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正弦余弦定理练习题


自测目标:记住并用活如下定理

1 1 1 ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 2 2 a b c = = = 2R 2、正弦定理及其变式 sin A sin B sin C
1、三角形面积公式 sDABC =

a = 2R sin A,

b = 2R sin B,

c = 2R sin C

3、在 ABC 中 A > B ? 一、选择题.

a b ? sin A sin B

1. 在△ABC 中,b = 8,c = 8 3 ,S△ABC = 16 3 ,则∠A 等于( A. 30 ? B. 60? C. 30? 或 150? ) D.

) D. 60? 或 120?

2. 在△ABC 中,若 3 a = 2b sin A,则∠B 为( A.

π 3

B.

π 6

C.

π 5π 或 6 6

π 2π 或 3 3

3. △ABC 中,下述表达式:①sin(A + B)+ sinC;②cos(B + C)+ cosA; ③ cos(

A+B C ) - sin ,其中表示常数的是( 2 2
B. ①和③

) C. ②和③ ) D. ①②③

A. ①和②

4. 在△ABC 中, “A = B”是“sin A = sin B”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 5. 若△ABC 满足下列条件: ① a = 4,b ? 10,?A ? 30?; ② a ? 6,b ? 10,?A ? 30?; ③ a ? 6,b ? 10,?A ? 150?; ④ a ? 12,b ? 10,?A ? 30?; 则△ABC 存在且恰有一个的是( A. ①④ B. ③④ ) C. ④
2

B. 必要不充分条件 D. 即不充分又不必要条件

D. ②④ ) D. 等腰三角形

6. △ABC 中,若 sin(A + B)sin(A - B)= sin C,则△ABC 是( A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形

5.在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是( A.a>bsinA B.a=bsinA ) D.a≥bsinA
1

C.a<bsinA

2.在△ABC 中,已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,则 sinA;sinB;sinC 等于( A.6:5:4 B.7:5:3 C.3:5:7 D.4:5:6 )



3.已知锐角△ABC 的面积为 3 3 ,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( A.75° B.60° C.45°
o

D.30° )
o
o

1.在 ?ABC 中,已知 a ? 5 2 , c ? 10 , A ? 30 ,则 B ? ( A. 105
o

B. 60

o

C. 15

o

D. 105 或 15 D.不能确定

2.在 ?ABC 中,已知 a A.有一个解 3.在 ?ABC 中,若

? 6 , b ? 4 , A ? 60o ,则满足条件的 ?ABC (
C.无解



B.有两个解

a A cos 2

?

b B cos 2

?

c C cos 2

,则 ?ABC 的形状是(



A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形 )

6.(2012·潍坊高二期末)在Δ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( A.-

2 2 3

B.

2 2 3

C.-

6 3
) C.10( 3 +1)

D.

6 3

7.在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( A.10+ 3 B.10( 3 -1)

D.10 3 .

9.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A=

? ,a= 3 ,b=1,则 c= 3
.

10.在△ABC 中,A=60°,C=45°,b=2.则此三角形的最小边长为

1.一个三角形的内角分别为 45°与 30°,如果 45°角所对的边长是 4,则 30°角所对的边长为( A.2 6 B.3 6 C.2 2 D.3 2 ) D.



2.已知△ABC 中,a=1,b= 3 ,∠A=30°,则∠B=( A.

? 3

B.

2? 3

C.

? 2 或 π 3 3

5 ? π或 6 6


3.已知△ABC 的三个内角之比为 A:B:C=3:2:1,那么对应的三边之比 a:b:c 等于( A.3:2:1 B.

3 :2:1

C.

3 : 2 :1

D.2: 3 :1 . .

4.在△ABC 中,若 b=1,c= 3 ,∠C=

2? ,则 a= 3

5.在△ABC 中, a、 b、 c 分别是∠A、 ∠B、 ∠C 所对的边, 若∠A=105°, ∠B=45°, b=2 2 , 则 c= 二、填空题. 7. 在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C = 5 : 3 : 4,那么 cos C 等于 8. 若△ABC 的三内角?A,?B,?C 满足 sin A ? 2sinCcos B,则△ABC 为 9.已知 DABC 中, sin A:sin B :sinC =1:2:3 ,则 a :b :c =__________ . 三角形.

2

10. 一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 处;行驶 4 h 后, 船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 处. 这时船与灯塔的距离为
o 4.在 ?ABC 中,若 a ? 50 , b ? 25 6 , A ? 45 ,则 B ? __________.

km.

5.在等腰三角形 ABC 中,若 sin A : sin B ? 1 : 2 ,底边 BC ? 10 ,则 ?ABC 的周长是____. 三、解答题. 6.在△ABC 中,已知 A=45°,B=30°,c=10,求 b.

13.在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A、C 及边 c.

14.在△ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,若 a=2,C=

? B 2 5 ,cos = ,求△ABC 的面积. 4 2 5

11. 如图△ABC 中,点 D 在边 BC 上,且 BD = 2,DC = 1,∠B = 60°,∠ADC = 150°,求△ABC 的面积.

12. 在△ABC 中,A = 45°,B : C = 4 : 5,最大边长为 10,求角 B,C,△ABC 外接圆半径 R 及面积 S.

15.已知方程 x -(bcosA)x+acosB=0 的两根之积等于两根之和,且 a、b 为△ABC 的两边,A、B 为 a、b 的对角, 试判断△ABC 的形状.

2

3

16.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对应的边为 a、b、c.且 b=acosC,且△ABC 的最大边长为 12,最小角的正弦值 为

1 . (1)判断三角形的形状; (2)求△ABC 的面积. 3

8.在 ?ABC 中,已知边 c ? 10 ,又知

cos A b 4 ? ? ,求 a 、 b 及 ?ABC 内切圆的半径. cos B a 3

9.如图, 在 A 地有一艘船正以 5 3 海里每小时的速度往北偏东 60 的方向行驶, 在其正东方向 60 海里的 B 处 有一个灯塔,问多长时间后,灯塔在该船的南偏东 60 的方向上? C
60 o
o

o

A

B

4


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