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江苏省扬州市2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文


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2014-2015 学年度第二学期高二期末调研测试 数 学 (文科)试 题
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2015.6 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置)
0 1 2} ,则 A ? B ? 1.已知集合 A ? {x x ? 0} , B ? {?1,,,

▲ .



2.命题:“ ?x ? R , 3 ? 0 ”的否定是
x



3.已知复数 z ? (1 ? i )i ( i 为虚数单位) ,则 | z |?
1 4. (lg ? lg 25) ? 100 的值为 4
1 ? 2

▲ .





5.“ ? ?

”是“ tan ? ? 1 ”的 ▲ 条件. (从 “充分不必要”、“必要不 4 充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中,选出适当的一种填空)

?

6.正弦曲线 y ? sin x 在 x ?

?
6

处的切线的斜率为



. ▲ .

7.若直线 l1 : 2 x ? my ? 1 ? 0 与直线 l2 : y ? 3x ? 1 平行,则直线 l1 与 l2 之间的距离为

8 .若函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 (??,0] 上是减函数,则不等式
f (ln x) ? f (1) 的解集为





9.设数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an?1 ? an2 ? 2nan ? 2 , n ? 1, 2,3,? ,通过计算 a 2 , a3 , a 4 ,试归 纳出这个数列的通项公式 an ? 10.已知集合 A ? ( x, y ) | y ? 3x} ,集合 B ? {( x, y) | ( x ? a)2 ? y 2 ? 3} ,若 A ? B ? B ,则实 数 a 的取值范围为 ▲ .

?





11. 将函数 y ? sin 2 x 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位, 纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 6

变)后得到函数 y ? f ( x) 图象,对于函数 y ? f ( x) 有以下四个判断: ①该函数的解析式为 y ? 2sin(2 x ? ) ; 6 ②该函数图象关于点 ( , 0) 对称; 3

?

?

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? ] 上是增函数; 6 ? ④若函数 y ? f ( x) ? a 在 [ 0, ] 上的最小值为 3 ,则 a ? 2 3 . 2
③该函数在 [ 0, 其中,正确判断的序号是 ▲ .
2 ? 12.已知 f ( x) ? cos x ? cos( ? x) ? 2 cos x sin(2? ? x) ,若 f ( x) ? , 0 ? x ? ? ,则 x 的值为 4 2 ▲ .

1 3 ? x ? , x ? [1, ) ? ? 2 2 13 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? . 若 存 在 x1 , x2 , 当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时 , 3 x ? 2 ?2 ? 1, x ? [ ,3) ? ? 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则

f ( x2 ) 的取值范围是 x1





2 14.若实数 x , y 满足 log3 [2 cos (xy )?

1 y e ]? lny ? ? ln ? 0,其中 e 为自然对 2 8cos (xy ) 3 3


数的底数,则 (cos 6 x) y 的值为



二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分)
4 3 3 3 ? , sin(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? . 7 14 2 (1)求 tan 2? 的值; (2)求角 ? 的大小.

已知: sin ? ?

16. (本小题满分 14 分) 设命题 p :函数 f ( x) ? lg( x2 ? ax ? 1) 的定义域为 R;命题 q :函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 在 ( ??, ?1] 上单调递减. (1)若命题“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 x 的不等式 ( x ? m)( x ? m ? 5) ? 0(m ? R) 的解集为 M;命题 p 为真命题时, a 的取 值集合为 N.当 M ? N ? M 时,求实数 m 的取值范围.

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17. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; 5? 11? (2)当 x ?[ , ] 时,求函数 f ( x) 的值域; 24 24 9? 7? (3)当 x ? (? , ? ) 时,设经过函数 f ( x) 图象上任意不同两点的直线的斜率为 k ,试判断 8 8 k 值的符号,并证明你的结论.

18. (本小题满分 15 分) 如图, 折叠矩形纸片 ABCD, 使 A 点落在 BC 上的 E 处, 折痕的两端点 M 、N 分别在线段 AB
4 3 ,设 ?AMN ? ? . 3 (1) 用 ? 表示线段 AM 的长度,并求出 ? 的取值范围; (2)试问折痕 MN 的长度是否存在最小值,若存在,求出此时 cos ? 的值;若不存在,请说明

和 AD 上(不与端点重合).已知 AB ? 2 , BC ?

理由.

