相当 大的提示性,为解题活动展现了广阔的天地, 大大地增加了解答的途径和方法。常 常潜藏着极其巧妙的解法,有利于对考生思维深度的考查。 解题策 略: (1)注意审题。把题目多读几遍,弄清这个题目求什么,已知什么,求、知之间 有什么关系,把题
1

目搞清楚了再动手答题。 (2)答题顺序不一定按题号进行。可先从自己熟悉的题目答起,从有把握的题目 入手,使自己尽快 进入到解题状态,产生解题的激情和欲望,再解答陌生或不太熟 悉的题目。若有时间,再去拼那些把握 不大或无从下手的题。这样也许能超水平发 挥。 (3)数学选择题大约有 70%的题目都是直接法,要注 意对符号、概念、公式、 定理及性质等的理解和使用,例如函数的性质、数列的性质就是常见题目。 (4) 挖掘隐含条件,注意易错易混点,例如集合中的空集、函数的定义域、应 用性问题的限制条件等。 (5)方法多样,不择手段。高考试题凸现能力,小题要小做,注意巧解,善于使 用数形结合、特值 (含特殊值、特殊位置、特殊图形) 、排除、验证、转化、分析、 估算、极限等方法,一旦思路清晰,就 迅速作答。不要在一两个小题上纠缠,杜绝小题大做,如果确实没有思路,也要坚定信心, “题可以不会, 但是要做对” ,即 使是“蒙”也有 25%的胜率。 (6)控制时间。一般不要超过 40 分钟,最好是 25 分 钟左右完成选择题,争取 又快又准,为后面的解答题留下充裕的时间,防止“超时失分” 。 2.填空题——“直扑结果” 题型特点: 填空题和选择题同属客观性试题,它们有许多共同特点:其形态短小精悍,考查目 标集中,答案简 短、明确、具体,不必填写解答过程,评分客观、公正、准确等等, 不过填空题和选择题也有质的区别。 首先,表现为填空题没有备选项,因此,解答 时既有不受诱误的干扰之好处,又有缺乏提示的帮助之不 足。对考生独立思考和求 解,在能力要求上会高一些。长期以来,填空题的答对率一直低于选择题的答 对率, 也许这就是一个重要的原因。其次,填空题的解构,往往是在一个正确的命题或断 言中,抽去其 中的一些内容(即可以使条件,也可以是结论) ,留下空位,让考生 独立填上,考查方法比较灵活,在对 题目的阅读理解上,较之选择题有时会显得较 为费劲。当然并非常常如此,这将取决于命题者对试题的 设计意图。 填空题的考点少,目标集中。否则,试题的区分度差,其考试的信度和效度都 难以得到保证。 这是因为:填空题要是考点多,解答过程长,影响结论的因素多, 那么对于答错的考生便难以知道其出 错的真正原因,有的可能是一窍不通,入手就错了;有的可能只是到了最后一步才出错,但他们在答卷上 表现出来的情况一样, 得相同的成绩,尽管他们的水平存在很大的差异。 解题策略: 由于填空题和选择题有相似之处, 所以有些解题策略是可以共用的, 在此不再多讲, 只针对不同 的特征给几条建议: 一是填空题绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(或性质)判断性的试 题,应答时必须 按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断; 二是作答的结果必须是数值准确,形式规范,例如集合形式的表示、函数表达式的 完整等,结果稍 有毛病便是零分; 三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速” ,因此,解 答的基本策略是: 快——运算要快,力戒小题大做;稳——变形要稳,防止操之过 急;全——答案要全,避免对而不全; 活——解题要活,不要生搬硬套;细——审 题要细,不能粗心大意。 3.解答题——“步步为营” 题型特点: 解答题与填空题比较,同居提供型的试题,但也有本质的区别,首先,解答题应答时,考生不仅要提 供出最后的结论,还得写出或说出解答过程的主要步骤,提供合 理、合法的说明,填空题则无此要求, 只要填写结果,省略过程,而且所填结果应 力求简练、概括的准确;其次,试题内涵解答题比起填空题 要丰富得多,解答题的 考点相对较多,综合性强,难度较高,解答题成绩的评定不仅看最后的结论,还 要 看其推演和论证过程,分情况判定分数,用以反映其差别,因而解答题命题的自由 度较之填空题大得 多。 评分办法: 数学高考阅卷评分实行懂多少知识给多少分的评分办法,叫做“分段评分” 。而考 生“分段得分”的 基本策略是:会做的题目力求不失分,部分理解的题目力争多得 分。会做的题目若不注意准确表达和规 范书写,常常会被“分段扣分” ,有阅卷经 验的老师告诉我们,解答立体几何题时,用向量方法处理的往 往扣分少。 解答题阅卷的评分原则一般是:第一问,错或未做,而第二问对,则第二问得 分全给;前面 错引起后面方法用对但结果出错,则后面给一半分。 解题策略:
2

(1)常见失分因素: ①对题意缺乏正确的理解,应做到慢审题快做题; ②公式记忆不牢,考前一定要熟悉公式、定理、性质等; ③思维不严谨,不要忽视易错点; ④解题步骤不规范,一定要按课本要求,否则会因不规范答题失分,避免“对而不 全”如解概率题, 要给出适当的文字说明,不能只列几个式子或单纯的结论,表达 不规范、字迹不工整等非智力因素会影 响阅卷老师的“感情分” ⑤计算能力差失分多,会做的一定不能放过,不能一味求快,例如平面解析中 ; 的圆锥曲线问题就要求较强的运算能力; ⑥轻易放弃试题,难题不会做,可分解成小问题,分步解决,如最起码能将文字语 言翻译成符号语 言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等,都能拿分。也许随着 这些小步骤的罗列,还能悟出解题的 灵感。 (2)何为“分段得分” : 对于同一道题目,有的人理解的深,有的人理解的浅;有的人解决的多,有的人解 决的少。为了区 分这种情况,高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种 方法我们叫它“分段评分” ,或者“踩 点给分”——踩上知识点就得分,踩得多就 多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是,会做的题 目力求不失分,部分理 解的题目力争多得分。 对于会做的题目,要解决“会而不对,对而不全”这个老 大难问题。有的考生 拿到题目,明明会做,但最终答案却是错的———会而不对。有的考生答案虽然对, 但中间有逻辑缺陷或概念错误,或缺少关键步骤———对而不全。因此,会做的题 高考数学答题技巧 小题讲究" 小题讲究"巧" 相比较而言,选择题和填空题应该算得上是数学学科的 小题.所占的分值大 约是 70 分.虽然没有占大头,但是应该没有人会忽略这 70 分,因为数学成绩的 好 坏从某种角度上来说就是由这部分分数决定.小题的解题策略实际上非常重 要,一定要充分利用题目中给 出的有效信息进行"巧算".倘若能够做到数形结 合,这样将会更加巧妙,并使答题一目了然;倘若采取归纳 类比,合情猜想的方 法,那将会更快的梳理出解题思路;倘若你有能力采取特殊化方法的话,那你的 优势 势必会更加明显. 大题讲究" 大题讲究"稳" 如果说小题是分数的基础,那么大题就是提高的保障.只有大 题拿的分数多,才 有可能拿到更高的总分.所以,在解答这些问题的时候一定要稳扎稳打,尽可能 的拿到 所有该拿的分数.那么如何做到"稳"呢?以下五点值得我们关注: 1,审题要慢,做题要快.审题非常关键,不 管是简单题还是难题,都需要你对 审题要慢,做题要快. 题目要求有非常透彻的了解.并且,因为前三道大 题是中低档的题目,所以应该 尽快的准确完成,以拿出更多的时间来给后面的难题.因为只有前面有了保 障, 攻克后面高档题的时候才会有更多的信心,也才会更加放得开. 2,先易后难,分段得分.每年数学得满 分的考生少之又少,所以,你不要幻想 先易后难,分段得分. 着在高考时数学能够拿满分. 换个角度思考, 学习再好的学生也会出现一些错误, 所以,遇到难题感到做不下去实际上很正常,就看你如何能够从这些 难题上尽可 能多的争到分数.在这个时候,分段得分就很重要了.一定要把每个能想到的与 题目考查范围 相关的步骤都在试卷上写清楚,不管你是否确定就一定是这些步 骤,也要写出来努力赢得步骤分.既然高 考是分段给分,那么我们的对策也就是 分段得分. 3,灵活处理,有所取舍.数学题需要一步一步的进行推导, 在某一个环节当中 灵活处理,有所取舍. 出现意外很正常,在这个时候,我们不能死钻牛角尖,而是要灵活 处理.比如, 可以先从中间的问题做起,进一步开拓思路;将上一个问题的结论作为下一个问 题的条件;先 把后面的题目解答出来再思考前面的题目……要有所取舍,不要在 同一道题目上花费太多的时间,这样势 必影响后面的答题. 4,书写规范,表达简洁.一般来说,高考数学试卷最后大题给出的空白区足够 书写规范, 表达简洁. 写答案,但如果解题的时候罗罗嗦嗦,那就很有可能导致留白不够用,使卷面变 的混乱起来. 同时, 因为字迹的原因而使阅卷老师看不懂, 这将是最糟糕的事情, 千万不能因此失分. 5,争分夺秒,学 会抢分.考试还剩 30 分钟,还有 3 道大题没做怎么办?状元们 争分夺秒,学会抢分. 的建议是:先做最后 一道题,再做倒数第二道题.因为这两道题往往难度较高, 但入口较宽,第一问是基础.把会做的第 1,2 小 问用 3-5 分钟做好,这样就把 最后两题中能得分的先拿下, 然后用 20 分钟去做倒数第三题就不会心慌意乱了, 反而能发挥较高 的水平. (选自:《赢在高三学习方法上》 作者:娄雷(专题 blog 图书)) 目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学,防止被“分段 扣分” 。经验表明,
3

