当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省阜宁中学、大风中学2013届高三上学期期中联考数学试题(普通班)


江苏省阜宁中学、大风中学 2013 届高三上学期期中联考 数学试题(普通班)
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. 已知集合 A ? ? ? 1,1, 3, 5 ? , B ? ? x | x 2
? 4 ? 0, x ? R?

,则 A ? .
? 2

B

= ★

/>
.

2. “对一切 x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 恒成立”的否定是


2

3. 已知抛物线 ★ .
? ? ?

y

2

? 2 p x 的准线与双曲线 x ? y
2

左准线重合,则
? ?

p

的值为

4. 设向量 a , b , c 满足

? ? ? ? ? a ? 1, b ? 2 , c ? a ? b
? ? 1 3

且c

?

? ? a

, 则向量 a 与 b 的夹角为 的值为 ★ .



.

5. 已知等比数列 ? a n ? 的公比 q
6. 函数 f ( x ) ? (1 ?
3 ta n x ) c o s x

,则

a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 a2 ? a4 ? a6 ? a8

的最小正周期为



. ★ .

7. 已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? xy ,则 u ? x ? 4 y 的取值范围是

8. 已知 s in ? ?

? ?

??

2 ta n ? 7 , ? 3 ta n ? 13

,则 sin ? ?

??

?= ★ .
.
? x ? 5y

9. 函数 f ? x ? ? 10.

lg x ? x ? 2

的零点个数为



?y≥ x ? 设 m ? 1 在约束条件 ? y ≤ m x ?x ? y≤1 ?

下,目标函数 z

的最大值为 4,则 m 值

为 ★. 11. 已知函数 f ? x ? ? 12. 已知 O A
???? OC
??? ?

2 ?1
x

??? ? ???? ??? ? ??? ? 2 ? 4, O B ? 2, ? A O B ? ? , O C ? xO A ? yO B ? x, y ? R 3

2 ?1
x

,

设a,b ?

R

,且 f ? a ? ?

f ? b ? 1? ? 0

,则 a ? b = ★
? 且x ?

.

2 y ? 1 ,则

最小值是



.
An Bn ? 7 n ? 45 n ? 3

13. 已知两个等差数列 ?a n ? 与 ?b n ? 的前 n 项的和 A n 与 B n ,
an bn

,则使得

为整数的正整数 n 的个数是
a ln x ? x
? 1?
2



.

14. 已知函数 f ? x ? ?
f

,若对区间 ? 0 ,1 ? 任取两个不等实数 x 1 , x 2 ,不等式 的取值范围是 ★ .

? x1

? 1? ? f x1 ? x 2

? x2

? 1 恒成立,则实数 a

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本小题满分 14 分)
1

已知
m ? ?s i n B

?ABC
?1 ,

的三个内角

A, B , C

对应的边长分别为
2

a,b, c

,向量

B ?o与向量 n ? ? 2 , 0 ? c s

的夹角 ? 的余弦值为 1 .

⑴求角 B 的大小; ⑵若 b ? 3 ,求 a ? c 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 如图①, , 分别是直角三角形 A B C 边 A B 和 A C 的中点, B ? 9 0 ? , E F 沿 ? E F 将三角形 A B C 折成如图②所示的锐二面角 A1 ? E F ? B ,若 M 为线段 A1 C 中 点.求证: (1)直线 F M

A1

// 平面 A 1 E B
?



(2)平面 A1 F C

平面 A1 B C .





M E B F C
图②


图①



17. (本小题满分 15 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的两准线间距离为 6, 离心率 e

?

3 3

.过椭圆上

任意一点 P,作右准线的垂线 PH(H 为垂足) ,并延长 PH 到 Q,使得 ???? ???? P H ? ? H Q( ? > 0 ). F 2 为该椭圆的右焦点,设点 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) . (1)求椭圆方程; (2)当点 P 在椭圆上运动时,求 ? 的值使得点 Q 的轨迹是一个定圆.
2

18. (本小题满分 15 分) 在一次数学实践活动课上,老师给一个活动小组安排了这样的一个任务:设 计一个方案,将一块边长为 4 米的正方形铁片,通过裁剪、拼接的方式,将它焊 接成容积至少有 5 立方米的长方体无盖容器(只有一个下底面和四个侧面的长方 体). 该活动小组接到任务后,立刻设计了一个方案,如图所示,按图 1 在正方形 铁片的四角裁去四个相同的小正方形后, 将剩下的部分焊接成长方体(如图 2). 请 你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到最大容积, 最大 容积是多少?是否符合要求?若不符合, 请你帮他们再设计一个能符合要求的方 案,简单说明操作过程和理由.

