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2011届高考数学数列求通项公式及求和


数列求通项公式与求和
一、 通项公式
用于等差、等比 数列相关公式 利用

(Shmily.东)

先写出数列前几项 观察数列变化规 律猜测出通项后,用数学归纳法证明

an ?

?

sn ? sn?1,n ? 2 s1 , n ?1

构造 等差 等比 数列 等) 构造辅 助数列

猜想归纳法

公式法

S n 与 an 的关系
观察法

数列求通项的一般方法 叠乘法 chengc heng 法 ( “退一步”思想)即由已知推出相邻 累加法 递推方法

用于

an ? an?1 ?f (n)

用 于 an 件

? an?1 ? f (n) 型 已 知 条

的递推式后将两式作差化简得出结论

型已知条件

二、数列求和
主要是针对等差等比数列, 直接应 用求和公式 分组求和法 把一组需要求和的数列拆分成两组或 两组以上的特殊数列来求和

公 式 法 错位相减法

裂项相消法

数列求和的一般 方法(五种)

把通项公式是分子为非零常数,分母为非 常数列的等差数列的两项积的形式拆成 两个分式差的形式之后再求和

设数列 数列 乘以

?a n ?的等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,求


倒序相加 若某数列中,与首末两项等距离的两相和等 于首末两项和,可采用把正着写的和倒着写 的两个式子相加,就得到一个与常数数列求 和相关的式子

?an bn ?的前 n 项和时,常常将 ?an bn ?的各项 ?bn ? 的公比,并向后错一项与 ?an bn ? 的同次

项对应相减,即可转化为特殊数列求和

2 2 2 补充: 1 ? 2 ? ? ? n ?

n( n ? 1)(2n ? 1) 3 n 2 ( n ? 1) 2 , 1 ? 23 ? ? ? n3 ? 6 4

-1-

典型例题 一.通项
类型 形如 a n ?1 ? a n ? f (n) 型
(1)若 f(n)为常数,即: a n ?1 累加法:

? a n ? d ,此时数列为等差数列,则 a n = a1 ? (n ? 1)d .

(2)若 f(n)为 n 的函数时,用累加法. 方法如下: 由

an?1 ? an ? f (n) 得:

n ? 2 时, a n ? a n ?1 ? f (n ? 1) ,
a n ?1 ? a n ? 2 ? f (n ? 2) ,
??

a 3 ? a 2 ? f (2)

a 2 ? a1 ? f (1)
所以各式相加得

a n ? a1 ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1)
n ?1

即: a n

? a1 ? ? f (k ) .
k ?1

为了书写方便,也可用横式来写:

? n ? 2 时, a n ? a n ?1 ? f (n ? 1) , ? a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? (a 2 ? a1 ) ? a1
=

f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1) ? a1 .

①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。 例 4.已知数列 {a n } 中,

an ? 0 且 S n ?

1 n (a n ? ) ,求数列 {a n } 的通项公式. 2 an

解:由已知 S n

?

1 n 1 n (a n ? ) 得 S n ? ( S n ? S n ?1 ? ), 2 an 2 S n ? S n ?1

-2-

化简有 S n

2

2 2 ? S n?1 ? n ,由类型(1)有 S n ? S12 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,

又 S1

2 ? a1 得 a1 ? 1 ,所以 S n ?

n(n ? 1) ,又 a n ? 0 , s n ? 2

2n(n ? 1) 2

,

则 an

?

2n(n ? 1) ? 2n(n ? 1) 2

PS:形如 a n ?1 (1)若 a n ?1

? a n ? f (n) 型

? a n ? d (d 为常数) ,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其通项

分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 a n ?1 用逐差法(两式相减)得 a n ?1 例 1. 数列{ a n }满足 a1

? a n ? f (n) 型,通过累加来求出通项;或

? a n ?1 ? f (n) ? f (n ? 1) ,,分奇偶项来分求通项.
n

? 0 , a n ?1 ? a n ? 2n ,求数列{a }的通项公式.
? a n ? f (n) 型

分析 1:构造 转化为 a n ?1 解法 1:令 bn 则 bn ?1

? (?1) n a n

? bn ? (?1) n ?1 a n ?1 ? (?1) n a n ? (?1) n ?1 (a n ?1 ? a n ) ? (?1) n ?1 ? 2n .

?bn ? bn ?1 ? (?1) n ? 2(n ? 1) ? n ?1 ?bn ?1 ? bn ? 2 ? (?1) ? 2(n ? 2) ? n ? 2 时, ??? ?b ? b ? (?1) 2 ? 2 ? 1 1 ? 2 ?b1 ? ?a1 ? 0 ?
各式相加: bn

? 2 (?1) n (n ? 1) ? (?1) n ?1 (n ? 2) ? ? ? (?1) 3 ? 2 ? (?1) 2 ? 1

?