对于考生会做的题目,阅卷老师则更注意找其中的合理成分, 分段给点分,所以“做不出来的题目得一 二分易,做得出来的题目得满分难” 对绝大多数考生来说,更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段 。 得点分。我 们说,有什么样的解题策略,就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本 本写出来, 就是“分段得分”的全部秘密。 ①缺步解答:如果遇到一个很困难的问题,确实啃不动,一个聪明的解 题策略 是,将它们分解为一系列的步骤,或者是一个个小问题,先解决问题的一部分,能 解决多少就解 决多少,能演算几步就写几步,尚未成功不等于失败。特别是那些解 题层次明显的题目, 或者是已经程 序化了的方法, 每一步得分点的演算都可以得分, 最后结论虽然未得出,但分数却已过半,这叫“大题 拿小分” ②跳步答题:解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时,我们可以先承认 中间结论,往 。 后推,看能否得到结论。如果不能,说明这个途径不对,立即改变方 向;如果能得出预期结论,就回过 头来,集中力量攻克这一“卡壳处” 。由于考试 时间的限制, “卡壳处”的攻克如果来不及了, 就可以 把前面的写下来, 再写出“证 实某步之后,继续有……”一直做到底。也许,后来中间步骤又想出来, 这时不要 乱七八糟插上去, 可补在后面。 若题目有两问, 第一问想不出来, 可把第一问作“已 知” , 先做第二问,这也是跳步解答。 ③退步解答: “以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提 出的 问题,那么,你可以从一般退到特殊,从抽象退到具体,从复杂退到简单,从整体 退到部分,从较 强的结论退到较弱的结论。总之,退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解,应开门 见山写上“本题分几种情况” 。这样,还会 为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。 ④辅助解 答:一道题目的完整解答,既有主要的实质性的步骤,也有次要的辅 助性的步骤。实质性的步骤未找到 之前,找辅助性的步骤是明智之举。如:准确作 图,把题目中的条件翻译成数学表达式,设应用题的未 知数等。答卷中要做到稳扎 稳打,字字有据,步步准确,尽量一次成功,提高成功率。试题做完后要认 真做好 解后检查,看是否有空题,答卷是否准确,所写字母与题中图形上的是否一致,格 式是否规范, 尤其是要审查字母、符号是否抄错,在确信万无一失后方可交卷。 (3)能力不同,要求有变: 由于考生的层次不同,面对同一张数学卷,要尽可能发挥自己的水平,考试策略也 有所不同。针对 基础较差、以二类本科为最高目标的考生而言要“以稳取胜”—— 这类考生除了知识方面的缺陷外, “会 而不对,对而不全”是这类考生的致命伤。 丢分的主要原因在于审题失误和计算失误。考试时要克服急 躁心态,如果发现做不 下去,就尽早放弃,把时间用于检查已做的题,或回头再做前面没做的题。记住, 只要把你会做的题都做对,你就是最成功的人!针对二本及部分一本的同学而言要 “以准取胜”——他 们基础比较扎实,但也会犯低级错误,所以,考试时要做到准 确无误(指会做的题目) ,除了最后两题的 第三问不一定能做出,其他题目大都在 “火力范围”内。但前面可能遇到“拦路虎” ,要敢于放弃,把会 做的题做得准确 无误,再回来“打虎” 。针对第一志愿为名牌大学的考试而言要“以新取胜”—— 这些 考生的主攻方向是能力型试题,在快速、正确做好常规试题的前提下,集中精 力做好能力题。这些试题 往往思考强度大,运算要求高,解题需要新的思想和方法要灵活把握,见机行事。如果遇到不顺手的试题, 也不必恐慌,可能是试题较难, 大家都一样,此时,使会做的题不丢分就是上策。 最后祝全体考生在高 考中取得优异成绩! 高考数学选择题满分答题技巧 近期我们为全国高考考生策划一个有关选择题的系列专题, 从上一篇 的理论 开始,逐科为同学们传授具体的解题方法,受篇幅所限,不能完整的把选择题讲 完,但是可以让 同学们学到一些技巧,在接下来的考试和作业中有所应用。同学 们如果对该课程感兴趣,也可以直接给 我们留言, 我们将有专门的老师在这里为 同学们答疑。 前面讲到, 高考选择题占高考分数比重十分可观, 750 分中约有 320 分为选 择题, 占总分的 45%左右。 其中数学选择题的分数为 60 分, 而且单项分 数很高, 两道选择题的分数等于一道大题的分数。学生的在选择题这类题型上,又普遍失 分严重,据不 完全统计,400 分左右的学生,选择题丢分高达 150~240 分。500 分左右的学生选择题丢分 80~150 分。 所以,一直以来,选择题是拉开同学们分 数距离的一条屏障,老师总是利用选择题的特点,让高考的选 拔形成梯度。如果 选择题不丢分,同学们的总分就可以大幅度的提升,快速跨越当前的局限。 每年五月 一日,仅剩一个月的情况下,当其他的辅导机构以及学校还在埋 头做题,反复讲知识点的时候,玖久已 经开始带领学生进入一个考试技术训练的 阶段。我们就用 5 月 1 日这一天,通过 7-8 个小时,传授学 生选择题的本质和具 体的做题原则,学生通过我们的教学法则,轻松突破选择题,最后成为高考上的 黑 马。所以,我们格外重视高考非智力考核的潜在规则,也因此形成一套考试技 术,专门应对考试。就是
4

