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2014年干一镇初级中学数学竞赛及优录培训17


2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案
(广东省 3 月 17 日复试)
一.选择题(5× 7'=35') 1.对正整数 n,记 n!=1× 2× ...× n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( A .0 B.1 C.3 D.5 ).

? 2x ? 5 ? x ? ?5 ? ? 3 2.已知关于 x 的不等

式组 ? x ? 3 恰好有5个整数解,则 t 的取值范围是( ? ? t ? x ? ? 2
A. ? 6 ? t ? ? 11 11 11 11 B. ? 6 ? t ? ? C. ? 6 ? t ? ? D. ? 6 ? t ? ? 2 2 2 2

).

3.已知关于 x 的方程 A .1 B.2

x x ? 2 a ? 2 x 恰好有一个实根,则实数 a 的值有( ? ? 2 x?2 x x ? 2x
C.3 D.4

)个.

4.如图,已知△ ABC 的面积为24,点 D 在线段 AC 上,点 F 在线段 BC 的延长线上,且 BC=4CF,DCFE 是平行四边形,则图中阴影部分的 面积为( A .3 ). B.4 C.5 D.6 ).

5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中,随机取出两个球,记下它们 的标号,则较大标号被较小标号整除的概率是(

1 2 5 B. C. 4 9 18 二.填空题(5× 7'=35') A.

D.

7 36
3

6.设 a ? 3 3 ,b 是 a2的小数部分,则 (b ? 2) 的值为



7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6.掷这个正方体三次,则其朝上的面的 数的和为3的倍数的概率是
2

. .

8.已知正整数 a、b、c 满足 a+b -2c-2=0,3a2-8b+c=0,则 abc 的最大值为 则所有满足条件的数组(a、b、c、d)为 .

9.实数 a、b、c、d 满足:一元二次方程 x2+cx+d=0的两根为 a、b,一元二次方程 x2+ax+b=0的两根为 c、d, 10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,园珠笔每支售7元,开始时他有铅笔和圆珠笔共350 支,当天虽然没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元,则他至少卖出了 支圆珠笔.

三.解答题(4× 20'=80') 11.如图,抛物线 y=ax2+bx-3,顶点为 E,该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点, 与 y 轴交于点 C,且 OB=OC=3OA.直线 y ? ? 求∠DBC-∠CBE.

1 x ? 1 与 y 轴交于点 D, 3

12.如图,已知 AB 为圆 O 的直径,C 为圆周上一点,D 为线段 OB 内一 点(不是端点),满足 CD⊥AB,DE⊥CO,E 为垂足,若 CE=10,且 AD 与 DB 的长均为正整数,求线段 AD 的长.

13.设 a、b、c 是素数,记 x ? b ? c ? a, y ? c ? a ? b, z ? a ? b ? c ,当 z 2 ? y, x ? 能否构成三角形的三边长?证明你的结论.

y ? 2 时,a、b、c

14.如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被7整除,那么称 M 为 m 的“魔术数” (例如, 把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数) .求正整数 n 的最小值,使得 存在互不相同的正整数 a1,a2, . . . ,an,满足对任意一个正整数 m,在 a1,a2, . . . ,an 中都至少有一个为 m 的“魔术数” .

2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案
(广东省 3 月 17 日复试)
二.选择题(5× 7'=35') 8.对正整数 n,记 n!=1× 2× ...× n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( ). A.0 B.1 C.3 D.5 【分析】 n ? 5 时, n !的个位数均为 0,只考虑前 4 个数的个位数之和即可,1+2+6+4=13,故式子的个 位数是 3. 本题选 C.

? 2x ? 5 ? x ? ?5 ? ? 3 9.已知关于 x 的不等式组 ? x ? 3 恰好有5个整数解,则 t 的取值范围是( ? ? t ? x ? ? 2
A. ? 6 ? t ? ? 11 11 11 11 B. ? 6 ? t ? ? C. ? 6 ? t ? ? D. ? 6 ? t ? ? 2 2 2 2

).

? 2x ? 5 ? x ? ?5 ? ? 3 ? 3 ? 2t ? x ? 20 ,则5个整数解是 x ? 19,18,17,16,15. 【分析】 ? x ? 3 ? ?t ? x ? ? 2

注意到 x ? 15 时,只有4个整数解.所以 10.已知关于 x 的方程 A .1 【分析】 B.2

14 ? 3 ? 2t ? 15 ? ?6 ? t ? ?