?

当 n 为偶数时, bn

n ? 2? ? ? 2?(n ? 1) ? (?1) ? ? n. 2 ? ? ?

此时 a n

? bn ? n

当 n 为奇数时, bn 此时 bn

? 2(?

n ?1 ) ? ?n ? 1 2

? ?a n ,所以 a n ? n ? 1 .

-3-



?n ? 1, n为奇数, an ? ? ?n, n为偶数.

解法 2:? a n ?1

? a n ? 2n

? n ? 2 时, a n ? a n ?1 ? 2(n ? 1) ,
两式相减得: a n ?1

? a n ?1 ? 2 .

? a1 , a3 , a5 , ?, 构成以 a1 ,为首项,以 2 为公差的等差数列;
a 2 , a 4 , a 6 , ? , 构成以 a 2 ,为首项,以 2 为公差的等差数列

? a 2 k ?1 ? a1 ? (k ? 1)d ? 2k ? 2
a 2 k ? a 2 ? (k ? 1)d ? 2k .
?n ? 1, n为奇数, ? an ? ? ?n, n为偶数.
评注:结果要还原成 n 的表达式. 例 2.(2005 江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足

1 n ?1 3 ) (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列{a }的通项公式. 2 2 1 n?1 解:方法一:因为 S n ? S n?2 ? an ? an?1所以an ? an?1 ? 3 ? (? ) (n ? 3), 2
Sn-Sn-2=3 (?
n

以下同例 1,略

答案

1 n ?1 ? ?4 ? 3 ? ( 2 ) , n为奇数, ? an ? ? ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数. ? 2 ?

类型 .

形如

a n ?1 ? f ( n) 型 an

累乘法

(1)当 f(n)为常数,即:

a n ?1 n ?1 ? q (其中 q 是不为 0 的常数) ,此时数列为等比数列, a n = a1 ? q . an

(2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 由

a n ?1 ? f ( n) 得 an

n ? 2 时,

an ? f (n ? 1) , a n ?1

-4-

? an ?
例 1.设

a n a n ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 =f(n)f(n-1) ? ? f (1) ? a1 . a n ?1 a n ? 2 a1

?an ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?a n2?1 ? nan2 ? a n?1 a n ? 0 ( n =1,2, 3,?) ,则它的通

项公式是 a n =________. 解:已知等式可化为: (a n ?1

? a n )?(n ? 1)a n ?1 ? nan ? ? 0


? a n ? 0 ( n? N * )?(n+1) a n ?1 ? nan ? 0 , ? n ? 2 时,
an n ?1 ? a n ?1 n

a n ?1 n ? an n ?1

? an ?

a n a n ?1 a n ?1 n ? 2 1 1 ? ? ? ? 2 ? a1 = ? ? ? ? 1= . a n ?1 a n ? 2 a1 n n ?1 2 n

评注:本题是关于 a n 和 a n ?1 的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到 a n 与 a n ?1 的 更为明显的关系式,从而求出 a n . 例 2.已知 a n ?1 解:因为 a n ?1 故 a n ?1

? nan ? n ? 1, a1 ? ?1 ,求数列{a }的通项公式.
n

? nan ? n ? 1, 所以 a n ?1 ? 1 ? nan ? n,

? 1 ? n(a n ? 1), 又因为 a1 ? ?1 ,即 a1 ? 1 ? 0 ,

所以由上式可知 a n

? 1 ? 0 ,所以

a n ?1 ? 1 ? n ,故由累乘法得 an ? 1

an ? 1 ?

a n ? 1 a n ?1 ? 1 a ? 1 a2 ? 1 ? ??? 3 ? ? (a1 ? 1) a n ?1 ? 1 a n ? 2 ? 1 a 2 ? 1 a1 ? 1

= (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1 ? (a1 所以 a n

? 1) ? (n ? 1)!?(a1 ? 1)

? (n ? 1)!?(a1 ? 1) -1.
? nan ? n ? 1, 转化为

评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式 a n ?1

a n ?1 ? 1 ? n(a n ? 1), 若令 bn ? a n ? 1 ,则问题进一步转化为 bn ?1 ? nbn 形式,进而应用累乘法求出数
列的通项公式. PS.形如 a n ?1

? a n ? f (n) 型
-5-

(1)若 a n ?1

? a n ? p (p 为常数),则数列{ a n }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其通项分

奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过逐差法得 a n 分求通项. 例 1. 已知数列 {a n }满足 注:同上例类似,略. 类型 形如 a n ?1