训练学生最后的那临门一脚。 上篇博文提到选择题的一些解答思维,今天我们以数学这个学科为例,通 过 一些历年高考真题,给同学们传授一些选择题的解答思维: “如何理解转化知识 点,如何将选择题 做的又快又对”(那位认为上篇博文过于理论的同学,请看 过来,现在我们具体教您技巧了。 解答高 。 ) 考选择题既要求准确破解,又要快速选择,正如《考试说明》中明确 指出的,应“多一点想的,少一点 算的” 。我们都会有算错的时候,怎样才不会 算错呢?“不算就不会算错 因此,在解答时应该突出一个" 选"字,尽量减 不算就不会算错” 不算就不会算错 少书写解题过程,在对照选择支的同时,多方考虑 间接解法,依据题目的具体特 点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取。我们不要给任何“方 法”做 出限定,重要的是这种解答的思想方式。下面略举数例加以说明: 快速解题思维一、 利用题目 中的已知条件和选项的特殊性。 对于具有一般性的数 快速解题思维一、 利用题目中的已知条件和选项 的特殊性。 学问题,我们在解题过程中,可以将问题特殊化,利用问题在某一特殊情况下不 真,则它在 一般情况下不真这一原理,达到去伪存真的目的。 大家看题目,就可以看到所有选项都是数值。并且这个数值正是我们所求的 k1k2 的值。 这么说来, 无论任何情况下, 都能满足这个条件。 于是我们可以令 A、 B 分别为椭圆的长轴上的两个顶点,C 为 短轴上的一个顶点,那么就极大地简化 了计算过程,省去了“标准答案”中提供的设置未知数,产生庞大的计算量。通 过特殊图形的构建, 就能简化整个计算过程,最终得出选项为 B(请大家自行计 算) 例 2 △ABC 中,a、b、c 分别是角 A、 。 B、 所对的边, 是 A 和 C 的等差中 项 , 则 a+c 与 2b 的 大 小 关 系 是 ( ) A a+c<2b B a+c>2b C B C a+c≥2b D a+c≤2b 大家看这道题,本题中没有给定三角形的具体形状,故说明任何三角形都可 以得 出一个唯一选项。所以我们不妨令 A=B=C=600,则可排除 A、B,再取角 A, B,C 分别为 300,600,900, 可排除 C,故答案为 D。 如果本题不取特殊函数,则比较难以下手。而出题者的本意就是考察学生对式子 (公式表现形式) 的理解。既然他要考察的是周期,我们就自然而然顺着他们的 意思,往周期函数上靠即可快速解答。 快 速解题思维二、利用图形的特殊性(平面解析、立体几何常用) 快速解题思维二、利用图形的特殊性(平 面解析、立体几何常用)将所要研究 的问题向极端状态进行分析,使因果关系变得更加明显,从而达到 迅速解决问题 的目的。 这道题就非常考察学生的应变能力和解题思想,相信这么一画图,答案马上 就出来了,并且不需要 任何计算还符合题意。而大部分学生可能是画一个正三棱 柱,并取中点设定 P,Q 两点,从而进行计算。 这也是一种解题思想,但是还是 过于拘泥于“正规答题” ,P 与 A1 重合,Q 与 C 重合是大家的思维盲 点,如果能 打破这些盲点, 解这类题将容易的多。 很多平面解析图用到这种 “极端” 的思想, 是非 常容易解决的,尤其是选择题中求定值、求取值范围的题型。 快速解题思维三: 利用选项比较快速答题。 利用已知条件和选择支所提供的信息, 快速解题思维 三: 利用选项比较快速答题。 从四个选项中剔除掉三个错误的答案,从而达到正确选择的目的。 排除选项的思想应该是我们具备的必备思想之一。 这样可以极大的减少计算 量,从而快速一些看似 计算量复杂数学选择题。 数学选择题还有很多题型, 我们只要思路开阔, 不要限定于传统的解题方式, 是比较容易解答题目的。 除了少数单纯考察知识点的题, 大部分题型都可以用 “思 维”来解题,避免 “小题大做” ,从而真正提高解题速度,提高解题准确率。因 为篇幅有限, 下面只说明一下其他题型的 一些解题思想, 提供少量题型进行分析。 快速解题思维四:数形结合思维。 快速解题思维四:数形结 合思维。这种思维是大家最为熟悉的,很多题一画图就 一目了然,或者马上就有解题思路和方向。但是 由于是选择题, 建议同学们尽量 选择符合题目条件的特殊图形, 便于简化计算。 具体案例就不再枚举。 快 速解题思维五:选项代入逆推思想。 快速解题思维五:选项代入逆推思想。这类题型通常选项是固定数 值。由于是选 择题,从条件计算出结论,就是小题大做,无论是时间和精力方面的投入都十分 吃亏,不 妨将答案一一代入,即可得出正确结论。 快速解题思维六: 估值思维。 有些问题, 由于题目条件限制, (或没有必要) 无法 快速解题思维六: 估值思维。 进行精准的运算和判断,此时只能借助估算,通过 观察、分析、比较、推算,从 面得出正确判断的方法。 例 9 1、 3、 5 这五个数字, 2、 4、 组成没有重复数的三位数, 其中 奇数共有: A、36 个 B、60 个 C、24 个 D、28 个 由于五个数字可组成 60 个 (A53) 没有重复数字
5

的三位数, 而其中 12345 中, 奇数有 3 个,偶数有两个,所构成及奇数必然超过一半,但又不全是奇 数,而 B 是所有不重复的三位数,C、D 都没有超过一半。故选 A。 快速解题思维七:归纳推导思维。 快 速解题思维七:归纳推导思维。对题设和选择支的特点进行分析,发现规律, 归纳得出正确判断的方法。 例 10 256-1 可能被 120 和 130 之间的两个数所整除,这两个数是: A、123,125 B、125,127 C、127, 129 D、125,127 由 256-1= (228+1) (214+1) (27+1) (27-1) (228+1) = (214+1) 129· · 127, 故选 C。很多学生比较害怕这类题,尤其是先给出一个式子,然后求解某数或某 字母的 20XX 次方,这 类题型通常都有周期性,需要我们进行归纳推导,得出规 律后判断。当你具备这种思维后,去解答这类 题型,就发现这类题完全属于送分 题。 快速解题思维八:无招胜有招思维。 快速解题思维八:无招胜 有招思维。解答数学选择题,其实并没有规定大家要具 备特定的套路,前面列举的思维只是单纯的从题 目角度上看,采用了哪些思维而 做的一些解说。做选择题重点是要抓住题目和选项的特征,利用数学知 识点进行 推导演绎。我们的基本思想是快速解答,利用一切可以利用的因素来做题。如 09 年的北京卷 的一道题(类似骰子东西南北方向的) ,很多同学就现场通过折 叠草稿纸得出正确选项。我们的目的是不 择手段把分数拿到手,因此如何减少计 算量,如何避免小题大做,就要具备更多的思考能力。我们要在 平时做题时,加 大思维的应用度, 寻求正确选项的过程中, 只要你认为有 “理” 即可, 减少对 “标 准答案”的依赖。 高考数学选择题满分答题技巧 近期我们为全国高考考生策划一个有关选择题的系列专题,从上一篇的理论开始,逐科为同学们传授 具体的解 题方法,受篇幅所限,不能完整的把选择题讲完,但是可以让同学们学到一些技巧,在接下来 的考试和作业中有所 应用。同学们如果对该课程感兴趣,也可以直接给我们留言,我们将有专门的老师 在这里为同学们答疑。 前面讲到, 高考选择题占高考分数比重十分可观, 750 分中约有 320 分为选择题, 占总分的 45%左 右。其中数学选择题的分数为 60 分,而且单项分数很高,两道选择题的分数等于一道大题的分数。 学生的在选 择题这类题型上, 又普遍失分严重, 据不完全统计, 400 分左右的学生, 选择题丢分高达 150~240 分。 500 分左右 的学生选择题丢分 80~150 分。 所以, 一直以来, 选择题是拉开同学们分数距离的一条屏障 选 择题是拉开同学们分数距离的一条屏障,老师总是利用选择题 选择题是拉开同学们分数距离的一条屏障 的特点,让高考的选拔形成梯度。如果选择题不丢分,同学们的总分就可以大幅度的提升,快速跨越当前 的局限。 每年五月一日,仅剩一个月的情况下,当其他的辅导机构以及学校还在埋头做题,反复讲知识 点的时候, 久已经开始带领学生进入一个考试技术训练的阶段。 玖 我们就用 5 月 1 日这一天, 通过 7-8 个小时,传授学生选择题 选择题 的本质和具体的做题原则, 的本质和具体的做题原则,学生通过我们 的教学法则,轻松突破选择题,最后成为高考上的黑马。所以,我们格外 重视高考非智力考核的潜在规 则 高考非智力考核的潜在规则,也因此形成一套考试技术,专门应对考试。就是训练学生最后的那临门 一脚。 高考非智力考核的潜在规则 上篇博文提到选择题的一些解答思维, 今天我们以数学这个学科为例, 通过一些历年高考真题,给同学们传授 一些选择题的解答思维: “如何理解转化知识点,如何将选择题做 的又快又对”(那位认为上篇博文过于理论的 同学,请看过来,现在我们具体教您技巧了。 解答高考 。 ) 选择题既要求准确破解,又要快速选择,正如《考试说明》中明确指出的,应“多一点想的,少一 点算的” 。我们都会有算错的时候,怎样才不会算错呢?“不算就不会算错 不算就不会算错” 因此, 。 在解答时应该突出一个" 不算就不会算错 选"字,尽量减少书写解题过程,在对照选择支的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点, 灵活、 巧妙、快速地选择解法,以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定,重要的是这种解答的思 想方式。 下面略举数例加以说明: 快速解题思维一、 快速解题思维一、利用题目中的已知条件和选项的特殊 性。 对于具有一般性的数学问题,我们在解题过程中,可以将问题特殊化,利用问题在某一特殊情况下 不真,则 它在一般情况下不真这一原理,达到去伪存真的目的。 大家看题目,就可以看到所有选项都是数值。并且这个数值正是我们所求的 k1k2 的值。这么说来,
6

