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2014年全国名校数学试题分类解析汇编 C单元 三角函数2


C 单元 三角函数 目录 C1 角的概念及任意角的三角函数................................................................................................. 2 C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 ............................................................................... 3 C3 三角函数的图象与性质......................................................................................................... 19 C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质................................................................................ 26 C5 C6 C7 C8 C9 两角和与差的正弦、余弦、正切......................................................................................... 34 二倍角公式 ............................................................................................................................ 40 三角函数的求值、化简与证明............................................................................................. 47 解三角形 ................................................................................................................................ 50 单元综合 ................................................................................................................................ 54

C1 角的概念及任意角的三角函数
【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】C111、将 - 300 化 为弧度为 【知识点】弧 度 与 角 度 的 互 化 .
?

5p 5p ,故 答 案 为 3 3 p 【思路点拨】角 度 化 为 弧 度 , 变 换 规 则 是 度 数 乘 以 即可. 180
【答案解析】 -

5p p 0 解析 :解: - 300 ? 3 180

-

【数学卷·2014 届江苏省南京市金陵中学高三第四次模拟考试(201405) 】C1C515.(本题 满分 14 分) 如图所示,已知 ? 的终边所在直线上的一点 P 的坐标为 (?3, 4) , ? 的终边在第一象限且与 单位圆的交点 Q 的纵坐标为 ⑴求 tan(2? ? ? ) 的值; ⑵若
?
2
2 10

.

P?

y

?? ?? ,0 ? ? ?

?
2

,求 ? ? ? .
O

?

Q ? ?

x

图(15) 【知识点】任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 ; 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 ; 两 角 和 与 差 的 正 弦函数. 【答案解析】⑴

161 3p ⑵ 4 73
4 3
2 10

解析 :解:⑴由三角函数的定义知 tan ? ? ? ∴ tan 2? ?
2 ? (? 4 3) 2 4 1 ? ( 3)

?

24 7

.又由三角函数线知 sin ? ?

,

1 b 为第一象限角,\ tan b = ,\ tan ( 2a + b ) = 7

24 7 24 1+ 7

1 7 = 161 . 1 73 7

3 p p 0< b < , , ∵ <a< p, 5 2 2 p 3p ∴ <a + b< . 2 2
(2)

cosa= -

∵ sin a + b =sina cosb +cosasinb= ? 又∵

(

)

4 7 2 5 10

3 2 ? 5 10

2 . 2

p 3p 3p <a + b< ,∴ a +b = . 2 2 4

b ,然后再求 tan b; 【思路点拨】( Ⅰ ) 直 接 根 据 三 角 函 数 的 定 义 , 求 出 s i n
( Ⅱ ) 由 cosa , 求 出 a + b 的 正 弦 值 , 根 据

p p <a< p, 0< b < ,求出 a +b . 2 2

C2 式

同角三角函数的基本关系式与诱导公

【数学(文)卷·2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试(201408) 】C218.(本 小题满分 12 分)在 ΔABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (Ⅰ) 求角 C 的大小; (Ⅱ) 若 c=2,求使 ΔABC 面积最大时,a, b 的值. 【知识点】正弦定理;余弦定理;三角形面积公式. 【答案解析】(1) C = 解析 :解: (1)

2a ? b cos(A ? C) ? c cosC

3 2p (2) 3 3

,由题意及正弦定理 c o s ( A ? C ) ?? c o s (B )c ? ? o s B

?

2 s i n A ? s i n B? c o s B ? ? s i n C c o s C


2 s i n A c o s ? C ? ( s i n B c ? o s C c o s B ? s ? i n C ) ? s i ? n ? ( B C ) s i n A

A ? ( 0 , ? ) ? s i n A ? 0从而


cosC ??