? a n ?1 ? f (n ? 1) ,两式相除后,分奇偶项来

1 a1 ? 3, a n ? a n ?1 ? ( ) n , (n ? N * ) ,求此数列的通项公式. 2
构造辅助数列

? can ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型

(1)若 c=1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 d=0 时,数列{ a n }为等比数列; (3)若 c ? 1且d 方法如下:设 a n ?1 得 a n ?1

? 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
? ? ? c(a n ? ? ) ,

? can ? (c ? 1)? ,与题设 a n ?1 ? can ? d , 比较系数得

d , (c ? 0) c ?1 d d 所以有: a n ? ? c(a n ?1 ? ) c ?1 c ?1
(c ? 1)? ? d ,所以 ? ?
因此数列 ?a n ?

? ?

d ? d 为首项,以 c 为公比的等比数列, ? 构成以 a1 ? c ? 1? c ?1

d d ? (a1 ? ) ? c n ?1 c ?1 c ?1 d d 即: a n ? (a1 ? . ) ? c n ?1 ? c ?1 c ?1
所以

an ?

规律:将递推关系 a n ?1

? can ? d 化为 a n ?1 ?

{a n ?

d } 从而求得通项公式 a n ?1 c ?1

d d ? c( a n ? ) ,构造成公比为 c 的等比数列 c ?1 c ?1 d d ? ? c n ?1 (a1 ? ) 1? c c ?1

有时我们从递推关系 a n ?1

? can ? d 中把 n 换成 n-1 有 a n ? can ?1 ? d ,两式相减有

a n ?1 ? a n ? c(a n ? a n ?1 ) 从而化为公比为 c 的等比数列 {a n ?1 ? a n } ,进而求得通项公式.
a n ?1 ? a n ? c n (a 2 ? a1 ) ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

-6-

例 1.已知数列 {a n } 中, a1 分析:两边直接加上

? 2, a n ?1 ?

1 1 a n ? , 求通项 a n . 2 2

d ,构造新的等比数列。 c ?1 1 1 1 解:由 a n ?1 ? a n ? , 得 a n ?1 ? 1 ? (a n ? 1) , 2 2 2 1 所以数列 {a n ? 1} 构成以 a1 ? 1 ? 1 为首项,以 为公比的等比数列 2 1 n ?1 1 n ?1 所以 a n ? 1 ? ( ) ,即 a n ? ( ) ?1. 2 2
方法二:由

a n ?1 ? can ? d ,

? n ? 2 时, a n ? can ?1 ? d ,
两式相减得

a n ?1 ? a n ? c(a n ? a n ?1 )

?

a n ?1 ? a n ?c, a n ? a n ?1
? a n ?1 } 是以 a 2 ? a1 = (c ? 1)a1 ? d
为首项,以 c 为公比的等比数列.

数列 {a n

a n ? a n ?1 ? (a 2 ? a1 ) ? c n ? 2 ? ? a n ?1 ? a n ? 2 ? (a 2 ? a1 ) ? c n ?3 ? ? ? ?? ? ? a n ? a1 ? (a 2 ? a1 )(1 ? c ? ? ? c n ? 2 ) ? a 3 ? a 2 ? (a 2 ? a1 ) ? c ? a 2 ? a1 ? a 2 ? a1 ? ?
1 ? c n ?1 =( a 2 ? a1 ) ? 1? c
方法三:迭代法 由 递推式 a n ?1 直接迭代得 a n =c
3

? a n ? (a ?

d d . )c n ?1 ? c ?1 c ?1

? can ? d ,
? can ?1 ? d ? c(can ? 2 ? d ) ? d ? c 2 a n ? 2 ? d (c ? 1)

a n ?3 ? d (1 ? c ? c 2 ) ? ? = c n ?1 a1 ? d (1 ? c ? c 2 ? ? ? c n ? 2 )

= (a

?

d d . )c n ?1 ? c ?1 c ?1
pan ? f (n) 型

PS 形如 a n ?1 ? .(1)若

f (n) ? kn ? b (其中 k,b 是常数,且 k ? 0 )

-7-

方法:相减法 例1. 在数列 {a n } 中, a1

? 1, a n ?1 ? 3a n ? 2n, 求通项 a n .


解:?, a n ?1

? 3a n ? 2n,

? n ? 2 时, a n ? 3a n ?1 ? 2(n ? 1) ,
两式相减得

a n ?1 ? a n ? 3(a n ? a n ?1 ) ? 2 .令 bn ? a n ?1 ? a n ,则 bn ? 3bn ?1 ? 2
利用类型 5 的方法知 bn 即

? 5 ? 3 n ?1 ? 2


a n ?1 ? a n ? 5 ? 3 n ?1 ? 1

5 n ?1 1 ?3 ? n ? . 2 2 5 n ?1 1 亦可联立 ① ②解出 a n ? ? 3 ?n? . 2 2 3 例 2. 在数列 { an } 中, a1 ? ,2a n ? a n ?1 ? 6n ? 3 ,求通项 a n . 2
再由累加法可得 a n

?

