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广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


2015-2016 学年金山中学高二上学期期终考(2016 年 1 月) 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 1.已知条件 p : log 2 ( x ? 1) ? 1 ;条件 q : x ? 2 ? 1 ,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
/ /



C.充分必要条件 D.既充分不又不必要条件 )

2. 设 f ( x) ? x ln x 的导数为 f ( x) ,若 f (a ) ? 2 ,则 a 等于( A. e 2 B e C

ln 2 2

D ln 2

3. 如 图 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 有 直 三 棱 柱

ABC ? A1 B1C1 , CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 夹
角的余弦值为( A. )

5 5
2

B.
2

5 3

C.

2 5 5

D.

3 5
?

F2 , 4.已知双曲线 x ? y ? 1 的左、 右焦点分别是 F1 、 点 P 在双曲线上, 且 ?F1 PF2 ? 60 ,
则 | PF1 | ? | PF2 |? ( A. 2 ) B. 4 C. 6 D. 8

5. 在 ?ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , BD ? A. ?

1 BC ,则 AD ? BD ? ( ) 2
D.

5 2

B.
2

5 2
2

C. ?

5 4

5 4

6.已知圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 .设该圆过点 P(3,5)的最长弦和最短弦分别为

AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 ( )
A 10 6 B 20 6 C 30 6 D 40 6

1

7. 设 F1 F2 是 椭 圆 E :

x2 y 2 3a 上一 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 , P 为 直 线 x ? 2 a b 2
( )

点, ? F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为 A.

1 2

B.

2 3

C.

? ?

D.

? ?

2 8.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ;则

?AOB 的面积为(
A.

) B. 2 C.

2 2

3 2 2

D. 2 2

?x ? y ? 4 ? 9.已知不等式组 ? x ? y ? ?2 ,表示的平面区域为 D,点 O (0,0), A(1,0) .若点 M 是 D 上的 ?x ? 2 ?
动点,则

OA ?OM | OM |

的最 小值是( )

A.

2 2

B.

5 5

C.

10 10

D.

3 10 10

10..某三棱锥的三视图如 右图所示,则该三棱锥的各个面中, 最大的面积是( A. ) C.

6 2

B.1

2 2

D.

6 4

11. 定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) , 如果对于任意给定 的 等比 数列 {an } , { f (an )} 仍 是 等比数 列 , 则称 f ( x) 为 “ 保 等 比 数 列 函 数 ”. 现 有 定 义 在 (??, 0) ? (0, ?? ) 上 的 如 下 函 数 :① f ( x) ? x 2 ; ② f ( x) ? 2 x ; ③ f ( x) ? | x | ; ④ f ( x) ? ln | x | . ) D.3

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的个数为( A.0 B.1 C.2

2

12、下列 4 个命题

1 1 p1 : ?x ? (0, ??), ( ) x ? ( ) x 2 3 1 p3 : ?x ? (0, ??), ( ) x ? log 1 x 2 2
其中的真命题是( )

p2 : ?x ? (0,1), log 1 x ? log 1 x
2 3

1 1 p4 : ?x ? (0, ), ( ) x ? log 1 x 3 2 3

(A) p1 , p3

( B) p1 , p4

(C) p2 , p3

(D) p2 , p4

二,填空题(每空 5,共计 20 分) 13.函数 y ?

1 2 x ? ln x 的单调减区间为 2
3 2



14. 若函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1 有极大值也有极小值,则实数 a 的取值范围 是 。

15.正三棱锥 A—BCD 的底面 ? BCD 的边长为 2 2 ,M 是 AD 的中点,且 BM ? AC,则该棱锥外 接球的表面积为 。

16、已知两个非零平面向量 a 、 b 满足 | b |? 1 ,且 a 与 b - a 的夹角为 120°,则 | a | 的取 值范围是__________________ 三.解答题(共 5 小题,每题 14 分) 17 . 己知函数 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? 为它的图象的一条对称轴. (1)当 x ? [?

?
2

直线 x ? ? ) 的最小正周期为 ? ,

?
24

5? 5? , ] 时,求函数 f ( x) 的值域; 24 24

(2)在 ?ABC中a, b, c 分别为角 A, B, C 的对应边,若 f (? 最大值.

