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人教A版数学必修1课本例题习题改编


2015 版人教 A 版必修 1 课本例题习题改编 1. 原 题 ( 必 修 1 第 七 页 练 习 第 三 题 ( 3 )) 判 断 下 列 两 个 集 合 之 间 的 关 系 : A=

?x | x是4与10的公倍数,x ? N??,B ? ?x | x ? 20m, m ? N??
改编 已知集合 M ? ? x

x ?

x ? ? x ? ? N ?且 ? N ? ? ,集合 N ? ? x ? Z ? ,则( 10 ? 4 ? ? 40 ?
C. M



A. M ? N

B. N ? M

? x ? N ? ?x ?Z? ? 20 ?

D. M

? x ? N ? ?x ? N?? ? 40 ?

? 解: M ? x x ? 20k , k ? N , N ? x x ? 40k , k ? Z ,故选 D .

?

?

?

?

2.原题(必修 1 第十二页习题 1.1B 组第一题)已知集合 A={1,2},集合 B 满足 A∪B={1,2},则这 样的集合 B 有 个. 改编 1 已知集合 A、B 满足 A∪B={1,2},则满足条件的集合 A、B 有多少对?请一一写出来. 解:∵A∪B={1,2},∴集合 A,B 可以是:?,{1,2};{1},{1,2};{1},{2};{2},{1,2};{2}, {1};{1,2},{1,2};{1,2},{1};{1,2},{2};{1,2},?.则满足条件的集合 A、B 有 9 对. 改编 2 已知集合 A 有 n 个元素,则集合 A 的子集个数有 解:子集个数有 2 个,真子集个数有 2 ? 1 个
n n

个,真子集个数有



改编 3 满足条件

?1,2?

A ? ?1,2,3?

的所有集合 A 的个数是



解:3 必须在集合 A 里面, A 的个数相当于 2 元素集合的子集个数,所以有 4 个. 3.原题(必修 1 第十三页阅读与思考“集合中元素的个数” )改编 用 C(A) 表示非空集合 A 中的元素个 数,定义 A ? B ? ?

?C(A) ? C(B),当C(A) ? C(B) 1,2?, B ? x (x 2 ? ax)(x 2 ? ax ? 2) ? 0 ,且 ,若 A ? ? ?C(B) ? C(A),当C(A) ? C(B)
.

?

?

A ? B ? 1 ,则由实数 a 的所有可能取值构成的集合 S =

1,2?得C(A) ? 2 ,而 A ? B ? 1 ,故 C(B) ? 1或C(B) ? 3 .由 (x 2 ? ax)(x2 ? ax ? 2) ? 0 解:由 A ? ?
得 (x2 ? ax) ? 0或(x2 ? ax ? 2) ? 0 .
2 2 当 C(B) ? 1 时,方程 (x ? ax)(x ? ax ? 2) ? 0 只有实根 x ? 0 ,这时 a ? 0 . 2 当 C(B) ? 3 时 , 必 有 a ? 0 , 这 时 (x ? a x )? 0 有 两 个 不 相 等 的 实 根 x1 ? 0, x 2 ? ?a , 方 程

(x2 ? ax ? 2) ? 0 必有两个相等的实根,且异于 x1 ? 0, x 2 ? ?a ,有 Δ ? a 2 ? 8 ? 0, ∴ a ? ?2 2 ,
可验证均满足题意,∴ S ? ? 2 2 ,0,2 2 .

?

?

4.原题(必修 1 第二十三页练习第二题)改编 1 小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停 留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是

解: 先分析小明的运动规律, 再结合图象作出判断.距学校的距离应逐渐减小, 由于小明先是匀速运动, 故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,后段比前段下降得快, 答案选 C . 改编 2 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 ( )

解:汽车加速行驶时,速度变化越来越快,而汽车匀速行驶时,速度保持不变,体现在 s 与 t 的函数图 象上是一条直线,减速行驶时,速度变化越来越慢,但路程仍是增加的.答案:A. 5.原题(必修 1 第二十四页习题 1.2A 组第七题)画出下列函数的图象: (1)F(x)= 改编 设函数 D(x)=

?1, x为有理数, 则下列结论错误的是( ? ?0, x为无理数,
B. D(x)是偶函数

?0, x ? 0, ? ?1, x>0;

)

