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2014-2015学年点拨高中数学必修5(R-B版)过关测试卷:第三章+不等式+过关测试卷


第三章过关测试卷 (100 分,45 分钟) 一、选择题(每题 6 分,共 48 分) 1.设 a<b<0,下列不等式一定成立的是( A.a2<ab<b2 C.a2<b2<ab 2.已知集合 M= ? x ( ) B.M =P ?N D.M ?N =P ) B.{x|x≤-8 或 x>-3} D.{x|-3<x≤2}
2x ?1 ? ? >0 的解集 ?

r />)

B.b2<ab<a2 D.ab<b2<a2
? x?3 ? 2 ≤0? ,N={x|x +2x-3≤0},P={x|-3≤x≤1},则有 ? x ?1 ?

A.M =N =P C.N ?M ?P 3.不等式
x?2 ≤2 的解集是( x?3

A.{x|x<-8 或 x>-3} C.{x|-3≤x≤2}

4.已知函数 y=f(x)的图象如图 1 所示,则不等式 f ? ? ? x ?1 为( ) B.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

A.(-∞,1) C.(-∞,-2)

图1
? 5.在区间 ? 函数 f(x)=x2+bx+c(b∈R)与 g(x)= 2 ? 上, ? , 1 ?2 ?
x2 ? x ? 1 在同一个 x

? x 值处取得相同的最小值, 那么 f (x)在区间 ? ( 2 ? 上的最大值是 ? , 1 ?2 ?



A.

13 4

B.4

C.8 )

D.

5 4

6.设 a,b 均大于零,且 ab-a-b≥1,则有( A.a+b≥2( 2 +1) C.a+b< 2 +1

B.a+b≤ 2 +1 D.a+b>2( 2 +1)
? 1 2?

? 7.若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈ ? ? 0, ? 恒成立,则 a 的最小值为

( A.0

) B.-2 C. ?
5 2

D.-3

?3 x ? y ? 6≤0, ? 8.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2≥0,若目标函数 z=ax+by(a>0,b> ? x≥0,y≥0, ?

0)的最大值为 12,则 ? 的最小值为( A.
25 6

2 a

3 b

) D.4

B.

8 3

C.

11 3

二、填空题(每题 5 分,共 15 分) 9.已知下列不等式: ① x2+3 > 2x(x ∈ R); ② a5+b5 ≥ a3b2+a2b3(a,b ∈ R); ③ a2+b2 ≥ 2(a - b - 1)(a,b∈R).其中正确的序号是 .

10.不等式(k+1)x2-(3k+1)x+2>0 对于任意的 x∈R 都成立, 则 k 的取 值范围是 .

11.〈安徽〉设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,则下 列命题正确的是
? 3

(写出所有正确命题的编号).
? 3

①若 ab>c2,则 C< ;②若 a+b>2c,则 C< ;③若 a3+b3=c3,则 C<

? ? ? ;④若(a+b)c<2ab,则 C> ;⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则 C> . 2 2 3

三、解答题(14 题 13 分,其余每题 12 分,共 37 分) 12.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,求: (1)xy 的最小值; (2)x+y 的最小值.

13.设 a>0,b>0,对任意的 x>1,ax+ 和 b 的大小.

x >b 恒成立,试比较 a +1 x ?1

14.(1)已知 x< ,求函数 y=4x-2+
1 x 9 y

5 4

1 的最大值. 4x ? 5

(2)已知 x>0,y>0,且 ? =1,求 x+y 的最小值. (3)已知 a,b 为常数,求函数 y=(x-a)2+(x-b)2 的最小值.

参考答案及点拨 一、1.B 点拨:∵ a<b <0, ∴a2 -ab=a(a -b)> 0,ab -b2=b(a-b)

>0,∴a2>ab,ab>b2,∴a2>ab>b2,即 b2<ab<a2,故选 B. 2.D 3.B 点拨: 易得 M ={x|-3≤x<1},N ={x|-3≤x≤1}, 所以 M ?P=N. 点拨: 原不等式可化为
x?2 ?x ? 8 -2≤0, 即 ≤0, 即(x+3)(x+8) x?3 x?3

≥0 且 x≠-3,解得:x≤-8 或 x>-3. 4.B 1,即 5.B 点拨:由函数 y=f(x)的图象知:要使 f ? ?
2x ?1 2x ?1 ? ? >0,则需 x ? 1 < ? x ?1 ?

x?2 <0,解得-2<x<1.∴原不等式的解集为(-2,1). x ?1

点拨:g(x)=
1 ?2 ?