A θ M B E

N

D

C

(第 18 题图)

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19. (本小题满分 16 分) 已 知 圆 O : x2 ? y2 ? r2( r ? 0), 与 y 轴 交 于 M 、 N 两 点 且 M 在 N 的 上 方 . 若 直 线

y ? 2 x ? 5 与圆 O 相切.
(1)求实数 r 的值; (2)若动点 P 满足 PM ? 3PN ,求 ?PMN 面积的最大值. (3)设圆 O 上相异两点 A、B 满足直线 MA 、 MB 的斜率之积为 3 .试探究直线 AB 是否经过 3 定点,若经过,请求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 5x ? 1 , g ( x) ? e x . (1)求函数 y ?
f ( x) 的极小值; g ( x)

(2)设函数 y ? f '( x) ? a ? g ( x) (a ? R) ,讨论函数在 (??, 4] 上的零点的个数; (3)若存在实数 t ? [0, 2] ,使得对任意 x ? [1, m] ,不等式 [ xf ( x) ? t ] ? g ( x) ? x 恒成立,求正整 数 m 的最大值.

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2015 年 6 月高二期末调研测试 文 科 数 学 试 题 参 考 答 案 一、填空题: 1. {?1, 0} 2. ? x ? R , 3 x ? 0
10 4

3. 2

4. ? 20

5.充分不必要

6.

3 2

7.

8. (e, ??) 13. ( , 2]

9. 2 n ? 1 14. ?

10. [2, ??)

11.②④ 二、解答题:

12.

7? 12

4 3

1 8

15.解: (1)∵ sin ? ? ∴ tan 2? ? ?
8 3 47

4 3 ? ,0 ?? ? 7 2

∴ cos ? ?

1 , tan ? ? 4 3 7

????3 分 ????7 分

(2)∵ sin(? ? ? ) ?

3 3 ? ? 13 且0 ? ? ?? ? ∴0 ?? ? ? ? 且 cos(? ? ? ) ? 14 2 2 14

??9 分

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? ∵0? ? ?

3 1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? (求出 sin ? ? 也可)????12 分 2 7 14 7 14 2

?
2

∴? ?

?
3



????14 分

16.解: (1)若 p 真:即函数 f ( x) ? lg( x2 ? ax ? 1) 的定义域为 R ∴ x 2 ? ax ? 1 ? 0 对 ?x ? R 恒成立 ∴ ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,解得: ?2 ? a ? 2 ; ????2 分 若 q 真,则 a ? ?1 ????2 分 ∵命题“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假 ∴ p 真 q 假或 p 假 q 真
??2 ? a ? 2 ?a ? ?2或a ? 2 ∵? 或? ,解得: ?2 ? a ? ?1 或 a ? 2 . a ? ?1 ? a ? ?1 ?

????7 分 ????9 分

(2)∵ M ? N ? M ∴ N ? M ∵ M ? (m ? 5, m), N ? (?2, 2)
?m ? 5 ? ?2 ∴? ,解得: 2 ? m ? 3 . ? m?2

????14 分

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17.解: f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x ? cos 2x ? sin 2x ? 2 ? ? 2 sin(2x ? ) ? 2 4 (或 f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ? 2 ) 4 (1) T ? ? ; (2)∵ x ?[

?

?

????4 分 ????6 分

5? 11? ? ? 2? ? 1 ,则 sin(2 x ? ) ?[ ,1] , ] 时,∴ ? 2 x ? ? 24 24 6 4 3 4 2
2 ] 2

∴ f ( x) 的值域为 [2 ? 2, 2 ?

????10 分

(3) k 值的符号为负号; 9? 7? 5 ? ∵ x ? (? , ? ) ,∴ ? ? ? 2 x ? ? ?2? , 8 8 2 4 9? 7? ∴ f ( x) 在 (? , ? ) 上是减函数. ????12 分 8 8 9? 7? ∴当 x1 , x2 ? (? , ? ) ,且 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,从而经过任意两点 ( x1 , f ( x1 )) 和 8 8 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0. ( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率 k ? ????15 分 x1 ? x2 18.解: (1)设 AM ? x ,由图形的对称性可知: AM ? ME ? x , ?BME ? ? ? 2? , ∵ BM ? 2 ? x ∴ cos(? ? 2? ) ?

2? x 2 1 ,整理得: x ? ? 2 x 1 ? cos 2? sin ?

????3 分

∵ ? ? (0, ) 2

?

