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江苏省常州一中2016届高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年江苏省常州一中高三(上)期中数学试卷(文科)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 A={x|x≥0},B={x|x<1},则 A∪B= .

2.若

(k,a∈R)为幂函数,且 f(x)的图象过点(2,1),则 k+a 的值为





3.已知直线 l1:x+ay+6=0 和 l2:(a﹣2)x+3y+2a=0,则 l1∥l2 的充要条件是 a=



4.若曲线

在 x=x0 处的切线斜率为 0,则实数 x0 的值为



5.已知函数

,则 f(1+log23)=



6.将函数 y=sinωx(ω>0)的图象向左平移 的函数的解析式是 .

个单位,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应

7.已知等比数列{an}的各均为正数,且 为 .

,则数列{an}的通项公式

8.下列说法中正确的个数为



①命题:“若 a<0,则 a2≥0”的否命题是“若 a≥0,则 a2<0”; ②若复合命题“p∧q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ③“三个数 a,b,c 成等比数列”是“ ”的充分不必要条件;

④命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题.

9.在锐角三角形 ABC 中,若 tanA,tanB,tanC 依次成等差数列,则 tanAtanC 的值为



10.正方形 ABCD 的中心为(3,0),AB 所在直线的方程为 x﹣2y+2=0,则正方形 ABCD 的外接圆的方 程为 .

11.已知正实数 a,b 满足 9a2+b2=1,则

的最大值为



12.如图,A,B,C 是直线上三点,P 是直线外一点,AB=BC=1,∠APB=90°,∠BPC=30°,则 = .

13.已知函数 f(x)= 是 .

若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)﹣b 有两个零点,则 a 的取值范围

14.已知数列{an}满足

,设 .

为均不等于 2

的且互不相等的常数),若数列{bn}为等比数列,则 λ?μ 的值为

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.在直角坐标系 xoy 中,不共线的四点 A,B,C,D 满足 求: (1) 的坐标; ,且 , ,

(2)四边形 ABCD 的面积.

16.设向量 =(2cosx,﹣2sinx), = (1)求函数 f(x)的单调增区间和图象的对称中心坐标;

,f(x)= ? .

(2)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(C)=0,c=1,求 a+b 的取值范围.

17.如图所示,有一块半径长为 1 米的半圆形钢板,现要从中截取一个内接等腰梯形部件 ABCD,设梯形 部件 ABCD 的面积为 y 平方米. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设 CD=2x(米),将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设∠BOC=θ(rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式. (Ⅱ)求梯形部件 ABCD 面积 y 的最大值.

18.已知圆 M 的方程为 x2+(y﹣2)2=1,直线 l 的方程为 x﹣2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的 切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为(2,1),过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 CD= 时,求直线 CD 的方程;

(3)经过 A,P,M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请 说明理由.

19.已知 a>0,f(x)=ax2﹣2x+1+ln(x+1),l 是曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线. (Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)若切线 l 与曲线 y=f(x)有且只有一个公共点,求 a 的值; (Ⅲ)证明对任意的 a=n(n∈N*),函数 y=f(x)总有单调递减区间,并求出 f(x)单调递减区间的长度 的取值范围.(区间[x1,x2]的长度=x2﹣x1)

20.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{bn}是等比数列. (1)若 cn=(an+1﹣an)bn(n∈N*),求证:{cn}为等比数列;

(2)设 cn=anbn(n∈N*),其中 an 是公差为 2 的整数项数列,bn= 且当 n≥17 时,{cn}是递减数列,求数列{an}的通项公式; (3) 若数列{cn}使得 是等比数列, 数列{dn}的前 n 项和为

,若 c5>2c4>4c3>8c2>16c1,

, 且数列{dn}满足: 对任意 n≥2,

n∈N*,或者 dn=0 恒成立或者存在正常数 M,使 <|dn|<M 恒成立,求证:数列{cn}为等差数列.

2015-2016 学年江苏省常州一中高三(上)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 A={x|x≥0},B={x|x<1},则 A∪B= R . 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】根据 A 与 B,求出两集合的并集即可. 【解答】解:∵A={x|x≥0},B={x|x<1}, ∴A∪B=R. 故答案为:R 【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.

