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反证法(课件)


复习 1.直接证明的两种基本证法: 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点:
综合法 已知条件 ? ? ? ? ? 结论 分析法
结论

? ? ? ? ?已知条件

由因导果 执果索因

3、在实际解题时,两种方法如何运用? 通常用分析法寻求思路,再由综合法书写过程

名家情系反证法
反证法常常是解决某些“疑难”问 题的有力工具。 牛顿说:“反证法是数学家最精当 的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它: “反证法是数学家最有力的一件武器, 比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的 让棋法,它还要高明。象棋对弈者不外 乎牺牲一卒或顶多一子,数学家索性把 全局拱手让给对方!”

探究1:掀起你的盖头来——认识反证法
反证法的定义: 在证明数学问题时,先假定命题结论的反面成立, 在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛 盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定 命题的结论成立,这种证明方法叫作反证法。

探究2:深度挖掘——了解反证法
反证法的证题步骤: (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; -(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论成立 一、你能用更简洁的文字概括反证法的基本步骤吗? 二、反证法在推理中可能得出哪几类矛盾?

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的, 下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语
等于

否定词
不等于 不是 不都是 不大于 不小于

原词语 任意的
至少有一个

否定词
某个

是 都是 大于 小于

一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有(n-1)个 至多有n个 至少有(n+1)个 对任何x 不成立 存在某个x,成立

对所有x 存在某个 x不成立 成立

探究3:生活中有运用反证法思想的例子吗?

道 旁 苦 李
王戎七岁时,爱和小朋友结伴玩耍。一 天,他们发现路边的一棵树上结满了李子, 小朋友一哄而上去摘李子,独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的! 他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的

王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的

推理方法?
王戎回答说:“假如李子不苦的话,早被 路人摘光了,而这树上却结满了李子,所 以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.

牛刀小试
已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角(如图) 求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角 大于或等于60 ° B

用反证法证明(填空):在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于60 ° A

证明:假设所求的结论不成立,即 < ∠A__ 60 ° ,∠ B__60 ° ,∠ C __60 ° < < 则∠A+∠ B+∠ C<180 ° 三角形的三个内角之和等于180 ° 这与______________________相矛盾 假设 所以______不成立, 所求证的结论成立

C

例1:已知:a是整数,2能整除a2 求证:2能整除a。 证明:假设命题的结论不成立,即“2不能整 除a”,因为a是整数,故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)

∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数,则2不能整除a2 ,这与已 知矛盾。∴假设不成立,故2能整除a。

例2:在同一平面内,两条直线a,b都和直线c 垂直,求证:a与b平行

解题反思: ? 证明该问题的难点是哪一步?
?

你怎么看待反证法题目中的已知条件?

1.命题”三角形中最多只有一个内角是直角“的结 论的否定是( ) C A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时,正 确的反设为( ) D A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数

3.如果a>b>0,那么 a > b
否定要全面

证明: 假设 则

a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以

a 不大于

b

(1)若 a < b ? a ? b
与已知a ? b ? 0矛盾 与已知a ? b ? 0矛盾 (2)若 a = b ? a = b,
所以假设错误,故原命题

a? b

成立

注:当结论的反面不止一种情况时,该怎么办?

反证法的概念

反证法的证题步骤

如何正确使用反证法

注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
(1)周密考察原命题结论的否定,防止否定 不当或有所遗漏; (2)推理过程必须完整准确,否则不能说明 命题的真伪性; (3)在推理过程中,要充分使用已知条件, 否则推不出矛盾,或者不能断定推出的结果是 错误的。

大家议一议!

我来告诉你(经验之谈)

探究4:

1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理

哪些问题适宜用反证法

总之,直接证明比较困难的命题

反思与收获
你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗?

同学们,学了这节课, 你们有何体会? ---德国数学家希尔伯特说, 禁止数学家使用反证法, 就象禁止拳击家使用拳头。

P67

习题3-4

1, 2


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