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2016-2017学年高中数学苏教版选修2-1学业分层测评2.5 圆锥曲线的统一定义 Word版含解析


学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.若直线 ax-y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点,则实数 a=________. 【解析】 抛物线 y2=4x 的焦点是(1,0),直线 ax-y+1=0 过焦点,∴a+1 =0,∴a=-1. 【答案】 -1

1 2. 已知椭圆的准线方程为 y=± 4, 离心率为2, 则椭圆的标准方程为________. 【导学号:09390053】 【解析】 a2 a 由题意 c =e =4,∴a=4e=2.

c 1 ∵e=a=2, ∴c=1,b2=a2-c2=3. 由准线方程是 y=± 4 可知, y2 x2 椭圆的焦点在 y 轴上,标准方程为 4 + 3 =1. 【答案】 y2 x2 4 + 3 =1

3.已知抛物线 y2=2px 的准线与双曲线 x2-y2=2 的左准线重合,则抛物线 的焦点坐标为________. 【解析】 双曲线的左准线为 x=-1,

p p 抛物线的准线为 x=- ,所以 =1,所以 p=2. 2 2 故抛物线的焦点坐标为(1,0). 【答案】 (1,0)

1 4.(2015· 全国卷Ⅰ改编)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为2,E 的右 焦点与抛物线 C:y2=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB| =________.

【解析】

抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),∴椭圆中 c=2,

c 1 又a=2,∴a=4,b2=a2-c2=12, x2 y2 从而椭圆方程为16+12=1. ∵抛物线 y2=8x 的准线为 x=-2, ∴xA=xB=-2, 将 xA=-2 代入椭圆方程可得|yA|=3, 由图象可知|AB|=2|yA|=6. 【答案】 6 x2 y2 5. 若椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离等于 3a, 则双曲线的 离心率为________. 【解析】 a2 由题意知, c +c=3a,即 a2+c2=3ac, 3- 5? 3+ 5 ? ?e= ?. > 1 舍去 2 ? 2 ?

∴e2-3e+1=0,解得 e= 【答案】 3- 5 2

x2 y2 6.设双曲线a2-b2=1 的右焦点为 F(3,0),P(4,2 2)是双曲线上一点,若 双曲线的右准线为 x=m,则实数 m 的值是________. a2+b2=9, ? ? 法一: 由题意可知 ?16 8 2 - 2=1, ? ?a b 解得 b2 = 3 57-15 , a2 = 2

【解析】

33-3 57 , 2 11- 57 a2 11- 57 故右准线 x= c = ,即 m = . 2 2 法二:由题意 PF= ?4-3?2+?2 2-0?2=3, PF 3 根据椭圆的第二定义得 d = =e. 4-m a2 又 m= c ,

m a2 1 ∴ c =c2 =e2. ∵c=3, 3 ∴e2=m, ? 3 ? 3 ∴?4-m?2=m, ? ? ∴m2-11m+16=0, ∴m= 11± 57 2 ,

∵m<c=3, ∴m= 11- 57 . 2 11- 57 2

【答案】

x2 y2 7.已知椭圆100+36=1 上有一点 P,它到左、右焦点距离之比为 1∶3,则 点 P 到两准线的距离分别为________. 【解析】 设 P(x,y),左、右焦点分别为 F1,F2,由椭圆方程,可得 a=

c 4 10,b=6,c=8,e=a=5,则 PF1+PF2=2a=20. 又 3PF1=PF2,∴PF1=5,PF2=15. PF1 25 PF2 75 设点 P 到两准线的距离分别为 d1,d2,可得 d1= e = 4 ,d2= e = 4 .故 25 75 点 P 到两准线的距离分别为 4 , 4 . 【答案】 25 75 4,4

x2 y2 8. 已知点 P 在双曲线16- 9 =1 上, 并且 P 到双曲线的右准线的距离恰是 P 到双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么 P 的横坐标是________. 【解析】 记实半轴、虚半轴、半焦距的长分别为 a,b,c,离心率为 e,

c 5 点 P 到右准线 l 的距离为 d,则 a=4,b=3,c=5,e=a=4,右准线 l 的方程为

a2 16 x= c = 5 .如果 P 在双曲线右支上,则 PF1=PF2+2a=ed+2a.从而,PF1+PF2 =(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d,这不可能;故 P 在双曲线的左支上,则 PF2-PF1 =2a,PF1+PF2=2d.两式相加得 2PF2=2a+2d. 又 PF2=ed,从而 ed=a+d.故 d= 64 16=- 5 . 【答案】 二、解答题 9.已知椭圆的一个焦点是 F(3,1),相应于 F 的准线为 y 轴,l 是过 F 且倾斜 16 角为 60° 的直线,l 被椭圆截得的弦 AB 的长是 5 ,求椭圆的方程. 【解】 设椭圆离心率为 e,M(x,y)为椭圆上任一点, - 64 5 a 4 16 =5 =16.因此,P 的横坐标为 5 - e-1 4-1