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ? a n ? 中, a 1 ⑴计算 a 2 , a 3 , a 4 ; ⑵令 b n
? a n ? 1 ? a n ? 1 ,求证:数列 ? b n ? 是等比数列;
? 1 2

,点 ? n , 2 a n ? 1 ? a n ? ? n ?

N

?

? 在直线 y ? x 上.

⑶设 S n , T n 分别为数列 ? a n ? , ? b n ? 的前 n 项和,是否存在实数 m ,使得数列
? S n ? m Tn ? ? ? n ? ?

为等差数列?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

3

20. (本小题满分 16 分) 已知二次函数 g ( x ) 的图像经过坐标原点,且满足 g ( x ? 1 ) ? g ( x ) ? 函数 f ( x ) ? mg ( x ) ? ln( x ? 1) ,其中 m 为非零常数 (1)求函数 g ( x ) 的解析式; (2)当 ? 2 ? m ? 0 时,判断函数 f ( x ) 的单调性并且说明理由; (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 ln (
1 n ? 1) ? 1 n
2

2 x ? 1 ,设

?

1 n
3

恒成立.

4

阜、丰、建高三期中考试(普通班)参考答案
1. ? ? 1,1?
2?

2.

?x ? R, x

2

? x ?1? 0

3. 2 10. 3

4. 11. 1

120

?

5.
2 7 7

?3

6.

7. [9 , ? ? ) 13. 5 个

8.

?

1 5

9. 2

12.

14. ?1 0 , ? ? ?
? 2 s in B B B cos , s in , n ? 2 ? 1, 0 ? 2 2 2

15. 解:⑴因为 m

?

?

,m
c

? n ? 4 s in

B B cos 2 2


B 2

m ? 2 s in

B , n ? 2 2







? ? o

m ?n s ? m ? n

.

c

o

s

……………………4 分 由 cos
2? 3 B 1 ? ,0 ? ? ? ? 2 2

得B
2

?

?
3

,即 B

?

2? 3

.

……………………7 分 ⑵因为 B
?

,所以 A ? C

?

?
3

.

所以 s in
?

A ? s in C ? s in A ? s in

? ?3 ? A ? ? s in A ? s in ?3 c o s A ? c o s ?3 s in A

3 1 ? s in A ? c o s A ? s in ? A 2 2 3

?

?
2? 3

…………………10
? 3 ? A ? s in C ? ? ,1 ? ? 2 ?

分 又0 分 又a
? c ? b ? s in A ? s in C s in B ? A ?

?
3

,所以 ?

3

?

?
3

? A ?

.

所以 s in

………12

?

? 2 ? s in A ? s in C

?,

所以 a

?c?

?

3,2? ?

.
, NM


……………………14 分 ,
FE
1 2

16. 证明: (1)取 A1 B 中点 N ,连接 N E 则MN


1 2

BC

, EF



BC

,所以 M N



所以四边形 M N E F 为平行四边形,所以 F M ∥ E N ,……4 分 又因为 F M ? 平 面 A1 E B , E N ? 平 面 A1 E B , 所以直线 F M // 平面 A1 E B . ……………………………………………7 分 (2)因为 E , F 分别 A B 和 A C 的中点,所以 A1 F 同理, E N
? A1 B ? FC

,所以 F M

? A1 C

…9 分

,
? A1 B

由(1)知, F M ∥ E N ,所以 F M 又因为 A1 C ? A1 B ? A1 , 所以
F M ? 平 面 A1 B C

, ……………………………12 分
? 平 面 A1 F C ?

又因为 F M
A1 B C

所以平面 A1 F C .

平面

………………………………………14 分
5

17. 解: (1) 分

x

2

?

y

2

?1

………………………………………………………6
? y0

3

2

(2)设 Q 的坐标为 ? x , y ? , H ? 3, y 0 ? ,∴ y ∴3 ?
x0 ? ? ? x ? 3 ?

????

.∵ P H
2

???? ? ? HQ ?? ? 0?

,∴ x 0

? 3? ? 3 ? ? x

…………………………9 分
y
2

又∵ 分

x0 3

2

?

y0 2

2

?1

,∴

? 3?

? 3 ? ? x? 3

2

3? ? 3 ? ? ?x? ? 2 y ? ? ? ? ? 1 ,即 3 2

?

?1

…………12

2

?

2

当且仅当

3

?

2

? 2

,即 ?
6

?

6 2

时,
2

点 Q 在定圆 ? x ? 3 ?

?

2

? y

? 2

上. ……………………………………………15 分

18. 解:(1)设切去的小正方形边长为 x ,则焊接成的长方体的底面边长为 4 ? 2 x , 高为 x , 所以, V 1
? ?4 ? 2x? ? x ? 4 ? x ? 4x ? 4x??0 ? x ? 2?
2 3 2

……………………4 分 , ……………………7 分

∴ V 1? ? 4 ? 3 x 2 解得 x
?

