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高二数学-空间图形的表面积和体积


空间图形的表面积和体积

一、知识回顾
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台

侧面展开图

侧面积公式

S 圆柱侧=2πrl

S 圆锥侧=πrl

S 圆台侧=π(r+r′)l

2.空间几何体的表面

积和体积公式 名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 表面积 S 表面积=S 侧+2S 底 S 表面积=S 侧+S 底 体积 V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ 3 S上S下) h 球 S=4πR2 4 V= πR3 3

台体(棱台和圆台)

S 表面积=S 侧+S 上+S 下

[探究] 1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系? 提示:

2.如何求不规则几何体的体积? 提示:常用方法:分割法、补体法、转化法.通过计算转化得到基本几何体的体积来实 现. [自测· 牛刀小试] 1.棱长为 2 的正四面体的表面积是( A. 3 C.4 3 ) B.4 D.16

2.(2012· 上海高考)一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2π,该圆柱的表面积为________. 3.(教材习题改编)一个球的半径扩大为原来的 3 倍,则表面积扩大为原来的______倍; 体积扩大为原来的______倍. 4.(2012· 辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

5.(教材习题改编)如图,用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒 的容积是________.

二、例题导入
几何体的表面积

[例 1] (2012· 北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(

)

A.28+6 5 C.56+12 5

B.30+6 5 D.60+12 5

—————

—————————————— 由三视图求几何体表面积的方法步骤

根据三视图 确定几何体 利用有关 ― → ― → 画出直观图 的结构特征 公式计算

1.(2013· 马鞍山模拟)如图是一个几何体的三视图,则它的表面积为(

)

A.4π C.5π

15π B. 4 17π D. 4

几何体的体积

[例 2] (1)(2012· 湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为(

)

8π A. 3 10π C. 3

B.3π D.6π

(2)(2012· 安徽高考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是________.

—————

—————————————— 由三视图求解几何体体积的解题策略

以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构 成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.

2.(2012· 新课标全国卷)如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几 何体的三视图,则此几何体的体积为( )

A.6 C.12

B.9 D.18 )

3.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(

2π A.8- 3 C.8-2π

π B.8- 3 2π D. 3

与球有关的切、接问题

[例 3] (2012· 新课标全国卷)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. C. 2 6 2 3 B. D. 3 6 2 2 )

—————

—————————————— 与球有关的切、接问题的解题策略

解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和

数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以 及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.

4.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2,则这个四棱锥的外接球的表面积为 ( ) A.12π C.72π B.36π D.108π

3 个步骤——求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤

3 种方法——求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接根据相关的体积公式计算. (2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易, 或是求出一些体积比等. (3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算 体积的几何体. 1 种数学思想——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法 计算旋转体的侧面积时, 一般采用转化的方法来进行, 即将侧面展开化为平面图形, “化 曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.

创新交汇——空间几何体中体积的最值问题

1.求空间几何体的体积一直是高考考查的重点,几乎每年都考查,既可以与三视图结 合考查,又可以单独考查.而求空间几何体体积的最值问题,又常与函数、导数、不等式等 知识交汇考查. 2.求解空间几何体最值问题,可分为二步:第一步引入变量,建立关于体积的表达式; 第二步以导数或基本不等式为工具求最值. [典例] (2012· 湖北高考(节选))如图 1,∠ACB=45° ,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂 足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90° (如图 2 所 示).当 BD 的长为多少时,三棱锥 A-BCD 的体积最大?

[名师点评] 解答此题的关键是恰当引入变量 x,即令 BD=x,结合位置关系列出体积的表达式,将 求体积的最值问题转化为求函数的最值问题. [变式训练] 如图, 动点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上. 过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M,N.设 BP=x,MN=y,则函数 y=f(x)的图象 大致是( )

三、课后练习
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π, 则圆台较小底面的半径为( A.7 C.5 ) B.6 D.3

2.(2013· 长春模拟)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图 是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( 3 A. π 2 C.3π B.2π D.4π ) )

3.(2012· 广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(

A.72π C.30π

B.48π D.24π

S1 4.(2013· 广州模拟)设一个球的表面积为 S1,它的内接正方体的表面积为 S2,则 的值 S2 等于( 2 A. π ) 6 B. π

π C. 6

π D. 2 )

5.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

6.已知正方形 ABCD 的边长为 2 2,将△ABC 沿对角线 AC 折起,使平面 ABC⊥平面 ACD,得到如图所示的三棱锥 B-ACD.若 O 为 AC 边的中点,M,N 分别为线段 DC,BO 上的动点(不包括端点),且 BN=CM.设 BN=x,则三棱锥 N-AMC 的体 积 y=f(x)的函数图象大致是( )

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2012· 安徽高考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是________.

8.(2012· 江苏高考)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm, 则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为________cm3.

9.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的外接球的表面积为________.

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.(2013· 杭州模拟)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90° ,∠ADC=135° ,AB =5, CD=2 2, AD=2, 求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

11.(2013· 郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 1 的平行 四边形,侧视图是一个长为 3,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩 形.

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S.

选做题 1.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,且正视图、侧视图都是矩形,则该 几何体的体积是( )

A.24 C.8

B.12 D.4 )

2.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是(

A.32 C.48

B.16+16 2 D.16+32 2

3.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是________. 4.如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2 cm,高为 5 cm,则一质点自点 A 出发,沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为________cm.


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