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正弦定理与余弦定理例题及练习


解三角形
正弦定理(一)

?1? 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C ? 2 R ,
(2)推论:正余弦定理的边角互换功能
① a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ② sin A ? ③

a

b

r />c

a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

a b c a?b?c ? ? = = 2R sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

④ a : b : c ? sin A : sin B : sin C

典型例题:
1.在△ABC 中,已知 a ? 5 2 , c ? 10, A ? 300 ,则∠B 等于( A. 1050 B. 600 C. 15
0 0 0 D. 105 或15



2.在△ABC 中,已知 a ? 6, b ? 2, A ? 600 ,则这样的三角形有_____1____个.

2 sin A ? sin B 的值. sin C a sin A 1 1 ? ∴ sin A ? sin C 解 由条件 ? c sin C 5 5 1 3 2 ? sin C ? sin C 3 2 sin A ? sin B 1 5 5 同理可得 sin B ? sin C ∴ = =? 5 sin C 5 sin C
3.在△ABC 中,若 a : b : c ? 1 : 3 : 5 ,求

练习:
一、 选择题
0 0 0 0

1.一个三角形的两内角分别为 45 与 60 ,如果 45 角所对的边长是6,那么 60 角所对的边的边长为( A. 3 6 B. 3 2 C. 3 3 D. 2 6 )

) .

2.在△ABC 中,若其外接圆半径为R,则一定有( A.

a b c ? ? ? 2R B. a sin B ? 2 R sin A sin B sin C C. sin A ? 2aR D. b ? R sin B a b ? 3.在△ABC 中, ,则△ABC 一定是( ) cos B cos A
A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 解:在△ABC 中,∵ B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

a b ? ,∴ a cos A ? b cos B ,由正弦定理, cos B cos A
1 / 28

得 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B,∴ sin 2 A ? sin 2 B 。 ∴2A=2B 或 2A+2B=180°,∴A=B 或 A+B=90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 二、填空题 4.在△ABC 中,已知 a ? 8, b ? 6, 且S△ABC= 12 3 ,则C=_ 600 或1200 ______ 5.如果

1 ? cos A a ? ,那么△ABC 是__等腰三角形_____ 1 ? cos B b B 的值. 2
∴ sin B ?

三、解答题 6.在△ABC 中,若AB=2,BC=5,面积S△ABC=4,求 sin 解 由条件 c ? 2, a ? 5, S△ABC=

1 1 ac sin B ? ? 5 ? 2 sin B ? 5 sin B ? 4 2 2

4 5

当 B 为锐角时, cos B ?

3 1 ? cos B 1 B 5 2 B ? ? ∴ sin ? 由 sin 5 2 2 5 2 5 3 1 ? cos B 4 B 2 5 2 B ? ? ∴ sin ? 由 sin 5 2 2 5 2 5

当 B 为钝角时, cos B ? ?

7.在△ABC 中, a, b, c, 分别为内角A,B,C的对边,若 b ? 2a, B ? A ? 600 ,求A的值. 解∵B=A+ 600 ∴ sin B ? sin(A ? 600 )

sin ? B

1 3 s i nA ? cos A 2 2

又 b ? 2a,2R sin B ? 4 R sin A ∴ 2 sin A ?

∴ sin B ? 2 sin A

1 3 sin A ? cos A 2 2
3 , 又∵ 0 0<A<1800 3

3 s i nA ? 3 c o s A

∴ tan A ?

∴ A ? 30

0

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b a b sin A sin B sin A 2 sin B 2 ? ? ) ?( ) 解:. ? ?( sin A sin B a b a b
8.在△ABC 中,求证:

?

sin 2 A sin 2 B 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b

1.1.1.正弦定理(二)
2

三角形的面积公式:
(1) s ?

1 1 1 ab sin C = bcsin A = ca sin B 2 2 2

(2)s= 2R 2 sin A sin B sin C

(3) s ?

abc 4R

典型例题:
【例 1】 .在△ABC 中,已知 b ?

2 , c ? 1, B ? 450 ,则 a 的值为 (
C. 2 ? 1 D. 3 ? 2



A.

6? 2 2

B.

6? 2 2

【例 2】 .在△ABC 中,已知 a ? 5, B ? 1050 , C ? 150 ,则此三角形的最大边长为_________ 答案:

15 2 ? 5 6 6

【例 3】 .△ABC 的两边长分别为 3cm,5cm,夹角的余弦是方程 5x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 的根,求△ABC 的面积. 解
2 设两边夹角为α ,而方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的两根 x1 ? 2, x2

? ?3/ 5

∴ cos ? ? ?

3 2 4 3 1 4 ? 3 ? 5 ? ? 6cm 2 ∴ sin ? ? 1 ? ( ) ? ∴S△ABC= 5 2 5 5 5
a 的范围。 b

【例 4】在锐角三角形 ABC 中,A=2B, a 、 b 、 c 所对的角分别为 A、B、C,试求 分析:本题由条件锐角三角形得到 B 的范围,从而得出

a 的范围。 b

? B ? 900 ? 【解】在锐角三角形 ABC 中,A、B、C<900,即: ? 2 B ? 900 ? 300 ? B ? 450 , ?1800 ? 3B ? 900 ?
由正弦定理知:

a sin A sin 2 B ? ? ? 2 cos B ? b sin B sin B

?

2 , 3 ,故所求的范围是:

?

?

2, 3 。

?

练习:
一、选择题 1.在△ABC 中,已知 a ? 8, B ? 60 , C ? 75 ,则 b 等于(
0 0



A. 4 2

B. 4 3

C. 4 6

D.

32 3
)

2. 在△ABC 中, 已知 a ? xcm, b ? 2cm, B ? 45 , 如果利用正弦定理解三角形有两解, x 的取值范围是 ( 则
0

<x< 2 2 A. 2

<x ? 2 2 B. 2

C. x> 2

D. x< 2

3

3.△ABC 中,若 sinA:sinB:sinC=m:(m+1):2m, A. (0,+∞) B. (

则 m 的取值范围是(



1 ,+∞) C. (1,+∞) D. (2,+∞) 2 1 4.在△ABC 中,A 为锐角,lgb+lg( )=lgsinA=-lg 2 , 则△ABC 为( ) c
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