2.若

(k,a∈R)为幂函数,且 f(x)的图象过点(2,1),则 k+a 的值为 1 .

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】函数思想;待定系数法;函数的性质及应用. 【分析】根据幂函数的定义,先求出 k 的值,通过待定系数法求出 α 的值即可. 【解答】解:若 则 k=1,f(x)= =1,∴﹣ 则 k+a 的值 1, 故答案为:1. 【点评】本题考查了幂函数的定义,考查待定系数法求函数的解析式问题,是一道基础题. (k,a∈R)为幂函数, ,把(2,1)代入函数的解析式得: =0,解得 α=0,

3.已知直线 l1:x+ay+6=0 和 l2:(a﹣2)x+3y+2a=0,则 l1∥l2 的充要条件是 a= ﹣1 . 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】计算题.

【分析】由已知中,两条直线的方程,l1:x+ay+6=0 和 l2:(a﹣2)x+3y+2a=0,我们易求出他们的斜率, 再根据两直线平行的充要条件,即斜率相等,截距不相等,我们即可得到答案. 【解答】解:∵直线 l1:x+ay+6=0 和 l2:(a﹣2)x+3y+2a=0, ∴k1= ,k2=

若 l1∥l2,则 k1=k2 即 =

解得:a=3 或 a=﹣1 又∵a=3 时,两条直线重合 故答案为﹣1 【点评】本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系,其中两个直线平行的充要条件,易忽 略截距不相等的限制,而错解为﹣1 或 3.

4.若曲线

在 x=x0 处的切线斜率为 0,则实数 x0 的值为 e .

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;方程思想;分析法;导数的概念及应用. 【分析】求得函数的导数,由导数的几何意义,可得切线的斜率,解方程即可得到所求值. 【解答】解: 的导数为 y′= ,

由在 x=x0 处的切线斜率为 0, 可得 解得 x0=e. 故答案为:e. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查导数的几何意义,正确求得导数是解题的关键. =0,

5.已知函数 【考点】对数的运算性质;函数的值. 【专题】计算题.

,则 f(1+log23)=



【分析】根据分段函数的性质,把 x=1+log23 分别反复代入 f(x﹣1)直到 x≤0,再代入相应的函数解析式, 从而求解;

【解答】解:∵

∵1+log23>0, ∴f(1+log23)=f[(1+log23)﹣1)]=f(log23) ∵log23>0 f(log23)=f(log23﹣1),∵log23﹣1>0 ∴f(log23﹣1)=f(log23﹣2), ∵log23﹣2≤0, ∴f(log23﹣2)= 故答案为 . 【点评】此题主要考查对数的性质和函数的值,计算比较麻烦,此题是一道基础题,需要反复代入求解; = ×23= ,

6.将函数 y=sinωx(ω>0)的图象向左平移 的函数的解析式是 y=sin(2x+ ) .

个单位,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题. 【分析】依题意可得,ωx+ = ,从而可求得 ω,继而可得所求函数的解析式. 个单位,为 y=sinω(x+ ),

【解答】解:∵函数 y=sinωx(ω>0)的图象向左平移 ∴由图象得:ω 解得:ω=2, ∴平移后的图象所对应的函数的解析式为:y=sin2(x+ ×+ = ,

)=sin(2x+

),

故答案为:y=sin(2x+

). = 求得 ω 是关键,考查

【点评】本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,由 ωx+ 识图与分析解决问题的能力,属于中档题.

7. 已知等比数列{an}的各均为正数, 且 【考点】等比数列的性质;等比数列的通项公式. 【专题】计算题. 【分析】设公比为 q,由题意可得 a1(1+2q)=3 且 值,即可得到数列{an}的通项公式. 【解答】解:等比数列{an}的各均为正数,且 则可得 a1(1+2q)=3 且 解得 a1= ,q= , 故数列{an}的通项公式为 an = × 故答案为 an = . = , =4 ,

, 则数列{an}的通项公式为 an =



=4

,解方程组求出首项和公比的

,设公比为 q,

【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式的应用,属于中档题.

