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高中数学必修4人教A教案2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算


2. 3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标 1、 能将平面向量的基本定理应用于平面向量的正交分解中。 2、 会把向量正交分解,会用坐标表示向量. 重点难点 教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示. 教学难点: 理解平面向量的坐标表示.

教学过程
对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示?——上节课针对这一问

题我 们做出了肯定的回答, 接下来我们共同探究: 把任意一个向量用两个互相垂直的向量来表示 会给解决问题带来哪些方便。 正交分解:把向量分解为两个互相垂直的向量。 提出问题 我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标 平面内的每一个向量,如何表示呢?能不能象点一样也用坐标来表示?

解答问题 如图,在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、

j 作为基底.对于平面内的一个向量 a ,由平面向量基本定理可知,有且只有
一对实数 x、y,使得

a =x i +y j



这样,平面内的任一向量 a 都可由 x、 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 y

a =(x,y)



其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,② 式叫做向量的坐标表示.

显然, i =(1,0), j =(0,1), 0 =(0,0). 提出问题 在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的? 解答问题 如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设 OA ?
? ?

x i? y j, 则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标; 反过来, A 的坐标 ( x, y ) 点
1

?

?

也就是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数 唯一表示. 例题讲解 例 1、 如图,分别用基底 i 、 j 表示向量 a 、 b 、 c 、 d ,并求出它们的坐标.

例 2、请在平面直角坐标系中作出向量 a 、 b ,其中 a =(1,-3) b =(-3,-1). 、

课堂小结: (1)什么是正交分解? (2)平面直角坐标系中,向量与坐标有什么关系? (3) 如何根据平面直角坐标系中的向量求出其坐标?如何根据给出的坐标在平面 直角坐标系中画出其对应的向量?

2

2.3.3 平面向量的坐标运算
教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程: 情景平台:我们用有向线段表示向量时会进行线性运算,现在我们用坐标来表示向量还能不 能进行线性运算? 讲解新课: 1.平面向量的坐标运算
?

思考 1:已知: a

? ? ? ? ? ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,你能得出 a ? b 、 a ? b 、 ? a 的坐标吗?

结论: (1) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 结论: (2)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ? a ? (?x, ?y) . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

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思考 2:已知 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,怎样求 A B 的坐标?

?

结论: (3) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?

AB ? OB ? OA ? ( x2, y2) ? (x1,y1) ? (x2? x1, y2? y1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

3

思考 3:你能标出坐标为(x2? x1, y2? y1)的 P 点吗?

结论: (4)向量 AB 的坐标与以原点为始点、点 P 为终点的向量的坐标是相同的。 讲解范例: 例 1 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标.

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练习 1、课后练习 1,2,3 题 例 2 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使 这四点构成平行四边形四个顶点.

练习 2 已知:四点 A(5, 1),B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) ,求证:四边形 ABCD 是梯形.

例 3 已知三个力 F1 =(3, 4), 求 F3 的坐标.

F2 =(2, ?5), F3 =(x, y)的合力 F1 + F2 + F3 ? 0 ,

课堂小结:平面向量的坐标运算; 课后作业:习题 2.3 A 组 1,2,3 题
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