A.D(x)的值域为{0,1}

C.D(x)不是周期函数

D.D(x)不是单调函数

解 : 由 已 知 条 件 可 知 ,D(x) 的 值 域 是 {0,1}, 选 项 A 正 确 ; 当 x 是 有 理 数 时 ,-x 也 是 有 理 数 , 且 D(-x)=1,D(x)=1,故 D(-x)=D(x),当 x 是无理数时,-x 也是无理数,且 D(-x)=0,D(x)=0,即 D(-x)=D(x), 故 D(x)是偶函数,选项 B 正确;当 x 是有理数时,对于任一非零有理数 a,x+a 是有理数,且 D(x+a)=1=D(x), 当 x 是无理数时,对于任一非零有理数 b,x+b 是无理数,所以 D(x+b) =D(x)=0,故 D(x)是周期函数,(但
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不存在最小正周期) ,选项 C 不正确;由实数的连续性易知,不存在区间 I,使 D(x)在区间 I 上是增函数或 减函数,故 D(x)不是单调函数,选项 D 正确. 答案:C . 6.原题(必修 1 第二十四页习题 1.2A 组第十题)改编 已知集合 射

A ? ?1,2,3?, B ? ?1,2,3,4? .定义映

f : A ? B ,则满足点 A(1, f (1)), B(2, f (2)), C (3, f (3)) 构成 ?ABC 且 AB=BC 的映射的个数为
.
3

解: 从 A 到 B 的映射有 4 ? 64 个, 而其中要满足条件的映射必须使得点 A、 B、 C 不共线且 结合图形可以分析得到满足 f (3) ? f (1) ? f (2) 即可,则满足条件的映射有 m ? C4 ? C3
1 1

AB=BC ,
? 12 个.

7. 原题(必修 1 第二十五页习题 1.2B 组第二题)画出定义域为 x ? 3 ? x ? 8, 且x ? 5 ,值域为 (1)将你的图像和其他同学的比较,有什么差别吗?(2) ? y ? 1 ? y ? 2, y ? 0? 的一个函数的图像, 如果平面直角坐标系中点 P(x,y) 的坐标满足 ?3 ? x ? 8 , ?1 ? y ? 2 ,那么其中哪些点不能在图像 上? 改编 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 x ? 3 ? x ? 8, x ? 5 , 值域为 y ? 1 ? y ? 2, y ? 0 , 则 y ? f ( x) 的图象可能是( )

?

?

?

?

?

?

A

B

C

D

解:根据函数的概念,任意一个

x 只能有唯一的 y 值和它对应,故排除 C;由定义域为

? x ? 3 ? x ? 8, x ? 5? 排除 A、D,选 B.
8.原题(必修 1 第二十五页习题 1.2B 组第三题)函数 f(x) ? [x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数,例

,  3? 时,写出函数 f(x) 的解析式,并作出函数的图象. 如, [?3.5] ? ?4 ; [2.1] ? 2 ;当 x ? ?? 2.5
改编 1 对于任意实数 x ,符号 [x]表示 x 的整数部分,即 [x]是不超过 x 的最大整数,例如 [2] ? 2 ; ,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用, [2.1] ? 2 ; [?2.2] ? ?3 .函数 y ? [x] 叫做“取整函数” 则 [log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? ? ? [log3 26] 的值为 .

0 1 2 3 解:由题意得,∵ 3 ? 1 , 3 ?3, 3 ?9, 3 ?27 .∴原式中共有2个0,6个1,1 8 个2,故

原式= 2 ? 0 ? 6 ? 1 ? 18 ? 2 ? 42 . 改编 2 已知函数 f(x)=x-[x], 其中[x]表示不超过实数 x 的最大整数. 若关于 x 的方程 f(x)=kx+k 有三 个不同的实根, 则实数 k 的取值范围是

.
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A.[?1,?? ) ? ( ,? ]???????B.(?1,?? ] ? [ ,? )?????C.[? ,?? ) ? ( ,1] ? ?????D.( ? ,?? ] ? [ ,1) ? 2 4 3 2 4 3 3 4 2 3 4 2
解:画出 f(x)的图象(如右图), 与过定点(-1, 0)的直线 y=kx+k=k(x+1) 有三个不同的公共点, 利用数 形结合的办法, 可求得直线斜率 k 的取值范围为 ( ?1,?? ] ? [ ,? ) . 答案:B.

1 2

1 1 4 3

改编 3 对于任意实数 x,符号 ? x ? 表示 x 的整数部分,即 ? x ? 是不超过 x 的最大整数.这个函数 ? x ? 叫 做“取整函数” ,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么, (1) ?log 2 1? + ?log2 2? + ?log2 3? + ?log2 4? +??+ ?log2 1024? = (2)设 f ? x ? ? ? ? x ? ? x ?? ? , x ? ?1,3? ,则 f ? x ? 的值域为 解: (1) ?log2 1? =0,?log2 2? = ?log2 3? =1,?log2 4? = ?log2 5? = ?log2 6? = ?log2 7? =2,?log2 8? = ?log2 9? =??= ?log2 15? =3, ?log2 16? = ?log2 17? =??= ?log2 31? =4,??