1 x2 ? x ? 1 1 1 ? x ? ?1 ≥2 x ? 1 =3.当且仅当 x= ,即 x x x x

? x=1∈ ? f(x) 2 ? 时等号成立.所以 g(x)在 x=1 处取得最小值 3.依题意, ? ,

也在 x=1 处取得最小值 3,故- =1,
1 ?2 ?

b 2

4c ? b2 =3 所以 4

b=-2,c=4,所以

? f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3.又 x∈ ? 2 ? ,所以 f(x)的最大值为 f(2)=4. ? ,

6.A

a?b ? 1 2 点拨:令 a+b=x,则 x>0,1+x≤ab≤ ? ? ? ? x, ? 2 ? 4

2

即 x2-4x-4≥0(x>0),解得 x≥2( 2 +1),即 a+b≥2( 2 +1). 7.C
? 点拨:∵不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈ ? ? 0, ? 恒成立,∴对一 ? 1 2?

x2 ? 1 x2 ? 1 2 ? 1? 切 x∈ ? 0, ? ,有 ax≥-x -1,即 a≥恒成立.令 g(x)== x x ? 2?
1 1? 1? ? ? 1? -? ? x ? ? ,易知 g(x)=- ? x ? ? 在 ? 0, ? 内为增函数 . ∴当 x= 时,

?

x?

?

x?

?

2?

2

g(x)max=- .∴a 的取值范围是 a≥- ,即 a 的最小值是- .故选 C. 8.A 点拨:不等式组表示的平面区域如答图 1 所示阴影部分,易知
a b z b

5 2

5 2

5 2

当直线 y=- x+ (a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点时, z 取得最大值 12, 解方程组 ?
? 即 2a+3b=6,而 ? ? ? ? ? ? a b ?a b? 2 3 2

? x ? y ? 2=0, ? x ? 4, 故 4a+6b=12, 得? ?3x ? y ? 6=0, ? y ? 6,

3 2a ? 3b 13 ? b a ? 13 25 ? ? ? ? ?≥ ? 2= ,故选 A. 6 6 ?a b? 6 6

答图 1 二、9.①③ 点拨:x2+3-2x=(x-1)2+2>0,∴x2+3>2x(x∈R) ;

a2+b2- 2(a - b- 1)=(a - 1)2+(b+1)2 ≥0,∴ a2+b2≥2(a-b-1). 对于② , 有 a5+b5-(a3b2+a2b3) =(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)
2 ?? b ? 3 2? =(a-b) (a+b) ?? a ? ? ? b ? , 2? 4 ? ? ?? ?

2

只有当 a+b≥0 时,不等式 a5+b5≥a3b2+a2b3 才成立.
? 10. ? 1? ?? , 7 ? 9 ?

点拨:当 k+1=0,即 k=-1 时,不等式不恒成立,所以

?k ? 1 ? 0, 7 解得 <k<1. ? 2 9 ? ? [ ? (3 k ? 1)] ? 4( k ? 1) ? 2 ? 0. ?

11.①②③

点拨:对于①,∵ab>c2,∴cosC=

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? b 2 ? ab ? 2ab 2ab



2ab ? ab 1 π? ? (当且仅当 a=b 时取 “=” ).又∵C∈(0,π ),∴C∈ ? 0, ? , ? 2ab 2 ? 3?
2 (a+b) a 2 ? b2 ? c 2 .∴cosC= 4 2ab

∴①正确.对于②,∵a+b>2c>0,∴c2<

2 (a+b) 3 2 2 1 a 2 ? b2 ? (a ? b ) ? ab 4 4 2 ≥ ab ? 1 (当且仅当 a=b 时取“=”). ? = 2ab 2ab 2ab 2
3 3 3 2 2 3 ? 又∵C∈(0,π ),∴C∈ ? ? 0, ? ,∴②正确.对于③,∵a +b =c ,∴(a +b )

π ? 3?

