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陕西省西工大附中2013届高三第二次适应性训练数学理试题(学生版)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练 数 学(理科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
2 1.已知集合 P= y y ? ? x ? 2, x ? R , Q ? y y ? ? x ? 2, x ? R ,则 P ? Q ? (

r />?

?

?

A.(0,2),(1,1) A. 2 ? 2i

B.{1,2}

C.{(0,2),(1,1)}

? D. ? x x ? 2?

)

2.已知方程 x2 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 ? a ? R ? 有实根 b ,且 z ? a ? bi ,则复数 z 等于( B. 2 ? 2i C. ?2 ? 2i D. ?2 ? 2i ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.若向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为( ? 2? 3? 5? A. B. C. D. 2 3 4 6 4.若一个三棱柱的底面是正三角形,其正(主)视图如图所示,则它的体积 为( ) A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 4 5.已知 m 和 n 是两条不同的直线,? 和 ? 是两个不重合的平面,那么下面给 出的条件中一定能推出 m ? ? 的是( ) B. m ∥ n ,且 n ? ? D. m ?
2

) )

1

1

1

? C. ? ? ? ,且 m ∥ ?
A. ? ? ? ,且 m

n ,且 n ∥ ?

y2 ? 1的离心率为( ) m 3 3 5 3 A. B. 5 C. 或 D. 或 5 2 2 2 2 7. 右图是两组各 7 名同学体重 (单位:kg ) 数据的茎叶图. 1 ,2 两组数据的平均数依次为 x1 和 x2 , 设
6.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ? 标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么( (注:标准差 s ? )
1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 , 其 中 x 为 ] n x1 , x2 , ?, xn 的平均数)

A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2
2

B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2 ) B. (?2, ?1) 和 (0,1) D. (?1, 0) 和 (1,3)

8.已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 1 的定义域为 (?2,3) ,则函数 y ? f (| x |) 的单调递增区间是( A. (??, ?1) 和 (0,1) C. (?3, ?1) 和 (0,1)

ì x? ? ? 9.若整数 x, y 满足 ? x + í .. ? ? ? y? ? ?
A.1 B.2

y 1 y 1 ,则 2x + y 的最大值是(
3 2



C.5

D.6.5 )

10.为了得到函数 y = log2 A.纵坐标缩短到原来的

x - 1 的图象,可将函数 y = log2 x 的图象上所有的点的(

1 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2 1 B.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2
1

C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填写在答题卡相应的位置) 11.已知 ( x ? 1)10 ? a1 ? a2 x ? a3 x2 ? ? ? a11 x10 .且数列 a1 , a2 , a3 ,?, ak 是一个单调递增数列,则 k 的最 大值是 ; 12 . 在 面 积 为 9 的 正 方 形 ABCD 内 部 随 机 取 一 点 P , 则 能 使 ?PAB 的 面 积 大 于 是 ; 13.在△ ABC 中, BC ? 3 , AC ? 2 , A ? 14.若 f ?(3) ? 2 ,则 lim
x ?1

3 的概率 2

f (3) ? f (1 ? 2 x) ? x ?1

π ,则 B ? __ 3


__;

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A 不等式选做题) ( 若存在实数 x 使 x ? m ? x ? 1 ? 2 成立, 则实数 m 的取值范围是 ;

1 ? ?x ? t ? B(坐标系与参数方程)曲线 ? ? 3cos ? 与 ? ; t 交点的个数为: ?y ?1 ? C.如图,直线 PC 与圆 O 相切于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,弦 CD ⊥ AB 于点 E , PC ? 4 , PB ? 8 ,则 CE ? .
三.解答题(共 6 个小题,共 75 分) 16(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos ( x ? ) ? sin x .
2 2

π 6

(Ⅰ)求 f (

π ) 的值; 12 π 2

(Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? c ,求实数 c 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)如图,矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相垂直, MB ∥ NC , MN ? MB ,且 MC ? CB , BC ? 2 , MB ? 4 , DN ? 3 . (Ⅰ)求证: AB // 平面 DNC ; (Ⅱ)求二面角 D ? BC ? N 的余弦值.

2

18. (本小题满分 12 分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概

3 ,乙能答对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试,答对一 5 题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选.
率都是 (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

19. (本小题满分 12 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,S3 = a4 + 6 , a1 , a , 1 且 a 4 3 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

1 (Ⅱ)求数列 { } 的前 n 项和公式. Sn

y

A

M

C x

O

F

B

20. (本小题满分 13 分)已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点. (Ⅰ)若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率; (Ⅱ)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C ,求四边形 OACB 面积的最小值.

??? ?

??? ?

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,其中 a 为常数,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 ? 0, e? 上的最大值为 ?3 ,求 a 的值; (Ⅲ)当 a ? ?1 时,判断方程 | f ( x) |? 根的个数.

ln x 1 ? 是否有实根?若无实根请说明理由,若有实根请给出 x 2

3


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