A ) ? 2 , a ? 3 ,求 b ? c 的 2

18.已知递增的等差数列 ?a n ? 中, a 2 、 a 5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 ?bn ? 的
3

前 n 项和为 S n ,且 S n ? 1 ?

⑴求数列 ?a n ? , ?bn ? 的通项公式;

1 . bn ( n ? N ? ) 2

⑵记 c n ? a n ? bn ,数列 ?c n ? 的前 n 项和为 Tn .求证 : Tn ? 2 19.如图, ABCD 是边长为 3 的正方形,DE ? 平面 ABCD ,AF // DE ,DE ? 3 AF ,BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 . (1)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的 位置,使得 AM // 平面 BEF ,并证明你 的结论. E

F

D

C

A 20.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

B

a (a ? R, e 为自然对数的底数). ex

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值; 21.如图,已知圆 G : ( x ? 2) ? y ? r 是椭圆
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 的内接△ ABC 的内切圆, 其中 16

A 为椭圆的左顶 点. (Ⅰ)求圆 G 的半径 r ;
( Ⅱ ) 过 点 M (0,1) 作 圆 G 的 两 条 切 线 交 椭 圆 于

E,F 两点,证明:直线 EF 与圆 G 相切.

高二理科数学答案(201601) 一、选择题 CBABD,BCCCA,CD

4

二.填空题答 (0,1) , a ? 2 或 a ? ?1 , 12? , 0 ?| a |?

2 3

16 解: a 、 b 、 b - a 构成的三角形中 b 所对的角为 60°,由正弦定理

|a| =
0 ?| a |?

| b | sin ? b, b ? a ? 2 ? sin ? b, b ? a ? , 其 中 0 ? ? b, b ? a ?? 120 ? , 故 ? sin 60 3

2 3
2? ,? ? ? 2

三.解答题 17.解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ?

x??

?
24

?

为 f ( x) 的图象的一条对称轴

? 2 ? (?

?
24

) ? ? ? k? (0 ? ? ?

?
2

) ?? ?

?
12

? f ( x) ? 2 cos(2 x ? ? ) 12 5? 5? ? ? ? ? ? x ? [? , ] ,? 2 x ? ? [? , ] ,? cos(2 x ? ) ? [0,1] 24 24 12 3 2 12 ? f ( x) 的值域为 [0,2]
(Ⅱ)? f (?

? 2 A ? ) ? 2 cos( A ? ) ? 2 ,? cos( A ? ) ? 12 2 2 12

当且仅当 b ? c ? 3 时取等号 故 b ? c 的最大值为 6

18⑴解 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 得 x1 ? 3 , x 2 ? 9 ,

5

因为 ?a n ? 是递 增,所以 a 2 ? 3 , a5 ? 9 ??2 分, 解?

?a5 ? a1 ? 4d ? 9 ?a1 ? 1 ??3 分,得 ? ,所以 a n ? 2n ? 1 ??4 分 ?d ? 2 ?a 2 ? a1 ? d ? 3

1 1 2 bn 中,令 n ? 1 得 b1 ? 1 ? b1 , b1 ? ??5 分, 2 2 3 1 1 1 1 当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 ,两式相减得 bn ? bn ?1 ? bn ??6 分 2 2 2 2
在 Tn ? 1 ?

bn 1 1 2 ? , ?bn ?是等比数列??7 分,所以 bn ? b1 ? ( ) n ?1 ? n ??8 分 bn ?1 3 3 3
4n ? 2 ??9 分 3n 4 ?1 ? 2 4 ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 4 ? (n ? 1) ? 2 4n ? 2 ??10 分 Tn ? ? ? ??? ? 1 2 3 3 3 3 3 n ?1 3n 4 ?1 ? 2 4 ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 4 ? (n ? 1) ? 2 4n ? 2 3Tn ? ? ? ??? ? n ?1 ??11 分 0 1 2 3 3 3 3n?2 3 4 4 4 4n ? 2 两式相减得: 2Tn ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? ??13 分 3 3 3 3n 4n ? 4 , ? 4? 3n 2n ? 2 所以 Tn ? 2 ? ? 2 ??14 分 3n
⑵ c n ? a n ? bn ? 19(1)解:因为 DA、DC、DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标 系 D ? xyz 如图所示. 因 为 DE ? 面 ABCD , 故 BE 与 平 面 ABCD 所 成 角 为