? 8x ? 4?.

令 V 1? ?

0

,即 4 ? 3 x 2

? 8x ? 4? ? 0

2 , x2 ? 2 3

(舍去),

∵ V 1 在 ? 0 , 2 ? 内只有一个极值点, ∴ 当
x ? 2 3

时 ,

V1

取 得 最 大 值

128 128 , ? 5 27 27

, 即 不 符 合 要 求 .

……………………9 分 (2)重新设计方案如下: 如图 3,在正方形的两个角处各切下一个边长为 1 的小正方形;如图 4,将切下 的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图 5,将图 4 焊成长方体容器, 新焊长方体容器底面是一个长方形,长为 3,宽为 2,此长方体容积 V 乙 ? 3 ? 2 ? 1 ? 6 ,显然 V 乙 ? 5 . 故第二种方案符合要求.

……………15 19. 解:(1)点 ? n , 2 a n ? 1 ? a n ? ? n ? 所以 a 2
? 3 35 11 , a3 ? , a4 ? 4 8 16
an ? n

N

?

分 ? 在直线 y

? x

上,则 2 a n ? 1 ?

an ? n



. ,

……………………3 分

(2)由 2 a n ? 1 ? 则 2 ? an?2

得 2 an?2

? a n ?1 ? n ? 1

? a n ? 1 ? ? a n ? 1 ? a n ? 1 ,即 2 ? a n ? 2 ? a n ? 1 ? 1 ? ? a n ? 1 ? a n ? 1 .

6

因为 b n

? a n ? 1 ? a n ? 1, 2 b n ? 1 ? b n

且 b1

? a 2 ? a1 ? 1 ? ?

3 4

, ……………………8 分

所以 ? b n ? 是以 ? (3)由(2)得 b n 则Tn
?

3 4

为首项, 1 为公比的等比数列.
2

? ?

? ?? ?
3 4
n

1 2

n ?1



? ? 3 ? ? 1 ? 21 ? 4
1? 1 2

? ?

3 1 1? n 2 2

?

? ? ?
? 3 1 2

n ?1

?

3 2

.

……………………9 分

因为 a n ? 1 ? 所以 a n ? 1 所以 a n 又n

a n ? bn ? 1 ,

? ? a n ?1 ? a n ? ? ? a n ? a n ?1 ? ? ? ? ? a 2 ? a1 ? ? a1 ? ?
3 1 1 1 1 ? n ?1 ? n ? 1 ? ? n?2?3 2 2 2 2

3 1 1? n 2 2

?

?? n? 1 , 2

? ?

?

?

? ?

n

,n≥ 2
?

.

……………………11 分

1 ? 1 时, a 1 ? 2
?

,故 a n
?3

? n?2?3

? ?
1 2
1 2
n

n

,n ? N

. ………………12 分

所以 S n 记 cn
?

n ? n ? 2 ? 1? 2

? 1 ? 21 2

2

?? ?

?? n

2

? 3n 3 ?3? n 2 2

S n ? m Tn n

,要使得数列 ? c n ? 为等差数列,只要 c n ? 1 ? c n 为常数,

因为 c n

?

S n ? m Tn n

?

?

n ? 3n ? 3 ? 3 n 2 2
2

?

? ? m ?3 1 2 ? n

? ?

n ?1

? ? 3? 1 ? 1n 2? n?3 3 2 ? 3? m ? 2 2 n

?

?

.
? ? ? ? ?

所以 c n ? 1 当m
? 2

n? 4 3 ? ? 3? m ? 2 2

?

?

1?

1 n ?1 2 n ?1

, 所以 c n

? c n ?1

?1? 1 1 ? 1? 1 n n ? 3 1 2 2 ? ? 3? m ? ? 2 2 n n ?1 ? ?

?

?

.

时, c n

? c n ?1 ?

1 2

为常数.
? S n ? m Tn ? ? n ? ?

故存在实数 m

? 2

,使得数列 ?

为等差数列.

………………16 分
? c 1 ? c 3 解出 m ? 2

(注:1. 不讨论 n=1 扣 1 分,2. 第(3)题也可 以由 2 c 2 而验证 m
? 2

,既

, ? c n ? 成等差数列)

20. 解: (Ⅰ)设 g ( x ) ? ax 2 ? bx ? c , g ( x ) 的图象经过坐标原点,所以 c=0. ∵ g ( x ? 1 ) ? g ( x ) ? 2 x ? 1 ∴ a ( x ? 1 ) 2 ? b ( x ? 1 ) ? ax 2 ? bx ? 2 x ? 1 即: ax 2 ? ( 2 a ? b ) x ? a ? b ? ax 2 ? ( b ? 2 ) x ? 1 ∴a=1,b=0, g ( x ) ? x 2 ;…………………………………………4分 (Ⅱ)函数 f ( x ) ? mx 2 ? ln( x ? 1 ) 的定义域为

? ? 1, ? ? ? . f ( x ) ? 2 mx ?
'

1 x ?1
2

?