解:原递推式可化为 2(a n

? xn ? y) ? a n ?1 ? x(n ? 1) ? ? y

比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为 2bn 所以

? bn ?1

?bn ?是一个等比数列,首项 b1 ? a1 ? 6n ? 9 ? 9 ,公比为 1 .
2 2

? bn ?

9 1 n ?1 1 n 即: a n ? 6n ? 9 ? 9 ? ( ) ( ) 2 2 2 1 n 故 a n ? 9 ? ( ) ? 6n ? 9 . 2
(2)若

f (n) ? q n (其中 q 是常数,且 n ? 0,1)
a n ? q n ,累加即可.

①若 p=1 时,即: a n ?1 ? ②若

p ? 1 时,即: a n ?1 ? p ? a n ? q n ,
p n ?1 .
,则 bn ?1

求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以

即:

a n ?1 p
n ?1

?

an q
n

?

an 1 p n ? ( ) ,令 bn ? n p q p

? bn ?

1 p n ?( ) , p q

然后类型 1,累加求通项. ii.两边同除以 q
n ?1

.

即:

a n ?1 q
n ?1

?

p an 1 ? ? , q qn q
-8-

令 bn

?

an q
n

,则可化为 bn ?1

?

p 1 ? bn ? .然后转化为类型 5 来解, q q

iii.待定系数法: 设 a n ?1 ??

? q n ?1 ? p(a n ? ? ? p n ) .通过比较系数,求出 ? ,转化为等比数列求通项.

例 1.(2003 天津理) 设 a 0 为常数,且 a n

? 3 n ?1 ? 2a n ?1 (n ? N ) .

证明对任意 n ≥1, a n

1 ? [3 n ? (?1) n?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 ; 5
n

证法 1:两边同除以(-2) ,得

an (?2)
n

?

a n ?1 (?2)
n ?1

?

1 3 ? (? ) n 3 2

令 bn

?

an (?2)
n

,则 bn

? bn ?1 ?

1 3 ? (? ) n 3 2

? bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1
=

1? 3 n 3 n ?1 3 2 ? a1 ?(? 2 ) ? (? 2 ) ? ? ? (? 2 ) ? ? ? 2 3? ?

3 3 (? ) 2 [1 ? (? ) n ?1 ] 1 1 2 2 = ? ? (1 ? 2a 0 ) 3 3 2 1 ? (? ) 2 1 3 n = ? ? [( ? ) ? 1] ? a 0 5 2 1 ? a n ? (?2) n bn ? ? ? [3 n ? (?1) n ?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a 0 . 5
证法 2:由 a n

? 3 n ?1 ? 2a n ?1 (n ? N ) 得

an 3
n

?

1 2 a n ?1 ? ? 3 3 3 n ?1

.

设 bn

?

an 3
n

,则 b n ? ?

2 1 bn ?1 ? . 3 3

即: bn

?

1 2 1 ? ? (bn ?1 ? ) , 5 3 5

所以 ?bn

? ?

1? 1 2 1 2 ? ? 是以 b1 ? ? ( ? a 0 ) 为首项, ? 为公比的等比数列. 5? 5 3 5 3

则 bn

?
an
n

1 2 1 2 1 2 ? ( ? a 0 )( ? ) n ?1 = ( ? a 0 )( ?1) n ?1 ( ) n , 5 3 5 3 5 3

即:

1 2 1 ? bn ? ( ? a 0 )( ?1) n ?1 ( ) n ? , 5 3 5 3

-9-



1 a n ? [3 n ? (?1) n?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 . 5
n

评注:本题的关键是两边同除以 3 ,进而转化为类型 5,构造出新的等比数列,从而将求一般数列的通项问 题转化为求等比数列的通项问题. 证法 3:用待定系数法 设 an

? ? ? 3 n ? ?2(a n ?1 ? ? ? 3 n ?1 ) ,

即: a n

? ?2a n ?1 ? 5? ? 3 n ?1 ,

比较系数得: ? 5?

? 1 ,所以 ? ? ?

1 5

所以 a n

?

1 n 1 ? 3 ? ?2(a n ?1 ? ? 3 n ?1 ) , 5 5

n 所以数列 ?a ? 3 ? 是公比为-2,首项为 a ? 3 的等比数列. ? n ? 1 5 5? ?

? an ?