11 2 ,本题选 C
)个.

x x ? 2 a ? 2 x 恰好有一个实根,则实数 a 的值有( ? ? 2 x?2 x x ? 2x
C.3 D.4

x x ? 2 a ? 2x ? ? 2 ? a ? 2 x 2 ? 2 x ? 4 ,下面先考虑增根: x?2 x x ? 2x

2 ⅰ )令 x ? 0 ,则 a ? 4 ,当 a ? 4 时, 2x ? 2x ? 0, x1 ? 1, x2 ? 0 (舍) ; 2 ⅱ )令 x ? 2 ,则 a ? 8 ,当 a ? 8 时, 2x ? 2x ? 4 ? 0, x1 ? ?1, x2 ? 2 (舍) ;

再考虑等根: ⅲ )对 2 x ? 2 x ? 4 ? a ? 0 , ? ? 4 ? 8(4 ? a ) ? 0 ? a ?
2

7 1 7 ,当 a ? , x1, 2 ? . 2 2 2

故 a ? 4,8,

7 1 , x ? 1,?1, 共 3 个.本题选 C. 2 2

11.如图,已知△ ABC 的面积为24,点 D 在线段 AC 上,点 F 在线段 BC 的延长线上,且 BC=4CF,DCFE 是平行四边形,则图中阴影部 分的面积为( A .3 B.4 ). C.5 D.6

【分析】设 ?ABC 底边 BC 上的高为 h ,则

h?

48 48 12 12 ? ? ? BC 4CF CF DE , 1 1 1 ? DE ? h1 ? ? DE ? h2 ? ? DE ? (h1 ? h2 ) 2 2 2

S ?ADE ? S ?BDE ?

?
本题选 D.

1 1 12 ? DE ? h ? ? DE ? ?6 2 2 DE

12.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中,随机取出两个球,记下它们的标号,则较大标号被较小标号整除 的概率是( ).

1 A. 4

B.

2 9

C.

5 18

D.

7 36
本题选 B.

【分析】 P ?

1 1 C4 ? C2 ?1?1 8 2 ? ? 2 C9 36 9

二.填空题(5× 7'=35')
13.设 a ? 3 3 ,b 是 a2的小数部分,则 (b ? 2)3 的值为 .

【分析】考虑到 a ? 3 3 ,则 a 2 ? 3 32 ? 3 9, 2 ? 3 8 ? 3 9 ? 3 27 ? 3, b ? 3 9 ? 2, b ? 2 ? 3 9 则 (b ? 2)3 ? (3 9 )3 ? 9

14.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6.掷这个正方体三次,则其朝上的面的 数的和为3的倍数的概率是 . 【分析】对第一次向上面为 1 时,后面两次所得数字与 1 的和是 3 的倍数有 111,114,123,126,132, 135,141,144,153,156,162,165 共 12 种;对于首次掷得向上的面是 2,3,4,5,6 的,后面两次与 首次的和为 3 的倍数是轮换对称的,故和为 3 的倍数共有 12 ? 6 ,而总次数是 6 ? 6 ? 6 次,则其概率为

P?

12 ? 6 1 ? . 6?6?6 3

11.已知正整数 a、b、c 满足 a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0,则 abc 的最大值为 【分析】先消去 c,再配方估算. 6a ? a ? b ? 16b ? 2 ? 6(a ?
2 2



1 2 1 ) ? (b ? 8) 2 ? 66 ? 12 24

观察易知上式中 a ? 3 ,故 a ? 1,2,3 ,经试算, a ? 1,2 时, b 均不是整数;当 a ? 3 时, b ? 5,11 ,于是有

(a, b, c) ? (3,5,13), (3,11,61) ,故 abcmax ? 3?11? 61 ? 2013.

12. 实数 a、b、c、d 满足:一元二次方程 x2+cx+d=0的两根为 a、b,一元二次方程 x2+ax+b=0的两根为 c、 d,则所有满足条件的数组(a、b、c、d)为 . 【分析】由根与系数关系知 a ? b ? c ? c ? d ? a ? 0 ? b ? d , ab ? d , cd ? b ,然后可得 (a、b、c、d)=(1,-2,1,-2) 本题在化简过程中,总感觉还有,此处仅给出一组,好像不严谨,期待官方答案. 13.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,园珠笔每支售7元,开始时他有铅笔和圆珠笔共350 支,当天虽然没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元,则他至少卖出了 支圆珠笔.

, x ? y ? 350 【分析】设4元的卖 x 支,7元的卖 y 支,则 4 x ? 7 y ? 2013
4 x ? 7 y ? 2013 ? 4 x ? 2012 ? 8 y ? y ? 1 ? x ? 503 ? 2 y ?


y ?1 ? k ? y ? 4k ? 1 ,则 x ? 503? 2(4k ? 1) ? k ? 505? 7k ,又 x ? y ? 350,即 4 1 ?N 505 ? 7k ? 4k ? 1 ? 350 ? k ? 51 ?k ? ?? k ? 52 , y ? 4k ? 1 ? 4 ? 52 ? 1 ? 207 3

y ?1 4

即他至少卖了207支圆珠笔.

