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福建省福州市第八中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


福州八中 2015—2016 学年第一学期期中考试 高二数学(文)
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 2015.11.10 A 卷(100 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合要求的. ) 1.不等式 x -3x+2<0 的解集为 A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) C.(

-∞,1)∪(2,+∞) B.(-2.-1) D.(1,2)
2

2.已知{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3=12,则公差 d 等于 A.1 B. 5 3 C. 2 D.3

2 4 6 3.数列 0, , , ,?的一个通项公式为 3 5 7 A. a n ? C. a n ?

n ?1 (n ? N *) n ?1

n-1 * B.an= (n∈N ) 2n+1 D. a n ?

2(n ? 1) (n ? N * ) 2n ? 1

2n (n ? N *) 2n ? 1

1? ? 1 2 2 4.已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集是?- ,- ?,则不等式 x ? bx ? a ? 0 的解集 2 3? ? 是( ) A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1? ?1 ? ? D.?-∞, ?∪? ,+∞? 3? ?2 ? ?

?1 1? C.? , ? ?3 2?
A.等腰三角形 C.等腰直角三角形

5.在△ABC 中,A,B,C 为内角,且 sin Acos A=sin Bcos B,则△ABC 是 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

? x ? y ? 2, ? 6.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 1, 则 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 ? y ? 0, ?
A.4 和 3 B.4 和 2 C.3 和 2 D.2 和 0

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,sin A,sin B,sin C 成等比 数列,且 c=2a,则 cos B 的值为
1

A.

1 4
*

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

8.设{an}(n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5 ? S6, S6 ? S7 ? S8 ,则下列结论错 误的是 A.d<0 C.S9>S5 B.a7=0 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

9. 若 n ? 0, m ? 0, 且 m ? n ? 0 ,则下列不等式中成立的是 A.?n ? m ? n ? ?m B. ?m ? n ? ?n ? m C. ?n ? ?m ? n ? m D. ?n ? m ? n ? ?m

10.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从 1 到 20 依次编号,为使各位同学 从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为 A.1 和 20 B.9 和 10 C.9 和 11 D.10 和 11

二、填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分) π 11. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A= ,a=1,b= 3, 6 则 B=________.

c 成等比数列, b, 12. 若三个正数 a , 其中 a ? 3 ? 2 2 , c ? 3 ? 2 2 , , 则b ?
13.若实数x, y满足xy ? 1, 则x2 +2y 2的最小值为_______.



14 . 数 列 ?an ? 中 a1 ? 2, an ?1 ? 2an , S n 为 ?an ? 的 前 n 项 和 , 若 S n ? 126 , 则

n?

.______. 三、解答题(共 34 分.解答题应写出推理、演算步骤) 15.(本小题满分 10 分) 解关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 16. (本小题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a5 ? a6 ? 11.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

17.某工厂年初用 98 万元购买一台新设备,第一年设备维修及燃料、动力消耗(称为设 备的低劣化)的总费用 12 万元,以后每年都增加 4 万元,新设备每年可给工厂收益 50 万元. (1)工厂第几年开始获利?
2

(2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:①年平均获利最大时,以 26 万元出售该 设备;②总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该设备.问哪种方案对工厂合算? B卷 一、选择题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合要求的. ) 18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是 “sin A≤sin B”的( A.充分必要条件 C.必要非充分条件 ) B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

1 1 a b 19.设 a>0,b>0,若 3是 3 与 3 的等比中项,则 + 的最小值为

a b

A.2

B.