8.下列说法中正确的个数为

2 .

①命题:“若 a<0,则 a2≥0”的否命题是“若 a≥0,则 a2<0”; ②若复合命题“p∧q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ③“三个数 a,b,c 成等比数列”是“ ”的充分不必要条件;

④命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】探究型;转化思想;函数的性质及应用;推理和证明. 【分析】写出原命题的否命题,可判断①;根据复合命题真假判断的真值表,可判断②;根据等比数列 的定义及充要条件的定义,可判断③;根据互为逆否的两个命题,真假性相同,可判断④ 【解答】解:①命题:“若 a<0,则 a2≥0”的否命题是“若 a≥0,则 a2<0”,故正确; ②若复合命题“p∧q”为假命题,则 p,q 存在假命题,但不一定均为假命题,故错误; ③“三个数 a,b,c 成公比为负的等比数列”时,“ ”不成立,



=0”时,“三个数 a,b,c 成等比数列”不成立, ”的即不充分不必要条件,故错误;

故“三个数 a,b,c 成等比数列”是“

④命题“若 x=y,则 sinx=siny”为真命题,故其逆否命题为真命题,故正确. 综上所述,正确的命题个数为 2 个, 故答案为:2 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,四种命题,复合命题,充要条件,难度中档.

9.在锐角三角形 ABC 中,若 tanA,tanB,tanC 依次成等差数列,则 tanAtanC 的值为 3 . 【考点】两角和与差的正切函数. 【专题】三角函数的求值. 【分析】利用等差数列列出关系式,利用三角形的内角和以及两角和的正切函数,化简求解即可. 【解答】解:由题意知:A≠ ∴2tanB=tanA+tanC, ∴tan(A+B)=tan(π﹣C)=﹣tanC, 又∵tan(A+B)= , ,B≠ ,C≠ ,且 A+B+C=π,tanA,tanB,tanC 依次成等差数列,

∴tanA+tanB=tan(A+B)(1﹣tanAtanB)=﹣tanC(1﹣tanAtanB)=﹣tanC+tanAtanBtanC, 即 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC, ∴tanAtanC=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查数列的应用,两角和的正切函数定义域,考查计算能力,属于基本知识的考查.

10.正方形 ABCD 的中心为(3,0),AB 所在直线的方程为 x﹣2y+2=0,则正方形 ABCD 的外接圆的方 程为 (x﹣3)2+y2=10 . 【考点】圆的标准方程;点到直线的距离公式. 【专题】直线与圆. 【分析】确定正方形 ABCD 的外接圆的圆心为(3,0),利用点到直线的距离公式,可求半径,从而可得 圆的方程. 【解答】解:由题意,正方形 ABCD 的外接圆的圆心为(3,0), ∵(3,0)到直线 AB 的距离为 ∴圆的半径为 = =

∴正方形 ABCD 的外接圆的方程为(x﹣3)2+y2=10 故答案为:(x﹣3)2+y2=10. 【点评】本题考查圆的标准方程,考查学生的计算能力,属于中档题.

11.已知正实数 a,b 满足 9a2+b2=1,则 【考点】基本不等式;椭圆的简单性质. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】利用

的最大值为



(x,y>0)即可得出.

【解答】解:∵正实数 a,b 满足 9a2+b2=1,



=



=

,当且仅当

=

时取等号.



的最大值为 .



故答案为:

【点评】本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

12.如图,A,B,C 是直线上三点,P 是直线外一点,AB=BC=1,∠APB=90°,∠BPC=30°,则 .

=

【考点】向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;解三角形;平面向量及应用. 【分析】取 PC 中点 D,连结 BD,设 BD=x.利用三角形中位线定理与含有 30°角的直角三角形的性质, CD=PD=2x. 算出∠BDC=120°, 在△ BCD 中利用余弦定理, 结合题中数据建立关于 x 的方程, 解出 x= 即 BD= ,从而得出 PA= 且 PC= .最后利用数量积的公式加以计算,可得 的值. ,

【解答】解:取 PC 中点 D,连结 BD.设 BD=x, ∵BD 是△ PAC 的中位线,∴BD∥PA 且 BD= PA.