1 n n ?1 n n n 3n 3 ? (1 ? 2a0 ? )( ?2) n ?1 (n ? N ). 即 a n ? [3 ? (?1) ? 2 ] ? (?1) ? 2 a0 . 5 5 5

方法 4:本题也可用数学归纳法证. (i)当 n=1 时,由已知 a1=1-2a0,等式成立; ( ii)假设当 n=k(k≥1)等式成立,则 a k 那么 a k ?1

1 ? [3k ? (?1) k ?1 2 k ] ? (?1) k 2a0 , 5

2 ? 3k ? 2a k ? 3k ? [3k ? (?1) k ?1 2 k ] ? (?1) k 2 k ?1 a0 5 1 k ?1 ? [3 ? (?1) k 2 k ?1 ] ? (?1) k ?1 2 k ?1 a0 . 5
根据(i)和(ii) ,可知等式对任何 n∈N,成立.

也就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. 规律: a n ?1 ?

pan ? f (n)

类型共同的规律为:两边同除以

p n ?1 ,累加求和,只是求和的方法不同.

类型 形如 a n ?1

?

pan ? q 型 ra n ? s

取倒数法.

(1)

p, r, s ? 0, q ? 0 即 a n ?

pan ?1 ra n ?1 ? s ? a n ?1 (n ? 2) ,求通项公式 a n 。 2a n ?1 ? 1

例 1. 已知数列

?a n ?中, a1 ? 2 , a n

解:取倒数:

1 1 1 1 ? ?2? ? ?2 a n a n ?1 a n a n ?1

?

1 1 3 ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? a n a1 2 2 . 4n ? 3

? an ?

- 10 -

例 2.(湖北卷)已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中n 为大于 2 的整数, [log 2 n] 表示不超 2 3 n 2
? b(b ? 0), a n ? nan ?1 , n ? 2,3,4,? n ? a n ?1

过 log 2

n 的最大整数.

设数列 {a n } 的各项为正,且满足 a1

(Ⅰ)证明 a n

?

2b , n ? 3,4,5,? 2 ? b[log 2 n]

分析:本题看似是不等式问题,实质就是求通项问题. 证:∵当 n

? 2时,0 ? a n ?

nan ?1 1 n ? a n ?1 1 1 ,? ? ? ? , n ? a n ?1 an nan ?1 a n ?1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, ? ? . a 2 a1 2 a3 a 2 3 a n a n ?1 n



1 1 1 ? ? , a n a n ?1 n

于是有

所有不等式两边相加可得

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? . a n a1 2 3 n 1 1 1 ? ? [log 2 n]. a n a1 2

由已知不等式知,当 n≥3 时有,

∵ a1

? b,?

2 ? b[log 2 n] 1 1 1 ? ? [log 2 n] ? . an b 2 2b

an ?

2b . 2 ? b[log 2 n]

评注:本题结合不等式的性质,从两边取倒数入手,再通过裂项求和即可证得. 2.形如 a n ?1

?

ma n ? p (m, p, q为定值) 型 an ? q ? 2, a n ?1 ? 5a n ? 4 ,求{an}的通项公式. 2a n ? 7

例 1. 设数列{an}满足 a1

分析:此类问题常用参数法化等比数列求解. 解:对等式两端同时加参数 t,得:

a n ?1

7t ? 4 an ? 5a n ? 4 (2t ? 5)a n ? 7t 2t ? 5 ?t ? ?t ? ? (2t ? 5) 2a n ? 7 2a n ? 7 2a n ? 7

,

令t

?

7t ? 4 , 2t ? 5

解之得 t=1,-2

代入 a n ?1

? t ? (2t ? 5)

an ? t 得 2a n ? 7

a n ?1 ? 1 ? 3

an ? 1 an ? 2 , a n ?1 ? 2 ? 9 , 2a n ? 7 2a n ? 7

- 11 -

相除得

a n ?1 ? 1 1 a n ? 1 an ? 1 a1 ? 1 1 ? ? ? , ,即{ }是首项为 a n ?1 ? 2 3 a n ? 2 an ? 2 a1 ? 2 4

公比为

a n ? 1 1 1? n 1 的等比数列, = ?3 , an ? 2 4 3
an ? 1 , 2a n ? 7 1 a n ?1 ? 1 ?

解得 a n

?

4 ? 3 n ?1 ? 2 . 4 ? 3 n ?1 ? 1

方法 2: ?,

a n ?1 ? 1 ? 3

两边取倒数得

2a n ? 7 2(a n ? 1) ? 9 2 3 ? ? ? , 3(a n ? 1) 3(a n ? 1) 3 an ? 1

令bn?