无论任何 情况下,都能满足这个条件。于是我们可以令 A、B 分别为椭圆的长轴上的两个顶点,C 为短 轴上的一个顶点,那么 就极大地简化了计算过程,省去了“标准答案”中提供的设置未知数,产生庞大 的计算量。通过特殊图形的构建, 就能简化整个计算过程,最终得出选项为 B(请大家自行计算) 。 例 2 △ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,B 是 A 和 C 的等差中项,则 a+c 与 2b 的 大小关系是 ( ) A a+c<2b B a+c>2b C a+c≥2b D a+c≤2b 大家看这道题,本题中没有给定三角形的具体形状,故说明任何三角形都可以得出一个唯一选项。所 以我们不 妨令 A=B=C=60 ,则可排除 A、B,再取角 A,B,C 分别为 30 ,60 ,90 ,可排除 C,故答 案为 D。 如果本题不取特殊函数,则比较难以下手。而出题者的本意就是考察学生对式子(公式表现形式)的 理解。既 然他要考察的是周期 考察的是周期,我们就自然而然顺着他们的意思,往周期函数上靠 往周 期函数上靠即可快速解答。 考察的是周期 往周期函数上靠 快速解题思维二、 平面解析、 立体几何常用) 向极端状态进行分析, 快速解题思维二、利用图形的特殊性(平面解析、立体几何常用)将所要研究的 问题向极端状态进行分析 向极端状态进行分析 使因果关系变得更加明显, 使因果关系变得更加明显, 从而达到迅速解决问题的目的。 这道题就非常考察学生的应变能力和解题思想,相信这么一画图,答案马上就出来了,并且不需要任 何计算还 符合题意。而大部分学生可能是画一个正三棱柱,并取中点设定 P,Q 两点,从而进行计算。 这也是一种解题思想, 但是还是过于拘泥于“正规答题” 与 A1 重合,Q 与 C 重合是大家的思维盲点, 如果能打破这些盲点,解这类题 ,P 将容易的多。很多平面解析图用到这种“极端”的思想,是非常容易解决的,尤其是选择题中求定值、 求取值范围 “极端”的思想 尤其是选择题中求定值、 尤其是选择题中求定值 的题型。 的题型。 快速 解题思维三: 快速答题。 快速解题思维三:利用选项比较快速答题。利用已知条件和选择支所提供的信 息,从四个选项中剔除掉三个错误 的答案,从而达到正确选择的目的。 排除选项的思想应该是我们具备 的必备思想之一。这样可以极大的减少计算量,从而快速一些看似计算量复杂 数学选择题。 数学选择题 还有很多题型,我们只要思路开阔,不要限定于传统的解题方式,是比较容易解答题目的。除了少 数单纯考察知识点的题,大部分题型都可以用“思维”来解题,避免“小题大做” ,从而真正提高解 题 速度,提高解题准确率。因为篇幅有限,下面只说明一下其他题型的一些解题思想,提供少量题型进 行分析。 快速解题思维四: 思维。 快速解题思维四:数形结合思维。这种思维是大家最为熟悉的,很 多题一画图就一目了然,或者马上就有解题思 路和方向。但是由于是选择题,建议同学们尽量选择符合 题目条件的特殊图形,便于简化计算。具体案例就不 再枚举。 快速解题思维五: 思想。 快速解题思维 五: 选项代入逆推思想。 这类题型通常选项是固定数值。 由于是选择题, 从条件计算出结论, 思维五 是 就 小题大做,无论是时间和精力方面的投入都十分吃亏,不妨将答案一一代入,即可得出正确结论。 快速 解题思维六: 快速解题思维六:估值思维。有些问题,由于题目条件限制,无法(或没有必要)进行精 准的运算和判断,此时 只能借助估算,通过观察、分析、比较、推算,从面得出正确判断的方法。 例 9 1、 2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数的三位数,其中奇数共有: A、36 个 B、60 个 C、24 个 D、28 个 由于五个数字可组成 60 个(A5 )没有重复数字的三位数,而其中 12345 中,奇数有 3 个,偶数有 两个,所构成 及奇数必然超过一半,但又不全是奇数,而 B 是所有不重复的三位数,C、D 都没有超过 一半。故选 A。 快速解题思维七: 快速解题思维七:归纳推导思维。对题设和选择支的特点进行分析, 发现规律,归纳得出正确判断的方法。 例 10 2 -1 可能被 120 和 130 之间的两个数所整除,这两个数 是: A、123,125 , 56 ,28, 56 B、125,127 ,14, 7, 7 C、127,129, 28 ,14 D、125,127 由 2 -1=(2 +1) (2 +1) (2 +1) (2 -1)=(2 +1) (2 +1) ·129·127,故选 C。 很多学生比较害 怕这类题,尤其是先给出一个式子,然后求解某数或某字母的 20XX 次方,这类题型通常都有
7

周期性,需要我们进行归纳推导,得出规律后判断。当你具备这种思维后,去解答这类题型,就发现 这类题 完全属于送分题。 快速解题思维八: 快速解题思维八:无招胜有招思维。解答数学选择题,其实并 没有规定大家要具备特定的套路,前面列举的思维 只是单纯的从题目角度上看,采用了哪些思维而做的 一些解说。做选择题重点是要抓住题目和选项的特征, 利用数学知识点进行推导演绎。 我们的基本思想是快速解答, 利用一切可以利用的因素来做题。 09 如 年的 北京卷的一道题(类似骰子东西南北方向的) ,很多同学就现场通过折叠草稿纸得出正确选项。我们 的目的是不择 手段把分数拿到手,因此如何减少计算量,如何避免小题大做,就要具备更多的思考能力。 我们要在平时做题时, 加大思维的应用度,寻求正确选项的过程中,只要你认为有“理”即可,减少对“标准答案”的依赖。 1 本文由 mutoui 贡献 解答高考选择题既要求准确破解,又要快速选择,正如《考试说明》中明确指出的,应“多一点想的, 少一点算的” 。我们都会有算错的时候,怎样才不会算错呢?“不算就不会算错” 因此,在解答时应该突 出一个"选"字,尽量减少书写解题过程,在对照选择支的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特 点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定,重要的是这种解 答的思想方式。下面略举数例加以说明: 快速解题思维一、利用题目中的已知条件和选项的特殊性。对于具有一般性的数学问题,我们在解题 过程中,可以将问题特殊化,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下不真这一原理,达到去 伪存真的目的。 大家看题目,就可以看到所有选项都是数值。并且这个数值正是我们所求的 k1k2 的值。这么说来, 无论任何情况下,都能满足这个条件。于是我们可以令 A、B 分别为椭圆的长轴上的两个顶点,C 为短轴上 的一个顶点,那么就极大地简化了计算过程,省去了“标准答案”中提供的设置未知数,产生庞大的计算 量。通过特殊图形的构建,就能简化整个计算过程,最终得出选项为 B(请大家自行计算) 。 例 2 △ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,B 是 A 和 C 的等差中项,则 a+c 与 2b 的大小关 系是( ) A a+c<2b B a+c>2b C a+c≥2b D a+c≤2b 大家看这道题,本题中没有给定三角形的具体形状,故说明任何三角形都可以得出一个唯一选项。所 以我们不妨令 A=B=C=600,则可排除 A、B,再取角 A,B,C 分别为 300,600,900,可排除 C,故答案为 D。 如果本题不取特殊函数,则比较难以下手。而出题者的本意就是考察学生对式子(公式表现形式)的 理解。既然他要考察的是周期,我们就自然而然顺着他们的意思,往周期函数上靠即可快速解答。 快速解题思维二、利用图形的特殊性(平面解析、立体几何常用)将所要研究的问题向极端状态进行 分析,使因果关系变得更加明显,从而达到迅速解决问题的目的。 这道题就非常考察学生的应变能力和解题思想,相信这么一画图,答案马上就出来了,并且不需要任 何计算还符合题意。而大部分学生可能是画一个正三棱柱,并取中点设定 P,Q 两点,从而进行计算。这 也是一种解题思想,但是还是过于拘泥于“正规答题” 与 A1 重合,Q 与 C 重合是大家的思维盲点,如 ,P 果能打破这些盲点,解这类题将容易的多。很多平面解析图用到这种“极端”的思想,是非常容易解决的, 尤其是选择题中求定值、求取值范围的题型。 快速解题思维三:利用选项比较快速答题。利用已知条件和选择支所提供的信息,从四个选项中剔除 掉三个错误的答案,从而达到正确选择的目的。 排除选项的思想应该是我们具备的必备思想之一。这样可以极大的减少计算量,从而快速一些看似计 算量复杂数学选择题。 数学选择题还有很多题型, 我们只要思路开阔, 不要限定于传统的解题方式, 是比较容易解答题目的。 除了少数单纯考察知识点的题,大部分题型都可以用“思维”来解题,避免“小题大做” ,从而真正提高 解题速度,提高解题准确率。因为篇幅有限,下面只说明一下其他题型的一些解题思想,提供少量题型进 行分析。
8