∵∠APB=90°,∴△PBD 中,∠PBD=∠APB=90°, ∵∠BPD=30°,BD=x,∴PD=2BD=2x,CD=PD=2x, △ BDC 中,∠BDC=∠APC=90°+30°=120°,BC=1, 由余弦定理,得 BC2=BD2+CD2﹣2BD?CDcos∠BDC=1, 即 x2+4x2﹣2x?2xcos120°=1,解之得 x= ∴PA=2BD= 可得 = ,PC=4BD= , = × ×(﹣ )=﹣ . ,即 BD= .

故答案为:﹣

【点评】本题给出三角形的中线与一条边垂直且与另一边成 30 度角,求向量的数量积.着重考查了向量 数量积计算公式、三角形中位线定义及其应用、利用余弦定理解三角形等知识,属于中档题.

13.已知函数 f(x)= 是 {a|a<0 或 a>1} .

若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)﹣b 有两个零点,则 a 的取值范围

【考点】函数的零点. 【专题】计算题;创新题型;函数的性质及应用. 【分析】由 g(x)=f(x)﹣b 有两个零点可得 f(x)=b 有两个零点,即 y=f(x)与 y=b 的图象有两个交 点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求 a 的范围 【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b 有两个零点, ∴f(x)=b 有两个零点,即 y=f(x)与 y=b 的图象有两个交点, 由 x3=x2 可得,x=0 或 x=1 ①当 a>1 时,函数 f(x)的图象如图所示,此时存在 b,满足题意,故 a>1 满足题意

②当 a=1 时,由于函数 f(x)在定义域 R 上单调递增,故不符合题意 ③当 0<a<1 时,函数 f(x)单调递增,故不符合题意

④a=0 时,f(x)单调递增,故不符合题意 ⑤当 a<0 时,函数 y=f(x)的图象如图所示,此时存在 b 使得,y=f(x)与 y=b 有两个交点

综上可得,a<0 或 a>1 故答案为:{a|a<0 或 a>1}

【点评】本题考察了函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合、分类讨论的数学思想.

14.已知数列{an}满足

,设

为均不等于 2

的且互不相等的常数),若数列{bn}为等比数列,则 λ?μ 的值为 ﹣3 . 【考点】数列递推式. 【专题】方程思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】 为均不等于 2 的且互不相等的常数),

,可得 bn+1=

=

.由于数列{bn}为等比

数列,可得

=q 为常数,代入化简即可得出.

【解答】解:∵

为均不等于 2 的且互不相等的常数),



∴bn+1=

=

=



∵数列{bn}为等比数列, ∴ =q 为常数,



q=



化为:(2q﹣qμ﹣2+λ) =0, ∴2q﹣qμ﹣2+λ=0,

+[q(λμ﹣2λ﹣4μ+3)﹣(λμ﹣2μ﹣4λ+3)]an﹣q(3λ﹣4λμ)+(3μ﹣4λμ)

q(λμ﹣2λ﹣4μ+3)﹣(λμ﹣2μ﹣4λ+3)=0, q(3λ﹣4λμ)﹣(3μ﹣4λμ)=0,

联立解得 λ=﹣3,μ=1,q=5. ∴λμ=﹣3. 故答案为:﹣3. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.在直角坐标系 xoy 中,不共线的四点 A,B,C,D 满足 求: (1) 的坐标; ,且 , ,

(2)四边形 ABCD 的面积. 【考点】正弦定理;平面向量的坐标运算. 【专题】计算题;转化思想;数形结合法;平面向量及应用. 【分析】(1)由 ,且 A,B,C,D 不共线,可得 ABCD 为平行四边形,记 AC 与 BD 的交点为 O,

根据平面向量的坐标运算即可得解. (2) 由 (1) 可求| |, | |的值, 从而可求 cos∠BAD= , 结合范围 0<∠BAD<π 可求 sin∠BAD