2? …………………6 分 3 2 2 2 (2)由余弦定理 c ? ab ? ? 2 a bC c o s 1 22 2 2 2 2 ,? 4 ? a ? b ? a b ? 2 a b ? a b ? 3 a b ? a ? b ? a b ?? 4a ? b ? 2 a b ? ( ?) 即 4 2 1 3 4 S b s i n C ? a b (当且仅当 a ? b 时成立) ?4? 3 a b , a b? A B C? a 2 4 3 3 2 3 ΔABC 面积最大为 ,此时 a ? b = ? 当 a ? b 时 3 3 2 3 3 故当 a ? b = 时,ΔABC 的面积最大为 . 3 3
C ? ( 0 , ? ) ?C?
【思路点拨】(1)利用诱导公式和正弦定理以及两角和的正弦公式可求得结果; (2)根据 余弦定理可判断出当 a = b ,ΔABC 面积最大,再求出最大值即可.

1 2

【数学(文)卷·2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试(201408) 】C2C614. 已 知 sin ? ? cos ? ? ? 1 ,则 sin 2? ? ________

5

【知识点】平方关系;二倍角正弦公式.

24 1 解析 :解:把 sin ? ? cos ? ? ? 1 两边平方可得 1 ? 2sin ? cos ? ? , 5 25 25 24 24 即 sin 2? ? ,故答案为 . 25 25
【答案解析】 【思路点拨】把原等式两边平方可得结果.

【数学(文)卷·2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试(201408) 】C5C218. (本小 题满分14分)在 ?ABC 中,三个内角分别为 A, B, C ,且 cos( A ?

?
3

) ? 2 cos A .

6 , BC ? 3 ,求 AC . 3 ? 4 (2)若 B ? (0, ) ,且 cos( A ? B ) ? ,求 sin B . 3 5
(1)若 cosC ? 【知识点】两 角 和 差 的 正 余 弦 公 式 的 应 用 ; 正弦定理. 【答案解析】(1) AC ? 1 ? 6 (2) sin B = 解析 :解:因为 cos( A ?

4 3- 3 . 10

?
3

) ? 2 cos A ,得 cos A cos

?
3

? sin A sin

?
3

? 2 cos A ,

即 sin A ? 3 cos A ,因为 A ? ?0, ? ? ,且 cos A ? 0 ,

所以 tan A ? 3 ,所以 A ?

?
3



(1)因为 sin C ? cos C ? 1 , cosC ?
2 2

6 3 , C ? ?0, ? ? ,所以 sin C ? 3 3 3 6 1 3 3 2? 3 ? ? ? ? , 2 3 2 3 6

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ? 由正弦定理知:

AC BC ? ,即 AC ? 1 ? 6 。 sin B sin A

(2)因为 B ? (0,

?
3

) ,所以 A ? B ?

?

? ?? ? B ? ? 0, ? , 3 ? 3?
3 , 5

sin 2 ( A ? B) ? cos2 ( A ? B) ? 1 ,所以 sin( A ? B) ?

所以 sin B ? sin ? A ? ? A ? B ?? ? sin A cos(A ? B) ? cos A sin( A ? B) ?

4 3 ?3 . 10

【思路点拨】先结合已知条件利用三角公式进行化简可求出角A,(1)先求 sin B ,再利用 正弦定理可求结果, (2)先求 sin( A - B) ,再求 sin B 即可.

【数学(文)卷·2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试(201408) 】F3C214.在△ABC → → 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC= 【知识点】向 量 的 数 量 积 ; 余 弦 定 理 的 运 用 . → → 【答案解析】 3 解析 :解:设 AB, BC 的夹角为 θ , BC = a , ∵ AB=2,AB· BC=1,
2 a cos q ,∴ a 2 = 3, ∴ a = 3 , ∴ 2acosq = 1 ,又 由 余 弦 定 理 可 得 : 9 = 4+ a + 4



故答案为:

3

【思路点拨】利 用 向 量 的 数 量 积 , 及 余 弦 定 理 , 即 可 求 得 BC 的 值 .