?log2 512? = ?log2 512? =??= ?log2 1023? =9, ?log2 1024? =10,
则原式= 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 +

+9 ? 29 +10 ,用“错位相减法”可以求出原式的值为 8204.

(2) x ? 1,2?时, x ? 1, f ? x ? ? 1; x ? 2,2.5?时, x ? 2, f ? x ? ? 4 ;

?

??

?

??

x ??2.5,3?时, ? x? ? 2, f ? x? ? 5; x ? 3时, ? x? ? 3, f ? x ? ? 9 ;故 x ??1,3? 时 f ? x ? 的值域为 ?1, 4,5,9?
答案: (1)8204; 改编 4 (2) ?1,4,5,9? . .

函数 f ? x ? ? ? ? x ? x ?? ? ,x ? ? ?2, 2? 的值域为

解: 当 x ???2, ?1? 时,? x? ? ?2 ,?2x ? ? 2,4? , f ? x ? ? ??2x? ?{2,3,4}; 当 x ?? ?1 ,0

? 时,? x? ? ?1 ,

?x ? ? 0,1? , f ? x ? ? ??x? ?{01} , ;当 x ??0,1? 时, ? x? ? 0 , f ? x ? ? 0 ;当 x ??1, 2? 时, ? x? ? 1 ,
2,3, 4} .答案: {0,1, 2,3, 4} . f ? x ? ? ? x? =1;当 x =2 时, f ? x ? ? ?4? =4 ;∴值域为 {0,1,
9.原题(必修 1 第三十六页练习第1题(3) )判断下列函数的奇偶性: f(x) ?

x2 ?1 . x

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改编 关于函数 f(x) ? lg

x2 ?1 (x ? 0) ,有下列命题:①其图象关于 y 轴对称;②当 x ? 0 时,f(x) 是 x

增函数;当 x ? 0 时, f(x) 是减函数;③ f(x) 的最小值是 lg2 ;④ f(x) 在区间 (?1,0), (2,??) 上是增函 数;⑤ f(x) 无最大值,也无最小值.其中所有正确结论的序号是 解: f(x) ? lg .

1 x2 ?1 x2 ?1 ,则当 x ? 0 时, u(x) ? x ? 在 (x ? 0) 为偶函数,故①正确;令 u(x) ? x x x

(0,1) 上递减,在 [1,??) 上递增,∴②错误;③④正确;⑤错误.答案:①③④.
10.原题(必修 1 第三十九页复习参考题 B 组第三题)已知函数 f ( x ) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减 函数,判断 f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数还是减函数,并证明你的判断. 改编 已知定义在[-2, 2]上的偶函数 f(x)在区间[0, 2]上是减函数, 若 f(1-m) ? f(m), 则实数 m 的取值 范围是

.

解:由偶函数的定义, ?

? f (1 ? m) ? f (|1 ? m |) , 又 由 f(x) 在 区 间 [0, 2] 上 是 减 函 数 , 所 以 ? f (m) ? f (| m |)
1 1 ? ?? ? m ? . .答案: 2 2
2

0 ? |m |? | 1 ?m ?|? ? ? ? ? ? m?

11.原题(必修 1 第四十四页复习参考题 A 组第四题)已知集合 A={x| x =1}, 集合 B={x|ax=1},若 B ? A,求实数 a 的值. 改编 已知集合 A={x|x-a=0},B={x|ax-1=0},且 A∩B=B,则实数 a 等于 。 解:∵A∩B=B ,∴B?A ,A={x|x-a=0}={a},对于集合 B,当 a=0 时,B=?满足 B?A;当 a≠0 时, B={ };要使 B?A 需 ,解得 a=± 1;答案:1 或-1 或 0.
1 ? x2 ,求证: (1) f (? x) ? f ( x) ; (2) 1 ? x2

12.原题(必修 1 第四十四页复习参考题 A 组第八题)设 f ( x) ?

1 f ( ) ? ? f ( x) . x
改编 设定在 R 上的函数 f ( x) 满足: f (tan x) ?
f (2) ? f (3) ? 1 1 ? f (2012) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 3 ? f(
1 ,则 cos 2 x

1 )? 2012

. .由所求式子特征考查:

解 : 由 f (tan x) ?

