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上海市十三校2015届高三第二次(3月)联考数学理试题


上海市十三校2015届高三第二次(3月)联考 数学理试题
一、填空题(本大题满分56 分)本大题共有14 题,每个空格填对4 分,否则一律得零分. 1、幂函数 2、函数1 在区间 的定义域为__________. 上是减函数,则m= __________.

3、在△ABC中,BC = 8、 AC =5,且三角形面积S =12,则cos 2C = _

_________. 4、 设i为虚数单位, 若关于x的方程 有一实根为n, 则m =_______. 且此椭圆的焦距为4,则实数a = __________.

5、若椭圆的方程为

6、若一个圆锥的侧面展开如圆心角为1200、半径为3 的扇形,则这个圆锥的表面积是__________. 7、若关于x的方程 上有解,则实数a的取值范围为__________.

8、《孙子算经》卷下第二十六题:今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩 二,问物几何?___________.(只需写出一个答案即可) 9、在极坐标系中,某直线的极坐标方程为 __________. 10、设口袋中有黑球、白球共7 个,从中任取两个球,令取到白球的个数为 ,且 的数学期望 ,则极点O 到这条直线的距离为

,则口袋中白球的个数为__________.

11、 如右图所示, 一个确定的凸五边形 ABCDE , 令



则x 、y 、z 的大小顺序为__________. 12、设函数 f ( x)的定义域为D, ,它的对应法则为 f : x→sin x,现已

1

知 f ( x)的值域为 13、若多项式

,则这样的函数共有__________个.

14、在平面直角坐标系中有两点 射线

,以原点为圆心,r > 0为半径作一个圆,与

交于点M ,与x轴正半轴交于N ,则当r变化时, |AM |+| BN |的最小值

为__________. 二、选择题(本大题满分20 分)本大题共有4 题,每题有且仅有一个正确答案,选对得5 分,否则 一律得零分. 15、若非空集合 A中的元素具有命题 则命题 是命题 的__________条件. 的性质,集合B中的元素具有命题 的性质,若 A

B,

A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 16、用反证法证明命题:“已知a、b ,如果ab可被 5 整除,那么a、b 中至少有一个能被 5 整

除”时,假设的内容应为__________. A. a 、b 都能被5 整除 B. a 、b 都不能被5 整除 C. a 、b 不都能被5 整除 D. a 不能被5 整除 17、实数x、 y 满足 ,则x - y的最大值为__________.

18、直线m ⊥平面 ,垂足是O ,正四面体ABCD 的棱长为4,点C 在平面 上运动,点B 在 直线m 上运动,则点O 到直线AD 的距离的取值范围是__________.

三、解答题(本大题满分74 分)本大题共5 题,解答下列各题须写出必要的步骤. 19、(本题满分12 分) 本题共有2 个小题,第1 小题满分6 分,第2 小题满分6 分. 已知正四棱柱 是BB1 中点,且PQ / /AB , (1)求证: ; ,底面边长为 ,点P、Q、R分别在棱 上,Q

2

(2)若

,求四面体C1PQR 的体积.

20、(本题满分14 分) 本题共有2 个小题,第1 小题满分6 分,第2 小题满分8 分. 已知数列 (1)比较 (2)若数列 满足 的大小; 的前n项和 是递增数列. ,数列 , ,设数列 的前n 项和是 .

求d 的取值范围使得

21、(本题满分14 分) 本题共有3 个小题,第1 小题满分5 分,第2 小题满分6 分,第3 小题满 分3 分. 某种波的传播是由曲线 来实现的,我们把函数解析式 称为“波”,把振幅都是A 的波称为“ A 类波”,把两个解析式相加称为波的 叠加. (1)已知“1 类波”中的两个波 的值; (2)在“ A 类波“中有一个是 ,从 A类波中再找出两个不同的波 ,并说明理由. ,使 叠加后仍是“1类波”,求

得这三个不同的波叠加之后是平波,即叠加后 (3)在

个“ A类波”的情况下对(2)进行推广,使得(2)是推广后命题的一个特

例. 只需写出推广的结论,而不需证明. 22、(本题满分16 分) 本题共有3 个小题,第1 小题满分4 分,第2 小题满分6 分,第3 小题满 分6 分. 设函数 .