【数学理卷·2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试(201407) 】C219、 (本题 满分 12 分) 已知 ?ABC 中, 角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,已知 c ? 2, C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a, b (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2 sin 2 A ,求 ?ABC 的面积. 【知识点】三角形面积公式、余弦定理、正弦定理

?
3

.

【答案解析】(1)a=b=2;(2)

2 3 3

?1 ?ab ? 4 ? ab sin C ? 3 解析:(1)由已知得 ? 2 解得 a=b=2; 即? 2 2 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ?a ? b ? ab ? 4 ?
(2)由 sin C ? sin( B ? A) ? 2 sin 2 A 得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sinA, 得 cosA(sinB-2sinA)=0, 所 以 cosA=0 或 sinB=2sinA , 得 A=90 ° 或 若 b=2a , b=2a , 若 A=90 ° , 则 由

b?

2

3 1 2 3 , S? b c ? , 3 2 3

a 2 ? b2 ? ab ? 4



2 3 4 1 2 3 a 2 ? , S ? ab sin C ? ,综上得三角形面积为 . 3 3 2 3
【思路点拨】 在遇到三角形面积问题时若已知内角可考虑用夹角的面积公式, 本题抓住已知 条件利用余弦定理及正弦定理建立条件,解方程组求解.

【数学理卷·2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试(201407) 】C218、(本题 满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, B ? 45 0 , b ? 10 , cos C ? (1)求 a 边长; (2)设 AB 中点为 D ,求中线 CD 长. 【知识点】正弦定理、余弦定理 【答案解析】 (1) a ? 3 2 ; (2) CD ? 13 .

2 5 . 5

b 3 10 ? sin A ? 3 2 ; ,所以 a ? sin B 10 2 5 2 2 2 ? 4 , 所 以 c=2 , 则 (2) 因 为 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 18 ? 10 ? 12 5 ? 5
解析:(1)因为 sin A ? sin ?B ? C ? ?

CD ? 1 8 ? ? 1 ? 2? 1 ?3 2 ? ? s i n .4 5 1 3 【思路点拨】结合已知条件,恰当的利用正弦定理和余弦定理,在相应的三角形中进行转化 求解是解题的基本思路.

?ABC 【数学理卷· 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 (201407) 】 C2C316、
0 中, ?A ? 60 ,点 M 为边 AC 的中点, BM ? 2 3 ,则 AB ? AC 的最大值为________ 【知识点】正弦定理、三角函数的性质

【答案解析】 4 7 解析:设 AB=c , AC=b ,∠ ABM= α ,∠ AMB= β ,由正弦定理得 AB+AC=c+b=c+2AM=

BM BM ? sin ? ? 2 ? ? sin ? ? 4 ? sin ? ? 2sin ? ? ? 4 ? sin ? ? 2sin ?120? ? ? ? ? = sin A sin A

4 2sin ? ? 3 cos ? ? 4 7 sin ? ? ? ? ? , 其 中

?

?

tan θ

=

3 2

, 显 然

4

7 ? s? i ?? n? ?

? AC 的最大值为 4 7 .所以 4AB 7

【思路点拨】在三角形 ABM 中,当直接求最值不方便时可把所求的边的关系利用正弦定理 转化为角的关系,利用角的范围求其最大值.

【数学理卷·2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试(201407) 】C2E612、在 ?ABC 中,设 AD 为 BC 边上的高,且 AD ? BC , b, c 分别表示角 B, C 所对的边长,则

b c ? 的取值范围是( c b A [2, 5 ] B [2, 6 ]

) C [3, 5 ] D [3, 6 ]

【知识点】三角形面积公式、余弦定理、基本不等式 【答案解析】A 解析:因为 BC 边上的高 AD=BC=a,所以 S
ABC

?

