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4专题三函数性质,奇偶性,单调性


专题三、函数定义域、值域、单调性与最值、奇偶性、周期性
【知识要点】
1、函数的值域 (1)在函数的三个概念中,值域是由 和 对应法则的作用,又要特别注意定义域对值域的制约作用。 (2)基本函数的值域 ① y ? kx ? b(k ? 0) 的值域是 ; ;当 a ? 0 值域为 ; 所确定的,因此,在研究函数的值域时,既要重视

② y

? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的值域是:当 a ? 0 值域为 ③y?

k (k ? 0) 的值域是 x

; ; ; ; 。

④ y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的值域是 ⑤ y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的值域是 ⑥ y ? sin x , y ? cos x 的值域是 ⑦ y ? tan x 的值域是 2、函数的最值

一般的,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ( f ( x) ? M ) ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ; 那么我们称 M 是函数 y ? f ( x) 的 值。

3、周期性、对称性

考点一:求函数的定义域 1、函数 y ? A、 {x | x ? 0}

x( x ?1) ? x 的定义域为(
B、 {x | x ? 1}

) D、 {x | 0 ? x ? 1}

C、 {x | x ? 1} {0}

2、函数 y ?

2 x ? x2 的定义域是 ln(2 x ? 1)



3、求函数 f ( x) ?

(2 x ? 4)0 的定义域。 x ?3

考点二:函数的单调性和单调区间

? ax , x ? 1 ? 1、已知 f ( x) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围是( a ?(4 ? ) x ? 2, x ? 1 ? 2
A、 (1, ??) B、 [4,8) C、 (4,8) D、 (1,8)



x2 ? 2 x ? a , x ? [1, ??) 2、已知 f ( x) ? x
(1)当 a ?

1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若对任意 x ? [1, ??) , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2

考点三:函数的值域和最值 1、函数 f ( x ) ?

1 1 在区间 [ a, b] 的最大值是 1,最小值是 ,则 a ? b ? x ?1 3



2、若 f ( x ) 为 R 上的增函数,则满足 f (2 ? m) ? f (m ) 的实数 m 的取值范围是
2



考点四:函数的奇偶性
1、下列函数是偶函数的是( A、 y ? sin x B、 y ? x
3

) C、 y ? e
x

D、 y ? ln

x2 ? 1

2、若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 的定义域均为 R ,则(
x x

?x

?x



A、 f ( x ) 与 g ( x) 均为偶函数 C、 f ( x ) 与 g ( x) 均为奇函数

B、 f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数 D、 f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数

3、设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2 x ? b ( b 为常数) ,则 f (?1) ?



4、讨论下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x ( x ?1) ;
2

1? x (2) f ( x) ? ( x ? 1) ; 1? x

4 ? x2 (3) f ( x) ? x?3 ?3

5、已知定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? 是偶函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? x2 ? 2x ? 2 , (1)当 x ? 0 时,求 f ? x ? 解析式;(2)写出 f ? x ? 的单调递增区间。

考点五:函数的周期性
1、若 f ( x ) 是周期为 5 的奇函数,且满足 f (1) ? 1 , f (2) ? 2 ,则 f (3) ? f (4) 等于( A、 ? 1 B、1 C、 ?2 D、2
2



2、已知 f ( x ) 在 R 上为奇函数,并满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 x ? (?2,0) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (2013) ? ( A、 ? 2 B、2 C、 ?18 D、18



3 、 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 并 满 足 f ( x ? 2) ? ?

1 , 当 1 ? x ? 2 时 , f ( x) ? x? 2, 则 f ( x)

f ( 6 . 5? )

。 )

4、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 [0, 2] 上是增函数,则( A、 f (?25) ? f (11) ? f (80) C、 f (11) ? f (80) ? f (?25) B、 f (80) ? f (11) ? f (?25) D、 f (?25) ? f (80) ? f (11)

考点六:函数性质的综合应用
1、下列函数中,既是偶函数,又在 (0, ??) 上单调递减的是( A、 y ? x2 ? cos x B、 y ? ? x C、 y ? lg 2 x )

D、 y ?

2 x 1 3


2、已知偶函数 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上单调递增,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 取值范围是( A、 ( , )

1 2 3 3

B、 [ , )

1 2 3 3

C、 ( , )

1 2 2 3

D、 [ , )

1 2 2 3

【巩固练习】
1、函数 y ? 16 ? 4x 的值域是( 2、函数 y ? )A、 [0, ??) ) B、 [0, 4] C、 [0, 4) D、 (0, 4)

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域是(

A、 {x | x ? 0} 3、函数 y ?

B、 {x | x ? 0}

C、 {x | x ? 0, x ? ?1}

D、 {x | x ? 0, x ? ?1, x ? R}

2 的定义域是 (??,1) [2,5) ,则其值域是( ) x ?1 1 1 A、 (??, 0) ( , 2] B、 (??, 2] C、 (??, ) [2, ??) D、 (0, ??) 2 2
4、已知 f ( x ) 为 R 上的减函数,则满足 f ( A、 (?1,1) C、 (?1,0)

1 ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是( x
(0,1)
D、 (??, ?1)



B、 (0,1)

(1, ??)


5、已知 f ( x ) 为 R 上的增函数,则满足 f ( A、 (??, 2013) B、 (2013, ??)

2013 ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是( x
(2013, ??)
D、 (0, 2013)

C、 (??,0)

6、 已知函数 f ( x) ? ?

?(a ? 2) x ? 1( x ? 1) , 若 f ( x ) 在 (??, ??) 上单调递增, 则实数 a 的取值范围是 ? log a x( x ? 1)



7、若函数 y ? ( x ? 1)( x ? a) 为偶函数,则 a 值为(

)A、 ?2

B、 ?1

C、1

D、2

8、满足 f (? ? x) ? ? f ( x) ,且为奇函数的 f ( x ) 可能为( A、 cos 2 x B、 sin x C、 sin



x 2

D、 cos x

9、 设 f ( x ) 是定义在 R 上周期为 3 的周期函数, 如图是该函数在区间 (?2,1] 上的图像, 则 f (2012) ? f (2013) 等于( A、3 B、2 C、1 D、0 )

10、已知函数 f ( x) ? x2 ? (m ? 2) x ? 3 是偶函数,则 m ?



11、已知函数 f ( x ) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) ,若 f (a) ? ?2 ,则实数 a ?



12、设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? 2 x ? x2 (1) 求证: f ( x ) 是周期函数; (2) 当 x ? [2 ,4 ] 时, 求 f ( x ) 的解析式; (3) 计算 f (0) ? f (1) ? f (2) ?

? f (2013)


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