1 cos2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x 1 ? x2 . 得 ? ? f ( x ) ? 1 ? x2 cos 2 x cos2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x

1 1? 2 1 1 ? x2 x f ( x) ? f ( ) ? ? ? 0 .? f (2) ? f (3) ? x 1 ? x2 1 ? 1 x2

1 1 ? f (2012) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 3

? f(

1 )?0. 2012

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13.原题(必修 1 第四十五页复习参考题 B 组第四题)已知函数 f ? x ? ? ?

? ? x ? x ? 4 ? , x ? 0; 求 f ?1? , ? ? x ? x ? 4 ? , x ? 0.

f ? ?3? , f ? a ? 1? 的值.
改编 已知函数 f ? x ? ? ? 取值范围为( )A.

? ? x ? x ? a ? , x ? 0; a ? 0, 关于 x 的方程 f ? x ? ? a 有四个不同的根, 则实数 a 的 x x ? a , x ? 0. ? ? ? ?
B.

-4 ? ? -?,

0? ?-4,

C.

-4? ? -?,

D. ? -4, 0?

解: 当 a ? 0 时, y ? f ? x ? 与 y ? a 交点个数为 2, 不成立; 当 a ? 0 时, f ? x ? 图象如下图, y ? f ? x ? 与 y ? a 交点个数为 4,则 ?

a2 ? a ? 0 ,∴ a ? ?4 ,选 A. 4

y?a

14.原题(必修 1 第四十五页复习参考题 B 组第五题)证明: (1)若 f ? x ? ? ax ? b ,则
? x ? x2 f? 1 ? 2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?x ?x ; (2)若 g ? x ? ? x 2 ? ax ? b , 则 g ? 1 2 ?? 2 ? ? 2 ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? . ?? 2 ? ? x1 ? x2 ? 2 ? 1 ?? 2? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? , 则称 f ? x ? ?

改编 函数 f ? x ? 在 ? a, b? 上有定义,若对任意 x1 , x2 ? ? a, b? ,有 f ?

在 ? a, b? 上具有性质 P .设 f ? x ? 在 ?1,3? 上具有性质 P ,求证:对任意 x1 , x2 , x3 , x4 ? ?1,3? ,有
? x ? x ? x3 ? x4 ? 1 f? 1 2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? f ? x4 ? ? ?. ?? 4? 4 ? ?

? x1 ? x2 x3 ? x4 ? ? ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 2 证明: f ? ? f? 2 ? 4 2 ? ? ? ? ?

? ? 1 ? ? x1 ? x2 ? ? ?? ?f ? 2? ? 2 ? ? ? ? ?

? x ? x ?? f ? 3 4 ?? ? 2 ??

1 ?1 1 ? 1 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? ?? 2? ? f ? x3 ? ? f ? x4 ?? ?? ? 4 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? f ? x4 ?? ? 2 ?2 ? ?

15.原题(必修 1 第四十五页复习参考题 B 组第七题) 《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工 资、薪金所得不超过 2000 元的部分不必纳税,超过 2000 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下

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表分段累计计算:

某人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少? 改编 2011 年 4 月 25 日,全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案(草案) 》 ,向社 会公开征集意见.草案规定,公民全月工薪不超过 3000 元的部分不必纳税,超过 3000 元的部分为全月 应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算.
级数 全月应纳税所得额 税率

1

不超过 1500 元的部分

5%

2

超过 1500 元至 4500 元的部分

10%

3

超过 4500 元至 9000 元的部分

20%

依据草案规定,解答下列问题: (1)李工程师的月工薪为 8000 元,则他每月应当纳税多少元?(2)若 某纳税人的月工薪不超过 10000 元,他每月的纳税金额能超过月工薪的 8%吗?若能,请给出该纳税人 的月工薪范围;若不能,请说明理由. 解: (1)李工程师每月纳税:1500× 5%+3000× 10%+500× 20%=75+400=475(元) ; (2) 设该纳税人的月工薪为 x 元, 则当 x≤4500 时, 显然纳税金额达不到月工薪的 8%;当 4500<x≤7500 时,由 1500× 5%+ ( x-4500 )× 10%> 8%x,得 x> 18750,不满足条件; 当 7500< x≤10000 时,由 1500× 5%+3000× 10%+(x-7500)× 20%>8%x,解得 x>9375,故 9375<x≤10000 答:若该纳税人月工薪大于 9375 元且不超过 10000 元时,他的纳税金额能超过月工薪的 8%. 16.原题(必修 1 第八十二页复习参考题 A 组第七题)已知 f ? x ? ? 3x ,求证: (1) f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , (2)
f ? x? ? f ? x ? y? . f ? x? ? f ? y?

f ? y?