1 2 1 a ? bc sin A ,所以 2 2
, 所 以

sinA=

a2 bc









cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? b c a 2 ? ? ? ? ? ? 2bc 2 ? c b bc ?

b c b c ? =2cosA+sinA= 5 sin ? A ? ? ? ,其中 tanA=2,由基本不等式得 ? ≥2,所以 c b c b b c ? 的范围是 [2, 5 ] ,选 A. c b
【思路点拨】 借助于三角形面积建立边角关系, 再有余弦定理把边转化成三角函数的最大值, 利用基本不等式求其最小值,即可得其范围.

【数学理卷· 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 (201407) 】 C24、 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 A ? 60 0 , a ? 4 3 , b ? 4 2 , 则 B ? ( A 45 或135 B 135 【知识点】正弦定理
0 0 0



C 45

0

D 以上答案都不对

3 sin A 2 ?b ? 2 ? 4 2 ? 【答案解析】C 解析:因为 sin B ? ,又 b<a,则 B<A,所 a 2 4 3
以 B 为锐角,则 B= 45 ,所以选 C. 【思路点拨】知道两边及其一边对的角,求另一边对的角,用正弦定理解答,注意结合大边 对大角确定角的范围.
0

【数学理卷· 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 (201407) 】 C23、 在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 一定是 ( ) A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 【知识点】正弦定理、余弦定理 【答案解析】 C 解析:因为 a cos A ? b cos B ,由正弦定理得 sinAcosA=sinBcosB ,得 sin2A=sin2B,由 A、B 为三角形内角得 2A=2B 或 2A+2B=π ,得 A=B 或 A+B=

以 ?ABC 是等腰三角形或直角三角形,选 C. 【思路点拨】在解三角形中,一般遇到边角混合条件,可利用正弦定理或余弦定理把关系转 化为角的关系或转化为边的关系进行解答,本题还可用余弦定理转化为边的关系解答.

? ,所 2

【数学理卷·2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试( 201407 ) 】 H1C28. 直线

? ?? x cos ? ? y sin ? ? 1 ? 0 , ? ? ? 0, ? 的倾斜角为( ? 2?
A. ? B.



?
2

??

C. ? ? ?

D.

?
2

??

【知识点】斜率与倾斜角的概念;诱导公式. 【答案解析】B解析 :解:因为直线 x cos ? ? y sin ? ? 1 ? 0 , ? ? ? 0,

? ?? ? ,设其倾斜角 ? 2?

为 q ,所以斜率 k = tan q = -

骣 cos a p p = - cot a = tan 琪 琪 +a ,故 q = 2 +a ,故选B. sin a 2 桫
骣 p 2 桫

【思路点拨】结合已知条件把 k = tan q 利用诱导公式转化为 tan 琪 琪 +a 后可得结论.

【数学理卷·2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试(201407)】C2D2D32.已知△ ABC 中,三内角 A,B,C 依次成等差数列,三边 a,b,c 成等比数列,则△ABC 是( )

A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【知识点】三 角 形 的 形 状 判 断 ; 余 弦 定 理 ; 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 概 念 及 其 应 用 . 【答案解析】A解析 :解:∵ △ABC中 , 三内角A,B,C依次成等差数列,
0 0 ∴ A + C = 2 B , 又 A + B + C =1 80 , ∴ B = 60 .

又 a,b,c成等比数列,∴ b = ac , 在 △ABC中 , 由 余 弦 定 理 得 : b = a + c - 2ac cos B = a + c - 2ac cos 60 ,
2 2 0 ∴ a + c - 2ac cos 60 = ac , ∴ a - c
2 2 2 2 2 0

2

(

)

2

= 0,∴ a =c,

0 ∴ A = C , 又 B = 60 , ∴ △ ABC 为 等 边 三 角 形 . 故 选 A.

【思路点拨】依 题 意 ,可 知 B = 60 ,利 用 余 弦 定 理 b = a + c - 2ac cos B 结 合 边 a, b,c依 次 成 等 比 数 列 即 可 判 断 △ABC的 形 状 .