?x-3?2+?y-1?2 MF 由统一定义 d =e,得 =e, |x| 整理得(x-3)2+(y-1)2=e2x2.① ∵直线 l 的倾斜角为 60° ,∴直线 l 的方程为 y-1= 3(x-3),② ①②联立得(4-e2)x2-24x+36=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得 x1+x2= 24 16 1 ∴AB=e(x1+x2)=e· 2= ,∴e= , 5 2 4-e 1 ∴椭圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=4x2, ?x-4?2 ?y-1?2 即 4 + 3 =1. x2 y2 10.已知定点 A(-2, 3),点 F 为椭圆16+12=1 的右焦点,点 M 在椭圆 上运动,求 AM+2MF 的最小值,并求此时点 M 的坐标. 【解】 ∵a=4,b=2 3,∴c= a2-b2=2, 24 , 4-e2

1 ∴离心率 e=2.

A 点在椭圆内,设 M 到右准线的距离为 d, MF 1 则 d =e,即 MF=ed=2d,右准线 l:x=8, ∴AM+2MF=AM+d. ∵A 点在椭圆内, ∴过 A 作 AK⊥l(l 为右准线)于 K,交椭圆于点 M0. 则 A,M,K 三点共线,即 M 与 M0 重合时,AM+d 最小为 AK,其值为 8 -(-2)=10. 故 AM+2MF 的最小值为 10,此时 M 点坐标为(2 3, 3). [能力提升] 1.已知点 F1,F2 分别是椭圆 x2+2y2=2 的左,右焦点,点 P 是该椭圆上的 → +PF → |的最小值是________. 【导学号:09390054】 一个动点,那么|PF 1 2 【解析】 x2 椭圆 x2+2y2=2 的标准方程是 2 +y2=1,

∴a= 2,b=1. → +PF → =2PO →, ∵PF 1 2 → +PF → |=2|PO → |. ∴|PF 1 2 → |≤a, ∵b≤|PO → |≤ 2, ∴1≤|PO → +PF → |的最小值是 2. ∴|PF 1 2 【答案】 2

2.过圆锥曲线 C 的一个焦点 F 的直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆与 F 相应的准线相交,则曲线 C 为________. 【解析】 设圆锥曲线的离心率为 e,M 为 AB 的中点,A,B 和 M 到准线 d1+d2 AB FA+FB e?d1+d2? , R = . 2 2= 2 = 2

的距离分别为 d1, d2 和 d, 圆的半径为 R, d=

由题意知 R>d,则 e>1,圆锥曲线为双曲线. 【答案】 双曲线

x2 y2 3.设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)恒过定点 A(1,2),则椭圆的中心到准线的距

离的最小值为________. 【解析】 1 4 ∵A(1,2)在椭圆上,∴a2+b2=1, a4 4a2 2 a- 2 a -1

2 4 4a2 a4 ?a ? a ∴b2= 2 ,则椭圆中心到准线距离的平方为? c ?2=c2 = 2 = ? ? a -1 a -b2

a4-a2 = 2 . a -5 令 a2-5=t>0, ?t+5?2-?t+5? 20 f(t)= =t+ t +9≥9+4 5. t 20 当且仅当 t= t 时取“=”, a2 ∴c≥ 9+4 5= 5+2,

2 ?a ? ∴? c ?min= 5+2. ? ?

【答案】

5+2

x2 y2 4.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右准线 l2 与一条渐近线 l 交于点 P, F 是双曲线的右焦点. (1)求证:PF⊥l; 5 (2)若|PF|=3,且双曲线的离心率 e=4,求该双曲线的方程. 【解】 a2 b (1)证明:右准线为 l2:x= c ,由对称性不妨设渐近线 l 为 y=ax,

2 ?a ab? 则 P? c , c ?,又 F(c,0), ? ?

ab c -0 a ∴kPF= a2 =-b. c -c b ab 又∵kl=a,∴kPF· kl=-b· a=-1. ∴PF⊥l. (2)∵|PF|的长即 F(c,0)到 l:bx-ay=0 的距离,



|bc| c 5 2 2=3,即 b=3,又 e=a=4, a +b

a2+b2 25 x2 y2 ∴ a2 =16,∴a=4.故双曲线方程为16- 9 =1.


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