改编

给出下列三个等式: f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? , f ? x ? y ? ? ) C. f ? x ? ? log2 x

1? f ? x? f ? y?

.下列选项

中,不满足其中任何一个等式的是( A. f ? x ? ? 3x

B. f ? x ? ? sin x

D. f ? x ? ? tan x

解 : 依 据 指 数 函 数 , 对 数 函 数 , 三 角 函 数 的 性 质 可 知 , A 满 足 f ? x? y ? ? f? ?x ?f ?y, C 满 足
f ? xy x? ? ? f? ?

?f ?y, D 满足 f ? x ? y ? ?

1? f ? x? f ? y?

f ? x? ? f ? y?

,而 B 不满足其中任何一个等式.

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17. 原题(必修 1 第八十二页复习参考题 A 组第八题)已知 f ( x ) ? lg
? a?b ? f (a) ? f (b) ? f ? ?. ? 1 ? ab ?

?? x , a, b ? (?1,1) , 求证 : ( 2 ) 1? x

改编

定义在 ( ?1,1) 上的函数 f ( x) 满足对 ?x, y ? (?1,1) ,都有 f ( x ) ? f ( y ) ? f ?

? x? y ? ? 成立,且当 x ? (?1, 0) ? 1 ? xy ?

时, f ( x) ? 0 ,给出下列命题:① f (0) ? 0 ;②函数 f ( x) 是奇函数;③函数 f ( x) 只 有 一 个 零 点 ; ④
1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,其中正确命题的个数是( 5 11 2

)A.1

B.2

C.3

D.4

解:①令 a ? b ? 0 得 f (0) ? 0 ,①正确;②令 y ? x ,得 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ,? f ( x) 是奇函数,②正确;③ 由② f ( x) ? f ( y ) ? f (
x? y x? y ) .又 x ? (?1, 0), f ( x) ? 0 ,令 x ? y ,则 ? 0 , ? f ( x ) ? f ( y ) ? 0 ,即 f ( x ) ? f ( y ) . 1 ? xy 1 ? xy

? 1 1 ? ? ? ? 1 1 2 2 1 ? 函数 f ( x) 在 ( ?1,1) 上为减函数,又 f (0) ? 0 ,故③正确,④ f ( ) ? f ( ) ? f ? 5 11 ? ? f ( ), ? , 1 1 5 11 7 7 2 ? ? 1? ? ? ? ? 5 11 ?

由③知 f ( ) ? f ( ) .答案:C 18. 原 题 ( 必 修 1 第 八 十 三 页 复 习 参 考 题 B 组 第 一 题 ) 已 知 集 合 A={y y ? l og ,x >1}, 2 x

2 7

1 2

?1? B={y| y ? ? ? , x>1} ,则 A B =( ?2?
A. {y| 0<y< }

x

) C. {y|

1 2

B. {y| 0<y<1}

1 <y<1} 2

D. ?

改编 在平面直角坐标系中,集合 A={ ? x, y ? y ? log a x } , a ? 0 且 a ? 1 , B={ ? x, y ? | y ? ? ? } 设集合 A A. m ? 1

?1? ?2?

x

B 中的所有点的横坐标之积为 m ,则有(
B. m ? ? 0,1?
x

) D. m ? ? 2, +??

C. m ? ?1, 2 ?

?1? 解: 由图知 y ? loga x 与 y ? ? ? 图象交于不同的两点, 设为 x1、x2 , 不妨设 x1 ? x2 , 则 0 ? x1 ? 1 ? x2 , ?2? ?1? ∵ y ? ? ? 在 R 上递减,∴ loga x1 ? loga x2 ,当 a ? 1 时, ?loga x1 ? loga x2 , loga ( x1 x2 ) ? 0 , ?2?
x

0 ? x1x2 ? 1 ;当 0 ? a ? 1 时, loga x1 ? ?loga x2 , loga ( x1 x2 ) ? 0 , 0 ? x1x2 ? 1 ,选 B.
19.原题(必修 1 第八十三页复习参考题 B 组第三题)对于函数 (1)探索函数 f(x)的单调性; (2)是否存在实数 a 使 f(x)为奇函数? 改编 1 对于函数 f(x)=a+
. (a

? R)

2 (x∈R), (1)用定义证明:f(x)在 R 上是单调减函数; (2)若 f(x) 2 ?1
x

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是奇函数,求 a 值; (3)在(2)的条件下,解不等式 f(2t+1)+f(t-5)≤0.