二、填空题 5.在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 的形状是一定是等腰三角形___ 解法 1:由 2 sin A cos B ? sin C =sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 即 sinAcosB-cosAsinB=0,得 sin(A-B)=0,得 A=B. 解法 2:由题意,得 cosB=

a2 ? c2 ? b2 sin C c ? ,再由余弦定理,得 cosB= . 2sin A 2a 2ac

a2 ? c2 ? b2 c 2 2 ∴ = ,即 a =b ,得 a=b, 2a 2ac
评注:判断三角形形状,通常用两种典型方法:⑴统一化为角,再判断(如解法 1),⑵统一化为边,再判断(如解 法 2). 6.在△ABC 中,已知 a ? 3 2 , cos C ? 三、解答题 7.已知方程 x 2 ? (b cos A) x ? a cos B ? 0 的两根之积等于两根之和,且 a, b 为△ABC 的两边,A、B 为两内角, 试判断这个三角形的形状 解:由方程两根之积为 a cos B ,方程两根之和为 b cos A ,∴ a cos B ? b cos A 由正弦定理,得 sin A cos B ? sin B cos A
0 0 ∵ ? 180 <A ? B<180

1 ,S△ABC= 4 3 ,则 b ? ___ 2 3 ______ 3

即 sin( A ? B) ? 0 ∴A=B

∴A-B=0

∴三角形为等腰三角形 8.在△ABC 中, a ? c ? 2b, A ? C ? 解 由正弦定理,得 sinA+sinC=2sinB

?
3

,求 sinB 的值。

A?C A?C A?C A?C ? ;C ? ? 2 2 2 2 A?C A?C cos ? 2 sin B 得 2 sin 2 2
由A? 即 sin

A?C ? 3 A?C cos ? sin B 即 sin B ? sin 2 6 2 2

∵A+B+C= ? ∴B= ? -(A+C)

B ? A?C B ? A?C A?C ? ? ) ? sin ∴ cos ? cos( ? 2 2 2 2 2 2 2

4

∴ 2 sin

B B 3 B cos ? cos 2 2 2 2


∵ cos

B ?0 2

sin

B 3 ? 2 4

∴ cos

B 3 13 ? 1 ? ( )2 ? 2 4 4

∴ sin B ? 2 sin

B B 3 13 39 cos ? 2 ? ? ? 2 2 4 4 8 2 5 ,求 5

9、在 ?ABC中,?B ? 45?, AC ? 10, cos C ? (1) BC ? ? 解: (1)由 cos C ?

(2)若点 D是AB的中点,求中线CD的长度。

2 5 5 得 sin C ? 5 5
2 3 10 (cos C ? sin C ) ? 2 10

sin A ? sin(180? ? 45? ? C ) ?

由正弦定理知 BC ? AC ? sin A ? 10 ? 3 10 ? 3 2 sin B 2 10 2 (2) AB ?

AC 10 5 1 ? sin C ? ? ? 2 , BD ? AB ? 1 sin B 2 2 5 2

由余弦定理知 CD ? BD2 ? BC 2 ? 2BD ? BC cos B ? 1 ? 18 ? 2 ?1? 3 2 ? 2 ? 13 2 10、如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . A (1)证明 sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 ? 的值. 解:(1).如图 3,?? ? β B D C α

?
2

? (? ? 2? ) ? 2? ?

?

,? sin ? ? sin(2? ? ) ? ? cos 2 ? , 2 2

?

即 sin ? ? cos 2? ? 0 . (2) .在 ?ABC 中,由正弦定理得
DC AC DC 3DC ? ,? ? .?sin ? ? 3 sin ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? sin ?

由(1)得 sin ? ? ? cos 2? ,?sin ? ? ? 3 cos 2? ? ? 3(1 ? 2sin 2 ? ),

5

即 2 3 sin 2 ? ? sin ? ? 3 ? 0.解得 sin ? ?

3 3 . 或 sin ? ? ? 2 3

?0 ? ? ?

?
2

,? sin ? ?

3 ? ,? ? ? . 2 3

11 如图所示,在等边三角形中, AB ? a, O 为三角形的中心,过 O 的直线交 AB 于 M ,交 AC 于 N ,求

1 1 ? 的最大值和最小值. 2 OM ON 2

3 a, 3 ? ? 2? ?MAO ? ?NAO ? ,设 ?MOA ? ? ,则 ? ? ? , 6 3 3 OM OA 在 ?AOM 中,由正弦定理得: , ? sin ?MAO sin[? ? (? ? ? )] 6 3 3 a a 6 6 ∴ OM ? ,在 ?AON 中,由正弦定理得: ON ?
【解】由于 O 为正三角形 ABC 的中心,∴ AO ?

sin(? ? ) sin(? ? ) 6 6 1 1 12 ? ? 12 1 ? ? [sin 2 (? ? ) ? sin 2 (? ? )] ? 2 ( ? sin 2 ? ) , ∴ OM 2 ON 2 a 2 6 6 a 2 ? 2? 3 ? 1 1 18 ? ∵ ?? ? ,∴ ? sin ? ? 1 ,故当 ? ? 时 取得最大值 2 , 2 2 3 3 4 2 OM ON a ? 2? 3 1 1 15 2 ? 所以,当 ? ? , or 时 sin ? ? ,此时 取得最小值 2 . 2 2 3 3 4 OM ON a

?

?



1.1.2.余弦定理(一)
? b2 ? c2 ? a 2 , ?cos A ? 2bc 2 2 2 2 ? a ? b ? c ? 2bc cos A, ? a2 ? c2 ? b ? 2 ? 2 2 , 余弦定理: ?b2 ? a2 ? c 2 ? 2ac cos B, ? ?cos B ? 2ac 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C. ? 2 2 ? ? cos C ? a ? b ? c . ? 2ab ?
典型例题:
1.在△ABC 中,已知 a ? 8, b ? 4 3, c ? 13 ,则△ABC 的最小角为( A. )

? 3

B.

? 4

C.

? 4
0

D.

? 12

2.在△ABC 中,已知 b ? 1, c ? 3, A ? 60 ,则 a ? ____ 7 _____

6

3.在△ABC 中,已知 b ? 5, c ? 5 3, A ? 300 ,求 a、B、C 及面积 S 解 由余弦定理,知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

? 52 ? (5 3) 2 ? 2 ? 5 ? 5 3 sin 300 ? 25
∴ a ? 5 又∵ a ? b ∴ B ? A ? 300 ∴ C ? 1800 ? A ? B ? 1200

S?

1 1 25 3 bc sin A ? ? 5 ? (5 3 ) sin 300 ? 2 2 4

练习:
一、选择题 1.在△ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,则角A等于( A. 30 0 B. 600 C. 1200 D. 1500 )

2.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( A. b ? 10, A ? 450 , C ? 750 C. a ? 60, b ? 48, C ? 600



B. a ? 7, b ? 5, A ? 800 D. a ? 14, b ? 16, A ? 450

3在△ABC 中,已知 a ? b ? c ? 2c (a ? b ) 则角C=(
4 4 4 2 2 2



A. 30 0

B. 600

0 0 C. 45 或135

D. 1200

4.某人朝正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3km,结果他离出发点恰 好 3 km,那么 x 的值为( A. ) C. 2 3 或 3 D. 3

3

B. 2 3

二、填空题 5.已知锐角三角形的边长为 1、3、 a ,则 a 的取值范围是___ 2 2 <a< 10 ______ 6、在△ABC 中, ?b ? c ? : ?c ? a ? : ?a ? b? ? 4 : 5 : 6 ,则△ABC 的最大内角的度数是 120°

7.在△ABC 中,三边的边长为连续自然数,且最大角是钝角,这个三角形三边的长分别为_________ 2 3 三、解答题 8.在△ABC 中,已知A>B>C,且A=2C, b ? 4, a ? c ? 8 ,求 a、c 的长.

7

解:由正弦定理,得 ∴ a ? 2c sin C

a c ? sin A sin C


∵A=2C



a c ? sin 2C sin C


又a ? c ? 8

cocC ?

8?c 2c

由余弦定理,得

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? 4c 2 cos2 C ? 16 ? 16cos2 C
? 16 ?c ? 5 ?c ? 4 ? 或? (舍) ? 24 ?a ? 4 ?a ? 24 16 ? 5 ? ,c ? ∴a ?



① 入②,得

5

5

9.已知锐角三角形 ABC 中,边 a、 b 为方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,角 A、B 满足 2 sin( A ? B) ? 3 ? 0 ,
2

求角 C、边 c 及S△ABC。 解

x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 ,得

X1= 3 ? 1 , X 2= 3 ? 1

∵ sin( A ? B) ? sin(? ? C ) ? sin C ∴ sin C ? ∴C= 600 由余弦定理,得

3 2

由于△ABC 为锐角三角形,

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? x1 ? x2 ? 2x1 x2 cosC ? ( 3 ? 1) 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 2( 3 ? 1)( 3 ? 1) cos600 ? 6
2 2

∴C ? 6

S△ABC=

1 1 3 ac sin C ? ( 3 ? 1)( 3 ? 1) sin 60 0 ? 2 2 2

10 如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三 角形 ABC。问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 面积最大? 解:设 ?AOB ? ? ,在△AOB 中,由余弦定理得:
2 2 A B2 ? O A ? O B? ? O A c oB ? 2 ? O s

AOB

? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos ? ? 5 ? 4cos ?
于是,四边形 OACB 的面积为 S=S△AOB+ S△ABC ?

1 3 OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4

1 3 ? ? 2 ?1? sin ? ? (5 ? 4cos ? ) 2 4 ?sin ? ? 5 3 3 c o s? ? ? 4 2 s i n? ? ( 3
,? ?

?

5 3 ? ) 4

因为 0 ? ? ? ? ,所以当 ? ? 四边形 OACB 面积最大.

?
3

?

?
2

5? 5? ,即 ?AOB ? 时, 6 6

8

1.1.2.余弦定理(二)
典型例题:
1.在△ABC 中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 ) D.非钝角三角形

2、△ ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量

? ? ? ? ? ? p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p / / q ,则角 C 的大小为

? ? ? 2? (B) (C) (D) 3 6 3 2 ? ? ? 解 : p // q ? (a ? c)(c ? a) ? b(b ? a) ? b2 ? a2 ? c2 ? ab , 利 用 余 弦 定 理 可 得 2 cos C ? 1 , 即
(A)

c oC ? s

1 ? ? C ? ,故选择答案 B。 2 3

???? ??? ? 3.如图,在 ?ABC 中,?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD, 则 AD ? BC ? __________ .
解:由余弦定理得 cos B ? 可得 BC ? 7 , AD ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? 2 ? AB ? AC 2 ? AB ? BD
13 , 3

A B

D

C

又 AD, BC 夹角大小为 ?ADB , cos ?ADB ?

???? ??? ?

BD 2 ? AD 2 ? AB 2 32 9 8 ?? ? ?? , 2 ? BD ? AD 9 4 13 ? 7 91

???? ??? ? 8 所以 AD ? BC ? AD ? BC ? cos ?ADB ? ? . 3
4. 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 8sin (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值. 解: (1)在△ABC 中有 B+C=π -A,由条件可得 4[1-cos(B+C)]-4cos2A+2=7.???2 分 又∵ cos(B+C)=-cosA, ∴4 cos2A-4cosA+1=0 解得:cosA=
2

B?C ? 2 cos 2 A ? 7 . 2

1 ? , 又 A∈(0,π ) ,∴ A= . 2 3

(2)由 cosA=

b2 ? c2 ? a2 1 1 2 2 知 = , 即 (b ? c) ? a ? 3bc 2 2 2bc

又 a= 3 ,b+c=3,代入得 bc ? 2 .

9

由?

?b ? c ? 3 ?b ? 1 ?b ? 2 或 ? ? ? ?bc ? 2 ?c ? 2 ?c ? 1

练习:
一、选择题 1.在△ ABC 中, a , b , c 分别是 ? A , ? B , ?C 的对边,且 b ? c ? 3bc ? a
2 2 2

则 ? A 等于 ( A.

) B.

? 6

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


2.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,并有 sinA=2sinBcosC,那么△ABC 是( A.直角三角形 B.等边三角形 C. 等腰三角形 D.等腰直角三角形

3.在Δ ABC 中,已知 AB ?

4 6 6 ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 的值为( , cos B ? 3 6
C.



A.

70 17

B.

70 12

70 14

D.

10 14

分析:本题关键是利用余弦定理,求出 AC 及 BC,再由正弦定理,即得 sinA. 解:设 E 为 BC 的中点,连接 DE,则 DE//AB,且 DE ?

1 2 6 ,设 BE=x AB ? 2 3

王新敞
奎屯

新疆

2 2 2 在 ΔBDE 中利用余弦定理可得: BD ? BE ? ED ? 2BE ? ED cos BED ,

5 ? x2 ?

7 8 2 6 6 ? 2? ? x ,解得 x ? 1 , x ? ? (舍去) 3 3 3 6

王新敞
奎屯

新疆

2 2 2 故 BC=2 , 从 而 AC =AB +BC -2AB ? BCcosB=

28 2 21 , 即 AC ? 又 3 3
王新敞
奎屯 新疆

sin B ?

30 ,故 6

2 ? sin A

2 21 3 , sin A ? 70 14 30 6

王新敞
奎屯

新疆

4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

(

)

D.由增加的长度决定

解析:设增加同样的长度为 x,原三边长为 a、b、c,且 c2=a2+b2,a+b>c 新的三角形的三边长为 a+x、 b+x、c+x,知 c+x 为最大边,其对应角最大. 而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐 角,那么它为锐角三角形.

10

B a+c 5.在△ABC 中,cos2 = ,(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为 ( 2 2c A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

)

cosB+1 a+c B a+c a 解析:∵cos2 = ,∴ = ,∴cosB= , 2 2c 2 2c c ∴ a2+c2-b2 a = ,∴a2+c2-b2=2a2,即 a2+b2=c2, 2ac c

∴△ABC 为直角三角形.答案:B 二、填空题 6.△ABC 中,AB=2,BC=5,S△ABC=4,则AC=__ 17或 41 _______ 7. 在△ABC 中,已知 b ? 1, A ? 600 ,S△ABC= 3 ,则 三、解答题

a 2 39 ? __ _______ sin A 3

a 2 ? b 2 sin( A ? B) ? 8.在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a, b, c ,证明 。 sin C c2

2 2 2 2 2 2 由余弦定理,知 a ? b ? c ? 2bc cos A , b ? a ? c ? 2ac cos B

2 2 2 2 ∴ a ? b ? b ? a ? 2bc cos A ? 2ac cos B

a 2 ? b 2 sin A cos B ? cos A sin B sin( A ? B) ? ? sin C sin C c2
9.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积 解 如图,连结BD,则四边形面积 S=S△ABD+S△BCD=

1 1 AB ? AD ? sin A ? BC ? CD ? sin C 2 2

∵A+C=1800 ∴sinA= sin C ∴S=

1 ( AB ? AD ? BC ? CD ) sin A =16 sinA 2

由余弦定理,知在△ABC 中,

BD2 ? 2 2 ? 4 2 ? 2 ? 2 ? 4 cos A ? 20 ? 16cos A
2 在△CDB 中, BD ? 52 ? 48cosC ∴ 20 ? 16 cos A ? 52 ? 48 cos C

又 cos C ? ? cos A cos A ? ? ∴S=16sinA= 8 3

1 , ∴A=1200 2

10、 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 4 sin 2 (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积.

A? B 7 ? cos 2C ? , a ? b ? 5, c ? 7 . 2 2

11

解: (1)由 4 sin 2

A? B 7 C 7 ? cos 2C ? , 得4cos 2 ? cos 2C 2 2 2 2

∴ 4cos2C-4cosC+1=0 1 解得 cos C ? ∵0°<C<180°,∴C=60° ∴ C=60° 2 (2)由余弦定理得 C2=a2+b2-2ab cos C 即 7=a2+b2-ab 又 a+b=5 ∴a2+b2+2ab=25 ② 由①②得 ab=6 ①

1 3 3 ∴ S△ABC= ab sin C ? 2 2

1.1.3.正、余弦定理的综合应用
典型例题:
例题1.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是___________. 解: sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ?a?b?c=5?7?8 设 a=5k,b=7k,c=8k, 由余弦定理可解得 ? B 的大小为

? . 3


例题2.在△ABC 中,∠A满足条件 3 sin A ? cos A ? 1, AB ? 2cm, BC ? 2 3cm ,则∠A=_________ △ABC 的面积等于_______ 答案:

2? ; 3 3

例题 3 在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC ? 错解:∵A=60°,b=1, S △ABC ? ∴ 3?

3 ,求

a ?b?c 的值。 sin A ? sin B ? sin C

3 ,又 S △ABC ?

1 bc sin A , 2

1 csin 60° ,解得 c=4。 2
b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 16 ? 8 cos 60° ? 13

由余弦定理,得 a ?

又由正弦定理,得 sin C ?

6 3 , sin B ? 。 39 2 39



a ?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

13 ? 1 ? 4 。 3 3 6 ? ? 2 2 39 39

辨析:如此复杂的算式,计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解:由已知可得 c ? 4,a ? 13 。由正弦定理,得

2R ?

a 13 2 39 a ?b?c 2 39 。∴ 。 ? 2R ? ? ? sin A ? sin B ? sin C 3 sin A sin 60° 3

12

例题 4. 在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a, b, c ,已知 b 2 ? ac,且a 2 ? c 2 ? ac ? bc , (1)求∠A的大小; (2)求 解

b sin B 的值 c

(1)∵ b 2 ? ac, a 2 ? c 2 ? ac ? bc ∴ b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc

在△ABC 中,由余弦定理得

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 bc 1 ? ? 2bc 2bc 2

∴∠A= 600

(2)在△ABC 中,由正弦定理得 sin B ?

b sin 600 a

∵ b 2 ? ac, ?A ? 600



b sin B b 2 sin 600 3 ? ? sin 600 ? c ca 2

练习:
一、选择题 1.在△ABC 中,有一边是另一边的2倍,并且有一个角是 30 0 ,那么这个三角形( )

A.一定是直角三角形 B.一定是钝角三角形 C.可能是锐角三角形 D.一定不是锐角三角形 点评:三角形形状判定方法:角的判定、边的判定、综合判定、余弦定理判定;其中余弦定理判定法:如果 c 是 三角形的最大边,则有:

a 2 ? b2 ? c2 ? 三角形 ABC 是锐角三角形; a 2 ? b2 ? c2 ? 三角形 ABC 是直角三角形; a 2 ? b2 ? c2 ? 三角
形 ABC 是钝角三角形。 2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,且 cos A ? A.

1 2 B?C ? cos 2 A 的值为( ,则 sin 3 2



1 9

B. ?

1 9

C.

1 10

D. ?

1 10


2 2 2 2 3.已知△ABC 中, (a ? b ) sin( A ? B) =( a ? b ) sin C 成立的条件是(

A. a ? b
0 C. a ? b 且 ?C ? 90

0 B. ?C ? 90 0 D. a ? b 或 ?C ? 90

1 4.△ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为 ,则其外接圆的半径为( 3 9 2 A . 2 B 9 2 . 4 9 2 C . 8 D.9 2 1 22+32-2× 3× =3, 2× 3

)

解析:由余弦定理得:三角形第三边长为

且第三边所对角的正弦值为

1 2 2 1 ? ( )2 = 3 , 3
13

3 9 2 所以 2R= ?R= . 8 2 2 3 二、填空题 5.已知在△ABC 中,A= 600 ,最大边和最小边的长是方程 3x 2 ? 27x ? 32 ? 0 的两实根,那么 BC边长等 于__7______ 6.已知锐角 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c, 且(b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc. 则角 A 的大小__ 60? _______; 7.在△ABC 中,AB=5,BC=8,∠ABC= 600 ,D是其外接圆 AC 弧上一点,且CD=3,则AD的 长是____5____ 三、解答题 8.在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a, b, c ,S为△ABC 的面积,且有

4 sin B sin 2 (

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 1 ? 3 , 2

(1)求角B的度数; (2)若 a ? 4 ,S= 5 3 ,求 b 的值 解

(1) 由二倍角公式,已知等式化简为 2 sin B(1 ? sin B) ? 2 cos2 B ? 2 ? 3

∴ sin B ?

3 ∴B= 600 或 120° 2
1 1 3 ac sin B, ∴ 5 3 ? ? 4c ? ∴c ? 5 2 2 2

(2) ? S ?

当B= 600 时,由余弦定理,得 b ? 当B=120°时,由余弦定理,得 b ?

a 2 ? b 2 ? 2accos B ? 21
61

9.△ABC 中的三 a, b, c 和面积S满足S= c 2 ? (a ? b) 2 ,且 a ? b ? 2 ,求面积S的最大值。 解∵ c ? (a ? b) ? c ? a ? b ? 2ab ? 2ab ? (a ? b ? c )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2ab cosC ∴ c ? (a ? b) ? 2ab(1 ? cosC)

S?

1 ac sin B 2
2 2 ∵ sin C ? cos C ? 1

∴ sin C ? (1 ? cosC )

2 ∴ 17 cos C ? 32cosC ? 15 ? 0

15 或 cos C ? 1(舍去) 17 8 1 4 4 ab ? a(2 ? a) ∴ sin C ? ∴ S ? ac sin C ? 17 2 17 17 cos C ?

14

4 4 ( a ? 1) 2 ? 17 17 ∵ a ? b ? 2, ∴0< a <2 ??
∴当 a ? 1, b ? 2 时,Smax =

4 17

10.在 ?ABC 中,已知内角 A ?

?
3

,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,面积为 y .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ?

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

应用正弦定理,知 AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ? 2 3 ? ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

?? ? ? 4 3 s i?nx ? ? ? ?? ?
所以,当 x ?

? 5? ? ?? 2? 3 ? x? ? ?, ? ? ? ??

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

cos C 2a ? c ? ?ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a 、b 、c .若 ?ABC 的外接圆的半径 R ? 3 ,且 cos B b , 求 11. 在
B 解析: 由

a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C .
cos C 2 sin A ? sin C ? sin B 得 cos B .

cos C 2a ? c ? b 代入 cos B

整理得 sin B cos C ? cos B sin C ? 2 sin A cos B 即

sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B ? A ? B ? C ? 1800 ? sin(B ? C ) ? sin A

? sin A ? 2 sin A cos B ? sin A ? 0,? cos B ? 1 2 ? B ? 600

15

1.2
典型例题:

应用举例(一)

例 1 如图 1 所示, 为了测河的宽度, 在一岸边选定 A、 两点, B 望对岸标记物 C,测得∠CAB=30° ,∠CBA=75° ,AB=120cm,求 河的宽度。 分析:求河的宽度,就是求△ABC 在 AB 边上的高,而在河的 一边,已测出 AB 长、∠CAB、∠CBA,这个三角形可确定。

C

AC AB ? , sin ?CBA sin ?ACB 1 1 ∴AC=AB=120m,又∵ S ? AB ? AC sin ?CAB ? AB ? CD , 2 2
解析:由正弦定理得 解得 CD=60m。 点评:虽然此题计算简单,但是意义重大,属于“不过河求河宽问题”

A 图1

D

B

2.10.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 300,600,则塔高为( ) A

400 米 3

B

400 3 米 3

C

200 3 米 3

D 200 米 A 3 ?,求云彩高.

3.在湖面上高 h 处,测得云彩仰角为?,而湖中云彩影的俯角为 解 C、C 解’关于点 B 对称,设云高 CE = x 则 CD = x ? h,C’D = x + h, 在 Rt△ACD 中, AD ? 在 Rt△AC’D 中, AD ?

CD x?h ? tan ? tan ?

C' D x?h ? , tan ? tan ?
解 得



x?h x?h ? tan? tan?
x ? h? t an ?t an ? ? s i n? ? ? ) ( . ? h? t an ?t an ? ? s i n? ? ? ) (

4、如图,为了测量塔 AB 的高度,先在塔外选和塔 脚在一直线上的三点 C 、 D 、 E ,测得塔的仰角分 别是 ? ,2? ,4? , CD ? 30m, DE ? 10 3m ,求求 ? 的 解法一: (用正弦定理求解)由已知可得在 ? ACD AC=BC=30, AD=DC=10 3 ,
C

A

? 30

2?

4?

大小及塔的高。

D 10 3 E

B
中,

? ADC =180 ? -4 ? ,

?

30 10 3 = 。 s i n ? sin(180? ? 4? ) 2
sin4 ? =2sin2 ? cos2 ?

因为

16

? cos2 ? =

3 ,得 2

2 ? =30 ? ?

? =15 ? ,

?在 Rt ? ADE 中,AE=ADsin60 ? =15
答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 解法二: (设方程来求解)设 DE= x,AE=h 在 Rt ? ACE 中,(10 3 + x) 2 + h 2 =30 2 在 Rt ? ADE 中,x 2 +h 2 =(10 3 ) 2 两式相减,得 x=5 3 ,h=15

?在 Rt ? ACE 中,tan2 ? = ?2 ? =30 ? , ? =15 ?

h 10 3 ? x

=

3 3

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 解法三: (用倍角公式求解)设建筑物高为 AE=8,由题意,得 ? BAC= ? , ? CAD=2 ? , AC = BC =30m , AD = CD =10 3 m 在 Rt ? ACE 中,sin2 ? = 在 Rt ? ADE 中,sin4 ? =

x 30
4 10 3
,

--------- ① --------- ②

3 ,2 ? =30 ? , ? =15 ? ,AE=ADsin60 ? =15 2 5.为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同一个铅垂平面内 (如示意图) ,飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据 (用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。
②?① 得 cos2 ? =

17

解: 方案一: ①需要测量的数据有:A 点到 M ,N 点的俯角 ?1,?1 ;B 点到 M ,N 的俯角 ? 2,? 2 ;A,B 的距离 d (如图所示) .

②第一步:计算 AM .由正弦定理 AM ?

d sin ? 2 ; sin(?1 ? ? 2 )

第二步:计算 AN .由正弦定理 AN ?

d sin ? 2 ; sin( ? 2 ? ?1 )

第三步:计算 MN .由余弦定理 MN ? 方案二:①需要测量的数据有:

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM AN cos(?1 ? ?1 ) . ·

A 点到 M ,N 点的俯角 ?1,?1 ; B 点到 M , N 的俯角 ? 2,? 2 ; A,B 的距离 d (如图所示) .
②第一步:计算 BM .由正弦定理 BM ?

d sin ?1 ; sin(?1 ? ? 2 )

第二步:计算 BN .由正弦定理 BN ?

d sin ?1 ; sin( ?2 ? ?1 )

第三步:计算 MN .由余弦定理 MN ?

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM BN cos( ? 2 ? ? 2 ) . ·

练习:
一、选择题 1.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视 角,则 B、C 间的距离是( ) A.10 3 海里 B.

10 6 海里? C. 5 2 海里? 3

D.5 6 海里

2.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视 角,则 B、C 间的距离是 ( ) A.10 3 海里 B.

10 6 海里? 3

C. 5 2 海里

D.5 6 海里

3.如图,要测量河对岸 A、B 两点间的距离,今沿河岸选取相距 40 米的 C、D 两点,测得 ∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则 AB 的距离是( (A)20 2 (B)20 3 (C)40 2
18

).

(D)20 6

4、甲船在岛 B 的正南方 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同时乙船自 B 出发以每 小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( ) A.

150 分钟 7

B.

15 分钟 7

C.21.5 分钟

D.2.15 分钟

二、填空题 5. 一树干被台风吹断折成与地面成 30°角, 树干底部与树尖着地处相距 20 米, 则树干原来的高度为
王新敞
奎屯 新疆

20 3米

?

6.甲、乙两楼相距 20 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°,则甲、乙两楼 的高分别是 三、解答题 7.如图:在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15?,向山顶前进 100m 后,又从点 B 测得斜度为 45?,假设建筑物高 50m,求此山对于地平面的斜度?
王新敞
奎屯 新疆

20 3米

40 3米 3

解:在△ABC 中,AB = 100m ,

?CAB = 15?, ?ACB = 45??15? = 30?

100 BC ? 由正弦定理: ∴BC = 200sin15? ? sin 30 sin 15 ?
在△DBC 中,CD = 50m , ?CBD = 45?, ?CDB = 90? + ?, 由正弦定理:

50 200sin 15? ? sin 45? sin(90? ? ? )
?cos? = 3 ? 1 ∴? = 42.94? 8 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙 船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲
? 船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? ?

解法一:如图,连结 A1B1 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 ,



120?

20 A1 A2 ? 30 2 ? ? 10 2 , 60

A2

B2

? A1 A2 ? A2 B1 ,
又 ∠A A2 B2 ? 180? ?120? ? 60? , 1

105? A 1


B1
乙 北

? A1 A2 B2 是等边三角形, △ B2
19

120? A 2

105?

A1

B1

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知, A B1 ? 20 , ∠B1 A B2 ? 105? ? 60? ? 45? , 1 1 在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B2 ? A1B2 cos 45? ? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

2 ? 200 . 2

? B1B2 ? 10 2 .
因此,乙船的速度的大小为

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里. 解法二:如图,连结 A2 B1 , 由已知 A B2 ? 20 , A1 A2 ? 30 2 ? 1

20 ? 10 2 ,∠B1 A1 A2 ? 105? , 60


cos105? ? cos(45? ? 60? ) ? cos 45? cos 60? ? sin 45? sin 60?
2(1 ? 3) , ? 4

120? A 2

B2

sin105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60?
2(1 ? 3) . ? 4
在 △ A2 A1 B1 中,由余弦定理,
2 2 A2 B12 ? A2 B2 ? A1 A2 ? 2 A1B1 ? A1 A2 cos105?

105? A 1


B1


? (10 2)2 ? 202 ? 2 ?10 2 ? 20 ?

2(1 ? 3) ? 100(4 ? 2 3) . 4

? A1B1 ? 10(1 ? 3) .
由正弦定理 sin∠A1 A2 B1 ?

A1B1 20 2(1 ? 3) 2 , sin∠B1 A1 A2 ? ? ? A2 B2 4 2 10(1 ? 3)
2(1 ? 3) . 4

?∠A1 A2 B1 ? 45? ,即∠B1 A2 B1 ? 60? ? 45? ? 15? , cos15? ? sin105? ?
在 △B1 A1 B2 中,由已知 A B2 ? 10 2 ,由余弦定理, 1

20

2 2 B1B2 ? A1B12 ? A2 B2 ? 2 A2 B1 ? A2 B2 cos15?

? 102 (1 ? 3)2 ? (10 2)2 ? 2 ?10(1 ? 3) ?10 2 ?

2(1 ? 3) ? 200 . 4

? B1B2 ? 10 2 ,
乙船的速度的大小为

10 2 ? 60 ? 30 2 海里/小时. 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里. 9.某船在海上航行中不幸遇险,并发出呼救信号,我海上救生艇在 A 处获悉后,立即测出该船的方位角为 45?, 与之相距 10 nmail 的 C 处,还测得该船正沿方位角 105?的方向以每小时 9 nmail 的速度向一小岛靠近,我海上救 生艇立即以每小时 21 nmail 的速度前往营救,试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。 解:设所求最大圆的半径为 x, 则在△ABC 中

cos? ?

152 ? (10 ? x) 2 ? (5 ? x) 2 30 ? x ? 2 ? 15? (10 ? x) 30 ? 3x

又在△ACD 中:

cos? ?

(10 ? x) 2 ? 5 2 ? (15 ? x) 2 5x ? 10 ? 2 ? (10 ? x) ? 5 x ? 10

又在△ACD 中:

(10 ? x) 2 ? 5 2 ? (15 ? x) 2 5x ? 10 cos? ? ? 2 ? (10 ? x) ? 5 x ? 10
30 ? x 5 x ? 10 ? ? 7 x 2 ? 40x ? 300 ? 0 30 ? 3x x ? 10 30 ? x1 ? , x 2 ? ?10(舍去 ) 7
10 在某海滨城市附近海面有一台风,据检测,当前台 风中心位于城市 O(如图)的东偏南 ? (cos ? ?

2 ) 方向 10
?

300 km 的海面 P 处,并以 20 km / h 的速度向西偏北 45 的 方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60 km , 并以 10 km / h 的速度不断增加,问几小时后该城市开始受到 台风的侵袭?持续多长时间? 角:设在时刻 t(h)台风中心为 Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t+60(km) 若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭,则 OQ ? 10t ? 60 由余弦定理知 OQ ? PQ ? PO ? 2PQ ? PO cos?OPQ
2 2 2

由于 PO=300,PQ=20t
21

cos ?OPQ ? cos ? ? 45 ? ?

?

?

4 5
2

故 OQ2 ? 202 t 2 ? 3002 ? 9600t ? ?10t ? 60 ? 即 t 2 ? 36t ? 288 ? 0 解得 12 ? t ? 24

答:12 小时后该城市受到台风的侵袭,侵袭的时间将持续 12 小时.

1.2
典型例题:

应用举例(二)

例 1.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南 60°西, 另一灯塔在船的南 75°西,则这只船的速度是每小时( ) A.5 海里? B.5 3 海里 C.10 海里? D.10 3 海里

例 2 某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45°距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔船沿北偏东 105°方向, 以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速 21 海里,则舰艇到达渔船的最短时间是

2 小时 3

例 3 如图 3,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45° 方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15° 方向航行,若甲船以 28n mile/h 的速度航 行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快追上乙船? 解析:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9, 设∠ABC=α,∠BAC=β。 ∴α=180°-45° -15° =120° 。根据余弦定理

北 A 45° B 15°

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ? ,

C 图3

1 2 ? 81 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? ( ? ) , 128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 , (4t-3) 2 3 9 (32t+9)=0,解得 t= ,t= (舍) 4 32 3 3 ∴AC=28× =21 n mile,BC=20× =15 n mile。 4 4

? 28t ?

2

BC sin ? ? 根据正弦定理, sin ? ? 得 AC


15 ?

3 5 3 5 3 7 2 2 ?5 3, 又∵α=120°, 为锐角, ∴β β=arcsin , 又 < 21 14 14 14 14

2 5 3 ? ,∴arcsin < , 4 2 14

∴甲船沿南偏东

? 3 5 3 -arcsin 的方向用 h 可以追上乙船。 4 4 14

点评: (1)航海问题常涉及到解三角形的知识,本题中的 ∠ABC、AB 边已知,另两边未知,但他们都是航行 的距离,由于两船的航行速度已知,所以,这两边均与时间 t 有关。这样根据余弦定理,可列出关于 t 的
22

一元二次方程,解出 t 的值。 (2)在求解三角形中,我们可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的应用题,必须检 验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 例 4 已知△ABC,BD为 B 的平分线,求证:AB∶ BC=AD∶ C D 分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而 B 的平分线 BD 将△ABC 分成了两个三角 形:△ABD 与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:AB∶ AD=BC∶ DC,从而把问题转化到两个三角 形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为

AB AD BC DC ? , ? ,再根据相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论. sin ABD sin ABD sin BDC sin DBC
证明:在△ABD 内,利用正弦定理得:

AB AD AB sin ADB ? 即 ? sin ADB sin ABD AD sin ABD
在△BCD 内,利用正弦定理得:?

BC DC BC sin BDC ? ,即 ? . sin BDC sin DBC DC sin DBC
∵ 是 B 的平分线.? BD ∴ ABD=∠ ∠ DBC ∴ sinABD=sinDBC.? ∵ ADB+∠ ∠ BDC=180° ? ∴ sinADB=sin(180° BDC)=sinBDC? -∠

AB sin ADB sin BDC BC ? ? ? AD sin ABD sin DBC CD AB AD ? ∴ BC DC


练习:
一、选择题 1.台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的地区为危险区,城市 B 在 A 的正 东 40 km 处,B 城市处于危险区内的时间为( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 2.已知 D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 的点仰角分别为α 、β (α >β )则 A 点离地面的高 AB 等于( ) A.

a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? sin ? cos(? ? ? )

C.

a cos? cos ? sin(? ? ? )

D.

a cos? cos ? cos(? ? ? )

3.在△ABC 中,已知 b=2,B=45°,如果用正弦定理解三角形有两解,则边长 a 的取值范 围是( ) A. 2 ? a ? 2 2 B. 2 ? a ? 4 C. 2 ? a ? 2 D. 2 ? a ? 2 2

二、填空题 4. 我舰在敌岛 A 南 50°西相距 12nmile ?的 B 处, 发现敌舰正由岛沿北 10°西的方向以 10nmile/h 的速度航行, 我舰要用 2 小时追上敌舰,则需要速度的大小为 14nmile/h

23

5. 在一座 20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为 60°, 塔底俯角为 45°, 那么这座塔的高为__20 1+ 3 ) ( m _____ 三、解答题 6.如图所示,对于同一高度(足够高)的两个定滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们,并在两端分别挂有 4 kg 和 2 kg 的物体,另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体,为使系统保持平衡状态,此物体的质量应是多少? (忽略滑轮半径、绳子的重量)
F 1 4k g mk g

F 2 2k g

解:设所求物体质量为 m kg 时,系统保持平衡,再设 F1 与竖直方向的夹角为θ 1,F2 与竖直方向的夹角为θ 2, 则有

4g sin ?1 ? 2g sin ? 2 4 g cos?1 ? 2 g cos? 2 ? mg

① ②(其中 g 为重力加速度)

2 由①式和②式消去 ? 2 ,得 m 2 ? 8m cos?1 ? 12 ? 0 即 m ? 4 cos ? 1 ? 2 4 cos ? 1 ? 3 . ③ 2 ∵ cos? 2>0 ,由②式知,③式中 m ? 4 cos ? 1 ? 2 4 cos ? 1 ? 3 不合题意,舍去
2

又∵4cos θ 1-3≥0,解得

3 ? cos?1 ? 1 2

经检验,当 cos?1 ?

3 时, cos? 2 ? 0 ,不合题意,舍去.∴2 3 <m<6 2

综上,所求物体的质量在 2 3 kg 到 6 kg 之间变动时,系统可保持平衡. 7.海岛上有一座高出水面 1000 米的山,山顶上设有观察站 A,上午 11 时测得一轮船在 A 的北偏东 60°的 B 处,俯角是 30°,11 时 10 分,该船位于 A 的北偏西 60°的 C 处,俯角为 60°, (1)求该船的速度; (2)若船的速度与方向不变,则船何时能到达 A 的正西方向, 此时船离 A 的水平距 离是多少? (3)若船的速度与方向不变,何时它到 A 站的距离最近? 解:设 AD=x,AC=y,

即x 2 ? y 2 ? xy ? 441
而在△ABC 中,



( x ? 20) 2 ? y 2 ? 2( x ? 20) y cos60? ? 312 , 2 2 即 x ? y ? xy ? 40x ? 20y ? 561 ② ②—①得 y ? 2 x ? 6 , 2 代入①得 x ? 6 x ? 135 ? 0 得 x ? 15(km) ,即此人还需走 15km 才能到达 A 城.
8.为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架
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三角形支架形状如图,要求 ?ACB ? 60 ,BC 的长度大于 1
0

24

A

米,且 AC 比 AB 长 0.5 米 为了广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越好,求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短 时,BC 长度为多少米? 解:如图,设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度 为(y-0.5)米 在△ABC 中,依余弦定理得:
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AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos?ACB

( y ? 0.5) 2 ? y 2 ? x 2 ? 2 yx ?


1 2

y ( x ? 1) ? x 2 ?
化简,得
x2 ?

1 4

∵ x ? 1 ,∴ x ? 1 ? 0

1 3 4 ? ( x ? 1) ? y? ?2? 3?2 x ?1 4( x ? 1) 因此

x ?1 ?
当且仅当

3 3 4( x ? 1) 时,取“=”号,即 x ? 1 ? 2 时,y 有最小值

2? 3
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解三角形测试题
一、选择题 1.在△ABC 中, tan A ? sin 2 B ? tan B ? sin 2 A ,那么△ABC 一定是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解:由正弦定理,得 ( )

sin 2 A tan A ? sin 2 B tan B



sin 2 A sin A cos B ? · ,∵ sin A ? 0, sin B ? 0 2 sin B sin B cos A

∴ sin A cos A ? sin B cos B,即 sin 2 A ? sin 2 B 。
∴2A= 2 k? ? 2 B 或 2 A ? 2k? ? ? ? 2 B( k ? Z ) 。 ∵ 0 ? A ? ?,0 ? b ? ?,∴k ? 0,则A ? B 或 A ? 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 2.△ABC 中 a ? 4 sin 10?, b ? 2 sin 50?, ?C ? 70? ,则 S△ABC= A. ( )

?
2

?B。

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D.

1 3

3.在△ABC 中,一定成立的等式是( ) A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB 4.若,

C.asinB=bsinA )

D..cosB=bcosA

sin A cos B cos C ? ? ,则△ABC 为( a b c

A.等边三角形 C.有一个内角为 30°的直角三角形

B.等腰三角形 D.有一个内角为 30°的等腰三角形

25

5.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 A.90° B.120° C.135° D.150° 6.设 A 是△ABC 中的最小角,且 cos A ? A.a≥3 B.a>-1





a ?1 ,则实数 a 的取值范围是 a ?1
D.a>0





C.-1<a≤3

7.△ABC 中,A、B 的对边分别为 a,b,且 A=60°, a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的△ABC( A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 8.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( ) A.b = 10,A = 45°,B = 70° B.a = 60,c = 48,B = 100° C.a = 7,b = 5,A = 80° D.a = 14,b = 16,A = 45° 9.在△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 6 : ( 3 ? 1) ,则三角形最小的内角是 ( A.60° B.45° C.30° D.以上都错 )



10.有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长( A.1 公里 B.sin10°公里 C.cos10°公里 D.cos20°公里



二.填空题 11.在△ABC 中,B=1350,C=150,a=5,则此三角形的最大边长为

5 2

12.在△ABC 中,a+c=2b,A-C=60°,则 sinB=

39 8

.

13.在△ABC 中,已知 AB=l,∠C=50°,当∠B= 40

时,BC 的长取得最大值. .

14.△ABC 的三个角 A<B<C,且 2B=A+C,最大边为最小边的 2 倍,则三内角之比为 1:2:3

15、在△ABC 中,AB=2,BC=3,AC= 7 ,则△ABC 的面积为 接圆的面积为 。

,△ABC 的外

3 7? 3, 2 3

三、解答题: 16.在△ABC 中,a+b=1,A=600,B=450,求 a,b 16. a ? 3 ? 6 b ? 6 ? 2

17. a、b、c 为△ABC 的三边,其面积 S△ABC=12 3 ,bc=48,b-c=2,求 a. 解:解法一:由 ?

?b ? c ? 2 ?b ? 8 ,解得 ? ?bc ? 48 ?c ? 6
1 1 3 bc sin A ? ? 8 ? 6 sin A ? 12 3 , ∴ sin A ? 2 2 2
26

又∵S△ABCC=

∴cosA=± ,∴a2=b2+c2-2bc· cosA=64+36-2× 6× 8× (± )=100± 48, ∴a=2 13 或 2 37 . 解法二:∵S△ABC= ∴ sin A ?

1 2

1 2

1 1 bc sin A ? ? 48 ? sin A ? 12 3 , 2 2

3 2
1 2

∴cosA=± ,∴a2=b2+c2-2bccosA=(b-c)2+2bc(1-cosA)=22+2× (1± )=100± 48× 48 ∴a=2 13 或 a=2 37

1 2

18.在 ?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 1 , cos C ? 3 .
4

(1)求 AB 的值; (2)求 sin ?2 A ? C ? 的值. 解: (Ⅰ) 由余弦定理,得
AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC.BC.cos C ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 3 ? 2. 4

那么, AB ? 2. (Ⅱ )由 cos C ? 3 ,且 0 ? C ? ? , 得 sin C ? 1 ? cos2 C ? 7 . 由正弦定理,得
4

4

BC sin C 14 .所以, 5 2 .由倍角公式 AB BC 解得 sin A ? ? cos A ? ? , sin C sin A AB 8 8 sin 2 A ? sin 2 A ? cos A ?
9 ,故 5 7 ,且 cos 2 A ? 1 ? 2sin 2 A ? 16 16

sin ? 2 A ? C ? ? sin 2 A cos C ? cos 2 A sin C ?

3 7. 8

19.如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB, ∠ABC=600,AC=7,AD=6,S△ADC= 19.AB=9 20.在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 解: (Ⅰ)由 C ? A ?

15 3 ,求 AB 的长. 2

D A 2 1

1 . 3

B

600

C

? ? B ? B 2 B B ,且 C ? A ? ? ? B ,∴ A ? ? ,∴ sin A ? sin( ? ) ? (cos ? sin ) , 2 4 2 4 2 2 2 2

27

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3 AC BC ? sin B sin A

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

∴ BC ?

AC sin A ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3

∴ S?ABC ?

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

21.一缉私艇在岛 B 南 50°东相距 8( 6 ? 2 )n mile 的 A 处,发现一走私船正由岛 B 沿 方位角为 10? 方向以 8 2 n mile/h 的速度航行,若缉私艇要在 2 小时时后追上走私船,求其 航速和航向.

21. 缉私艇应以 8 3 n mile/ h 的速度按方位角 355°方向航行.

22、如图所示,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离, 在这一岸定一基线 CD,现已测出 CD=a 和∠ACD=60° , ∠BCD=30° ,∠BDC=105° ,∠ADC=60° ,试求 AB 的长. 解:在△ACD 中,已知 CD=a,∠ACD=60° ,∠ADC=60° ,所以 AC=a. 在△BCD 中,由正弦定理可得 asin105° 3+1 BC= = a. sin45° 2 ② ①

在△ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为∠ACB=30° , 所以利用余弦定理可以求得 A、B 两点之间的距离为 AB= AC2+BC2-2AC· cos30° BC· = 2 a. 2

28


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