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2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数质量评估检测(含解析)新人教A版必修4


第一章

质量评估检测

时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ? 10π ?的值是( 1.sin?- ) ? 3 ? ? A.- C. 1 2 3 2 B. 3 2

1 D.- 2 ? 10π ?=

sin?-4π +2π ?=sin2π = 3. 解析:sin?- ? ? ? 3 ? 3 ? 3 2 ? ? 答案:B 2.下列说法:①30°与-30°角的终边方向相反;②-330°与-390°角的终边相同; ③α =(2k+1)?180°(k∈Z)与 β =(4k±1)?180°(k∈Z)角的终边相同;④设 M={x|x =45°+k?90°,k∈Z},N={y|y=90°+k?45°,k∈Z},则 M?N. 其中所有正确说法的序号是( ) A.①③ B.②③ C.③④ D.①③④ 解析:①中,30°和-30°角的终边关于 x 轴对称,故①不正确.②中,-330°=- 360°+30°,因而与 30°角的终边相同;-390°=-360°-30°,因而与-30°角的终 边相同,故②不正确.③中,集合{x|x=2k+1,k∈Z}与集合{x|x=4k±1,k∈Z}是同一个 集合,都表示所有的奇数,所以 α ,β 为同一个角,故③正确.④中,集合 M 表示角的终 边落在两条直线(x+y=0 和 x-y=0)上,集合 N 表示角的终边落在四条直线(x=0,y=0, x+y=0 和 x-y=0)上,故④正确.综上,故选 C. 答案:C π ? ?sin x,x≤2 011, 3 3.设 f(x)=? ? ?f?x-4?,x>2 011, A. C. 1 2 3 2 1 B.- 2 D.- 3 2 4π ? 2 008 4π π ? π = sin?668π + ? = sin =- sin =- 3 ? 3 3 3 ? 则 f(2 012)=( )

解析: f(2 012)= f(2 008)= sin 3 . 2

答案:D 4.已知扇形的半径为 r,周长为 3r,则扇形的圆心角等于( π A. B.1 3 2 C. π D.3 3 解析:弧长 l=3r-2r=r,则圆心角= =1. 答案:B

)

l r

1

?x π ? 5.已知函数 f(x)=cos? - ?(x∈R),下面结论正确的是( ) ?2 2 ? A.函数 f(x)的最小正周期为 2π B.函数 f(x)在区间[0,2π ]上是增函数 C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 x ?π x? 解析:由题知 f(x)=cos? - ?=sin ,从而易知 A、B、C 均错误. 2 2 2 ? ? 答案:D 6.记 cos(-80°)=k,那么 tan100°=( ) 2 2 1-k 1-k A. B.-
C. D.- 2 2 1-k 1-k 解析:∵cos(-80°)=cos80°=k, 2 2 ∴sin80°= 1-cos 80°= 1-k . 2 sin80° 1-k ∴tan80°= = . cos80° k ∴tan100°=tan(180°-80°)=-tan80°=- 答案:B 1 ?3π -2x? 7.函数 y=log cos? ) ?的单调递增区间是( 2 ? 2 ? π π? ? A.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 4 4? ? π ? ? B.?kπ - ,kπ ?(k∈Z) 4 ? ? π 3π ? ? C.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 4 4 ? ? π 3π ? ? D.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 4 4 ? ? 1 ? π ? 解析:原函数变形为 y=log (-sin2x),定义域为?- +kπ ,kπ ?(k∈Z),研究函 2 ? 2 ? π π 数 y=sin2x 的单调递增区间,得- +2kπ ≤2x<2kπ ,解得 kπ - ≤x<kπ ,k∈Z, 2 4 故选 B. 答案:B π 8.设函数 f(x)=cosω x(ω >0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得图 3 象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( ) 1 A. B.3 3 C.6 D.9 π 解析:将函数 f(x) = cosω x(ω > 0) 的图象向右平移 个单位长度后,得函数 y = 3 ωπ? ? π? ? cosω ?x- ?=cos?ω x- 的图象. 3? 3 ? ? ? ? ∵所得图象与原图象重合, 1-k
2

k k

k k

k

.