2 x2 ? 2 x1 2 2 x x x 证明(1) :设 x1 < x2 ,则 f( x1 )-f( x2 )= x - x = x ∵ 2 2 - 2 1 > 0, 2 1 ? 1 > x2 1 2 1 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1)
0, 2 2 ? 1 >0.即 f( x1 )-f( x2 )>0.∴f(x)在 R 上是单调减函数
x

(2)∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0?a=-1. (3) 由 (1) (2) 可得 f (x) 在 R 上是单调减函数且是奇函数, ∴f (2t+1) +f (t-5) ≤0. 转化为 f (2t+1) ≤-f(t-5)=f(-t+5) ,?2t+1≥-t+5?t≥

4 4 ,故所求不等式 f(2t+1)+f(t-5)≤0 的解集为:{t|t≥ }. 3 3

-2x+b 改编 2 已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数.(1)求 a,b 的值;(2)若对任意的 t∈R,不等式 2 +a f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. -1+b -2x+1 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1,从而有 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a 1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x ,易知 f(x)在 R 上为减函数,又因为 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2 2 2 +1 2 +2 -2t)+f(2t2-k)<0,等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因为 f(x)是 R 上的减函数,由上式推得 t2 1 -2t>-2t2+k.即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,从而 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 解法二:对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,可转化为 k<3t2-2t,t∈R,只要 k 比 3t2-2t 的最小值小即可, 1 1 而 3t2-2t 的最小值为- ,所以 k<- . 3 3 20.原题(必修 1 第八十三页复习参考题 B 组第四题)设 f ( x) ?

e x ? e? x e x ? e? x , g ( x) ? ,求证: (1) 2 2
2 2

? g ( x) ? ? ? f ( x) ?
2

2

?1; (2) f (2 x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ; (3) g (2 x ) ? ? g ( x ) ? ? ? f ( x) ? ;

改编 1

e x ? e? x e x ? e? x 2 2 , g ( x) ? 设 f ( x) ? , 给出如下结论: ①对任意 x ? R , 有 ? g ( x)? ? ? f ( x) ? ? 1 ; 2 2
2 2

②存在实数 x0 ,使得 f (2 x0 ) ? 2 f ( x0 ) g ( x0 ) ;③不存在实数 x0 ,使得 g (2 x0 ) ? ? g ( x0 ) ? ? ? f ( x) ? ; ④对任意 x ? R ,有 f (? x) g (? x) ? f ( x) g ( x) ? 0 ; 其中所有正确结论的序号是 解:对于①: ? g ( x) ? ? ? f ( x) ? ? (
2 2

e x ? e? x 2 e x ? e? x 2 e2 x ? 2 ? e?2 x e2 x ? 2 ? e?2 x ) ?( ) ? ? ? 1; 2 2 4 4
第 9 页 共 14 页

对 于 ② :

2 f ( x) g ( x) ? 2 ?

e x ? e? x e x ? e? x e2 x ? e?2 x ? ? ? f (2 x) , 即 ?x0 ? R 恒 有 2 2 2

f( 2 0x ? )

f 20 x( ; g) 0
2 2

x(

)
e x ? e? x 2 e x ? e? x 2 e2 x ? e?2 x ) ?( ) ? ? g (2 x) , 故 不 存 在 x , 使 2 2 2

对 于 ③ : ? g ( x) ? ? ? f ( x) ? ? (

g (2 x0 ) ? ? g ( x0 ) ? ? ? f ( x0 ) ? ;
2 2

对于④: f (? x) g (? x) ? f ( x) g ( x) ?

e? x ? e x e? x ? e x e x ? e? x e? x ? e x ? ? ? 2 2 2 2

e?2 x ? e2 x e2 x ? e ?2 x ? ? ? 0 ,故正确的有①③④ 4 4
改编 2 已知函数 F ?x? ? e 满足 F ?x ? ? g ?x ? ? h?x ?,且 g ?x ? , h?x ? 分别是 R 上的偶函数和奇函数,
x

若 ?x ? ?1,2?使得不等式 g ?2 x ? ? ah?x ? ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 解: F ?x? ? g ?x? ? h?x? ? e ,得 F ?? x? ? g ?? x? ? h?? x? ? e
x

.