0

2

2

2

【数学理卷·2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试(201407)】C21.在△ABC 中, a=2,b= 2,A=45° ,则 B 等于( )

A.45° B.30° C.60° D.30° 或 150° 【知识点】正 弦 定 理 ; 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ; 三 角 形 的 边 角 关 系 . 【答案解析】B 解析 :解:∵ a=2,b= 2 ,A=45° ,

∴由正弦定理

b s i nA a b = = 得 : sin B = a s i nA s i n B

2?

2 2 = 1, 2 2

0 ∵ 2 > 2 , 即 a > b , ∴ A > B , 则 B = 30 . 故 选 B.

【思路点拨】利 用 正 弦 定 理 列 出 关 系 式 , 将 a , b 及 sin A 的 值 代 入 求 出 s i nB 的 值 , 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 即 可 求 出 B的 度 数 .

【数学文卷·2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试(201407) 】C219、 (本题 满分 12 分) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 满 足

2a sin A ? (2b ? 3c) sin B ? (2c ? 3b) sin C .
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积. 【知识点】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 【答案解析】(1) A ?

?
6

;(2) 3

解析: (1)由已知及正弦定理可得 2a 2 ? (2b ? 3c)b ? (2c ? 3b)c ,
2 2 2 整理得 b ? c ? a ? 3bc ,所以 cos A ?

又 A ? (0, ? ) ,故 A ? (2)由正弦定理可知 所以 sin B ? 又 B ? (0,

?
6

3 . 2



a b ? ? ,又 a ? 2 , b ? 2 3 , A ? , sin A sin B 6

5? ? 2? ) ,故 B ? 或 . 6 3 3

3 . 2

若B?

?

3 2 2? ? 若B? ,则 C ? ,于是 S ?ABC 3 6

,则 C ?

?

,于是 S ?ABC ?

1 ab ? 2 3 ; 2 1 ? ab sin C ? 3 . 2

【思路点拨】 在解三角形问题中, 当遇到边角混合条件经常利用正弦定理或余弦定理先把条 件转化为单一的边的关系或单一的角的关系再进行解答.

【数学文卷·2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试(201407) 】C218、 (本题 满分 12 分) 如图,在山底测得山顶仰角 ?CAB ? 45 ,沿倾斜角为 30 的斜坡走 1000 米至 S 点,又测得山
0 0

顶仰角为 75 ,求山高 BC .

0

【知识点】正弦定理,直角三角形边角关系 【答案解析】1000 米 解析:因为∠ASB=360°-75°-150°=135°, ∠SBA=180°-15°-135°=30°,由正弦定理得 AB ? 则 BC ? AB sin ?BAC ? 1000 2 ?

AS ? sin135? ? 1000 2米 , sin 30?

2 ? 1000 米. 2

【思路点拨】求长度问题,一般把对应的长度放到对应的三角形中,再利用正弦定理或余弦 定理及直角三角形边角关系进行解答.

?ABC 【数学文卷· 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 (201407) 】 C2C316、
0 中, ?A ? 60 ,点 M 为边 AC 的中点, BM ? 2 3 ,则 AB ? AC 的最大值为________

【知识点】正弦定理、三角函数的性质 【答案解析】 4 7 解析:设 AB=c , AC=b ,∠ ABM= α ,∠ AMB= β ,由正弦定理得 AB+AC=c+b=c+2AM=

BM BM ? sin ? ? 2 ? ? sin ? ? 4 ? sin ? ? 2sin ? ? ? 4 ? sin ? ? 2sin ?120? ? ? ? ? = sin A sin A

4 2sin ? ? 3 cos ? ? 4 7 sin ? ? ? ? ? , 其 中

?

?

tan θ

=

3 2

, 显 然

4

7 ? s? i ?? n? ?

? AC 的最大值为 4 7 .所以 4AB 7

【思路点拨】在三角形 ABM 中,当直接求最值不方便时可把所求的边的关系利用正弦定理 转化为角的关系,利用角的范围求其最大值.