快速解题思维四:数形结合思维。这种思维是大家最为熟悉的,很多题一画图就一目了然,或者马上 就有解题思路和方向。 但是由于是选择题, 建议同学们尽量选择符合题目条件的特殊图形, 便于简化计算。 具体案例就不再枚举。 快速解题思维五:选项代入逆推思想。这类题型通常选项是固定数值。由于是选择题,从条件计算出 结论,就是小题大做,无论是时间和精力方面的投入都十分吃亏,不妨将答案一一代入,即可得出正确结 论。 快速解题思维六:估值思维。有些问题,由于题目条件限制,无法(或没有必要)进行精准的运算和 判断,此时只能借助估算,通过观察、分析、比较、推算,从面得出正确判断的方法。 例 9 1、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数的三位数,其中奇数共有: A、36 个 B、60 个 C、24 个 D、28 个 由于五个数字可组成 60 个(A53)没有重复数字的三位数,而其中 12345 中,奇数有 3 个,偶数有两 个,所构成及奇数必然超过一半,但又不全是奇数,而 B 是所有不重复的三位数,C、D 都没有超过一半。 故选 A。 快速解题思维七:归纳推导思维。对题设和选择支的特点进行分析,发现规律,归纳得出正确判断的 方法。 例 10 256-1 可能被 120 和 130 之间的两个数所整除,这两个数是: A、123,125 B、125,127 C、127,129 D、125,127 由 256-1=(228+1) (214+1) (27+1) (27-1)=(228+1) (214+1) ·129·127,故选 C。很多学生比较 害怕这类题,尤其是先给出一个式子,然后求解某数或某字母的 20XX 次方,这类题型通常都有周期性, 需要我们进行归纳推导,得出规律后判断。当你具备这种思维后,去解答这类题型,就发现这类题完全属 于送分题。 快速解题思维八:无招胜有招思维。解答数学选择题,其实并没有规定大家要具备特定的套路,前面 列举的思维只是单纯的从题目角度上看,采用了哪些思维而做的一些解说。做选择题重点是要抓住题目和 选项的特征,利用数学知识点进行推导演绎。我们的基本思想是快速解答,利用一切可以利用的因素来做 题。如 09 年的北京卷的一道题(类似骰子东西南北方向的) ,很多同学就现场通过折叠草稿纸得出正确选 项。我们的目的是不择手段把分数拿到手,因此如何减少计算量,如何避免小题大做,就要具备更多的思 考能力。我们要在平时做题时,加大思维的应用度,寻求正确选项的过程中,只要你认为有“理”即可, 减少对“标准答案”的依赖。

1 构造性方法在高中数学解题中的应用
骆驼中学 杜欧佳 摘要: 摘要:构造法是一种富有创造性的解题方法,对培养学生的创造性思维有着重要意义。新一轮的课程 改革增加了向量、概率、算法、微积分等知识,并强调数学知识点的相互融合,这使构造法的应用更加广 泛。综合相关文献资料发现,广大教育工作者已经对构造法解题的基本类型、构造法的功能及构造法对思 维能力的培养有了广泛的研究。但针对新教材中的新内容,却很少涉及。文章通过对向量、概率、算法、 微积分等 7 块知识点的举例研究,初步试探构造法在高中数学解题中的应用。 关键词: 关键词:构造法;高中数学;新教材;解题 1、构造思想与构造法 、 构造思想是一种数学思想,它用构造的策略来解决问题,反应了构造法的实质。构造法是一种数学方 法,是采用构造的方法去执行这种策略的具体手段。其实质构造思想与构造法互为表里,在数学活动中的 表现形态不具备明确的界限,故统称为构造思想方法,简称构造性方法。[1] 构造性方法的实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征,用已知条件中的元素为

9

“元件” ,用已知的数学关系为“支架” ,在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式,从而 使问题转化并解决的方法。[2] 2 怎样用构造法解题 数学解题方法形式多样,种类繁多,构造性解题方法就是其中一种。 “构造”是一种重要而灵活的思 维方式,它没有固定的模式。要用好这一方法,需要有敏锐的观察力,丰富的联想,灵活的构思,创造性 的思维等能力。构造性解题方法很好地体现了数形结合、类比、转化等数学思想,也渗透了猜想、换元、 归纳概括、特殊化等重要的数学方法。 应用构造法解题的关键有以下几点: (1)具有扎实的数学基础知识。使用构造法解题是对已有知识和方法采取分解、组合、变换、类比、 限定、 推广等手段进行思维的再创造, 构成新的式子或图形来帮助解题。 因此已有的知识和方法必须丰富、 扎实。 (2)要有明确的方向,即要明确为了解决什么问题而建立一个相关的构造。一般的,在解题过程中, 根据所给命题的题设条件或结论的结构特征,利用多种知识的内在联系,或形式上的某种相似性,有目的 的构造一个相应的数学模型,使原命题转化为一个与之等价却又具有某种被赋于特定意义的命题,通过对 它的讨论而使原命题得到解决。 (3)弄清条件的本质特点,以便重新进行逻辑整合。用构造法解题有两种结果:一种是通过构造某 个模型直接得到答案;另一种是把构造出的模型应用于已知条件中,从而得到答案。因此,要弄清条件的 本质特点,以便重新进行逻辑整合。 3 构造法在高中数学新教材各类型内容中的应用 2003 年我国颁布了《普通高中数学课程标准》 ,这一次数学课程改革,使得数学课程在教学内容上发 生了很大的变化,它削减了数列极限、函数极限、数学归纳法、二项式定理、复数等内容,降低了解析几 何的难度,增加了幂函数、用向量方法证几何题、算法、条件概率、几何概型、微积分等内容。 构造法是一种创造性的解题方法,在函数、向量、几何、算法等内容中都有着广泛的应用,所以我相 信,用构造法解题会越来越普遍,成为一种师生所熟练应用的解题方法。下面笔者针对新教材中改动较多 的内容,分类举例,体现构造法在解题中的应用。 3.1 构造法在函数中的应用 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,它贯穿高中数学课程的始终。因此,无论是用构造法 解函数题还是构造函数解其它题目,都有着广泛的应用。对于某个函数题,找不到已知条件与未知量的直 接关系,或者想到一题与此题相似的题目,但需要引进辅助元素,此时你就要考虑用构造法解函数题;对 于某些问题,可以从中找出作为自变量的因素或是可以表示成某一变量的函数,从而利用函数性质解决问 题。 下面的例题从构造函数模型的角度出发,看构造法在函数中的应用。 例 1:比较 3 分析: 3
? 5 2 ? 5 2

和 3.1
? 5 2

?

5 2

的大小。
? 5 2

和 3.1

都可以看成是 y = x

的两个函数值,因此可以利用幂函数的单调性进行比较。

10

解:设幂函数 y = x

?

5 2



Q

?

5 < 0, 2
? 5 2

∴ Q ∴

y = x 在 ( 0, ∞ ) 上是减函数, + 3 < 3.1, 3
? 5 2

> 3.1 2 .

?

5

构造函数比较几个数的大小是指数函数、对数函数、幂函数的一种重要的应用。一旦你熟悉了这些函 数的性质,就可以一眼看出两个数的大小,省去作差或作商的步骤,能加快解题速度,提高解题的正确率。 3.2 构造法在解析几何中的应用 解析几何往往是学生很怕遇到的题目,因为它综合性强,数形结合紧密。尤其是圆锥曲线方程,经过 认为雕琢,经常作为高考压轴题,难度非常高。新课改降低了解析几何中二次曲线的要求,以掌握基本的 几何知识为主,不必在一些认为的难题上逗留。但新课程改革强调数学的各部分知识都应该紧密结合,不 能几何是几何,代数是代数。所以解析几何和代数的联系会更加紧密。我们可以用解析几何的知识去解代 数题,也可以用代数的知识解解析几何题。以下这些解题思想都渗透了构造法,分别用两个例子介绍构造 点、线证明不等式和构造不等式解圆锥曲线中的范围问题。 例 2:求证: ( ac + bd ) ≤ a + b
2 2