的值,利用三角形面积公式即可求解. 【解答】解:(1)因为 ,且 A,B,C,D 不共线,

所以四边形 ABCD 为平行四边形,记 AC 与 BD 的交点为 O, 则 =(2,3), =(﹣1,﹣1)…6 分 (2)由(1)可知,| |= ,| |= = ,

cos∠BAD=

=

=﹣



因为 sin2∠BAD+cos2∠BAD=1,且 0<∠BAD<π, 所以 sin∠BAD= , || |sin∠BAD= …14 分

故平行四边形 ABCD 的面积为:|

【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算,向量夹角的求法,考查了同角的三角函数关系式的应用, 三角形面积公式的应用,属于基本知识的考查.

16.设向量 =(2cosx,﹣2sinx), = (1)求函数 f(x)的单调增区间和图象的对称中心坐标;

,f(x)= ? .

(2)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(C)=0,c=1,求 a+b 的取值范围. 【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算. 【专题】综合题;数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质;解三角形. 【分析】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f(x)=2 (2x+ cos

)+3,利用余弦函数的图象和性质即可求解函数 f(x)的单调增区间和图象的对称中心坐标; ),求

(2)由 f(C)=0,且 C 为锐角,由余弦函数的图象可求 C,由正弦定理可解得 a+b=2sin(A+ 得 A 的范围,利用正弦函数的性质即可得解. 【解答】解:(1) 所以由 2x+ 由 2x+ ∈[2kπ﹣π,2kπ],k∈Z 可解得 f(x)的单调增区间为 ,k∈Z 可解得对称中心为: , . ,



=kπ+

(2)由 f(C)=0,得 ∵C 为锐角, ∴ ∴ , , .

由正弦定理得,a+b=

=

∴△ABC 是锐角三角形,



,得



所以 从而 a+b 的取值范围为

, .

【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用,考查了正弦函数,余弦函数 的图象和性质,考查了正弦定理在解三角形中的应用,综合性较强,属于中档题.

17.如图所示,有一块半径长为 1 米的半圆形钢板,现要从中截取一个内接等腰梯形部件 ABCD,设梯形 部件 ABCD 的面积为 y 平方米. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设 CD=2x(米),将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设∠BOC=θ(rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式. (Ⅱ)求梯形部件 ABCD 面积 y 的最大值.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法;根据实际问题选择函数类型. 【专题】应用题;函数的性质及应用. 【分析】(Ⅰ)以直径 AB 所在的直线为 x 轴,线段 AB 中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系,过点 C 作 CE 垂直于 x 轴于点 E, ①根据题意,利用 CD=2x,分别得到梯形的上底,下底和高,再利用梯形的面积公式,列出关于 x 的函 数关系,即可得到答案; ②根据题意,利用∠BOC=θ(rad),分别得到梯形的上底,下底和高,再利用梯形的面积公式,列出关 于 x 的函数关系,即可得到答案; (Ⅱ)方法 1:利用①的表达式,将 成 t=﹣x4﹣2x3+2x+1 的最大值,利用导数求出函数的最值,从而确定出 y 的最大值; 方法 2:利用①的表达式,直接对 y=(x+1) 进行求导,利用导数即可求得函数的最值; 的最大值,转化

方法 3:利用②的表达式,对 y=(1+cosθ)sinθ 进行求导,利用导数即可求得函数的最值. 【解答】解:如图所示,以直径 AB 所在的直线为 x 轴,线段 AB 中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系, 过点 C 作 CE 垂直于 x 轴于点 E, (I)①∵CD=2x, ∴OE=x(0<x<1), ∴ , = ,

②∵ ∴OE=cosθ,CE=sinθ, ∴



, , ,

(II)(方法 1)由①可知,y=(x+1) ∴ 令 t=﹣x4﹣2x3+2x+1,

∴t'=﹣4x3﹣6x2+2=﹣2(2x3+3x2﹣1)=﹣2(x+1)2(2x﹣1), 令 t'=0,解得 ∴当 当 ∴当 ∴ymax= ,x=﹣1(舍), 时,t'>0,则函数 t 在(0, )上单调递增, 时,t'<0,则函数在( ,1)上单调递减, 时,t 有最大值 , 平方米. , ,

答:梯形部份 ABCD 面积 y 的最大值为 (方法 2)由①可知,y=(x+1)

∴ 令 y'=0, ∴2x2+x﹣1=0,(2x﹣1)(x+1)=0, ∴ ∵当 当 ∴当 ,x=﹣1(舍),



时,y'>0,则函数 y 在(0, )上单调递增, 时,y'<0,则函数 y 在( ,1)上单调递减, 时, , 平方米.