【数学文卷· 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 (201407) 】 C25、 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 A ? 60 0 , a ? 4 3 , b ? 4 2 , 则 B ? ( A 45 或135
0 0



B 135

0

C 45

0

D 以上答案都不对

【知识点】正弦定理

3 sin A 2 ?b ? 2 ? 4 2 ? 【答案解析】C 解析:因为 sin B ? ,又 b<a,则 B<A,所 a 2 4 3
以 B 为锐角,则 B= 45 ,所以选 C. 【思路点拨】知道两边及其一边对的角,求另一边对的角,用正弦定理解答,注意结合大边 对大角确定角的范围.
0

【数学文卷· 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 (201407) 】 C22、 在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 一定是 ( ) A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 【知识点】正弦定理、余弦定理 【答案解析】 C 解析:因为 a cos A ? b cos B ,由正弦定理得 sinAcosA=sinBcosB ,得 sin2A=sin2B,由 A、B 为三角形内角得 2A=2B 或 2A+2B=π ,得 A=B 或 A+B=

以 ?ABC 是等腰三角形或直角三角形,选 C. 【思路点拨】在解三角形中,一般遇到边角混合条件,可利用正弦定理或余弦定理把关系转 化为角的关系或转化为边的关系进行解答,本题还可用余弦定理转化为边的关系解答.

? ,所 2

【数学文卷·2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试(201407) 】C220. (此题 8 分) △ABC 中,BC=7,AB=3,且 (1)求 AC 的长;

3 sin C = . sin B 5

(2)求∠A 的大小. 【知识点】正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 . 【答案解析】( 1 ) AC =5 ( 2 ) ∠ A=120 ° 解析 :解:( 1 ) 由 AB=3 , 根 据 正 弦 定 理 得 :

AC AB AB = ? sinB sinC AC

sin C 3 = ? AC sinB 5

5 ? 3 =5 3

( 2 )由 余 弦 定 理 得 :cosA =

AB 2 + AC 2 - BC 2 9 + 25 - 49 1 = = - ,所 以 ∠ A=120 °. 2AB 状 AC 2 3 5 2

【思路点拨】( 1 )由 正 弦 定 理 ,根 据 正 弦 值 之 比 得 到 对 应 的 边 之 比 ,把 AB 的 值 代 入 比 例 式 即 可 求 出 AC 的 值 ; ( 2 ) 利 用 余 弦 定 理 表 示 出 cosA , 把 BC , AB 及 求 出 的 AC 的 值 代 入 求 出 cosA 的 值 ,由 A 为 三 角 形 的 内 角 ,利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 即 可 求 出 A的 度 数 .

【数学文卷·2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试(201407) 】C26.△ABC 中, 如果
a b c = = ,那么△ABC 是( tan A tan B tan C

). D.钝角三角形

A.直角三角形

B.等边三角形 C.等腰直角三角形

【知识点】正弦定理的应用, ? 0, ? ? 上余弦函数是减函数. 【答案解析】B解析 :解:把正弦定理代入已知等式得: cosA=cosB=cosC, 因为 A 、B 、 C ? ? 0, ? ? ,而且 ? 0, ? ? 上余弦函数是减函数,所以A=B=C,所以△ABC是等边三角形. 【思路点拨】利用正弦定理把已知等式化为:cosA=cosB=cosC ,再根据 ? 0, ? ? 上角与余弦 值一一对应得结论.

【数学文卷·2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试(201407) 】C24.△ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别为 a, b, c. 若 a=3, b=4, ∠C=60° , 则 c 的值等于( A.5 B.13 C. 13 D. 37 ).

【知识点】余弦定理的应用. 【答案解析】C解析 :解:由余弦定理 c ? a ? b ?2 abcos C得: c ? 13
2 2 2

【思路点拨】利用余弦定理求得结论.