1 ,则 b n ? an ? 1
形如 a n ?1

2 ? 3bn , ?, 转化为类型 5 来求. 3

类型

? pan ? qan ?1 (其中 p,q 为常数)型
用转化法

(1)当 p+q=1 时

例 1.数列 { an } 中,若 a1 解:把 a n ? 2 则数列

? 8, a 2 ? 2 ,且满足 a n ? 2 ? 4a n ?1 ? 3a n ? 0 ,求 a n .

? 4a n ?1 ? 3a n ? 0 变形为 a n ? 2 ? a n ?1 ? 3(a n ?1 ? a n ) .

?a n ?1 ? a n ?是以 a 2 ? a1 ? ?6 为首项,3 为公比的等比数列,则
利用类型 6 的方法可得

a n ?1 ? a n ? ?6 ? 3 n ?1
(2)当

a n ? 11 ? 3 n .

p 2 ? 4q ? 0 时

用待定系数法.

例 2. 已知数列 { an } 满足 a n ? 2 解:令 a n ? 2

? 5a n ?1 ? 6a n ? 0 ,且 a1 ? 1, a 2 ? 5 ,且满足,求 a n .

? xan ?1 ? y(a n ?1 ? xan ) ,即 a n ? 2 ? ( x ? y)a n ?1 ? xyan ? 0 ,与已知

?x ? y ? 5 ?x ? 2 ?x ? 3 a n ? 2 ? 5a n ?1 ? 6a n ? 0 比较,则有 ? ,故 ? 或? ? xy ? 6 ?y ? 3 ?y ? 2
下面我们取其中一组 ?

?x ? 2 来运算,即有 a n ? 2 ?2a n ?1 ? 3(a n ?1 ? 2a n ) , ?y ? 3

则数列

?a n?1 ? 2a n ? 是以 a 2 ? 2a1 ? 3 为首项,3 为公比的等比数列,故
的方法,可得

a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 3 n ?1 ? 3 n ,即 a n ?1 ? 2a n ? 3 n ,利用类型

an ? 3n ? 2 n .
- 12 -

评注:形如 a n ? 2

? aan?1 ? ban 的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,

我们采用特征根的方法:设方程 ( x ? a) x 值求得 p,q 的值即可.

? b 的二根为 ? , ?

,设 a n

? p ? ? n ? q ? ? n ,再利用 a1 , a 2 的

类型:用于 an ? kan ?1 ? p 型已知条件。
n

转化步骤: 等式两边同时除以 p : (1)

n

an k an ?1 a k (2) 则 ? ? n ?1 ? 1 ; 令 bn ? nn , bn ? ? bn ?1 ? 1 ; n p p p p p



k k ? 1 时, {bn } 是以 1 为公差的等差数列;当 ? 1 时,转化为类型一构造等比数列; p p

类型:用于 an ? kan ?1 ? ln ? c 型已知条件。 转化步骤:设 an ? ( xn ? y) ? k{an ?1 ? [ x(n ? 1) ? y]} ,由 (k ? 1) xn ? ln, k ( y ? x) ? y ? c 求 出:

x?

l k (l ? c) ? c l k (l ? c) ? c ,则 {bn ? an ? ,y? n? } 是以 k 为公比, 2 k ?1 (k ? 1) k ?1 (k ? 1) 2 l k (l ? c) ? c 为首项的等比数列;通过求出 bn 间接求出通项 an . ? k ?1 (k ? 1)2

a1 ?

例: (06 重庆)在数列 ? an ? 中,若 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? ___ 变式 1: (08 四川 21)已知数列 ?an? 的前 n 项和 S n ? 2an ? 2 , (Ⅰ)求 a3、a4 ;(Ⅱ)证明:数列
n

?an?1 ?2an? 是一个等比数列.(Ⅲ)求 ?an? 的通项公式.

变式:(06 福建 22)已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ?2an , (n ? N ) ,(I)证明:
*

数列 ?an ?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ? an ? 的通项公式;

例: (08 全国 19)在数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 变式 1: 四川 21) (08 已知数列 ?an? 的前 n 项和 S n 通项公式.

? 2an ? 2n .求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .

? 2an ? 2n , (Ⅰ)求 a3、a4 ; (2)求 ?an? 的

- 13 -

例: (08 全国 19)在数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 2 . (Ⅰ)设 bn ?
n

an .证明:数列 2n ?1

(Ⅱ)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n . ?bn ? 是等差数列;

变式: (08 天津 20)已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an ?1 ? (1 ? q)an ? qan ?1 ,
* (Ⅰ)设 bn ? an ?1 ? an (n ? N ) ,证明 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ? an ? 的 (n ≥ 2,q ? 0) .