-(c2)3=(a2+b2)3-(a3+b3)2=3a4b2+3a2b4-2a3b3=a2b2(3a2+3b2-2ab)≥4a3b3> 0(当且仅当 a=b 时取“=” ).∴(a2+b2)3>(c2)3,即 a2+b2>c2.∴cosC=
π a 2 ? b2 ? c2 2 ? 0 ,∴C< ,∴③正确.对于④,∵0<(a+b)c<2ab,∴c < 2 2ab

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? b 2 ? ab 4a 2 b 2 ? ≤ a b ( 当且仅当 a = b 时取“ = ” ). ∴ cos C = 2ab 2ab (a +b)2
≥ ab 1 π ? >0(当且仅当 a=b 时取 “=” ),∴C< ,故④不正确.对于⑤, 2ab 2 2
2 2 2 2 2 2

2a 2b 2 2a 2 b 2 ∵(a +b )· c <2a b ,∴c < 2 2 ≤ =ab(当且仅当 a=b 时取 “=” ), 2ab a +b

∴cosC=

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? b2 ? ab 2ab ? ab 1 ? ≥ ? (当且仅当 a=b 时取 “=” ). 2ab 2ab 2ab 2

? 又∵C∈(0,π ),∴C∈ ? ? 0, ? ,故⑤不正确.∴正确命题为:①②③. π ? 3?

三 、 12. 解 : ( 1 )由 2x+8y - xy=0, 得 ? ? 1 , 又 x > 0,y > 0 , 故
?8 2 ? x ? y ? 1, ? x ? 16, 8 2 8 2 8 1= ? ≥2 ? ? ,故 xy≥64,当且仅当 ? 即? 时等号 ? x y x y 8 2 y ? 4 xy ? ? ? , ? ?x y

8 x

2 y

成立,∴(xy)min=64.

(2)由 2x+8y-xy=0,得 ? ? 1 , 则 x+y= ? ? ? ? ( x+ y) =10+ ? ≥10 ? 2 =18. ? y x y x ?x y?
?8 2 ? x ? y ? 1, ? x ? 12, 当且仅当 ? 即? 时等号成立.∴(x+y)min=18. ? 2 x 8 y y ? 6 ? ? ? , ? x ? y

8 x

2 y

?8

2?

2x 8 y

2x 8 y

13.解:设 f(x)=ax+ 则 f(x)=ax+1+

x (x>1), x ?1

1 1 =(a+1)+a(x-1)+ , ∵ x > 1,∴x-1 > 0, ∴ f(x) ≥ x ?1 x ?1
1 1 (x>1),即 x=1+ 时, x ?1 a

(a+1)+2 a =( a +1)2.当且仅当 a(x-1)=

上式取“=” ,又对任意的 x>1,f(x)>b 恒成立,∴b<( a +1)2,又∵a >0,b>0,∴ a +1> b . 14.解: (1)∵x< ,∴5-4x>0,∴y=4x-2+ ≤-2+3=1.当且仅当 5-4x= 当 x=1 时,ymax=1. (2)∵x>0,y>0, 当且仅当 =
y x
5 4 1 1 ? =- ? 5 ? 4x ? ? ? +3 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

1 ? 5? x ? ? ,即 x=1 时,上式等号成立.故 ? 5 ? 4x ? 4?

?1 9? 1 9 y 9x ? ? 1 ,∴x+y= ? ? ? ( x+ y) = ? +10≥6+10=16. x y x y ?x y?

9x 1 9 时取等号.又 ? ? 1 ,∴当 x=4,y=12 时,上式等号成 y x y

立.故当 x=4,y=12 时, (x+y)min=16.
? ? x ? a ? ? ?b ? x ? ? ? a ? b? (3)y=(x-a) +(x-b) =(x-a) +(b-x) ≥2 ? ,当 ? = 2 2 ? ?
2

2

2

2

2

2

且仅当 x-a=b-x,即 x=

a?b a?b 时,上式等号成立.∴当 x= 时, 2 2

? a ? b? . ymin=
2

2


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