三.解答题(4× 20'=80') 11.如图,抛物线 y=ax2+bx-3,顶点为 E,该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点, 与 y 轴交于点 C,且 OB=OC=3OA.直线 y ? ? 求∠DBC-∠CBE.

1 x ? 1 与 y 轴交于点 D, 3

【分析】易知 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ?1) 2 ? 4 ,

A(?1,0), B(3,0),C (0,?3),D(1,?4) ,作 EF⊥CO 于 F,连 CE,易知△ O
BC、△ CEF 都是等腰直角三角形,则△ CBE 是直角三角形.分别在 Rt△ OB D、Rt△ BCE 中运用正切定义,即有

tan? ?

OD 1 CE 2 1 ? ,tan ? ? ? ? ,则 ? ? ? OB 3 BC 3 2 3

从而可得∠DBC-∠CBE=45? .

12.如图,已知 AB 为圆 O 的直径,C 为圆周上一点,D 为线段 OB 内一 点(不是端点),满足 CD⊥AB,DE⊥CO,E 为垂足,若 CE=10,且 AD 与 DB 的长均为正整数,求线段 AD 的长. 【分析】设圆 O 半径为 r,则由相似或三角函数或射影定理可知,

DE2 ? CE ? OE ? DE2 ? 10(r ?10) ,又 CD2 ? CE 2 ? DE2 ? 102 ? 10(r ?10) ? 10r
由相交弦定理(考虑垂径时)或连 AC、BC 用相似或三角函数,易知

AD ? BD ? CD 2 ? 10r ①,而 AD ? BD ? 2r ②
令 AD ? x, BD ? y ,①/②即

y xy 10r y y ? ? 5 ? ? ? 1,显然有 0 ? y ? x ,则 0 ? ? 1 ,即 x x ? y 2r x 5

0?

y ? 1 ? 1 ? 5 ? y ? 10 ,y 为正整数, 故 y ? 6,7,8,9 , 又 x 也为正整数, 经逐一试算, 仅当 y ? 6, x ? 30 5

这一组是正整数,故 AD ? 30 .

13.设 a、b、c 是素数,记 x ? b ? c ? a, y ? c ? a ? b, z ? a ? b ? c ,当 z 2 ? y, x ? 能否构成三角形的三边长?证明你的结论. 【分析】 ?

y ? 2 时,a、b、c

?y ? c ? a ? b ? 1 ? 1 ? 8a z2 ? y ? y ? z ? 2a ??? ?? z 2 ? z ? 2a ? 0 ? z ? 2 ?z ? a ? b ? c

a、b、c 是素数,则 a ? b ? c ? z 为整数,则 1 ? 8a ? 2k ? 1 , k 为正整数.化简整理后,有

?k ? 1, k ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? 2 ? a ? 1(非质数) k (k ? 1) ? 2a ? ? ?k ? 2, k ? 1 ? a ? 2 ? 1 ? 3
z? ? 1 ? 1 ? 8a a ? 3 ???? z ? ?3,2 2

ⅰ ) z ? 3, y ? 9, x ? 9 ? 2 ? x ? 25, x ? z ? 2b ? b ? 11 , b ? 17, a ? b ? 3 ? 17 ? 20 ? 17 ? c 不能围 成三角形; ⅱ) z ? 2, y ? 4, x ? 16, b ? 9是合数 综上所述,以 a、b、c 不能围成三角形. 14.如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被7整除,那么称 M 为 m 的“魔术数” (例如, 把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数) .求正整数 n 的最小值,使得 存在互不相同的正整数 a1,a2, . . . ,an,满足对任意一个正整数 m,在 a1,a2, . . . ,an 中都至少有一个为 m 的“魔术数” . 【分析】考虑到魔术数均为7的倍数,又 a1,a2, . . . ,an 互不相等,不妨设 a1 ? a2 ? ... ? an ,余数必为1、

,3 ..., 2、3、4、5、6,0,设 ai ? 7ki ? t , ( i ? 1,2,

n; t ? 0,1,2,3,4,5,6 ) ,至少有一个为 m 的“魔术数”.因

为 ai ?10k ? m (k 是 m 的位数),是7的倍数,当 i ? 6 时,而 ai ?10k 除以7的余数都是0,1,2,3,4,5, 6中的6个;当 i ? 7 时,而 ai ?10k 除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6这7个数字循环出现,当 i ? 7 时, 依抽屉原理, ai ?10k 与 m 二者余数的和至少有一个是7,此时 ai ?10k ? m 被7整除,即 n=7.


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