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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第二章 2.2.2(二)


2.2.2(二)

2.2.2
【学习要求】
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直线方程的几种形式(二)

1.理解直线方程的一般式的特点及与方程其它形式的区别与 联系. 2.会进行直线方程的一般式与其它几种形式之间的相互转化, 进一步掌握求直线方程的方法. 【学法指导】 通过探究二元一次方程与直线的关系,掌握直线方程的一般 式;通过直线方程五种形式间的相互转化,学会用分类讨论 的思想方法解决问题, 认识事物之间的普遍联系与相互转化.

填一填· 知识要点、记下疑难点

2.2.2(二)

直线的方程都是关于 x,y 的二元一次方程;关于 x,y 的二
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元一次图象又都是一条直线. 我们把关于 x,y 的二元一次方
2 2 程 Ax+By+C=0(A +B ≠0) 叫做直线的一般式方程,简称

一般式.

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2.2.2(二)

[问题情境]
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前面我们学习了直线方程的四种表达形式, 它们都含有 x, y 这两个变量,并且 x,y 的次数都是一次的,即它们都是 关于 x, 的二元一次方程, y 那么直线的方程与二元一次方 程有怎样的关系?本节我们就来研究这个问题.

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2.2.2(二)

探究点 问题 1 方程?

直线与二元一次方程的关系 前面我们学习了直线方程哪几种形式?分别写出其

答 点斜式:已知直线上一点 P1(x1,y1)的坐标,和直线的
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斜率 k,则直线的方程是 y-y1=k(x-x1);
斜截式:已知直线的斜率 k,和直线在 y 轴上的截距 b,则 直线方程是 y=kx+b;
两点式:已知直线上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线的 y-y1 x-x1 方程是 = ; y2-y1 x2-x1 截距式:已知直线在 x 轴、y 轴上的截距为 a、b,则直线 x y 的方程是a+b=1.

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2.2.2(二)

问题 2 上述四种直线方程,能否写成 Ax+By+C=0 的统 一形式? 答 都能写成 Ax+By+C=0 的形式,点斜式:y-y1=
k(x-x1),可化为 kx+(-1)y+y1-kx1=0;
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斜截式:y=kx+b,可化为 kx+(-1)y+b=0;当 k 不 存在时,直线为 y 轴或平行于 y 轴的直线,方程为 x= x1,它可化为 x+0· 1=0,此方程也是关于 x,y 的二 y-x 元一次方程; y-y1 x-x1 = 可化为(y2 -y1)x+(x1 -x2)y+x1(y1 -y2)+ y2-y1 x2-x1 y1(x2-x1)=0; x y + =1 可化为 bx+ay-ab=0. a b 小结 直线的方程都是关于 x,y 的二元一次方程.

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2.2.2(二)

问题 3 关于 x,y 的二元一次方程的一般形式是什么?
答 关于 x,y 的二元一次方程的一般形式是 Ax+By+C=0, 其中 A,B 不同时为零.
问题 4
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每一个关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,
都表示一条直线,原因如下:

B 不同时为零)都表示一条直线吗?为什么?

A C 当 B≠0 时,方程 Ax+By+C=0 可变形为 y=-Bx-B,它表 C A 示过点(0,-B),斜率为-B的直线. 当 B=0 时,方程 Ax+By+C=0 变成 Ax+C=0, C 即 x=-A,它表示与 y 轴平行或重合的一条直线. 小结 关于 x,y 的二元一次方程都表示一条直线.

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2.2.2(二)

问题 5 直线与二元一次方程具有什么样的关系?
答 直线方程都是关于 x,y 的二元一次方程;关于 x,y 的
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二元一次方程又都表示一条直线.我们把关于 x,y 的二元一 次方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)叫做直线的一般式 方程,简称一般式.

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2.2.2(二)

问题 6 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比, 它有什么优点?
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答 直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线,而 点斜式、斜截式、两点式方程,都不能表示与 x 轴垂直 的直线.

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2.2.2(二)

问题 7

在方程 Ax+By+C = 0(A,B 不同时为零)中,A,

B,C 为何值时,方程表示的直线(1)平行于 x 轴;(2)平行
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于 y 轴;(3)与 x 轴重合;(4)与 y 轴重合. C 答 当 A=0 时,方程变为 y=-B ,当 C≠0 时表示的直

线为平行于 x 轴,当 C=0 时与 x 轴重合; C 当 B=0 时,方程变为 x=-A ,当 C≠0 时表示的直线为
平行于 y 轴,当 C=0 时与 y 轴重合.