1 ? ?2 ? ? AM ? AB sin 2 ? ? 又∵ ? ,即 ? , ? AN ? AD ? 1 ? tan ? ? 4 3 ? 3 ? sin 2 ?

? ? sin ? ? ? ∴? ?sin 2? ? ? ?

? 2 ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 ,? 4 ,解得: ? ? ( , ) ? ? 2 ? 4 3 3 ? ? 2? ? ? 3 ?3 2

????6 分

(2)在 Rt ?AMN 中, MN ?

? ? x 1 1 , ? ? ( , ) ????8 分 ? 2 ? 3 4 3 cos? sin ? cos? cos? ? cos ?

1 2 1 1 2 1 2 ) ,∴ MN ? ,t ? ( , ) , 设 h(t ) ? t ? t 3 , t ? ( , ) ????10 分 令 t ? cos ? , t ? ( , 3 2 2 t ?t 2 2 2 2

∴ h '(t ) ? 1 ? 3t 2 ? ?3(t ? 列表得:

3 3 3 3 )(t ? ) ,令 h '(t ) ? 0 ,则 t ? 或t ? ? (舍) , 3 3 3 3 1 3 ( , ) 2 3 ? 3 3 3 2 , ) 3 2 ?

t
h '(t ) h (t )

(

0 极大值





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∴ h(t ) max ? h(

3 2 3 )? 3 9

∴当 cos ? ?

3 3 3 时, MN 有最小值为 . 2 3

(直接对 ? 求导或直接研究函数 MN ? 答:当 cos ? ?

1 1 2 ,t ? ( , ) 皆可) t ? t3 2 2

3 3 3 时, MN 存在最小值为 . 2 3

????15 分

19.解: (1)∵直线 y ? 2 x ? 5 与圆 O 相切 ∴圆心 O (0, 0) 到直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的距离为 d ? (2)设点 P( x, y ) ,点 M (0,1), N (0, ?1) , MN ? 2 ; ∵ PM ? 3PN ∴ x2 ? ( y ? 1)2 ? 3[ x2 ? ( y ? 1)2 ] ,即 x2 ? y 2 ? 4 y ? 1 ? 0 ????5 分
5 5 ?1

∴ r ?1.

????3 分

∴点 P 在圆心为 (0, ?2) ,半径为 3 的圆上 ∴点 P 到 y 轴的距离最大值为 3

1 ∴ ?PMN 面积的最大值为 ? 2 ? 3 ? 3 . 2
(3)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x12 ? y12 ? 1 , x2 2 ? y2 2 ? 1 ①若直线 AB 的斜率不存在,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 ,则
kMA ? kMB ?

????8 分

y1 ? 1 y2 ? 1 ? y2 ? 1 y2 ? 1 1 ? y2 2 3 ? ? ? ? ? 1 与 kMA ? kMB ? 矛盾;????10 分 2 3 x1 x2 x2 x2 x2

? y ? kx ? m ②设直线 AB : y ? kx ? m ,则 ? 2 2 ?x ? y ? 1

∴ (k 2 ? 1) x2 ? 2kmx ? m2 ? 1 ? 0

∴ x1 ? x2 ? ?

m2 ? 1 m2 ? k 2 2km 2m , ,则 , y ? y ? x ? x ? y ? y ? 1 2 1 2 1 2 k2 ?1 k2 ?1 k2 ?1 k2 ?1

????13 分

∵ kMA ? kMB

m2 ? k 2 2m ? 2 ?1 2 y1 ? 1 y2 ? 1 y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 3 3 ? ? ? ? k ?1 2 k ?1 ? ∴ 3 m ?1 x1 x2 x1 x2 3 2 k ?1

化简得:

m ?1 1 ? m ?1 3

∴m?2? 3

∴直线 AB 过定点 (0,2 ? 3) ????16 分

综上:直线 AB 过定点 (0,2 ? 3) .
f ( x) x 2 ? 5 x ? 1 ? , x?R g ( x) ex

20.证: (1) y ?

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x2 ? 7 x ? 6 ( x ? 6)( x ? 1) , ?? x e ex 令 y ' ? 0 ,得 1 ? x ? 6 ;令 y ' ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 6 (或列表求) f ( x) ∴函数 y ? 在 (??,1) 单调减,在(1,6)单调增,在 (6, ??) 上单调减, g ( x)
则 y' ? ? ∴函数 y ?
f ( x) 3 在 x ? 1 处取得极小值 ? ; g ( x) e

????3 分

(2) y ? f '( x) ? a ? g ( x) ? 2x ? 5 ? a ? e x ? 0 , ∵ ex ? 0 设 h( x) ? ? ∴ h( x) ? ? ∴a ? ?