通项公式;

小结:先证明新数列为等差或等比再求通项问题,先从问题入手按证明等差或等比方法证明问题, 再由等差或等比的通项公式间接解决问题。 类型:指数型递归数列(两边取对数)如: an ?1 ? p ? r an ( p、r为常数) :两边取对数得到:

1 1 lg an ?1 ? lg p ? lg an ,令 bn ? lg an ,则 bn ?1 ? lg an ?1 ,则 bn?1 ? bn ? lg p 转化为类型 4; r r
例,数列{an } 满足: a1 ? 2, an ? 4an ?1 ,求 {an } 的通项;
5

类型

形如 a n ?1

r ? pan (其中 p,r 为常数)型

(1)p>0, a n 例 1.

?0

用对数法.

设正项数列

2 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ? 2a n?1 (n≥2).求数列 ?a n ? 的通项公式.

解:两边取对数得:

bn ? 2bn?1
练习 数列 案: a n

?bn ?是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log 12 ? 1 ? 1
n?1

l ogan ? 1 ? 2 l ogan ?1 2 2

, log 2n

a

? 1 ? 2(log an ?1 ? 1) , 设 bn ? l ogan ? 1 , 则 2 2 bn ? 1 ? 2 n?1 ? 2 n?1 ,

?1

log an ? 1 ? 2 n?1 , log an ? 2 n?1 ? 1 ,∴ a n ? 2 2 2 2

?a n ?中,a1 ? 1 ,a n ? 2
2?n

a n ?1(n≥2) 求数列 ?a n ? 的通项公式. ,

? 2 2?2

(2)p<0 时

用迭代法.

例 1.(2005 江西卷)

的各项都是正数, 且满足 : 已知数列 {a n }
(1)证明 an 解: (1)略

a 0 ? 1, a n ?1 ?

? an?1 ? 2, n ? N ;

1 a n (4 ? a n ), n ? N 2



(2)求数列 {a n } 的通项公式 an.

1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 2 2 2 所以 2(a n ?1 ? 2) ? ?(a n ? 2) 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn ?1 ? ? (? bn ? 2 ) 2 ? ? ? ( ) 2 bn ?1 ? ? ? ?( )1? 2??? 2 bn 2 2 2 2 2 2 1 2n ?1 1 n -1,所以 bn ? ?( ) ,即an ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 . 2 2
(2) a n ?1

?

2

n ?1

n

又 b n=

- 14 -

方法 2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试. 解法 3:设 c n ? ?bn ,则 c n ?

1 2 c n ?1 ,转化为上面类型(1)来解. 2

类型: 已知 S n 求通项 an

a ? : n

?

sn ? sn?1,n ? 2 s1 , n ?1
*

例 3: 福建 21) (07 数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,a1 ? 1 ,an ?1 ? 2Sn (n ? N ) . (Ⅰ) 求数列 ? an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 变式:(09 全国 19)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1 , S n ?1 ? 4an ? 2 . (Ⅰ)设

bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式;
变 式 : (07 重 庆 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 S n 满 足 S1 ? 1 ,

6Sn ? (an ? 1)(an ? 2)

( ( n ?N . Ⅰ ) 求 ?an ? 的 通 项 公 式 ; Ⅱ ) 设 数 列 ?bn ? 满 足

an ( 2bn ? 1)? 1 ,并记 Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和,求证: 3Tn ? 1 ? log 2 (an ? 3),n ? N .
变式:若 log 2 ( Sn ? 1) ? n ,则 an ? ? 变式:正项数列 {an } 满足: a1 ? 1, S n 是其前 n 项之和,且 S n ?1 ? S n ? a n?1 ,求 Sn、an ;
2

二.数列求和
小结求和方法: (1)公式法:用于等差与等比数列; (2)倒序相加法:若某数列中,与首末两项等距离的两相和等于首末两项和,可采用把正着 写的和倒着写的两个式子相加,就得到一个与常数数列求和相关的式子 (3)错位相减法:设数列 ?a n ?的等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,则求数列 ?a n bn ? 的前 n 项 和时,常常将 ?a n bn ? 的各项乘以 ?bn ? 的公比,并向后错一项; (4)裂项相消法:把通项公式是分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形 式拆成两个分式差的形式之后再求和;

1 n ? n?a

?

1 ( n ? a ? n) a

1 1 1 1 ? ( ? ), n( n ? k ) k n n ? k

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(5)分组求和法:把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和

练习:1.(07 福建)数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 an ?

1 ,则 S 5 ? ? n(n ? 1)
- 15 -

2. an }的通项an ? {

1 , 则S100 ? ? n ?1 ? n

12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? 9 92 ? 1 0 2 ? ? ? 0
3.数列{an }中,a1 ? 1,a2 ? 2 ? 3,a3 ? 4 ? 5 ? 6,a4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10,则a10 ? ?