答:梯形部份 ABCD 面积的最大值为 (方法 3)由②可知,

∴y'=[(sinθ+sinθcosθ)]'=(sinθ)'+(sinθ?cosθ)'=cosθ+cos2θ﹣sin2θ=2cos2θ+cosθ﹣1, 令 y'=0,

∴2cos2θ+cosθ﹣1=0,解得 ∵当 当 ∴当 时,

,即

,cosθ=﹣1(舍), 上单调递增, 上单调递减,

时,y'>0,则函数 y 在 时,y'<0,则函数 y 在 , 平方米.

答:梯形部份 ABCD 面积的最大值为

【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用,解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审 题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题 作出解答,其中关键是建立数学模型.本题以半圆为载体,考查函数模型的构建,关键是腰长表示上底长, 考查了利用导数研究函数最值求法以及运算求解的能力,同时考查一题多解,属于中档题.

18.已知圆 M 的方程为 x2+(y﹣2)2=1,直线 l 的方程为 x﹣2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的 切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为(2,1),过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 CD= 时,求直线 CD 的方程;

(3)经过 A,P,M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请 说明理由. 【考点】直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式. 【专题】综合题;直线与圆. 【分析】(1)设 P(2m,m),代入圆方程,解得 m,进而可知点 P 的坐标. (2)设直线 CD 的方程为:y﹣1=k(x﹣2),由圆心 M 到直线 CD 的距离求得 k,则直线方程可得. (3)设 P(2m,m),MP 的中点 Q(m, ),因为 PA 是圆 M 的切线,进而可知经过 A,P,M 三

点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆,进而得到该圆的方程,根据其方程是关于 m 的恒等式,进而 可求得 x 和 y,得到经过 A,P,M 三点的圆必过定点的坐标. 【解答】解:设 P(2m,m),由题可知 MP=2,所以(2m)2+(m﹣2)2=4,

解之得:m=0 或 m= , 故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P( , ). (2)设直线 CD 的方程为:y﹣1=k(x﹣2),易知 k 存在, 由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 ,所以 ,

解得,k=﹣1 或 k=﹣ ,故所求直线 CD 的方程为:x+y﹣3=0 或 x+7y﹣9=0. (3)设 P(2m,m),MP 的中点 Q(m, ),

因为 PA 是圆 M 的切线,所以经过 A,P,M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为:(x﹣m)2+(y﹣ ﹣1)2=m2+( ﹣1)2, 化简得:x2+y2﹣2y﹣m(2x+y﹣2)=0,此式是关于 m 的恒等式, 故 x2+y2﹣2y=0 且(2x+y﹣2)=0,

解得



所以经过 A,P,M 三点的圆必过定点(0,2)或( , ). 【点评】本题主要考查了圆方程的综合运用.解题的关键是对圆性质的熟练掌握.

19.已知 a>0,f(x)=ax2﹣2x+1+ln(x+1),l 是曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线. (Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)若切线 l 与曲线 y=f(x)有且只有一个公共点,求 a 的值; (Ⅲ)证明对任意的 a=n(n∈N*),函数 y=f(x)总有单调递减区间,并求出 f(x)单调递减区间的长度 的取值范围.(区间[x1,x2]的长度=x2﹣x1) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)根据点 P(0,f(0))为切点,求出 f(0)=1,则 P(0,1),再利用导数的几何意义可 得切线的斜率 k=f′(0),利用点斜式求出切线方程,化简即可得到答案; (Ⅱ)将切线 l 与曲线 y=f(x)有且只有一个公共点,转化为 ax2﹣2x+1+ln(x+1)=﹣x+1 有且只有一个 实数解,令 h(x)=ax2﹣x+ln(x+1),研究 h(x)=0 的解的个数问题,求出 h′(x)=0 的根,对 a 进行 分类讨论,当 a= 时,h(x)=0 只有一个解,符合题意,当 0<a< 时,利用函数的单调性和极值,确定