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2.2.2(二)

3 例 1 已知直线通过点(-2,5),且斜率为- ,求此直线的一 4 般式方程.
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3 解 由直线方程的点斜式,得 y-5=-4(x+2), 整理,得所求直线方程为 3x+4y-14=0.
小结 对于直线方程的一般式,一般作如下约定:一般 按含 x 项、含 y 项、常数项顺序排列;x 项的系数为正; x,y 的系数和常数项一般不出现分数;无特殊要求时, 求直线方程的结果写成一般式.

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2.2.2(二)

跟踪训练 1 若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0 表 示一条直线,求实数 m 的取值范围.

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方程(2m2 +m-3)x+(m2 -m)y-4m+1=0 表示一条直

线,则 2m2+m-3=0 与 m2-m=0 不能同时成立.
?2m2+m-3=0, ? 解? 2 ?m -m=0, ?

得 m=1.

故 m 的取值范围为(-∞,1)∪(1,+∞).

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2.2.2(二)

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例 2 求直线 l:2x-3y+6=0 的斜率及在 y 轴上的截距. 2 解 已知直线方程可化为 y=3x+2, 2 所以直线 l 的斜率 k=3,在 y 轴上的截距是 2. 小结 求直线方程,表面上需求 A、B、C 三个系数,由 B C 于 A、 不同时为零, A≠0, B 若 则方程化为 x+Ay+A=0, B C A C 只需确定A、A的值;若 B≠0,则方程化为Bx+y+B=0, A C 只需确定 、 的值. B B 因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程.这样在
以后求直线方程时会有章可循.

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2.2.2(二)

跟踪训练 2

利用直线方程的一般式,求过点(0,3)并且与坐

标轴围成三角形面积是 6 的直线方程.
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解 设直线为 Ax+By+C=0, ∵直线过点(0,3)代入直线方程 C 得 3B=-C,B=- 3 , ? C2 ? 由三角形面积为 6,得?AB?=12,
? ?

C C C ∴A=± ,∴方程为± x- y+C=0, 4 4 3 所求直线方程为 3x-4y+12=0 或 3x+4y-12=0.

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2.2.2(二)

例 3 已知直线 l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 恒过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围. 3 1 (1)证明 将直线 l 的方程整理得 y- =a(x- ), 5 5 1 3 ∴l 的斜率为 a,且过定点 A( , ), 5 5 ?1 3? 而点 A?5,5?在第一象限,故直线 l 恒过第一象限. ? ? 3 5-0 (2)解 直线 OA 的斜率为 k=1 =3.而直线 l 的方程 5-0
? 1? 3 整理得 y-5=a?x-5?, ? ?

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∵l 不经过第二象限,∴k=a≥3.

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2.2.2(二)

小结
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针对这个类型的题目,灵活地把一般式 Ax+By+C=

0 进行变形是解决这类问题的关键.在求参量取值范围时, 巧妙地利用数形结合思想,会使问题简单明了.

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2.2.2(二)

跟踪训练 3 已知直线 mx+ny+12=0 在 x 轴,y 轴上的截 距分别是-3 和 4,求 m,n. 解 方法一 将方程 mx+ny+12=0 化为截距式得:
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x y + =1, 12 12 -m - n
?-12 ? =-3 ? m 因此有? ?-12 ? n =4 ?
?m=4 ? ,解之得:? ?n=-3 ?

.

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2.2.2(二)

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方法二 由截距意义知,直线经过 A(-3,0)和 B(0,4)两点,因 ?m· 0+12=0 ? ?-3?+n· 此有? , ?m· 4+12=0 ? 0+n·
?m=4 ? 所以? ?n=-3 ?

.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

2.2.2(二)

1.如果方程 Ax+By+C=0 表示的直线是 y 轴,则 A、B、
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C 满足 A.B· C=0 C.B· C=0 且 A≠0 B.A≠0

( D ) D.A≠0 且 B=C=0

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2.2.2(二)

2.直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,若直线 l 过原点和二、 四象限,则
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( D ) B.A>0,B>0,C=0 D.AB>0,C=0

A.C=0,B>0 C.AB<0,C=0

解析 通过直线的斜率和截距进行判断.

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2.2.2(二)

3.直线 x+2y-1=0 在 x 轴上的截距为________. 1
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解析 令 y=0,得 x=1.

2.2.2(二)

1.直线方程的其他形式都可以化成一般形式,一般式也可
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以化为斜截式.一般式化斜截式的步骤:(1)移项,By= A C -Ax-C;(2)当 B≠0 时,得 y=-Bx-B. 2.在一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)中,若 A=0,则 y C =-B,它表示一条与 y 轴垂直的直线;若 B=0,则 x C =-A,它表示一条与 x 轴垂直的直线.


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