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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:11.3 几何概型


第十一章

第3讲

一、选择题 1. [2013· 信阳模拟]如图,M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在圆 周上等可能的任取一点 N,连接 MN,则弦 MN 的长度超过 2R 的概 率是( A. C. 1 5 1 3 ) B. D. 1 4 1 2

答案:D π 2× 2 1 π 解析:由题意知,当 MN= 2R 时,∠MON= ,所以所求概率为 = . 2 2π 2 2. [2013· 镇江模拟]某校航模小组在一个棱长为 6 米的正方体房间内试飞一种新型模型 飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁 的距离均大于 1 米,则模型飞机“安全飞行”的概率为( A. C. 1 27 3 8 B. D. 1 16 8 27 )

答案:D 6-2 3 8 解析:依题意得,模型飞机“安全飞行”的概率为( ) = ,选 D. 6 27 3. 如图,是一个算法程序框图,在集合 A={x|-10≤x≤10,x∈R}中随机抽取一个数 值做为 x 输入,则输出的 y 值落在区间(-5,3)内的概率为( )

A. 0.4 C. 0.6

B. 0.5 D. 0.8

答案:D

?x+3?x<0?, ? 解析:f(x)=?x-5?x>0?, ?0?x=0?, ?
8+8 的概率为 P= =0.8. 10-?-10?

当-5<x+3<3?-8<x<0,-5<x-5<3?0<x<8,所以有解

4. 如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内, 曲线 y=x2 和曲线 y= x围成一个叶形图(阴影部分), 向正 方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何 一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是 ( ) A. C. 1 2 1 4 B. D. 1 6 1 3

答案:D 解析: 依题意知, 题中的正方形区域的面积为 12=1, 阴影区域的面积等于?1( x-x2)dx

?0

2 3 1 ? 1 1 =( x - x3)? = .因此所投的点落在叶形图内部的概率等于 ,选 D. 3 2 3 ?0 3 3 5. [2013· 郑州模拟]分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆, 重 叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在 阴影区域的概率为( A. C. 4-π 2 4-π 4 ) B. D. π-2 2 π-2 4

1

答案:B 解析:设 AB=2,则 S 阴影=2π-4. ∴ 2π-4 π-2 = ,故选 B 项. 4 2

6. [2012· 四川资阳高三模拟]已知实数 x∈[-1,1],y∈[0,2],则点 P(x,y)落在区域

?2x-y+2≥0, ? ?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ?
A. C. 3 16 3 4

内的概率为(

)

B. D.

3 8 1 2

答案:B

解析:如图所示,(x,y)在矩形 ABCD 内取值,不等式组所表示的区域为△AEF,由几 3 何概型的概率公式,得所求概率为 ,故选 B. 8

二、填空题 7.[2013· 大理模拟]如图, 曲线 OB 的方程为 y2=x(0≤y≤1), 为估计阴影部分的面积,采用随机模拟方式产生 x∈(0,1), y∈(0,1)的 200 个点(x,y),经统计,落在阴影部分的点共 134 个,则估计阴影部分的面积是________. 答案:0.67 解析:由落入阴影部分的点的个数与落入正方形区域的点 134 的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为 ,又正方形的面积为 1,所以阴影部 200 分的面积为 0.67. 5 8. [2013· 邵阳模拟]在[-6,9]内任取一个实数 m,设 f(x)=-x2+mx+m- ,则函数 f(x) 4 的图象与 x 轴有公共点的概率等于________. 3 答案: 5 5 5 解析:若函数 f(x)=-x2+mx+m- 的图象与 x 轴有公共点,则 Δ=m2+4(m- )≥0, 4 4 [?-5?-?-6?]+?9-1? 又 m∈[-6,9],得 m∈[-6,-5]或 m∈[1,9],故所求的概率为 P= = 9-?-6? 3 . 5 1 1 9. [2013· 商丘模拟]已知函数 f(x)=log2x, x∈[ , 在区间[ , 2], 2]上任意一点 x0, f(x0)≥0 使 2 2 的概率为________. 2 答案: 3 解析:由 f(x0)≥0,得 log2x0≥0. ∴x0≥1,即使 f(x0)≥0 的区域为[1,2], 2-1 2 故所求概率为 P= = . 1 3 2- 2

三、解答题 10. [2013· 伊春模拟]已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为(x,y),求 x,y∈R 时,P 满足(x -2) +(y-2)2≤4 的概率. 分析:由题意画出图象可求面积之比. 解: 如图, P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界), 点 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的点的区域为以(2,2)为圆心,2 为半径 的圆面(含边界). 1 π×22 4 π ∴所求的概率 P1= = . 4×4 16 11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2-2(a-2)x-b2+16=0. (1)若 a,b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数,求方程有两个正实数根的概率; (2)若 a∈[2,6],b∈[0,4],求一元二次方程没有实数根的概率. 解:(1)基本事件(a,b)共有 36 个,且 a,b∈{1,2,3,4,5,6},方程有两个正实数根等价于 a-2>0,16-b2>0,Δ≥0,即 a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2≥16. 设“一元二次方程有两个正实数根”为事件 A,则事件 A 所包含的基本事件数为(6,1), 4 1 (6,2),(6,3),(5,3)共 4 个,故所求的概率为 P(A)= = . 36 9 (2)试验的全部结果构成区域 Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4},其面积为 S(Ω)=16. 设 “ 一 元 二 次 方 程 无 实 数 根 ” 为 事 件 B , 则 构 成 事 件 B 的 区 域 为 B = {(a , 1 b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2)2+b2<16},其面积为 S(B)= ×π×42=4π, 4 4π π 故所求的概率为 P(B)= = . 16 4 12. [2013· 锦州模拟]已知复数 z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点为 M. (1)设集合 P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合 P 中随机取一个数作为 x,从集 合 Q 中随机取一个数作为 y,求复数 z 为纯虚数的概率;
2

?x+2y-3≤0, ? (2)设 x∈[0,3],y∈[0,4],求点 M 落在不等式组:?x≥0, ?y≥0 ?
内的概率. 解:(1)记“复数 z 为纯虚数”为事件 A. ∵组成复数 z 的所有情况共有 12 个:-4,-4+i,-4+

所表示的平面区域

2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每种情况出现的可能性相 等,属于古典概型,其中事件 A 包含的基本事件共 2 个:i,2i, 2 1 ∴所求事件的概率为 P(A)= = . 12 6 (2)依条件可知,点 M 均匀地分布在平面区域

?0≤x≤3? ? ? ?内,属于几何概型,该平面区域的图形 {(x,y)|? ?0≤y≤4? ? ?

为右图中矩形 OABC 围成的区域,面积为 S=3×4=12. 而所求事件构成的平面区域为

?x+2y-3≤0 ? {(x, ?x≥0 y)| ?y≥0 ?
影部分).

}, 其图形如图中的三角形 OAD(阴

3 又直线 x+2y-3=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(3,0)、D(0, ), 2 1 3 9 ∴三角形 OAD 的面积为 S1= ×3× = . 2 2 4 9 S1 4 3 ∴所求事件的概率为 P= = = . S 12 16


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