(

2

)( c

2

+ d2)
ac + bd a +b
2 2

( ac + bd ) 分析: 将不等式变形为
a +b
2 2

2

≤ c2 + d 2 , 即证

≤ c2 + d 2 , 此时我们就能想到利用 “点

到直线的距离,垂线段最短”来证明。 证:若 a + b = 0 ,则 a = b = 0 ,不等式显然成立。
2 2

若 a + b ≠ 0 ,作直线 l : ax + by = 0 ,坐标上一点 M ( c, d ) ,如图 3-3,
2 2

y

l

M O x

图 3-3 设点 M ( c, d ) 到直线 l : ax + by = 0 的距离为 h 。 因为 l 过原点 o ,所以 h ≤ OM ,故有

ac + bd a +b
2 2

≤ c2 + d 2 ,

11

( ac + bd ) 即
a +b
2 2

2

≤ c 2 + d 2 ,所以 ( ac + bd ) ≤ ( a 2 + b 2 )( c 2 + d 2 ) 。
2

解析几何就是代数与几何的结合,经常利用点线距离公式、两点距离公式、斜率公式、直线与圆的位 置关系来证明代数中的不等式问题。 此题进行不等式的变形后, 左边就是点 M ( c, d ) 到直线 l : ax + by = 0 的距离,因此可以构造点、线来完成证明。 解析几何中有关求取值范围的问题,常要借助不等式求解,解题的关键是充分利用已知条件、挖掘题 目的隐含条件来构造不等式。构造的方法有很多:可以利用题目中的已知条件构造不等式;利用点与曲线 的位置关系构造不等式;利用判别式构造不等式;利用平均值定理构造不等式;利用三角形构造不等式; 利用函数单调性构造不等式等。 3.3 构造法在算法中的应用 算法是《标准》中一个全新的内容,但它并不陌生,先乘除,后加减;自里向外脱括号、通分、高斯 消去法等等,都是算法。对于某一类问题,构造出一个算法就可以重复使用。例如构造出一个“判断整数

n ( n > 2 ) 是否为质数” 的算法, 你就能判断 7 是不是质数, 是不是质数, 179 158976521 是不是质数, ……。
算法的用途不仅于此,在同一题目中,如果需要重复运算某一过程,构造一个通用的算法有利于简化解题 步骤。 例 3 :

(104 + 64)(184 + 64)(264 + 64)(344 + 64)(424 + 64)(504 + 64)(584 + 64) (64 + 64)(144 + 64)(224 + 64)(304 + 64)(384 + 64)(464 + 64)(544 + 64)

解:

Q

n 4 + 64 = n 4 + 82 = (n 2 + 8) 2 ? 16n 2

=(n 2 + 8 ? 4n)(n 2 + 8 + 4n) = ?(n ? 2) 2 + 4 ? ?(n + 2) 2 + 4 ? ? ?? ?



(82 + 4)(122 + 4)(162 + 4)(202 + 4) ??? (602 + 4) 原式 = 2 (4 + 4)(82 + 4)(12 2 + 4)(162 + 4) ??? (562 + 4) (60 2 + 4) 3604 = 2 = = 180.2 (4 + 4) 20

算法能够将相类似的几个步骤用一个步骤展示或一个式子表示,算法语言不仅计算机可以读懂,而且 可以帮助解题者理清思路,使解答过程附有逻辑。它已经渗入人们的日常生活,成为现代公民必不可少的 一种数学素质。 3.4 构造法在微积分中的应用 根据国际性的调查,微积分在几乎所有国家的高中数学课程体系中都占据了一席之地。这次新课改, 将微积分的内容放在选修 2-2 的教材中,包括定积分的概念,微积分基本定理以及定积分的简单应用。构 造法作为一种重要的数学思想方法,在这些新增加的内容中得到了充分的体现:构造一个和式的极限将极 限表示为定积分,构造图形求定积分,构造定积分求平面图形的面积等。下面通过一个求定积分的例子, 展示数形结合的重要性,也展示构造法在微积分中的应用。 例 4:求



2

0

4 ? x 2 dx .

12

解:由定积分的几何意义,



2

0

4 ? x 2 dx 可以表示由 x = 0, y = 0 及

y 2

y = 4 ? x 2 ( 0 ≤ x ≤ 2 ) 围成的封闭图形的面积, 如图 3-5 所示阴影部分.
O 2

x



2

0

4 ? x 2 dx =

π × 22
4

= π 所以.

-2

图 3-5 这题不能直接求 4 ? x 的积分,但 y =
2

4 ? x 2 很明显是 x 轴上方的半个圆弧,所以可以构造坐标

系和圆,利用定积分的几何意义来解。 4 总结与思考 构造性法在高中数学解题中的应用非常广泛,不论是添加辅助线还是利用数形结合的数学思想,都会 用到构造思想。尤其在新教材中,增加了向量与空间几何、概率、算法、微积分等知识,用向量来证几何 题要构造向量;用几何概型求概率要构造二维坐标;用计算机帮助解决繁难问题要构造算法;求图形的面 积要构造微积分,这使构造法在高中数学解题中的应用更加广泛。而且新课标还指出: “要将数学的知识 点融合在一起,不能代数就是代数,几何就是几何。 ”这要求我们将几何与代数整合起来,在适当的时候 利用代数的知识解决几何问题,例如构造向量证几何题,构造不等式做解析几何题等;也可以利用几何的 知识解决代数问题,例如构造二维坐标求概率,构造直线与点证不等式等。 通过对构造法解题的探讨,给你以下几点深刻的思想启示: (1)构造思想在解决数学问题中起到化简、转化和桥梁作用,要运用这种方法,要求掌握各种基本方法, 分析题目特点进行创造性联想; (2)运用构造法解决问题,可以使数学各分支知识相互渗透,有利于提高分析问题和解决问题的能力; (3)数学各分支知识为构造法解题提供了广阔而丰富的背景,构造方式是最为重要的,有必要留意体会 和理解记忆所造成的辅助元素的含义和作用,以便在数学研究和教学中重视掌握这一独特有效的方法。

高考大题中的通解思维
数学大题表面上是很难,但是通过多年的教学积累和经验总结,我们发现数学整个学科的解题思维基 本上趋于一致,能够形成通解,使我们在数学教学上大幅的简化,甚至不需要刻意的思考。我们借助一下 历年高考真题,看看是不是能够用一种方法或一种思维进行解答。这里,我们全部采用全国 I 卷的最后一 题,发现是数列、函数或不等式题,没关系,题型不一样,看看是否能用固定的思维解法,解题步骤中存 在什么样的共性: (全国卷)已知函数 f ( x) =

4x 2 ? 7 , x ∈ [0,1]. 2?x

(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间和值域; (Ⅱ) a ≥ 1 , 设 函数 g ( x ) = x 3 ? 3a 2 x ? 2a,x ∈[ 0,1] 。 若对于任意 x1 ∈[ 0,1] 总存在 x 0 ∈[ 0,1] , 使得 g ( x0 ) = f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围。 解析:本题看似式子复杂,但是第一问直接可根据定义去做,这个分数必须拿到。根据定义得出以下
13

式子: 解: (I)对函数 f (x ) 求导,得 f ′( x) =

? 4 x 2 + 16 x ? 7 (2 x ? 1)(2 x ? 7) 到这步几乎大家都会,题目 =? 2 (2 ? x) ( 2 ? x) 2

问的是的单调区间和值域,很多人看到这个式子不敢往下分析,其实仍旧跟据定义: 令 f ′( x ) = 0 解得

x=

1 7 【思考: 思考 或x = . 然后做表分析即可。 思考:凭什么令 f ′( x ) = 0 ?】 2 2
当 x 变化时, f ′( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

所以,当 x ∈ (0, ) 时, f (x ) 是减函数;当 x ∈ ( ,1) 时, f (x ) 是增函数. 当 x ∈ [0,1] 时, f (x ) 的值域为[-4,-3]. 第二问很多人看题目就晕菜了,其实这道题即使你不会分析,大胆的往下做,就能把题目做对,我们 思考下,题目给的条件和我们要求的差距点是什么?这道题的差距点虽然较大,但是用这种求差值的思想 题目给的条件和我们要求的差距点是什么? 题目给的条件和我们要求的差距点是什么 是能一步步走下去的,题目给的是 g(x),x1 和 x0,并且给了范围,要我们求解 a 的范围,要想求 a 的值,就 必须列出 a 的表达式,a 的表达式想要列出,就必须从 g(x)入手,题目给的信息除了区间就没有其他能 利用的条件了。既然题目给的是区间,因此我们不妨对函数 g (x ) 求导,得 g ′( x) = 3( x 2 ? a 2 ).【思考:凭 思考: 思考 什 么 进 行 求 导 ? 目 的 是 什 么 ? 】 到 了 这 一 步 , 由 于 题 目 告 诉 我 们 a ≥ 1 , 所 以 当 x ∈ (0,1) 时 ,

1 2

1 2

g ′( x) < 3(1 ? a 2 ) ≤ 0.
为减函数, 因此当 x ∈ (0,1) 时, g (x ) 为减函数,从而当 x ∈ [0,1] 时有 g ( x ) ∈ [ g (1), g (0)]. 这个就是我们所要的 缺失条件。 缺失条件。到这里可能同学们清楚了为什么要进行求导,因为题目给了我们取值区间,要想求出 a 值,只 要判断这个函数的增减性就行了,这就是条件差异弥补的推导思想。由于知道函数的增减性,就容易了, 的表达式: 马上可列出 a 的表达式: 又 g (1) = 1 ? 2a ? 3a 2 , g (0) = ?2a, 即当 x ∈ [0,1] 时有 g ( x ) ∈ [1 ? 2a ? 3a 2 ,?2a ]. 有人说这个不是表 达式,还是个未知数,没关系,我们再用同样的思想去走,发现现在能利用的条件也异常清楚了(因为就 这个没用上了) : 任 给

x1 ∈ [0,1] ,

f ( x1 ) ∈ [?4,?3] , 存 在 x0 ∈ [0,1] 使 得 g ( x0 ) = f ( x1 ) , 则
即?