3

(1)若a=0,当

时恒有

,求b 的取值范围;

(2)若

且b =-1,试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点,使得函数

的图

像永远不经过这两点; (3)若 ,函数 在区间[3, 4]上至少有一个零点,求 的最小值.

23、(本题满分18 分) 本题共有3 个小题,第1 小题满分4 分,第2 小题满分6 分,第3 小题满 分8 分. 设有二元关系 ,已知曲线 上,求正方形 ABCD的面积; 与 y 轴的交点是G ,直线MG与

(1)若a =2时,正方形 ABCD的四个顶点均在曲线 (2)设曲线 曲线 与x轴的交点是M 、N ,抛物线

交于点P,直线NG 与曲线 与x轴的交点是 在

交于Q,求证:直线PQ过定点,并求出该定点的坐标. ,可知动点 在某确定的曲线 上运动,

(3)设曲线 曲线

与上述曲线

时共有四个交点: ,集合 的所

有非空子集设为 身)得到255 个数

,将

中的所有元素相加(若i Y 中只有一个元素,则其是其自 是与变数

,求所有的正整数n 的值,使得 均无关的常数.

a及变数

4

数学(理科)试卷参考答案
一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分) 1.0 2.(0,1] 3.

7 25

4.1 5.4 或 8

6.4 ? 7. a ?[?3,9]

8.23+105 (n ? 1), n ? N ? 均可

9.

2 2

10.3

11. x ? y ? z

12.1395

13.0

14. 2 7

二、选择题(本大题共 4 题,满分 20 分) 15. A 16. B 17. C 18. B 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在相应编号的规定区域内写出必要的 步骤。 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 6 分,第二小题满分 6 分。 (1)如图建系,设棱柱的高是 h ,则 C1 ( 2 ,0, h), Q(0,0, ) ,再设 BR ? x ,则 R( x,0,0) ,由
? ? h h C1Q ? QR , QC? QR ? 0 , 则 ( 2 ,0, ) ? ( x,0,? ) ? 0 , 可 得 2 2

h 2

2x ?

h2 4

, 又

? ? h ? h h2 P(0, 2 , ), PR ? ( x,? 2 ,? ) , 因 为 QC1 ? PR ? 2 x ? (? ) ? 0 , 所 以 C1Q ? PR ; 2 2 4

Q R 可得 BR ? (2)因为 B1C1 = 2 ,C1Q ? 3 , 所以 B1Q ? 1, 因此 BQ ? 1 , 由 ?B1C1Q ~ ?B
于是 QR ?

2 , 2

1 6 ,由 C1Q, QR, QP 两两垂直,可得四面体 C1 PQR 的体积 V ? 2 2

20.(本题满分 14 分)共 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分。 (1)数列

? b ?为等比数列,且 b
n

n

1 1 4 1 ? ( ) n ?1 ,因此 bn ? ( ) n ?1 ,则 Tn ? (1 ? ( ) n ) , 16 4 3 4
5

因为 Tn ?1 ? TnTn ? 2 ?

2

16 1 1 1 [1 ? ( ) n ][1 ? ( ) n ? 2 ] ? ( ) n ? 0 ,于是 Tn?12 ? TnTn?2 ; 9 4 4 4

(2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n2 ? 2n ? 2 ? 2(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? 2 ? 4n, 而 a1 ? S1 ? 6 不满足上式 n ? 1 时,因此 an ?