方程 h(x)=0 有两个根,不符合题意,当 a> 时,利用函数的单调性和极值,确定方程 h(x)=0 有两 个根,不符合题意,综合上述,确定 a 的值; (Ⅲ)求出 ,令 k(x)=2ax2+(2a﹣2)x﹣1,根据 x+1>0,则将 f′

(x)<0 等价于 k(x)=2ax2+(2a﹣2)x﹣1<0,利用二次函数的性质,可知方程 k(x)=0 有两个不同 的根 x1,x2,其中﹣1<x1<x2,确定 f(x)的减区间为[x1,x2],所以化简区间长度为 x2﹣x1= ,

根据 a=n 代入即可得 x2﹣x1= 的长度的取值范围.

,利用单调性确定 x2﹣x1 的取值范围,从而得到 f(x)单调递减区间

【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=ax2﹣2x+1+ln(x+1),且点 P(0,f(0))为切点, ∴f(0)=1, 又 ∴切线的斜率 k=f′(0)=﹣1,又切点 P(0,1), ∴由点斜式可得,y﹣1=﹣1×(x﹣0),即 x+y﹣1=0, ∴切线 l 的方程为 x+y﹣1=0; (Ⅱ)切线 l 与曲线 y=f(x)有且只有一个公共点等价于方程 ax2﹣2x+1+ln(x+1)=﹣x+1 有且只有一个 实数解, 令 h(x)=ax2﹣x+ln(x+1),则 h(x)=0 有且只有一个实数解, ∵h(0)=0, ∴h(x)=0 有一个解为 x=0, 又 , ,

① ∴x=0 是方程 h(x)=0 的唯一解, ∴ ② 列表如下: 符合题意; ,

在(﹣1,+∞)上单调递增,



x h′(x) h(x) ∴

(﹣1,0) + ↗

0 0 极大值 0 ﹣ ↘ 0 极小值 , 上还有一解, + ↗

∴方程 h(x)=0 在 ∴方程 h(x)=0 的解不唯一; ∴0<a< 不符合题意; ③当 列表如下: x h′(x) h(x) ∴ + ↗ , 0 ,

,x2=0,

0 ﹣ ↘ 0 极小值 0

(0,+∞) + ↗

极大值

又当 x>﹣1 且 x 趋向﹣1 时,ax2﹣x<a+1, ∴ln(x+1)趋向﹣∞, ∴h(x)趋向﹣∞. ∴方程 h(x)=0 在 ∴方程 h(x)=0 的解不唯一; ∴a> 不符合题意. 综合①②③,当 l 与曲线 y=f(x)有且只有一个公共点时, (Ⅲ)证明:∵f(x)=ax2﹣2x+1+ln(x+1), ∴ 令 k(x)=2ax2+(2a﹣2)x﹣1, ∵x>﹣1, ∴f′(x)<0 等价于 k(x)=2ax2+(2a﹣2)x﹣1<0, , ; 上还有一解,

∵△=(2a﹣2)2+8a=4(a2+1)>0,对称轴 >0, ∴k(x)=0 有两个不同的解设为 x1,x2,其中﹣1<x1<x2,且 ∴当 x∈(x1,x2)时,f′(x)<0, ∴y=f(x)的减区间为[x1,x2], ∴

,k(﹣1)=2a﹣(2a﹣2)﹣1=1







∴当 a=n(n∈N*)时,区间长度 ∴减区间长度 x2﹣x1 的取值范围为 ].