2 mx

2

? 2 mx ? 1 x ?1


k (x) ? 2m (x ? 1 2 )
2


k ( x ) max ? k ( ?

k ( x ) ? 2 mx

? 2 mx ? 1



?

m 2

?1



1 2

) ? ?

m 2

?1,

7

∵?

∴ 2 ? m ? 0 , k ( x ) max ? ?
f (x) ? 0
'

m 2

?1? 0

k , (x)

? 2 mx

2

? 2 mx ? 1 ? 0

在 ? ? 1, ? ? ?

上恒成立,即

,当 ?
2

2 ? m ? 0

时,函数

f (x)

在定义域 ? ? 1, ? ? ? 上单调递
3 2

减.…………10 分 (III)当 m ? 1 时,
3

f ( x ) ? x ? ln ( x ? 1) . ,令 h ( x ) ? x ? f ( x ) ? x ? x ? ln ( x ? 1),
3

则h'(x)

?

3 x ? ( x ? 1) x ?1

2

在 ? 0 , ? ? ? 上恒正,
? h (0 ) ? 0
3

∴ h ( x ) 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递增,当 x ? ? 0 , ? ? ? 时,恒有 h ( x ) 即当 x ? ? 0 , ? ? ? 时,有 x 3 对任意正整数 n ,取 x
?
? x ? ln ( x ? 1) ? 0 , ln ( x ? 1) ? x ? x
2 2

.,



1 n

得 ln (

1 n

? 1) ?

1 n
2

?

1 n
3

.…………………16 分

8


相关文章:
江苏省阜宁中学、大风中学2013届高三上学期期中联考数学试题(强化班)
江苏省阜宁中学大风中学2013届高三上学期期中联考数学试题(强化班) 隐藏>> 阜、丰、建高三期中考试(强化班) 一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. 已知...
江苏省阜宁中学、大风中学2013届高三上学期期中联考试数学试题(普通班)
金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 江苏省阜宁中学大风中学 2013 届高三上学期期中联考数学试题(普通班)一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. 已知集合...
江苏省阜宁中学、大风中学2013届高三上学期期中联考数学试题(强化班)
江苏省阜宁中学大风中学2013届高三上学期期中联考数学试题(强化班) 隐藏>> http://www.shijuan.cn 阜、丰、建高三期中考试(强化班) 一、填空题(每小题 5 ...
江苏省阜宁中学、大风中学2013届高三上学期期中联考语文试题(普通班)
江苏省阜宁中学大风中学2013届高三上学期期中联考语文试题(普通班)_高考_高中教育...http://www.shijuan.cn 高三语文期中考试试卷(普通班)一、语言文字运用(15 ...
江苏省阜宁中学、大风中学2013届高三上学期期中联考物理试题 Word版含解析
江苏省阜宁中学大风中学2013届高三上学期期中联考物理试题 Word版含解析 暂无评价...伽利略通过数学推演并用小球在斜面上验证了位移与时间的平方成正比 D.伽利略用...
江苏省阜宁中学、大风中学2013届高三上学期期中联考物理试题
江苏省阜宁中学大风中学2013届高三上学期期中联考物理试题 隐藏>> http://www...伽利略通过数学推演并用小球在斜面上验证了位移与时间的平方成正比 D.伽利略用...
江苏省阜宁中学、大风中学2013届高三上学期期中联考政治试题
江苏省阜宁中学大风中学2013届高三上学期期中联考政治试题 江苏省阜宁中学大风中学2013届高三上学期期中联考试题江苏省阜宁中学大风中学2013届高三上学期期中联考...
江苏省阜宁中学、大风中学2013届高三上学期期中联考历史试题
江苏省阜宁中学大风中学2013届高三上学期期中联考试题江苏省阜宁中学大风中学2013届高三上学期期中联考试题隐藏>> 需要更多的试题到 http://shop67667935.taobao....
江苏省阜宁中学、大风中学2013届高三上学期期中联考生物试题
2005年2006年、2007年、20... 60页 1财富值 2012年广东省高考数学(文科......江苏省阜宁中学大风中学2013届高三上学期期中联考试题江苏省阜宁中学、大风中学201...
更多相关标签:
江苏省阜宁县 | 江苏省盐城市阜宁县 | 江苏省阜宁中学 | 江苏省阜宁经济开发区 | 江苏省阜宁县区号 | 江苏省阜宁县人民医院 | 江苏省阜宁县地图 | 江苏省阜宁建设新阜宁 |