{

6 4n

n ?1 n?2

2 ,可得 c1 ? 6, 当 n ? 2 时 cn ? (4 ? 4 log2 d )n ? 4 logd ,
4 ? 4 log2 ? 0
d

d 要使数列 ?cn ?是递增数列,则 4 ? 4 log2 d ? 0 且 c1 ? c2 ,即 {6?8? 4 log 2 ,可得 log d ?

2

1 ,解得 2

d ? (0,1) ? (4,??) 。
21.(本题满分 14 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满 5 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 3 分。 (1) f1 ( x) ? f 2 ( x) ? sin(x ? ?1 ) ? sin(x ? ?2 ) = (cos?1 ? cos?2 ) sin x ? (sin?1 ? sin ?2 ) cos x ,振
2 2 幅是 (cos ?1 ? cos ? 2 ) ? (sin ?1 ? sin ? 2 ) ?

2 ? 2 cos( ?1 ? ? 2 ) ,则 2 ? 2 cos( ?1 ? ?2 ) ? 1 ,即

1 2? cos( ?1 ? ? 2 ) ? ? ,所以 ?1 ? ? 2 ? 2k? ? ,k ?Z ; 2 3
(2)设 f 2 ( x) ? A sin(x ? ?1 ), f3 ( x) ? A sin(x ? ?2 ) ,则 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? f3 ( x) = A sin x ?

A sin(x ? ?1 ) ? A sin(x ? ?2 ) = A sin x(1 ? cos?1 ? cos?2 ) ? A cos x(sin?1 ? sin ?2 ) ? 0 恒成立,
1 2 则 {sin ?1 ?sin ? 2 ?0

2? 1 4? 2? , 可取 ? 2 ? (或? 2 ? 等) ,若取 ?1 ? ,此时 3 2 3 3 2? 4? 2? f 2 ( x) ? A sin( x ? ), f 3 ( x) ? A sin( x ? ) (或 f 3 ( x) ? A sin( x ? ) 等);则 f1 ( x) ? f 2 ( x) 3 3 3
1?cos? ?cos? ?0

,即可解得 cos ?1 ? ?

+ f 3 ( x) ? A[sin x ? (?

1 3 1 3 sin x ? cos x) ? (? sin x ? cos x)] ? 0 ,所以是平波。 2 2 2 2
2? 4? ), f 3 ( x) ? A sin( x ? ) n 3
?

(3) f1 ( x) ? A sin x, f 2 ( x) ? A sin( x ?

f n ( x) ? A sin( x ?

2(n ? 1)? ) ,这 n 个波叠加后是平波。 n

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分。
2 2 (1) f ( x) ? (2b ? 1) x ? 2,{ f (1 )?0 , 得: {2b ?1?0 ,解得 b ? [ ,?? ) ;

1 f ( ) ?0

3 b ? ?0

3 2

(2) b ? ?1时,y ? a( x ?1) ? x ? 2 , 当 x ? 1时,无论 a取 何 值 , y ? ? x ? 2必 为 定 值 , 因此函
2 2

C(1,?3)和D(?1,?1); 由 函 数 定 义 可 知 , 函 数 图 像 一 定 不 经 过 点 数 y ? f ( x)图像一定经过点 A(1, y1 )( y1 ? ?3) 和点 B(?1, y2 )( y2 ? ?1), y1、y2 取满足条件的一个值即可;
(3)由题意,存在 t ?[3,4] ,使得 at ? (2b ? 1)t ? a ? 2 ? 0 ,即 (t ?1)a ? (2t )b ? t ? 2 ? 0 ,
2 2

6

由点到直线的距离意义可知 a ? b ?
2 2

t ?2 (t ? 1) ? 4t
2 2 2

?

t?2 t ?1
2

,由此只要求

t?2 t 2 ?1

, t ? [3,4] 的最

小值。 令 g (t ) ?

