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江苏省阜宁中学、大风中学2013届高三上学期期中联考数学试题(强化班)


江苏省阜宁中学、大风中学 2013 届高三上学期期中联考 数学试题(强化班)
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. 已知集合 A ? ? ? 1,1, 3, 5 ? , B ? ? x | x 2
? 4 ? 0, x ? R?

,则 A ? .
? 2

B

= ★

/>
.

2. “对一切 x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 恒成立”的否定是


2

3. 已知抛物线 ★ .
? ? ?

y

2

? 2 p x 的准线与双曲线 x ? y
2

左准线重合,则
? ?

p

的值为

4. 设向量 a , b , c 满足

? ? ? ? ? a ? 1, b ? 2 , c ? a ? b
? ? 1 3

且c

?

? ? a

, 则向量 a 与 b 的夹角为 的值为 ★ .



.

5. 已知等比数列 ? a n ? 的公比 q
6. 函数 f ( x ) ? (1 ?
3 ta n x ) c o s x

,则

a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 a2 ? a4 ? a6 ? a8

的最小正周期为



. ★ .

7. 已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? xy ,则 u ? x ? 4 y 的取值范围是

8. 已知 s in ? ?

? ?

??

2 ta n ? 7 , ? 3 ta n ? 13

,则 sin ? ?

??

?= ★ .
.
? x ? 5y

9. 函数 f ? x ? ? 10.

lg x ? x ? 2

的零点个数为



?y≥ x ? 设 m ? 1 在约束条件 ? y ≤ m x ?x ? y≤1 ?

下,目标函数 z

的最大值为 4,则 m 值

为 ★. 11. 已知函数 f ? x ? ? 12. 已知 O A
???? OC
??? ?

2 ?1
x

??? ? ???? ??? ? ??? ? 2 ? 4, O B ? 2, ? A O B ? ? , O C ? xO A ? yO B ? x, y ? R 3

2 ?1
x

,

设a,b ?

R

,且 f ? a ? ?

f ? b ? 1? ? 0

,则 a ? b = ★
? 且x ?

.

2 y ? 1 ,则

最小值是



.

13. 已知数列 ?a n ? 是首项为 15、公差为整数的等差数列,前 n 项的是 S n ,
S 1 1 ≥ 0 ,S 1 2 ? 0

, S n 的最大值是 S,函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(5-x)对任意实

数 x 都成立,且 y=f(x) 的所有零点和恰好为 S,则 y=f(x)的零点的个数为 ★ . 14. 已知函数 f ? x ? ? x 3 ? 3 x , 若过点 A ? 1, m ? ? m ? ? 2 ? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切 线,则实数 m 的取值范围为 ★ .

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本小题满分 14 分)

1

已知
m ? ?s i n B

?ABC
?1 ,

的三个内角

A, B , C

对应的边长分别为
2

a,b, c

,向量

B ?o与向量 n ? ? 2 , 0 ? c s

的夹角 ? 的余弦值为 1 .

⑴求角 B 的大小; ⑵若 b ? 3 ,求 a ? c 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 如图①, , 分别是直角三角形 A B C 边 A B 和 A C 的中点, B ? 9 0 ? , E F 沿 ? E F 将三角形 A B C 折成如图②所示的锐二面角 A1 ? E F ? B ,若 M 为线段 A1 C 中 点.求证: (1)直线 F M
// 平面 A 1 E B
?



(2)平面 A1 F C

平面 A1 B C .

2

17. (本小题满分 15 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的两准线间距离为 6, 离心率 e

?

3 3

.过椭圆上

任意一点 P,作右准线的垂线 PH(H 为垂足) ,并延长 PH 到 Q,使得 ???? ???? P H ? ? H Q( ? > 0 ). F 2 为该椭圆的右焦点,设点 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) . (1)求椭圆方程; (2)当点 P 在椭圆上运动时,求 ? 的值使得点 Q 的轨迹是一个定圆.

18. (本小题满分 15 分) 在一次数学实践活动课上,老师给一个活动小组安排了这样的一个任务:设 计一个方案,将一块边长为 4 米的正方形铁片,通过裁剪、拼接的方式,将它焊 接成容积至少有 5 立方米的长方体无盖容器(只有一个下底面和四个侧面的长方 体). 该活动小组接到任务后,立刻设计了一个方案,如图所示,按图 1 在正方形 铁片的四角裁去四个相同的小正方形后, 将剩下的部分焊接成长方体(如图 2). 请 你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到最大容积, 最大 容积是多少?是否符合要求?若不符合, 请你帮他们再设计一个能符合要求的方 案,简单说明操作过程和理由.

19. (本小题满分 16 分) 各项均为正数的数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , S n
? 1 4 an ?
2

1 2

an (n ? N )

?



3

⑴求 a n ;⑵令 b n ⑶令 b n
? ?q
an

?an , ? ? ? bn , ? 2 ?

n为 奇 数 n为 偶 数

,c n
? 0

?b

2 ?4

n

(n ? N )

?

;求 ? c n ? 的前 n 项和 T n 。 ,

? ?( ?、 q

为常数,q

且q

, ? 1 ) c n ? 3 ? n ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b n )

是否存在实数对 ( ? 、 q ) ,使得数列 ? c n ? 成等比数列? 若存在,求出实数对 ( ? 、 q ) 及数列 ? c n ? 的通项公式,若不存在,请说明理由。

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ? x 2 ( a 为实常数). (1)若 a ? ? 2 ,求证:函数 f ( x ) 在 (1, ?? ) 上是增函数; (2)求函数 f ( x ) 在 ?1 , e ? 上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x ? ?1 , e ? ,使得 f ( x ) ? ( a ? 2 ) x 成立,求实数 a 的取值范围.

4

阜、丰、建高三期中考试(强化班)参考答案
1. ? ? 1,1?
2?

2.

?x ? R, x

2

? x ?1? 0

3. 2 10. 3

4. 11. 1

120

?

5.
2 7 7

?3

6.

7. [9 , ? ? ) 13. 15 个

8.

?

1 5

9. 2

12.

14. ? ? 3, ? 2 ?
? 2 s in B B B cos , s in , n ? 2 ? 1, 0 ? 2 2 2

15. 解:⑴因为 m

?

?

,m
c

? n ? 4 s in

B B cos 2 2


B 2

m ? 2 s in

B , n ? 2 2







? ? o

m ?n s ? m ? n

.

c

o

s

……………………4 分 由 cos
2? 3 B 1 ? ,0 ? ? ? ? 2 2

得B
2

?

?
3

,即 B

?

2? 3

.

……………………7 分 ⑵因为 B
?

,所以 A ? C

?

?
3

.

所以 s in
?

A ? s in C ? s in A ? s in

? ?3 ? A ? ? s in A ? s in ?3 c o s A ? c o s ?3 s in A

3 1 ? s in A ? c o s A ? s in ? A 2 2 3

?

?
2? 3

…………………10
? 3 ? A ? s in C ? ? ,1 ? ? 2 ?

分 又0 分 又a
? c ? b ? s in A ? s in C s in B ? A ?

?
3

,所以 ?

3

?

?
3

? A ?

.

所以 s in

………12

?

? 2 ? s in A ? s in C

?,

所以 a

?c?

?

3,2? ?

.
, NM


……………………14 分 ,
FE
1 2

16. 证明: (1)取 A1 B 中点 N ,连接 N E 则MN


1 2

BC

, EF



BC

,所以 M N



所以四边形 M N E F 为平行四边形,所以 F M ∥ E N ,……4 分 又因为 F M ? 平 面 A1 E B , E N ? 平 面 A1 E B , 所以直线 F M // 平面 A1 E B . ……………………………………………7 分 (2)因为 E , F 分别 A B 和 A C 的中点,所以 A1 F 同理, E N
? A1 B ? FC

,所以 F M

? A1 C

…9 分

,
? A1 B

由(1)知, F M ∥ E N ,所以 F M 又因为 A1 C ? A1 B ? A1 , 所以
F M ? 平 面 A1 B C

, ……………………………12 分
? 平 面 A1 F C ?

又因为 F M
A1 B C

所以平面 A1 F C .

平面

………………………………………14 分
5

17. 解: (1) 分

x

2

?

y

2

?1

………………………………………………………6
? y0

3

2

(2)设 Q 的坐标为 ? x , y ? , H ? 3, y 0 ? ,∴ y ∴3 ?
x0 ? ? ? x ? 3 ?

????

.∵ P H
2

???? ? ? HQ ?? ? 0?

,∴ x 0

? 3? ? 3 ? ? x

…………………………9 分
y
2

又∵ 分

x0 3

2

?

y0 2

2

?1

,∴

? 3?

? 3 ? ? x? 3

2

3? ? 3 ? ? ?x? ? 2 y ? ? ? ? ? 1 ,即 3 2

?

?1

…………12

2

?

2

当且仅当

3

?

2

? 2

,即 ?
6

?

6 2

时,
2

点 Q 在定圆 ? x ? 3 ?

?

2

? y

? 2

上. ……………………………………………15 分

18. 解:(1)设切去的小正方形边长为 x ,则焊接成的长方体的底面边长为 4 ? 2 x , 高为 x , 所以, V 1
? ?4 ? 2x? ? x ? 4 ? x ? 4x ? 4x??0 ? x ? 2?
2 3 2

……………………4 分 , ……………………7 分

∴ V 1? ? 4 ? 3 x 2 解得 x
?

? 8x ? 4?.

令 V 1? ?

0

,即 4 ? 3 x 2

? 8x ? 4? ? 0

2 , x2 ? 2 3

(舍去),

∵ V 1 在 ? 0 , 2 ? 内只有一个极值点, ∴ 当
x ? 2 3

时 ,

V1

取 得 最 大 值

128 128 , ? 5 27 27

, 即 不 符 合 要 求 .

……………………9 分 (2)重新设计方案如下: 如图 3,在正方形的两个角处各切下一个边长为 1 的小正方形;如图 4,将切下 的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图 5,将图 4 焊成长方体容器, 新焊长方体容器底面是一个长方形,长为 3,宽为 2,此长方体容积 V 乙 ? 3 ? 2 ? 1 ? 6 ,显然 V 乙 ? 5 . 故第二种方案符合要求.

……………1 5分 19. 解: (1) a 1 当n
? 2
? S1 ? 1 4 a1 ?
2

1 2

a1 ?
2

1 4

a1 ?
2

1 2
2

a1 ? 0
1 2

,∵ a 1
a n ?1

? 0

,∴ a 1

? 2



时, a n

? S n ? S n ?1 ?

1 4

an ?

1 2

an ?

1 4

a n ?1 ?



6

1 4

( a n ? a n ?1 ) ?
2 2

1 2

( a n ? a n ?1 ) ? 0
? a n ?1 ? 2
?

,即 ( a n

? a n ?1 ) ( a n ? a n ?1 ? 2 ) ? 0

∵an

? 0

,∴ a n

,∴ ? a n ? 为等差数列, (4 分) , ,
?b
3

(2 分)

∴ an ? 2n (n ? (2) c 1 ? b 6 ?

N )



b3 ? a 3 ? 6

c 2 ? b 8 ? b 4 ? b 2 ? b1 ? a 1 ? 2

(6 分)
2
n?2

n ? 3 时, c n ? b

2 ?4
2

n

?b

2

n ?1

?2

?1

? a

2

n?2

?1

? 2

n ?1

?2,
n

(8 分) ;

此时, T n

? 8 ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? ? (2

n ?1

? 2) ? 2 ? 2n

6, n ? 1 ? ? 8, n ? 2 ∴Tn ? ? ? 2 n ? 2 n , n ? 3且 n ? N ?


?

(10 分)
?q
2 2

(3) c n

? 3? n?
2

? q (1 ? q
2

2n

)

1? q

2

? ?n ? 3?

1? q

?

?q

2n?2 2

1? q

? ( ? ? 1) n



? ?q ? ? ? ?1 ? 0 ?3 ? ? 2 ? ? 令? 1 ? q 3 ? ?q ? ? ? 2 ? ? ?1? 0



(14 分)

∴存在 ( ? , q )

? ( ? 1, ?
? ?2

3 2

)

, cn

? 4 ?(

3 4
2

)

n ?1



(16 分) ,当 x ? (1, ?? ) ,
f ?( x ) ? 2( x
2

20. 解: (1)当 a 故函数 分 (2)
f (x)

时,

f (x) ? x

? 2 ln x

? 1)

? 0



x

在 (1, ?? ) 上是增函数.………………………………………………4
2x
2

f ?( x ) ?

? a

( x ? 0)

,当 x ? [1, e ] , 2 x 2

? a ? [a ? 2, a ? 2e ]

2



x

若 a ? ? 2 , f ? ( x ) 在 [1, e ] 上非负 (仅当 a ? ? 2 , x=1 时, f ? ( x ) ? 0 ) 故函数 f ( x ) , 在 [1, e ] 上是增函数,此时 [ f ( x )] min ? f (1 ) ? 1 . ……………………………………6 分 若? 时
f (x)
? a 2 ? a 2
2e
2

? a ? ?2

,当 x

?

? a 2

时,

f ?( x ) ? 0

;当 1 ?

x ?

? a 2

时,

f ?( x ) ? 0

,此

是减函数; 当
? a 2 ln( ? a 2 )? a 2
? ?2e
2

? x ? e

时,f ? ( x ) ? 0 , 此时

f (x)

是增函数. [ f ( x )] min 故

? f (

)



, f ? ( x ) 在 [1, e ] 上非正(仅当 a ? ? 2 e 2 ,x=e 时, f ? ( x ) ? 0 ) ,故函 数 在 上 是 减 函 数 , 此 时 f (x) [1 , e ] 2 [ f ( x )] min ? f ( e ) ? a ? e .…………………………………8 分 综上可知, a ? ? 2 时, f ( x ) 的最小值为 1, 当 相应的 x 值为 1; ? 2 e 2 ? a ? ? 2 当 时, f ( x )
7

若a

的最小值为
a ? e
2

a 2

ln( ?

a 2

)?

a 2

,相应的 x 值为

? a 2

;当 a

? ?2e

2

时,

f (x)

的最小值为



相应的 x 值为 e . …………………………………………………………………10 分 (3)不等式 f ( x ) ? ( a ? 2 ) x , 可化为 a ( x ? ln x ) ? x 2 ? 2 x . ∵ x ? [1, e ] , ∴ ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 , 因而 a 分 令 g (x) ?
x
2

?

x

2

? 2x

x ? ln x

( x ? [1, e ] )…………………………………………………………12
( x ? 1 )( x ? 2 ? 2 ln x ) ( x ? ln x )
2

? 2x

x ? ln x

( x ? [1, e ] ) ,又 g ? ( x ) ?

,………………14 分

当 x ? [1, e ] 时, x ? 1 ? 0 , ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 , 从而 g ? ( x ) ? 0 (仅当 x=1 时取等号) ,所以 g ( x ) 在 [1, e ] 上为增函数, 故 g ( x ) 的最小值为 g (1) ? ? 1 , 所以 a 的取值范围是 [ ? 1, ?? ) . ……………………16 分

8


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