2

ωπ ∴- =2kπ ,k∈Z. 3 ∴ω =-6k. ∵ω >0,∴当 k=-1 时,ω min=6. 答案:C 9.设 0≤α <2π ,若 sinα > 3cosα ,则 α 的取值范围是( ) π π ? ? A.? , ? ?3 2? ?π π ? ?4π 3π ? B.? , ?∪? , ? 2 ? ?3 2? ? 3 π π π 4 π ? ? ? ? C.? , ?∪? , ? 3 ? ?3 2? ?2 ?π 4π ? D.? , ? 3 ? ?3 ? π? 解析:当 α ∈?0, ?时,cosα >0,由 sinα > 3cosα ,得 tanα > 3,解得 α ∈ 2? ? ?π ,π ?;当 α ∈?π ,π ?时,sinα ≥0,cosα ≤0,显然原式成立;当 α ∈?π ,3π ?时, ?3 2? ?2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 4π ? ? ?3π ,2π ?时, cosα <0, 易得 tanα < 3, 解得 α ∈?π , ?; 当 α ∈? cosα ≥0, ? sinα <0, 3 ? ? ? 2 ? ? π 4π ? 显然原式不成立.综上,α 的取值范围是? , ?. 3 ? ?3 答案:D ? π? 10.函数 f(x)=2sin?x- ?的部分图象是( ) 2? ?

A

B

C

D

? π? -2cosx,?x≥ ? ? ? 2? ? ? π? 解析:f(x)=2sin?x- ?=? 2? ? π? ?x< 2 ? ?2cosx, ? ? ? ?
答案:C

3

π? ? 11.函数 f(x)=3sin?2x- ?的图象为 C. 3? ? 11 ①图象 C 关于直线 x= π 对称; 12 π 5π ? ? ②函数 f(x)在区间?- , ?内是增函数; ? 12 12 ? π ③由 y=3sin2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3 以上三个论断中,正确论断的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ?11π ?=3sin?11π -π ?=3sin3π =-3,∴直线 x=11π 为对称轴,①对; 解析:①f? ? ?6 3? 2 12 ? 12 ? ? ? π π? π 5π ? π ? ? ②令 2x- ∈?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z),解得 x∈?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 2 2? 12 12 ? 3 ? ? ? π 5π ? 令 k=0,得?- , ?为一个增区间,∴②正确; ? 12 12 ? π ③将 y=3sin2x 向右平移 个单位, 3 2π ? ? ? π ?? ? 则有 y=3sin?2?x- ??=3sin?2x- ?, 3 ?? 3 ? ? ? ? ∴③错误. 答案:C 12. 某市某房地产介绍所对本市一楼盘的房价作了统计与预测: 发现每个季度的平均单 价 y(单位:元/平方米)与第 x 季度之间近似满足关系式:y=500sin(ω x+φ )+9 500(ω >0),已知第一、二季度的平均单价如下表所示: x 一 二 三 y 10 000 9 500 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) A.10 000 元 B.9 500 元 C.9 000 元 D.8 500 元 解析: 把 x=1, y=10 000, 及 x=2, y=9 500 分别代入 y=500sin(ω x+φ )+9 500(ω π >0)得 sin(ω +φ )=1,sin(2ω +φ )=0,∴ω +φ =2kπ + ,2ω +φ =kπ ,k∈Z, 2 易得 sin(3ω +φ )=-1,则 y=500sin(3ω +φ )+9 500=9 000.故此楼盘在第三季度的 平均单价大约是 9 000 元. 答案:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 2 13.在△ABC 中,tanA= ,则 sinA=________. 3 sinA 2 解析:∵tanA= = , cosA 3 且 sin A+cos A=1,∴sinA=± 又∵A 为△ABC 的内角,∴sinA= 答案:
2 2

22 . 11 22 . 11

22 11 2 14.函数 y=cos x-sinx 的最大值是________.
4

解析:因为 y=cos x-sinx=-sin x-sinx+1 1?2 5 ? =-?sinx+ ? + , 2? 4 ? 1 5 又-1≤sinx≤1,所以当 sinx=- 时,ymax= . 2 4 5 答案: 4 π? ? 15.关于函数 f(x)=4sin?2x+ ?(x∈R)有下列命题,其中正确的是________. 3? ? π? ? ①y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos?2x- ?; 6? ? ? π ? ②y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称; ? 6 ? ③y=f(x)的最小正周期为 2π ; π ④y=f(x)的图象的一条对称轴为 x=- . 6 π π ? ? ? ? 解析:4sin?2x+ ?=4cos?2x- ?,故①②正确,③④错误. 3? 6? ? ? 答案:①② 16.函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π ]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的 交点,则 k 的取值范围是________. ? ?3sinx,x∈[0,π ], 解析:f(x)=sinx+2|sinx|=? ?-sinx,x∈?π ,2π ]. ? 作出函数 y=f(x)和函数 y=k 的图象,如图所示.