4.数列{an }满足:an ? 3n ? 63,则 a1 ? a 2 ? ? ? a 30 ? ?

5.s ? 1 ?

1 1 1 ? ?? ? ?? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ?? ? n

6.等差数列前 3 项之和为 12,后 3 项之和为 132,所有各项之和为 240,则项数 n ? ?

, 7. 数列{a n }满足:a n ? (?2) ? 2n ? 1 求前 n 项和 Sn
n

??

8







f (x ?

x ) 1? x



,

f (1) ? f (2) ? ? ? f (2008) ? f (
等差数列独有特点:

1 1 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) ? ? 2008 2007 2
Sn a ? f (n) ,则 n ? f (2n ? 1) ; bn Tn

1.若 {an },{bn } 为等差数列,前 n 项和分别为 Sn、Tn ,若

2.判定等差数列 S n 何时取最大值:法 1 根据 S n 相应二次函数的对称性;法 2 判定 an 何时开始 为负;

3.判定等差数列 S n 何时开始 ? 0 或 ? 0 ,由 Sn ?
改变;

n(a1 ? an ) ,即判定 a1 ? an 何时正负发生 2
?1

补充:等差、 等比数列中: 利用对称性设出相邻几项: 如等比相邻 3 项设为:aq 等比相邻 4 项设为: aq , aq , aq, aq ;等差相邻 3 项: a ? d , a, a ? d
3 ?3 ?1

, a, aq ,

数列清单:函数与数列比较 一般函数: y
自变量 函数值

? f ( x)
项数

数列: {an }

x ,对应法则 f
y (观察自变量与函数值变化关系)

n ,通项公式 an ? f (n)



an ,前 n 项和 S n (观察项的下标之间的关系)
- 16 -

单调性判定:定义法、图象法、已有函 数单调性、复合函数单调性(同增异减)

单调性判定: (1)转化为相应函数的单调性; 2)作差或作商:比较 (

{an ? an?1 ? 0(或 ? 0) 或

an ? 1(或 ? 1) an ?1

a ? 对任意数列成立的关系式:数列{an } 前 n 项和 S n ,则 n
二.等差与等比数列:五要素(
数列 等差数列 {an }与{bn } (一次函数型)
对任意 n ? 2 , an ? an ?1 ? d (常数) 或 an?1 ? an ? an ? an?1 ? 2an ? an ?1 ? an ?1 , 则称 数列 {an } 为等差数列;常数 d 为公差;

?

sn ? sn?1,n ? 2 s1 , n ?1 见 S n 写出 S n ?1 做差

a1、d (或q)、n、an、Sn , 知三求二)
等比数列 {an }与{bn } (指数函数型)
对任意 n ? 2 ,

定义(判 定方法) 等差中项

an a a (常数) an2 ? an?1 ? an?1 ? n ?1 ? n 或 ?q an ?1 an an ?1

则称数列 {an } 为等比数列;常数 q 为公比;

a、A、b 成等差数列,则 A 叫做 a与b
的等差中项 ? A ?

a?b (充要条件) 2

a、A、b 成 等 比 数 列 , 则 A 叫 做 a与b 的 等 比 中 项
, ? A ? ? ab (充分不必要条件) 由于等比数列的项 ? 0

通项 求和

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? (a1 ? d )

? am ? (n ? m)d ? kn ? b
n( a1 ? an ) n ( ak ? an ?1? k ) ? 2 2 n( n ? 1) d 2 ? a1 n ? ? An ? Bn 2 Sn ?

an ? a1q n ?1 ? am q n ? m
Sn ?na1 , ( q ? 1) ? ? ? a1 (1 ? q n ) a ? an q ? 1 ( q ? 1) ? 1? q 1? q ?
an an , qn?m ? a1 am
两边项数均相同

公差 (比) d ?
1. m ? n ?

an ? a1 a ? am ? n ? an ? an ?1 n ?1 n?m

q n ?1 ?

p ? q ? am ? an ? a p ? aq

m ? n ? p ? q ? am ?an ? a p ?aq
2. Sn , S2 n 3 {k (an )
m

性 质

2. Sn , S2 n 3{ ?1an

? Sn , S3n ? S2 n 为等差数列

? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列
也是等比数列;

? ?2bn }( ?1 , ?2 为常数)都是等差数列

? (bn )n }

4 下标成等差,项成等差,如: 2 成等差;5. {

a , a6 , a10 , a14 ?

4.下标成等差,项成等比,如 2 5. {an } 为等比数列,

a , a6 , a10 , a14 ? 成等比

Sn } 为等差;6. n

{c an } 成等比

{logc (an )} 成等差数列;

- 17 -


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