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三角函数练习题


一、基本概念: 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线 OA 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 OB 所成的图形. 旋转开始时的 射线 OA 叫做角的________, 射线的端点 O 叫做角的________, 旋转终止位置的射线 OB 叫做角的________, 按______时针方向旋转所形成的角叫做正角,按______时针方向旋转所形成的角叫做负角.若一条射线没 作任何旋转,称它形成了一个________角. (1)象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就说这个角是 __________角. (2)象限界角(即终边在坐标轴上的角) 终边在 x 轴上的角表示为_______ _____________; 终边在 y 轴上的角表示为__________________________________________; 终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________. (3)终边相同的角 所 有 与 角 α 终 边 相 同 的 角 , 连 同 角 α 在 内 , 可 构 成 一 个 集 合 ______________________ 或 __________________________,前者 α 用角度制表示,后者 α 用弧度制表示. (4)弧度制 把长度等于________长的弧所对的__________叫 1 弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制,叫 做________,它的单位符号是________,读作________,通常略去不写. (5)度与弧度的换算关系 360° =______ rad;180° =____ rad;1° =________ rad; 1 rad=_______________≈57.30° . (6)弧长公式与扇形面积公式 l=________,即弧长等于_________________________________________________. S 扇=________=____________. 2.三角函数的定义 任意角的三角函数定义:设 α 是一个任意角,它的终边上任意一点 P(x,y),那么①__ __叫做 α 的正弦,记作 sin α,即 ;②___ _叫做 α 的余弦,记作 cos α,即 ,; y ③________叫做 α 的正切,记作 tan α,即 tan α= (x≠0). x (1)三角函数值的符号 各象限的三角函数值的符号如下图所示,三角函数正值歌:一全正,二正弦,三正切,四余弦.

(3)sin(-α)=________,cos(-α)=__________,tan(-α)=________. (4)sin(π-α)=__________,cos(π-α)=__________,tan(π-α)=________.

?? ? ?? ? ? ? ? ? ________, cos ? ? ? ? ? ________. ?2 ? ?2 ? ?? ? ?? ? (6) sin ? ? ? ? ? =__________, cos ? ? ? ? ? _____________. ?2 ? ?2 ?
(5) sin ? 5.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般步骤为:

6.三角函数的图象和性质 函数 y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象

定义域 值域 周期性 奇偶性 在____________________ 上增, 在____________________ 上减 在___________________ 上增, 在___________________ 上减 在定义域的每一个区间 ______________________ __________内是增函数

单调性

7.正弦函数 y=sin x 当 x=____________________________________时,取最大值 1; 当 x=____________________________________时,取最小值-1. 8.余弦函数 y=cos x 当 x=__________________________时,取最大值 1; 当 x=__________________________时,取最小值-1. 9.y=sin x、y=cos x、y=tan x 的对称中心分别为____________、___________、______________. 10.y=sin x、y=cos x 的对称轴分别为______________和____________,y=tan x 没有对称轴. 11.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点.如下表所示. X ωx+φ y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0

3.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:____________________.(2)商数关系:______________________________. 4.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。能理解吗?试完成下面的填空。 (1)sin(α+2kπ)=________,cos(α+2kπ)=__________,tan(α+2kπ)=__________,k∈Z. (2)sin(π+α)=________,cos(π+α)=________,tan(π+α)=________. 12 月 18 日资料