[1 ? 2a ? 3a 2 ,?2a ] ? [ ?4,?3]

?1 ? 2a ? 3a 2 ≤ ?4 ? ?2 a ≥ ?3
3 . 2
14

<1> <2>

解得

5 a ≥ 1或a ≤ ? ; 3

a≤

3 . 2

又 a ≥ 1 ,故 a 的取值范围为 1 ≤ a ≤

评析:这道题式子复杂,05 年高考时候正确率非常之低,但是其中的解题过程并不复杂,思维方向也 十分明确,只是考题将多个概念进行转换,条件隐蔽的相对较深。数学题的核心就是知识点与逻辑能力的 结合,但是总的思想是异常相似的,几乎全部的解答题都可以用一个思维来做,就是“条件差异弥补法” 就是“ 就是 条件差异弥补法” 必要性思维” 和“必要性思维” 所谓的“必要性思维”指的是要想获取某个结果,必须获得的前提是什么,多属于逆 。 推,两者的道理是一样的。 这里我们总结出这道题的思维步骤和解题步骤: 全部的思维步骤: 全部的思维步骤: 1、 严格按照题目的要求,判断要我们干什么 、 严格按照题目的要求, 2、 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么 、 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么 3、 利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距 找前提” 、 利用“找后补” 4、 最终联系条件得出这个结论 、 固定的解题步骤: 固定的解题步骤: 1、 直接根据课本定义得出结论(某类题注意取值分析) 、 直接根据课本定义得出结论(某类题注意取值分析) 2、 用求同存异的思想进行条件转换 、 3、 函数用式子变形推出结果(引申:若是证明,数列用数学归纳法) 、 函数用式子变形推出结果(引申:若是证明,数列用数学归纳法) 我们来看下道题,是否能够套用以上结论: (全国卷)设数列 {an } 的前 n 项的和

Sn =

4 1 2 a n ? × 2 n +1 + , n = 1, 2, 3, 3 3 3

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn =

2n , n = 1, 2, 3, Sn

,证明:

∑T < 2
i =1 i

n

3

解析:题目直接要求我们求首项和通项,由于我们知道通项和 Sn 公式,就能直接根据定义来做。 就能直接根据定义来做。 就能直接根据定义来做 4 1 2 4 1 2 解: (Ⅰ)由 Sn= an- ×2n+1+ , n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1= a1- ×4+ 所以 a1=2. 3 3 3 3 3 3 4 1 2 再由①有 Sn-1= an-1- ×2n+ , n=2,3,4,… ② 3 3 3 4 1 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)- ×(2n+1-2n),n=2,3, …做到这一步相信大家都会,那么我们要 3 3 求 an 公式,通过这个式子,我们发现差距点在 an-an-1,同时可以 2n+1-2n 也是相差一次,因此直接提出 也是相差一次, 我们发现差距点在 n n-1 可以得出: 这个就是我们所弥补的缺失点。 后,可以得出: an+2 =4(an-1+2 ),n=2,3, … , 这个就是我们所弥补的缺失点。因而数列{ an+2n}是首项 n n-1 为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即 : an+2 =4×4 = 4n, n=1,2,3, …, 因而 an=4n-2n, n=1,2,3, …, 做到这里, 我们要问自己凭什么这么转化,我们所求的 an 和得到的结果(an 与 an-1)存在差异点,要想把这个差异点弥 我们要问自己凭什么这么转化 补,就把他们之间的关系列出,就能得出结论。 第二问是数学证明,首先可以考虑数学归纳法证明,但是这题题设与我们得到的结论差距较少,直接 求解较快,如果为求稳妥,建议用数学归纳法。看看直接求解的思路: 如果为求稳妥, 如果为求稳妥 建议用数学归纳法。 题目让干嘛就干嘛,别多想,直接用定义。 题目让干嘛就干嘛,别多想,直接用定义。题目给的是 Tn = (Ⅱ)将 an=4n-2n 代入①得 Sn=

2n 这个式子,那么必须求出 Sn。 Sn

4 1 2 1 ×(4n-2n)- ×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) 【请思考 请思考】 请思考 3 3 3 3

15

2 = ×(2n+1-1)(2n-1) ,然后求出 Tn 和 3 Tn= 所以,

问题与题目的差距点, 问题与题目的差距点 并想办法补上) ∑ T (问题与题目的差距点,并想办法补上
i =1 i

n

2n 3 2n 3 1 1 = × n+1 = ×( n - n+1 ) n Sn 2 (2 -1)(2 -1) 2 2 -1 2 -1

∑ T = 2 ∑ ( 2 -1 - 2
i =1 i i i=1

n

3

n

1

i+1

1 3 1 1 3 ) = ×( 1 - i+1 ) < 2 2 -1 2 2 -1 -1

评析:这题本身难度不高,但是第一步的难度较大,但是用上必要性思维和求差距思想,要想获得 an 通项, 必须结合起来解答, 全部的难点仅此而已。 总体而言, 全部的解题思维是惊人的趋于一致的。 不信? 看下道题:

2, … (全国卷)已知数列 {an } 中 a1 = 2 , an +1 = ( 2 ? 1)( an + 2) , n = 1, 3, .
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 中 b1 = 2 , bn +1 =

3bn + 4 , n = 1, 3, , 2, … 2bn + 3

2, … 证明: 2 < bn ≤ a4 n ?3 , n = 1, 3, .
(07 全国卷)解析:发现这题的做法思路完全和 06 年的一致,显然不能一步到位,还是先求出 an 与 某个数的关系式,题目告诉我们 an +1 = ( 2 ? 1)( an + 2) ,说明差距体现在 我做题的方向: 解(Ⅰ)由题设: an +1 = ( 2 ? 1)( an + 2) = ( 2 ? 1)( an ? 2) + ( 2 ? 1)(2 + 2)

2 ? 1 上,用这个式子来决定

= ( 2 ? 1)(an ? 2) + 2 ,

an +1 ? 2 = ( 2 ? 1)(an ? 2) .

所以,数列 an ? 2 是首项为 2 ? 2 ,公比为 2 ? 1 的等比数列,

{

}

an ? 2 = 2( 2 ? 1) n ,即 an 的通项公式为 an = 2 ?( 2 ? 1) n + 1? , n = 1, 3, . 2, … ? ?
这道题难在第一步不知道如何去想,题目告诉我们的条件似乎比较棘手,但是用这种“追求差异”并 想法弥补的思维定式去做,很容易就将题目解答出来了。对于高考,方法越简单越实用越好,尤其是第二 步给出了个看似复杂的式子,我们没有必要花费过多的精力推导,直接用数学归纳法即可(过程略) 。 评析:整体难度其实不大,但是看起来比较有难度。我们只要沿用这种求同存异的“补差”思想,还 是非常容易做的,甚至连计算都不难。 看到这里,大家应该能用这种思维去做其他题了吧,我们日常遇见的题型虽然各有差异,其实总的做 题思维真的没有太多差距,并且在解题步骤上也十分类同。大家不妨用这种思维去看看 08 的最后一题。 (全国卷)设函数 f ( x ) = x ? x ln x .数列 {an } 满足 0 < a1 < 1 , an +1 = f ( an ) . (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数; 1) (Ⅱ)证明: an < an +1 < 1 ;