【数学文卷·2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试(201407) 】C2C7C817.在

?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为内角 A、B、C 的对边,且

2a sin A ? ( 2b ? c ) sin B ? ?2c ? b ? sin C
(1) 求 A 的大小;(5 分) (2) 若 sin B ? sin C ? 1 ,判断 ?ABC 的形状.(7 分) 【知识点】正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 的 应 用 ; 解 三 角 形 ; 三 角 函 数 的 化 简 求 值 . 【答案解析】(1) A ? 120? ; (2)顶角为钝角的等腰三角形 解析 :解:(1)由正弦定理得 2a ? ?2b ? c ?b ? ?2c ? b ?c
2

b2 ? c2 ? a 2 1 即 b ? c ? a ? ? bc ∴ ? ? ,∴ A ? 120? 2bc 2
2 2 2

(2)由(1)知 A ? 120? ,∴ B ? C ? 60? ∴ sin B ? sin C ? sin B ? sin( 60? ? B ) ?

1 3 sin B ? cos B ? sin( B ? 60? ) ? 1 2 2

∴ B ? 30?, C ? 30? ,∴ ?ABC 是等腰三角形 【思路点拨】(1)利 用 正 弦 定 理 把 题 设 等 式 中 的 角 的 正 弦 转 化 成 边 ,求 得 a , b 和 c 关 系 式 , 代 入 余 弦 定 理 中 求 得 cosA 的 值 , 进 而 求 得 A . (2)把 (1)中 a , b 和 c 关 系 式 利 用 正 弦 定 理 转 化 成 角 的 正 弦 ,与 sin B ? sin C ? 1 联 立 求 得 sinB 和 sinC 的 值 ,进 而 根 据 C , B 的 范 围 推 断 出 B=C ,可 知 △ ABC 是 等 腰 的钝角三角形.

B1

A1

C1 【数学文卷·2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试(201407) 】C2 5.某班设计 D 了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1,顶角为 ? 的四个等腰三角形及其底边构成 E 的正方形所组成,则该八边形的面积为( )
A. 2 sin ? ? 2 cos ? ? 2 C. 3 sin ? ? B. sin ? ?

3 cos ? ? 3

B

A

C
3 cos ? ? 1
D. 2 sin ? ? cos ? ? 1 (18 文图) 【知识点】三 角 面 积 公 式 的 应 用 ; 余 弦 定 理 的 应 用 . 【答案解析】A 解析 :解:由 正 弦 定 理 可 得 4 个 等 腰 三 角 形 的 面 积 和 为 :

1 4 创 1创 1 sin a = 2sin a 2
由 余 弦 定 理 可 得 正 方 形 边 长 为 : 1 +1 - 2创 1 1? cosa= 2 2cosa
2 2

a ,所 以 所 求 八 边 形 的 面 积 为 : 2 sin ? ? 2 cos ? ? 2 故正方形面积为: 2 - 2 cos 故 选 A. 【思路点拨】根 据 正 弦 定 理 可 先 求 出 4 个 三 角 形 的 面 积 ,再 由 三 角 面 积 公 式 可 求 出 正方形的边长进而得到面积,最后得到答案.

【数学文卷·2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试(201407) 】C24.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 18 , b ? 24 , A ? 45? ,则这样的三角形有 ( ) A.0 个 B. 两个 【知识点】正弦定理;三角形解得情况. 【答案解析】B解析 :解:

C. 一个

D. 至多一个

b ?sin 450

24?

2 2

12 2 , 12 2 <18 < 24 ,即

b?sin 450

a < b ,可知这样的三角形有两个,故选B.
0

【思路点拨】由已知可得 b?sin 45

a < b ,利用三角形解得情况可得结果.

【数学文卷· 2014 届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试 (201405) 】 C211、 在 ?ABC 中,

a ? 2 , b ? 3, B ?
A.

?

? 6

3

,则 A=( B.

) C.

? 4

? 3
2 , b ? 3, B ?

D.

? 2

【知识点】正弦定理. 【答案解析】B 解析 :解: ∵在 ?ABC 中, a ?