1 ,即当 5 u? ?4 u 1 1 u ? 1 时,即 t ? 3 时, g (t ) 取最小值是 ,即当 t ? 3 时, a 2 ? b 2取得最小值 . 10 100

t ?2 u , t ? [3,4], 设u ? t ? 2, u ? [1,2], 则 g (t ) ? f (u) ? 2 ? 2 t ?1 u ? 4u ? 5

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分。 (1)令 f ( x, y) ? ( x ? y) 2 ? 2( x ? y) ?1 ? 0, 得: x ? y? ? ?1 ? 2 ,即 f ( x, y) ? 0 表示两条平行 直线,这两条平行直线间距离是 2,此为正方形的一个边长,正方形面积为 4
2 (2)在 曲 线 C 中 , 令 y ? 0 , 则 x ? ax ? 1 ? 0 , 设 M (m,0)、N (n,0), 由 韦 达 定 理 得 :

m n ? ?1, G(0,1) ,则直线 MG : y ? ?
由{
y ?? 1 x ?1 m

1 1 x ? 1, NG : y ? ? x ? 1 m n

1 y ? x 2 ?1 2

得:P(?

2 2 2 2 2 2 , 2 ? 1),同样Q(? , 2 ? 1) ,所以直线 PQ : y ? 2 ? 1 ? (m ? n)( x ? ) n n m m n n

令 x ? 0, 则y ?

2 2 2 1 2 ? 1 ? (m ? n) ? 2 ? 1 ? (? ? n) ? 3 ,可得该直线与 y 轴的交点是(0,3)。 2 x n n n n

C : f ( x, y) ? (3)令 y ? 0, 则x ? ax ?1 ? 0, 则 uv ? ?1,即点R(u, v)在曲线xy ? ?1上,又曲线
2

( x ? y ) 2 ? a( x ? y ) ? 1 ? 0 , 恒 表 示 两 条 平 行 直 线 x ? y ? A( x1, x2 )、B( x3 , x4 ) 关于 y ? ? x 对称,则

? a ? a2 ? 4 , 如 图 , 2

x1 ? x3 x ? x4 ?? 2 ,即 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ,同理 2 2

集合 X ? {x1 , x2 ,… 显然 y1 ? x1 ? x2 ? ... ? x8 x5 ? x6 ? x7 ? x8 ? 0,则x1 ? x2 ? …? x8 ? 0 , ,x8} , 7

n =0, 即 n ? N 时,y1 我们把它们配成集合 “对”(Yp , Yq ) , 使得 Yp ? Yq ? X , ? 0, 对 X 的其它子集,

?

Yp ?Yq ? ? ,这样的集合“对”共有 127 对。
n 以下证明:对于 Yp 的元素和 y p与Yq的元素和 先证明: yq ,当 n 是奇数时,恒有 y n p ? yq ? 0 ,为此,

n 是奇数时,则 x ? y 能整除 x n ? y n ,用数学归纳法证之:
10 当 n ? 1 时显然成立,

20 假设 n ? k (k是奇数)时成立,即 x ? y整除x k ? y k ,则当 n ? k ? 2 时, xk ?2 ? y k ?2 ?

x k ?2 ? x k y 2 ? x k y 2 ? y k ?2 ? x k ( x 2 ? y 2 ) ? y 2 ( x k ? y k ) ,能被 x ? y 整除成立。
由 10、 20 可知当n是奇数时, x ? y能够整除 x n ? y n 都成立。 又因为当 n 是奇数时, y p ? yq ? ( y p ? yq )M ,其中 M 是关于 y p、yq的整式,因为 Yp ? Yq ? X ,
n n n Yp ?Yq ? ? ,所以对每一个集合“对”(Yp , Yq ) , y p ? yq ? 0 ,则一定有 y n p ? yq ? ( y p ? yq )M =0,
n n M ? N ? ,于是得出 y1n ? y2 ? ...? y255 ? 0 是常数。

也可以用 y p ? yq ? ( y p ? yq )[ y p ? y p yq ? y p yq ? ...? (?1)
n n 2

n?1

n ?2

n?3

n?1

n?1 yq ] 来证明。

8


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