16

(Ⅲ)设 b ∈ ( a1, ,整数 k ≥ 1)

a1 ? b .证明: ak +1 > b . a1 ln b

简要解析:看看 08 高考题型结合函数了,依旧用同一个思想,第一步,依旧是题目让干嘛就干嘛, 求函数增减性,直接用定义,要证明,数学归纳法。 解:第一步(略) ,第二步证明,发现第一步函数的增减性可以直接利用,直接用数学归纳法。 第三步较为复杂,没关系,这题表面是数列,其实考察的是不等式,无论是哪类题型,其根本点还是从条 件中寻求差异,要我们证明 ak +1 > b ,给的条件是设 b ∈ ( a1, ,整数 k ≥ 1)

a1 ? b ,依旧是以“必要性思维” a1 ln b

来思考,要想获得 ak +1 > b 这个结论,必须列出他们的表达,要想列出他们的表达,必须利用有这两个字 母 的 条 件 , 我 们 发 现 题 目 有 f ( x ) = x ? x ln x 和 an +1 = f ( an ) , 然 后 就 能 轻 松 的 得 出 结 论 : 由

f ( x) = x ? x ln x . an +1 = f (an ) , a k +1 ? b = a k ? b ? a k ln a k = a1 ? b ? ∑ ai ln ai 到了这里,几乎全部 i =1
出来了。 1, 若存在某 i ≤ k 满足 ai ≤ b ,则由第二步可知: ak +1 ? b < ai ? b ≥ 0 2, 若对任意 i ≤ k 都有 a i > b ,则 a k +1 ? b = a k ? b ? a k ln a k

k

= a1 ? b ? ∑ ai ln ai = a1 ? b ? ∑ ai ln b = a1 ? b ? (∑ ai ) ln b > a1 ? b ? ka1 ln b
i =1 i =1 i =1

k

k

k

≥ a1 ? b ? ka1 ln b > a1 ? b ? (a1 ? b) = 0 ,即 ak +1 > b 成立.
解析:这道题出的十分经典,即考察定义,又综合了多个知识点,同时式子看起来比较能够“吓唬” 人,思维跳跃过程很大,但是计算本身并不复杂,这题失分率非常之高,第一步的过程就把很多学生难倒, 这是不应该的,其实无论多难的数学题,解题的根本方法是从题目本身入手,题目让干嘛就干嘛,要我们 做什么就自然而然的做,而不是看到题就联系知识点套用,那样只能做简单的题,对付这类灵活多变的综 合题,我们要在做题过程中形成这种相对固定的解题思路,达到用一招就能化解多题,做一题,会百题的 效果。 纵观近年数学考题,几乎都可以用这种思维拿下,当然这是站在数学的理解基础上,核心原则是以题 核心原则是以题 做题,挖掘各类题型思维的共性,这样才能在数学考试上战无不胜,攻无不克。 做题,挖掘各类题型思维的共性,这样才能在数学考试上战无不胜,攻无不克。 09 试题的题型虽然比较独特,但是看看能否用这种思维来作出这道题呢?我们看看:设函数

f ( x ) = x3 + 3bx 2 + 3cx 在两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ∈ [?1, x1 ∈ [1, 2]. 0],
(I)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出 满足这些条件的点 ( b, c ) 的区域; (II)证明: ?10 ≤ f ( x2 ) ≤ ?

1 2

解析:不管这道题的问法是什么,拿到题后还是先关注题目让 我们干什么。题目意图是让我们画出关于 f(x)成立 bc 的条件范
17

围,我们什么都不要想,直接顺着题意来:

f ′ ( x ) = 3x 2 + 6bx + 3c 由题意知方程 f ′ ( x ) = 0 有两个根 x1、x2
且x1 ∈ [?1, x2 ∈ [1, 2]. 则有 f ′ ( ?1) ≥ 0,f ′ ( 0 ) ≤ 0,f ′ (1) ≤ 0,f ′ ( 2 ) ≥ 0 故有 0],
这个不等式组全部转化为 c 的表达式, 出来后就能通过坐标系画图, 它们围起来 的区域就是所得的区域。之所以要求导,是因为导数=0 时是极值点,这个就是直接 根据定义得来的,符合我们说的通解思维。 (具体图不画了) 第(II)问很多考生就不会做了,因为有一定的区分度,更主要原因是含字母较多,不 易找到突破口。来看我们的思想原则:首先找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么,然后利用 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么, 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么 “找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距,题目让我们干嘛就干嘛。本题让我们证明

1 ?10 ≤ f ( x2 ) ≤ ? ,既然是要求 x2,我们不妨想办法列出 f(x2)的表达,从题目给的极值和 x2 的取 2
值范围,我们不妨根据定义对 f ( x2 ) = x2 + 3bx2 + 3cx2 求导,得出 f ′ ( x2 ) = 3 x2 + 6bx2 + 3c = 0 ,
3 2 2

有了这个式子,我们看看还有什么条件没用上?转化一步,写成 bx 2 = ? 得, f ( x2 ) = ?

1 2 1 x 2 ? c ,那么直接消去 b 2 2

1 3 3c x2 + x2 为什么要消去 b 呢?因为由第一步大家画的区域可以知道 b,c 的取值范 2 2

围,我们只有将 f ( x2 ) 转为 b 或 c 的表达式,才能得出结果,这是由题目条件的差异来决定的,当考生 拿到题的时候,第一时间要朝着“能利用”的方向转化,要想证明 f ( x2 ) 这个式子,必须列出表达式, 要想证明 这个式子,必须列出表达式, 表达式列出后,存在两个字母,要想能够得出结论,当然要消去一个字母, 表达式列出后,存在两个字母,要想能够得出结论,当然要消去一个字母,这就是通解中求差异的必 要性思维。 要性思维。其实无论消去 b 或者消去 c,都能根据第一步的结论得出证明结果,只是消去 b 省事一些而 已。 又Q x2 ∈ [1, 2] ,且 c ∈ [ ?2, 0] ,所以有 ? 4 + 3c ≤ f ( x 2 ) ≤ ?

1 3 + c ,又有 ? 2 ≤ c ≤ 0 2 2

∴?10 ≤ f ( x2 ) ≤ ?

1 2

最后管卫东总结一下,以后碰上数学大题,千万不要慌乱,直接照着题目意思来,坚信自己能够做 下去并且做对。因为高考很难遇到熟悉的题型,所以大家在训练的时候一定把握住上面说的特点:1、 1 题目让干嘛就干嘛; 找出问题和条件的差距点; 但凡卡住的时候找“前提” 。 题目让干嘛就干嘛;2、找出问题和条件的差距点;3、但凡卡住的时候找“前提”或“后补” 后补” 这里只是借用数学高考试题, 题型可以说几乎都不一样, 但总体的思路却有其相似之处。 纵观题海, 其实理科大多数学科都能够总结出这类通解方法。当然,作为一个考生,我们没有必要去花费太多时间 和精力去刻意整理,但是这种道理应当要有所意识。希望大家在复习过程尤其是做题,最好多花一点时 间多看题,多总结,多思考;少盲目做题,少抓瞎训练。这样才能够提高效率,在考试中任何大题都成 为自己夺分的筹码。

18


赞助商链接
相关文章:
高考数学五大答题技巧
高考数学五大答题技巧 小题讲究“巧” 相比较而言,选择题和填空题应该算得上是...每年数学得满分的考生少之又少,所以,你不要幻想着在高考 时数学能够拿满分。...
提高高考数学选择题答题速度的十大方法
提高高考数学选择题答题速度的十大方法 - 2、极端性原则 将所要研究的问题向极端状态进行分析,使因果关系变得更加明显,从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用...
高考数学选择题答题技巧
高考数学选择题答题技巧 - 高考数学选择题技巧方法 一、技巧方法 一、基本函数图象 [答题口诀] [1] 小题不能大做 [3] 能定性分析就不要定量计算 [5] 能...
高考数学选择题填空题答题技巧
高考数学选择题填空题答题技巧_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高考数学选择题填空题答题技巧_数学_高中教育_教育专区。高考数学选择题...
高考数学选择题答题技巧
小毛编辑 选择题技巧方法一、技巧方法一、基本函数图象 [答题口诀] [1] 小题...高考数学选择题满分答题... 3页 2下载券 2012届高考数学解题技巧... 53页 ...
高考数学选择题十大答题技巧
高考数学选择题十大答题技巧 - 高考数学选择题十大答题技巧 1.剔除法:利用已知条件和选项所提供的信息,从四个选项中剔除掉三个错误的答案,从而达到正确选择 的目的...
高考数学选择填空题答题技巧
高考数学选择填空题答题技巧_高考_高中教育_教育专区。选择题解答策略高考数学试题中选择题稳定在 10 道题,分值 50 分,占总分的 33.3%。高考选择题注重多个知识...
2017高考数学复习必看的六个答题技巧
高考数学题型特点和答题技巧 1.选择题——“不择手段” 题型特点: (1)概念性...分段给 点分,所以“做不出来的题目得一二分易,做得出来的题目满分难”。 ...
高考数学选择题答题方法
高考数学选择题答题方法 - 高考数学选择题答题技巧 题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发,利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、 定理、...
2017年高考数学复习必看的六个答题技巧
因此,数形结合与形数分离 的解题方法高考数学选择题的一种重(华夏高考网)要...分段给点分, 所以 “做不出来的题目得一二分易, 做得出来的题目得满分难”...
更多相关标签: