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高中数学定积分的概念教案新人教版选修2-2


§1.5.3 定积分的概念
教学目标: 1. 通 过 求 曲 边 梯 形 的 面 积 和 汽 车 行 驶 的 路 程 , 了 解 定 积 分 的 背 景 ; 2. 借 助 于 几 何 直 观 定 积 分 的 基 本 思 想 ,了 解 定 积 分 的 概 念 ,能 用 定 积 分 定 义 求简单的定积分; 3. 理解掌握定积分的几何意义. 教学重点:定 积 分 的 概 念

、 用 定 义 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 教学难点:定 积 分 的 概 念 、 定积分的几何意义. 教学过程: 一.创设情景 复习: 1. 回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤: 分割→近似代替(以直代曲) →求和→取极限(逼近) 2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点. 二.新课讲授 1.定积分的概念 一般地,设函数 f ( x) 在区间 [ a, b ]上连续,用分点

a = x 0 < x1 < x 2 < L < x i- 1 < x i < L < x n = b
将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 D x ( D x =

b- a ) ,在每个小区间 n

L ,n ) ,作和式: [x i- 1 ,x i ]上任取一点 xi (i = 1,2,

Sn =

邋f (xi )D x =
i= 1

n

b- a f (xi ) n i= 1
)时,上述和式 S n 无限趋近于常数 S ,那么称该

n

如果 D x 无限接近于 0 (亦即 n ?

常数 S 为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分。记为: S = 其中

òa

b

f (x ) dx



ò-

积分号,b -积分上限,a -积分下限, f ( x) -被积函数,x -积分变量, [ a, b]
b

x) dx -被积式。 -积分区间, f (
说明: (1)定积分 为

òa

f (x ) dx 是一个常数,即 S n 无限趋近的常数 S ( n ?

时)记

òa

b

f (x ) dx

,而不是 S n .

(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 [a ,b ];②近似代替:取 点 xi ? [x i- 1 ,x i ]; ③求和:

? i

b b- a i m ④取极限: f (xi ); òa f (x )dx = nl? n =1

n

b- a f (xi ) ? n i
=1

n

(3)曲边图形面积: S =

òa f (x )dx ;变速运动路程 S = òt

b

t2

v( t) dt ;变力做功

1

W =

òa

b

F (r) dr

2.定积分的几何意义

-1-

b ]上函数 f (x )连续且恒有 f (x )? 0 ,那么定积分 从几何上看,如果在区间 [a ,

òa f (x )dx 表示由直线 x = a,x = b (a ? b ),y
(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分 说明:一般情况下,定积分
b

b

0 和曲线 y = f (x ) 所围成的曲边梯形

òa f (x )dx 的几何意义。

òa

b

f (x ) dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直

线 x = a ,x = b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积 去负号。 分析:一般的,设被积函数 y = f (x ) ,若 y = f (x ) 在 [a, b] 上可取负值。

D x + L + f (x n )D x 考察和式 f (x1 ) D x + f (x 2 ) D x + L + f (x i )

L ,f (x n )< 0 不妨设 f (x i ),f (x i+ 1 ),
于是和式即为

f (x1 )D x + f (x 2 )D x + L + f (x i- 1 )D x - {[ - f (x i )D x ]+ L + [ - f (x n )D x ]}
\

òa

b

f (x ) dx = 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积)

思考:根据定积分的几何意义,你能用定积分表示图中阴影部分的面积 S 吗?

3.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4
b

òa

b

kdx = k ( b - a );
b a

蝌kf (x )dx = k
a b

b

; f (x ) dx (k 为常数)(定积分的线性性质)
b a

dx 蝌[f1 (x )? f2 (x )]
a

f1 (x ) dx
b c
a

b a

; f2 (x ) dx (定积分的线性性质)

蝌f (x )dx =
a
a b

b

c a

f (x ) dx +

f (x ) dx (其中a < c < b ) (定积分对积分区

间的可加性) (1)
b

f (x ) dx = 蝌 a

f (x ) dx ; (2)

òa f (x )dx = 0 ;
b a

说明:①推广:

蝌[f1 (x )北f2 (x ) L ? fm (x )]dx
a

f1 (x ) dx 北蝌f2 (x ) dx
a

b

L

b a

fm (x )

-2-

②推广:

f (x ) dx = 蝌 a

b

c1 a

f (x ) dx +

f (x ) dx + L + 蝌 c
1

c2

b ck

f (x ) dx
性质 4

③性质解释:
y

性质 1
y=1

y A

B C

O

a

b

x

M O a P b

N x

S 曲边梯形A M N B = S 曲边梯形A M PC + S 曲边梯形C PN B
三.典例分析 例 1.利用定积分的定义,计算 分析:令 f (x )= x ; (1)分割
3

ò

1

0

x 3dx 的值。

1]n 等分,则第 i 个区间为: 犏 把区间 [0,

轾 i- 1 i , (i = 1,2, L ,n ),每个小区间长度为: 犏 臌n n

Vx =

i i- 1 1 = ; n n n

(2)近似代替、求和 取 xi =

i (i = 1,2, L ,n ),则 n n 1 i 3 x dx ? S f ( )? Vx 邋 n ò0 n i= 1
1

i 1 ( )? n i= 1 n
2

n

3

1 1 1骣 1÷ 2 i = 4 n 2 (n + 1) = ? ?1 + ÷ 4 桫 n÷ n i= 1 n 4 4? 1
n
3

2

(3)取极限

ò

0

x 3dx = l i m Sn = l i m
n? n?

1骣 1 1 ? 1+ ÷ = . ÷ ? ÷ ? 4桫 n 4

例 2.计算定积分

ò

2

1

(x + 1) dx

分析:所求定积分是 x = 1,x = 2,y = 0与y = x + 1 所围成的梯形面积,即为如图 y 5 阴影部分面积,面积为 。

2

-3-

O

1

2

x

即:

ò

2

1

(x + 1) dx =

5 2

思考:若改为计算定积分

ò

2

- 2

(x + 1) dx 呢?

改变了积分上、下限,被积函数在 [ - 2,2]上 出现了负值如何解决呢?(后面解决的问题) 例3.计算定积分

ò

1

0

(2x - x 2 ) dx (2x 蝌
1 0 1

分析:利用定积分性质有, 利用定积分的定义分别求出 四.课堂练习 计算下列定积分 1. 2.

x2) dx = 2
1 0

1 0

xdx -

1 0

x 2dx
1

ò

0

dx 的值。 xdx , ò x 2dx ,就能得到 ò (2x - x 2 )
0
5

ò ò

5

0 1

(2x - 4) dx

ò
ò
1 - 1

0

(2x - 4) dx = 9 - 4 = 5
1 1 创 1 1+ 创 1 1= 1 2 2

- 1

x dx

x dx =

3.课本练习:计算

ò

2

0

x 3dx 的值,并从几何上解释这个值表示什么?

五.回顾总结 1 . 定 积 分 的 概 念 、 用 定 义 法 求 简 单 的 定 积 分 、 定积分的几何意义. 六.布置作业 P50 3、5 一、定义法 例 1 用定义法求 的值. 分析:用定义法求积分可分四步:分割,以曲代直,作和,求极限. 解: (1)分割:把区间[0,2] 分成 n 等分,则△x= . (2)近似代替:△ (3)求和: . (4)取极限:S=[试卷由星火资源网 http://www.jgzyw.com 整理发布,版权归原作者所 有。 ] 您好!您正在查阅的资料来自星火资源网高考站 http://www.jgzyw.com/ 资料地 址 :http://www.jgzyw.com/mianfeishijuan/shuxueshiti/gaozhongjiurenjiaoban/gaoershuxueshiti/4 5/13372.html

-4-


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