12.图象变换:函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象可由函数 y=sin x 的图象作如下变换得到: (1) 相位变换: y=sin x ? y=sin(x+φ), y=sin x 图象上所有的点向__ 把 __(φ>0)或向__ __(φ<0) 平行移动__________个单位. (2)周期变换:y=sin (x+φ)→y=sin(ωx+φ),把 y=sin(x+φ)图象上各点的横坐标_ ___(0<ω<1) 或__ __(ω>1)到原来的___ _____倍(纵坐标不变). (3)振幅变换:y=sin (ωx+φ)→y=Asin(ωx+φ),把 y=sin(ωx+φ)图象上各点的纵坐标______(A>1) 或______(0<A<1)到原来的____倍(横坐标不变). 13.当函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0),x∈(-∞,+∞)表示一个振动量时,则____叫做振幅,T= ________叫做周期,f=______叫做频率,________叫做相位,____叫做初相. 函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为____________.y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为________. 14.(1)两角和与差的余弦 cos(α+β)=_____________________________________________, cos(α-β)=_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α+β)=_____________________________________________, sin(α-β)=_____________________________________________. (3)两角和与差的正切 tan(α+β)=_____________________________________________, tan(α-β)=_____________________________________________. π (α,β,α+β,α-β 均不等于 kπ+ ,k∈Z) 2 15.辅助角公式:asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ), 16.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=________________; (2)cos 2α=______________=________________-1=1-________________; kπ π π (3)tan 2α=________________________ (α≠ + 且 α≠kπ+ ). 2 4 2 17.公式的逆向变换及有关变形 sin 2α (1)sin αcos α=____________________?cos α= ; 2sin α 2 2 (2)降幂公式:sin α=________________,cos α=________________; 升幂公式:1+cos α=________________,1-cos α=_____________; 变形:1± 2α=sin2α+cos2α± sin 2sin αcos α=________________________. 二、练习题: 1.tan 300° +sin 450° 的值为 3.函数 y=sin2x+2sin xcos x+3cos2x 的最小正周期和最小值为 π 4.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 10 的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 24 θ 5.已知 θ 为第二象限角,sin(π-θ)= ,则 cos 的值为 25 2 6、已知 f(x)=sin x+ 3cos x (x∈R),函数 y=f(x+φ)的图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值可以是 π π π π A. B. C. D. 2 3 4 6 7.已知 cos ?

9.函数 y ? 2sin ?

?? ? ? 2 x ? , ? x ? ?0, ? ?? 的增函数的区间是 ?6 ?

π 1 10.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ) (A>0, ω>0,0<φ< )的图象如图所示, 则当 t= 2 100 秒时,电流强度是 (第 17 题的第一个图) π 4π 11.设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是 3 3 2π 2π? 13.若函数 f(x)=2sin ωx (ω>0)在?- 3 , 3 ?上单调递增,则 ω 的最大值为________. ? 3 ?? ? 14.已知 α 为第三象限的角,cos 2α=- ,则 tan ? ? 2? ? =________. 5 4

?

?

4 15.已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tan α=________. 3 17.如图是函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一段,求其解析式.

cos2x-sin2x 1 1 18.已知函数 f(x)= ,g(x)= sin 2x- . 2 2 4 (1)函数 f(x)的图象可由函数 g(x)的图象经过怎样变化得出? (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最小值,并求使 h(x)取得最小值的 x 的集合. 19.已知向量 a=(sin x,2cos x),b=(2sin x,sin x), 函数 f(x)=a· b-1. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; (2)在给出的直角坐标系中,画出 f(x)在区间[0,π]上的图象.

21.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2π. (1)求 f(x)的解析式;

?? 1 5? ? ? ? f ? ? ? ? ? ,求 sin ? 2? ? ? 的值. 3? 3 3 ? ? ? 1 1 ?? ? ?? 1? 2 22.已知函数 f ? x ? ? sin 2 x cos ? ? cos x cos ? ? sin ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ,其图象过点 ? , ? . 2 2 ?2 ? ? 6 2?
(2)若 ? ? ? ? (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函 2 π? 数 g(x)在?0,4?上的最大值和最小值. ?

? ? ?? , ?, ? 3 2?

3 ?? ? ? ? 5? ? 2 ?? ?? ? ? ? ? ? 的值是 ,则 sin ? ? ? ? ? cos ? ?6 ? 3 ?6 ? ? 6 ?

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