2x ? 5 , ex

????5 分

7 2x ? 5 2x ? 7 ,则 h '( x) ? ,令 h '( x) ? 0 ,则 x ? 2 ex ex

7 7 2x ? 5 在 (??, ) 上 单 调 减 , 在 ( , 4) 上 单 调 增 , 且 x ? ??, h( x) ? ?? , x 2 2 e

7 ? 7 h( ) ? ?2e 2 , h(4) ? ?3e?4 2

∴当 a ? ?3e?4 或 a ? ?2e 2 时,h( x ) ? a 有 1 解, 即 y ? f '( x) ? a ? g ( x) 在 (??, 4] 上的零点的个数 为 1 个; 当 ?2e 个; 当 a ? ?2e 2 时, h( x ) ? a 有 0 解,即 y ? f '( x) ? a ? g ( x) 在 (??, 4] 上的零点的个数为 0 个. ????8 分 (3)∵ e x ? 0 ,存在实数 t ? [0, 2] ,使对任意的 x ? [1, m] ,不等式 [ xf ( x) ? t ] ? g ( x) ? x 恒成立, ∴存在实数 t ? [0, 2] ,使对任意的 x ? [1, m] ,不等式 t ? ∵ tmin ? 0 ∴对任意的 x ? [1, m] ,不等式 0 ?
x ? xf ( x ) 恒成立 g ( x)
? 7 ? 7 2

?

7

? a ? ?3e ?4 时, h( x ) ? a 有 2 解,即 y ? f '( x) ? a ? g ( x) 在 (??, 4] 上的零点的个数为 2

1 ? f ( x ) 恒成立 g ( x)

????10 分

解法(一) :设 H ( x) ?

1 ? f ( x) ? e ? x ? x 2 ? 5 x ? 1 , x ? [1, ??) g ( x)

∴ H '( x) ? ?e? x ? 2 x ? 5 ,设 F ( x) ? H '( x) ? ?e? x ? 2x ? 5 , ∴ F '( x) ? e? x ? 2 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立 ∴ F ( x) ? H '( x) ? ?e? x ? 2x ? 5 在 [1, ??) 上单调减

1 而 H '(1) ? ?e?1 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? 0 , H '(2) ? ?e?2 ? 1 ? 0 , H '(3) ? ?e?3 ? 1 ? 0 e
∴ ?x0 ? (2,3) ,使得 H '( x0 ) ? 0 ,当 1 ? x ? x0 时, H '( x) ? 0 ,当 x ? x0 时, H '( x) ? 0

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∴ H ( x) 在 (1, x0 ) 上单调增,在 ( x0 , ??) 上单调减 ∵ H (1) ? e?1 ? 3 ? 0 , H (2) ? e?2 ? 5 ? 0 , H (3) ? e?3 ? 5 ? 0 , H (4) ? e?4 ? 3 ? 0 ,
H (5) ? e?5 ? 1 ? 0 且 x ? 5 , H ( x) ? H (5) ? 0 (若不交代函数 H ( x) 的单调性,扣 4 分)

∴正整数 m 的最大值为 4. ????16 分 2 x 解法(二) :即对任意的 x ? [1, m] ,不等式 ( x ? 5x ? 1)e ? 1 恒成立. 设 G( x) ? ( x2 ? 5x ? 1)e x , x ? [1, ??) , ∴ G '( x) ? (2x ? 5)ex ? ( x2 ? 5x ? 1)e x ? ( x2 ? 3x ? 4)e x ? ( x ? 4)( x ? 1)e x , 可求得 G ( x) 在 ( ??, ?1) 上 单调增,在 (?1, 4) 上单调减,在 (4, ??) 上单调增, 则 G( x) ? ( x2 ? 5x ? 1)e x [1, 4) 上单调减,在 (4, ??) 上单调增 当 m ? 4 时, G( x) max ? G(1) ? ?3e ? 1 恒成立; 当 m ? 4 时, G( x) max ? max{G(1), G(m)} , G (1) ? ?3e ? 1 , G(4) ? ?3e4 ? 1 ,而 G(5) ? e5 ?1 ; ∴正整数 m 的最大值为 4. ????16 分

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