?x



即 F ?? x? ? g ?x? ? h?x? ? e

?x

, 解 得 g ?x ? ?

e x ? e? x e x ? e? x , h? x ? ? , g ?2 x ? ? ah?x ? ? 0 即 得 2 2

e 2 x ? e ?2 x e x ? e? x ? 2 2 e 2 x ? e ?2 x e x ? e? x ?a ? 0 ,参数分离得 a ? x ? x ? ? e x ? e? x ? x ? x ,因为 x ?x 2 2 e ?e e ?e e ?e
e x ? e?x ? 2 2 x ?x ? 2 2 (当且仅当 e x ? e ? x ? x ,即 e ? e ? 2 时取等号, x 的解满足 ?x e ?e e ? e?x
x

?

?

2

?1,2? ) ,所以 a ? 2
改编 3

2.

已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x? 和 偶 函 数 g ? x? 满 足 : f

? x? + g ? ?x?

x

,则 e

2n g ?1? g ? 2 ? g ? 22 ? ? f ? 2n ?

g ? 2n?1 ?

?

.

解:∵ f ? x ? +g ? x ? ? e , f ? x ? 和 g ? x ? 分别为 R 上的奇函数和偶函数,
x

∴ f ? ?x ? +g ? ?x ? ? ? f ? x ? +g ? x ? ? e ,
?x

∴ f ( x) ?

e x ? e? x e x ? e? x , g ( x) ? ,∴ f (2 x) ? 2 f ( x) ? g ( x) , 2 2
第 10 页 共 14 页



2n g ?1? g ? 2 ? g ? 22 ? ? f ?2
n

?

g ? 2n?1 ?

?

2n f ?1? g ?1? g ? 2 ? g ? 22 ? ? f ?1? f ? 2
n

?

g ? 2n ?1 ?

=

1 2e ? 2 . f ?1? e ? 1
f ( p) ? f (q) ? 0 恒成 p?q

21.原题(必修 1 第八十八页例 1)求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数. 改编 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 6 ,若在区间(2,3)内任意两个实数 p, q( p ? q) ,不等式 )

立,且在区间(2,3)内有零点,则实数 a 的取值范围为( 解:由题可得 y ? f ( x) 在(2,3)递增,故 f ?( x) ?

1 1 ? a ? 0 在(2,3)恒成立,? a ? - ,又 f ( x) 在(2,3) 3 x 1 . 3

内 有 零 点 , 由 零 点 存 在 性 定 理 有 f (2) ? ln 2 ? 2a ? 6 ? 0, f (3) ? ln 3 ? 3a ? 6 ? 0, 又 a ? ?
1 1 1 1 ? 2 ? ln 3 ? a ? 3 ? ln 2 .答案: (2 ? ln 3,3 ? ln 2) 3 2 3 2

x 22.原题 (必修 1 第九十页例 2) 借助计算器或计算机用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 的近似解 (精确度 0.1) .

改编 为了求函数 f ( x) ? 2 ? 3x ? 7 的一个零点, 某同学利用计算器得到自变量 x 和函数 f ( x ) 的部分
x

对应值(精确度 0.1)如下表所示

x
f ( x)

1.25 -0.8716

1.3125 -0.5788

1.375 -0.2813

1.4375 0.2101 ) D.1.3

1.5 0.32843

1.5625 0.64115

则方程 2x ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1)可取为( A.1.32 B.1.39 C.1.4

解:通过上述表格得知函数唯一的零点 x0 在区间 (1.375,1.4375) 内,故选 C. 23.原题(必修 1 第九十五页例 1)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种 方案的回报如下:方案一:每天回报 40 元;方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元;方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。请问,你会选择哪种投资方案? 改编 某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下:方式一:每天到该 商场领取奖品, 价值为 40 元; 方式二: 第一天领取的奖品的价值为 10 元, 以后每天比前一天多 10 元; 方式三:第一天领取的奖品的价值为 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。若商场的奖品总价值不 超过 600 元, 则促销奖的领奖活动最长设置为几天?在领奖活动最长的情况下, 你认为哪种领奖方式让 领奖者受益更多? 解:设促销奖的领奖活动为 x 天,三种方式的领取奖品总价值分别为 f ( x), g ( x), h( x) 。 则 f ( x) ? 40 x ; g ( x) ? 10 ? 20 ? 30 ?