1 4

C. 4

D.8

20. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4+3a8+a12=120,则 2a11-a14+S15= A.384 B.382
2

C.380

D.352
2

21.已知命题 p:存在 x∈R,使得 mx +1≤0;q:对任意 x∈R,均有 x +mx+1>0,若

p 或 q 为假命题,则实数 m 的取值范围为
A.m≤-2 C.m≥2 或 m≤-2 B.m≥2 D.-2≤m≤2

二、填空题: (本大题共 2 个小题,每小题 4 分,满分 8 分)

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 22.不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的区域上一动点,则 OM 的最小值为_____ ?y ? 0 ?
23. 若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是______. 三、解答题(共 22 分.解答题应写出推理、演算步骤) 24. (本小题共 10 分) △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cos A= 6 , 3

B=A+ .
(1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 25. (本小题共 12 分)
3

π 2

已知数列 {an } 和 {bn } 满足, a1 ? 2, b1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N ),
*

(1)求 an 与 bn ; (2)记数列 {an bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

稿



福州八中 2015—2016 学年第一学期期中考试 高二数学(文) 试卷参考答案及评分标准 DCCAD 11、 BBCAD

?
3



2? 3

12、1

13、 2 2

14、6

15、解:原不等式化为: ( x ? a)(x ? 1) ? 0 ---------2 分

当a ? 1时,a ? x ? 1; 当a ? 1时,x ? ?; 当a ? 1时, 1? x ? a
---------------------8 分

?x a ? x ? 1? ?当a ? 1时,原不等式的解集为 :
当a ? 1时,原不等式的解集为 :?

?x 1 ? x ? a? 当a ? 1时,原不等式的解集为 :
16、 【解析】 (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由已知得 ?

-------------10 分

?a1 ? d ? 2 ?a1 ? 1 ----------2 分 解得 ? ----------------4 分 ?d ? 1 ?(a1 ? 4d ) ? (a1 ? 5d ) ? 11

所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ------------------------5 分 (II)由(I)可得 bn ? 2n ? n .-----------6 分 所以 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 ? ? 2 ? 1? ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? ??? ? 210 ? 10

?

? ?

?

?

?

? ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 210 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 10 ? -----------7 分

?

2 ?1 ? 210 ? 1? 2

?

?1 ? 10 ? ?10 --------------------------------9 分
2

? ? 211 ? 2 ? ? 55
4

? 211 ? 53 ? 2101 .----------------------------------------10 分
17、(1)由题设每年费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列,----1 分 设第 n 年时累计的纯收入为 f(n). 所以 f(n)=50n--98 =40n-2n -98.-----------------------------------------3 分 获利即为:f(n)>0,所以 40n-2n -98>0? n -20n+49<0? 10-错误! 未找到引用源。 <n<10+错误! 未找到引用源。, ------------5 分 又 n∈N,所以 n=3,4,5,?,17.所以当 n=3 时,即第 3 年开始获利.------------6 分 (2)①年平均收入=错误!未找到引用源。=40-2(n+错误!未找到引用源。 )≤40-4错误! 未找到引用源。=12(万元),当且仅当 n=错误!未找到引用源。,即 n=7 时等号成立 即 年 平 均 收 益 最 大 时 , 总 收 益 为 :12×7+26=110( 万 元 ), 此 时 n=7.----------------------10 分 ②f(n)=-2(n-10) +102, 所以当 n=10 时,f(n)max=102, 总收益为 102+8=110 万元,此时 n=10.----------11 分 比较两种方案,总收益均为 110 万元,但第一种方案需 7 年,第二种方案需 10 年,故选择第一 种方案.----------------12 分 18--21 ACAB 22、 2 23、
2 2 2 2

6? 2 4

5

25、(1)由 a1 ? 2, an ?1 ? 2an ,得 an ? 2 .-----2 分
n

当 n ? 1 时, b1 ? b2 ? 1 ,故 b2 ? 2 .----------3 分 当 n ? 2 时,

b 1 n ?1 ,----------5 分 bn ? bn ?1 ? bn ,整理得 n ?1 ? n bn n

所以 bn ? n .------------6 分 (2)由(1)知, an bn ? n ? 2 -----------7 分
n

所以 Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 3

n

2Tn ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 -----------------8 分
所以 Tn ? 2Tn ? ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

? (1 ? n)2n ?1 ? 2 ------------11 分

所以 Tn ? (n ? 1)2

n ?1

? 2 .-----------------12 分

6


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