【点评】本题考查了导数的几何意义,导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率,解题时要 注意运用切点在曲线上和切点在切线上.考查了利用导数研究函数的极值,求函数极值的步骤是:先求导 函数,令导函数等于 0,求出方程的根,确定函数在方程的根左右的单调性,根据极值的定义,确定极值 点和极值.过程中要注意运用导数确定函数的单调性,一般导数的正负对应着函数的单调性.根据极值和 单调性确定函数的简图,利用数形结合的数学思想方法求解交点个数问题.属于中档题.

20.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{bn}是等比数列. (1)若 cn=(an+1﹣an)bn(n∈N*),求证:{cn}为等比数列; (2)设 cn=anbn(n∈N*),其中 an 是公差为 2 的整数项数列,bn= 且当 n≥17 时,{cn}是递减数列,求数列{an}的通项公式; (3) 若数列{cn}使得 是等比数列, 数列{dn}的前 n 项和为 , 且数列{dn}满足: 对任意 n≥2, ,若 c5>2c4>4c3>8c2>16c1,

n∈N*,或者 dn=0 恒成立或者存在正常数 M,使 <|dn|<M 恒成立,求证:数列{cn}为等差数列. 【考点】数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 【专题】点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】(1)设等差数列{an}的公差 d≠0,等比数列{bn}的公比 q≠0,由于 cn=(an+1﹣an)bn=dbn,即可 证明 为非 0 常数;

(2))由于 an 是公差为 2 的整数项数列,可得 an=a1+2(n﹣1)∈Z.利用 cn=anbn(n∈N*),bn= 可得 .利用 c5>2c4>4c3>8c2>16c1,可得:



.又当 n≥17 时, ,

{cn}是递减数列,可得 cn>cn+1,得到 a1>26﹣2n,因此 a1>26﹣2×17=﹣8.可得: 又 a1∈Z,可得 a1=﹣7,﹣6,﹣5. 即可得出 an. (3))(i)n≥2,当 dn=0 恒成立时,数列{dn}的前 n 项和为 为零的等差数列,即可得出结论. (ii)n≥2,dn= = .由数列{cn}使得 是等比数列,可得

=0,cn=an,利用数列{an}是公差不

=k 为常数,

(s 为非 0 常数),得到 dn=t



由于 n≥2,存在正常数 M,使 <|dn|<M 恒成立.可得 n≥2,存在正常数 M,使 <|

|<M 恒成立,于

是存在常数 p 使得 cn=pan,而数列{an}是公差不为零的等差数列,∴此时数列{cn}也是等差数列. 【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差 d≠0,等比数列{bn}的公比 q≠0, ∵cn=(an+1﹣an)bn=dbn, 则 = =q≠0,

因此{cn}为等比数列; (2)∵an 是公差为 2 的整数项数列,∴an=a1+2(n﹣1)∈Z. ∵cn=anbn(n∈N*),bn= ∴ ∵c5>2c4>4c3>8c2>16c1, ∴由 c5>2c4 可得, 同理可得 综上可得: ,a1<﹣ , . . ,解得 , , .

又当 n≥17 时,{cn}是递减数列,

∴cn>cn+1, ∴ 化为 a1>26﹣2n, ∴a1>26﹣2×17=﹣8. 综上可得: , ,

又 a1∈Z,∴a1=﹣7,﹣6,﹣5. ∴an=2n﹣9,或 2n﹣8,或 2n﹣7. (3)(i)n≥2,当 dn=0 恒成立时,数列{dn}的前 n 项和为 =0,cn=an,

∵数列{an}是公差不为零的等差数列,∴此时数列{cn}也是等差数列. (ii)∵当 n≥2 时,dn= = .

∵存在数列{cn}使得

是等比数列,



=k 为常数,



(s 为非 0 常数),∴dn=t



∵n≥2,存在正常数 M,使 <|dn|<M 恒成立, ∴n≥2,存在正常数 M,使 <| |<M 恒成立,

∴存在常数 p 使得 cn=pan,而数列{an}是公差不为零的等差数列,∴此时数列{cn}也是等差数列. 【点评】本题综合考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式及其性质,考查了推理能力和计算能力, 考查了灵活解决问题的能力,属于难题.


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