10x ? 5x2 ? 5x ;

h( x) ? 0.4 ? 0.4 ? 2 ? 0.4 ? 22 ?
要使奖品总价值不超过 600 元,则

? 0.4 ? 2x?1 ? 0.4 ? 2 x ? 0.4

? f ( x) ? 600 ? x ? 15 ? g ( x) ? 600 ? x 2 ? x ? 120 ? 0 ? ? ?? x ? ?h( x) ? 600 ?2 ? 1501 ? ? ?x ? N ?x ? N

解得 x ? 11, x ? N

第 11 页 共 14 页

又 f (10) ? 400

g( 1 0 ? )

5 5 0h( 1 0 ? )

,故 409 . 2 g (10) ? h(10) ? f (10)

答:促销奖的领奖活动最长可设置 10 天,在这 10 天内选择方式二会让领奖者受益更多. 24.原题(必修 1 第一百一十二页复习参考习 A 组第七题)改编 1 已知线段 AB 的长为 4 ,以 AB 为直 径的圆有一内接梯形 ABCD ,若椭圆以 A、B 为焦点,且经过点 C、D ,求椭圆的离心率的范围. 解 : 梯 形 A B C D为 圆 内 接 梯 形 , 故 其 为 等 腰 梯 形 , 设 ?ABC ? ? , 则 在 R t? A B C 中,

AC ? 4 s i n ? BC , ? 4 c? os
由椭圆的定义知 2a ?

AC ? CB ? 4(sin ? ? cos? )
? ,其中 ? c? os ) 2 sin ?( ? ) 4 1
A

D

C

2c 4 ? 离心率 e ? 2a 4 ( s i? n?

B

? ?(
e?(

? ?
4 2 ,

?? ),所以 2 sin(

?
4

) ? (1, 2,故椭圆离心率 )

2 ,1) 2

改编 2 已知线段 AB 的长为 4 ,以 AB 为直径的圆有一内接梯形 ABCD ,若椭圆以 A、B 为焦点, 且经过点 C、D ,那么当梯形的周长最大时,求该椭圆的离心率. 解 : 梯 形 A B C D为 圆 的 内 接 梯 形 , 故 其 为 等 腰 梯 形 , 设 ?ABC ? ? , 则 在 R t? A B C 中,

AC ? 4 si n ? BC , ? 4 cos ? , CD ? 4 ? 8cos2 ?
f (? ) ? ?8cos2 ? ? 8cos? ? 8 , ? ? ( , ) 4 2
故当 cos?

, 则 梯 形 的 周 长

D

C

? ?

A

B

1 ? ? ? ? ,即? ? ? ( , ) 时,周长 f (? ) 最大,即最大周长为 2 3 4 2

f ( ) ? 10 , 此 时 , 由 椭 圆 的 定 义 知 2a ? AC ? CB ? 2( 3 ? 1) , 所 以 此 时 的 椭 圆 的 离 心 率 3

?

e?

2c 4 ? ? 3 ?1. 2a 2( 3 ? 1)
3

25.原题(必修 1 第一百一十三页复习参考习 A 组第九题)某公司每生产一批产品都能维持一段时间的 市场供应,若公司本次新产品生产开始 x 月后,公司的存货量大致满足模型 f ? x ? ? ?3x ?12x ? 8 , 那么下次生产应在多长时间后开始? 改编 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应, 在存货量变为 0 的前一个月, 公司进行下 次生产。若公司本次新产品生产开始月 x 后,公司的存货量大致满足模型 f ? x ? ? ?2x ? 6x ? 20 ,那
3

第 12 页 共 14 页

么下次生产应在

月后开始.

解: f ?1? ? 24 ? 0, f (2) ? 16 ? 0, f (3) ? ?16 ? 0 ,所以应该在两个月后进行生产. 26.原题(必修 1 第一百一十三页复习参考习 B 组第一题) 经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴 表示产品价格(自变量) ,而用横轴来表示产品数量(因变量) ,下列供求曲线,哪条表示厂商希望的供 应曲线,哪条表示客户希望的需求曲线?为什么?(图略) 改编 1 某地一年的气温 Q(t) (单位:℃)与时间 t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的 平均气温为 10℃,令 G(t)表示时间段〔0,t〕的平均气温,G(t)与 t 之间的函数关系用下列图象 表示,则正确的应该是 ( )

G(t)

G(t) 10?c 10?c

G(t)

10?c

t O 6 12 O 6 12 t O 6 12 t

图(1) A

B

G(t) G(t) 10?c 12 O 6 t t 10?c

O

6

12

C 解:A

D

改编 2 为了稳定市场, 确保农民增收, 某农产品的市场收购价格 a 与其前三个月的市场收购价格有关, 且使 a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小. 若下表列出的是该产品前 6 个月的市场收购价 格:

第 13 页 共 14 页

月份 价格(元/担)

1 68

2 78

3 67

4 71

5 72

6 70 (

7

则 7 月份该产品的市场收购价格应为 A.69 元 解:C B.70 元 C.71 元 D.72 元



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