2

2

则 k 的取值范围是 1<k<3. 答案:1<k<3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) ? 20 ? 3sin?- π ? 13 ? 3 ? ? 37 ? (1)计算 -cos π ?tan?- π ?. 11 4 ? 4 ? tan π 3 4 (2)已知 tanα = ,求下列各式的值. 3 2 sin α +2sinα cosα ① ;②sinα cosα . 2 2 2cos α -sin α 4 3sin π 3 π π 解析:(1)原式= -cos tan 5 4 4 tan π 3 ? 1 ? π ? π π π ?-cos tan =- 3?cos ? 6 ?-tan ? 4 4 3? ? =- 3? 3 ? 2 3? ??- ?- ?1 2 ? 3? 2
5



3 2 3- 2 - = . 2 2 2

?4?2+2?4 ? ? 2 3 tan α +2tanα ?3? (2)①原式= = =20; 2 2-tan α 4?2 ? 2-? ? ?3? 4 3 sinα cosα tanα 12 ②原式= 2 = = = . 2 2 sin α +cos α tan α +1 ?4?2 25 ? 3? + 1 ? ? ? π? ?π 13 ? 18.(本小题满分 12 分)作出函数 y=sin?x- ?+1 在? , π ?的图象. 6? ? ?6 6 ? 解析:列表: π 2π 7π 5π 13π x 6 3 6 3 6 π π 3π 0 π 2π x- 6 2 2 ? π? 1 2 1 0 1 y=sin?x- ?+1 6? ? ? π? 描点,连线得函数 y=sin?x- ?+1 的图象,如图所示. 6? ?

π? ? 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 2sin?ω x- ?(ω >0)的最小正周期是 π . 4? ? (1)求 ω 的值; ? π? (2)若 x∈?0, ?,且 f(x)=0,求 x 的值. 2? ? π? ? 解析:(1)f(x)= 2sin?ω x- ?, 4? ? ∵ω >0,f(x)的最小正周期是 π , 2π ∴ =π ,∴ω =2. ω π? ? (2)由(1)得 f(x)= 2sin?2x- ?, 4? ? π? ? 依题意得 sin?2x- ?=0, 4? ? π π π 3π ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ , 2 4 4 4 π π ∴2x- =0,解得 x= . 4 8 π? 3 ? 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=sin?2x+ ?+ ,x∈R. 6? 2 ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? 2π 解析:(1)f(x)的最小正周期 T= =π . 2
6

π π π π π 由题意得 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + , k∈Z, 即 kπ - ≤x≤kπ + , k∈Z, ∴f(x) 2 6 2 3 6 π π? ? 的单调增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 3 6? ? π? π ? (2)先把 y=sin2x 的图象上所有点向左平移 个单位长度,得到 y=sin?2x+ ?的图 6? 12 ? π 3 ? ? 3 象,再把所得图象上所有点向上平移 个单位长度,得到 y=sin?2x+ ?+ 的图象. 6? 2 2 ?

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)在一个周期内的 图象如右图. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,求 y=g(x)的解析式. 2π π 解析:(1)由题意,知 A=2,T=7-(-1)=8,故 ω = = . T 4 ∵图象过点(-1,0), π π ∴- +φ =0,∴φ = . 4 4 π? ?π ∴所求的函数解析式为 f(x)=2sin? x+ ?. 4? ?4 (2)∵g(x)与 f(x)的图象关于直线 x=2 对称, ∴g(x)的图象是由 f(x)沿 x 轴平移得到的,找出 f(x)上的点(1,2)关于直线 x=2 的对 称点(3,2), π ?π ? 代入 g(x)=2sin? x+θ ?得 θ =- . 4 ?4 ? π? ?π ∴g(x)的解析式为 g(x)=2sin? x- ?. 4? ?4 π? ? 22.(本小题满分 12 分)已知 f(x)=2sin?2x+ ?+a+1(a 为常数). 6? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; ? π? (2)若当 x∈?0, ?时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值; 2? ? (3)求出使 f(x)取得最大值时 x 的取值集合. π π π π π 解析:(1)由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 2 6 2 3 6 π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 3 6? ? π ?π 7 ? π π π ? π? (2)当 x∈?0, ?时,2x+ ∈? , π ?,故当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最大 2 6 6 6 6 2 6 ? ? ? ? 值 a+3=4,所以 a=1. π? π π ? (3)当 sin?2x+ ?=1 时 f(x)取得最大值,此时 2x+ =2kπ + ,k∈Z,即 x=kπ 6? 6 2 ?
? ? ? π π + ,k∈Z,此时 x 的取值集合为?x?x=kπ + ,k∈Z? 6 6 ? ? ?

.

7


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