?DBE ? 60? ,
所以

ED AF ? 6 . ? 3 .由 AD ? 3 可知 DE ? 3 6 , DB

则 A(3, 0, 0) , F (3, 0, 6) , E (0, 0,3 6) , B (3,3, 0) ,

C (0,3, 0) , ??? ? ??? ? 所以 BF ? (0, ?3, 6) , EF ? (3, 0, ?2 6) ,

??? ? ? ?n ? BF ? 0 ? ??3 y ? 6 z ? 0 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ,即 ? , ? n ? EF ? 0 3 x ? 2 6 z ? 0 ? ? ? ?
令z ?

6 ,则 n ? (4, 2, 6) .
6

同理得平面 BDE 的法向量为 m ? (3,?3,0) (也可证 AC ? 面 BDE,得 AC 即为法向量) 所以 cos ? m, n ??

m?n | m|?| n |

?

6 3 2 ? 26

?

13 . 13
13 . 13

因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为

(2)解:点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t , 0) .则 AM ? (t ? 3, t , 0) , 因为 AM // 平面 BEF ,所以 AM ? n ? 0 , 即 4(t ? 3) ? 2t ? 0 ,解得 t ? 2 . 此时,点 M 坐标为 (2, 2, 0) , BM ?

???? ?

???? ?

1 BD ,符合题意. 3

a a 20.解:(1)由 f(x)=x-1+ x,得 f′(x)=1- x. e e a 又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,得 f′(1)=0,即 1- =0,解得 e a=e. a (2)f′(x)=1- x, e ①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数 f(x)无极值. x ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 e =a,x=ln a. 当 x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0; 当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故 f(x)在 x=ln a 处取得极小值,且极小值为 f(ln a)=ln a,无 极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,f(x)在 x=ln a 处取得极小值 l n a,无极大值.

(2 ? r , y0) 21 解: (Ⅰ)设 B ,过圆心 G 作 GD ? AB 于 D , BC 交长轴于 H


y GD HB r 得 ? ? 0 , AD AH 36 ? r 2 6 ? r

即 y0 ?

r 6?r 6?r

(1)

7

而B 在椭圆上, y0 ? 1 ? (2 ? r , y0)
2

(2 ? r ) 2 12 ? 4r ? r 2 (r ? 2)(r ? 6) ? ?? 16 16 16
2 6 或 r ? ? (舍去) 3 5

(2)

由(1)、 (2)式得 15r 2 ? 8r ? 12 ? 0 ,解得 r ? (Ⅱ) 设过 M(0,1) 与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 直线方程为: y ? 1 ? kx

4 相切的 9

(3)



2 2k ? 1 ,即 32k 2 ? 36k ? 5 ? 0 ? 2 3 1? k
?9 ? 41 ?9 ? 41 , k2 ? 16 16
32k 16k 2 ? 1
将(3)代入

(4)

解得 k1 ?

x2 ? y 2 ? 1 得 (16k 2 ? 1) x 2 ? 32kx ? 0 , 16

则异于零的解为 x ? ?

设 F ( x1 , k1 x1 ? 1) , E ( x2 , k2 x2 ? 1) ,则 x1 ? ?

32k1 32k2 , x2 ? ? 2 16k1 ? 1 16k2 2 ? 1

则直线 FE 的斜率为: k EF ?

k2 x2 ? k1 x1 k ?k 3 ? 1 2 ? x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4

于是直线 FE 的方程为: y ? 即y?

32k12 32k1 3 ?1 ? (x ? ) 2 16k1 ? 1 4 16k12 ? 1

3 7 x? 4 3

3 7 ? 2 2 3 则圆心 (2, 0) 到直线 FE 的距离 d ? ? 3 9 1? 16
故结论成立.

8


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