?
3



∴由正弦定理

=

得:sinA=

=

=

,∵a<b,∴A<B,则 A=



故选:B. 【思路点拨】由a,b,sinB的值,利用正弦定理求出sinA的值,即可确定出A的度数.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】C215、(本小题满 分 12 分)已知 x 是第三象限角,且 cos x ? sin x ? (1)求 cos x ? sin x 的值 (2)求 2 sin x ? sin x cos x ? cos x 的值
2 2

5 5

【知识点】同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 的 应 用 . 【答案解析】(1) -

7 3 5 (2) 5 5

解析 :解:( 1 ) cos x - sin x

(

)

2

1 4 = 1 - 2sin x cos x = , ∴ 2 s i nx c ox s= , 5 5

∴ cos x + sin x

(

)

2

9 = 1 + 2sin x cos x = , 5
3 5 . 5

x< , 0 ∴ cos x + sin x = ∵ x 是第三象限角,, ∴ c o sx + s i n

ì ? cos x + sin x = ? ( 2) 由 ( 1) 得 í ? ? cos x - sin x = ? ?
2 2

3 5 5 , 求 得 c o sx = - 5 , sin x = - 2 5 , 5 5 5 5
4 5 5 2 5 ? 5 5 1 7 = . 5 5

∴ 2 sin x ? sin x cos x ? cos x = 2?

s的值,进而根据配方 【思路点拨】( 1 ) 对 已 知 等 式 等 号 两 边 平 方 求 得 2 s i nx c ox
x 法 求 得 c o sx + s i n

(

)

2

, 进 而 x 的 范 围 确 定 cos x + sin x 的 值 , 最 后 求 得 cos x + sin x 的

值. (2)把 cos x + sin x = 【典型总结】

3 5 与已知联立解出 cos x , sin x 的值在进行代入即可. 5

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】C6C213、在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,角 A 为锐角,且 b ? 3a sin B ,则 tan 2 A ? 【知识点】二 倍 角 公 式 的 应 用 ; 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 的 应 用 . 【答案解析】

4 2 A s iB n, 解析 :解:∵ b ? 3a sin B , ∴ s i nB = 3 s i n 7

∵ sin B ?

1 2 2 0 , ∴ s i n A = , ∵ A 为 锐 角 , ∴ cos A = 1 - sin 2 A = , 3 3
4 2 sin A 2 2 t a nA 4 2 ,∴ tan 2 ,故答案为: . = A= = 2 7 cos A 4 1- t a n A 7

∴ tan A =

【思路点拨】 先 根 据 已 知 等 式 和 正 弦 定 理 求 得 sin A 的 值 , 进 而 求 得 cos A 和 tan A 的 A 的值. 值,最后利用正切的两角和公式求得 tan 2

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】C2C37、 在 ?ABC 中,若

tan A a 2 ,则 ?ABC 的形状是( ? tan B b 2

) C 不能确定 D 等腰三角形

A 直角三角形 B 等腰或直角三角形

【知识点】正 弦 定 理 ; 三 角 函 数 的 恒 等 变 换 ; 正 弦 函 数 图 象 与 性 质 . 【答案解析】B 解析 :解:由 正 弦 定 理 得 :

a b = = 2R , ( R 为 三 角 形 外 接 s i nA s i n B

圆 的 半 径 ) ,∴

2 s i nA c o s B si nA tan A a 2 = 2 , ? 2 变形为: c o sA s i n B s i nB tan B b

s = 2 s iA n co A, s 即 sin 2 B = s i nA 2, 化 简 得 : 2 s i nB c o B 由 A 和 B 为 三 角 形 的 内 角 , 得 到 2 A = 2B 或 2 A + 2B = p ,
即 A = B 或 A+B =

p , 则 △ ABC 的 形 状 是 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形 . 故 选 B 2

【思路点拨】把 已 知 等 式 的 左 边 利 用 同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系 切 化 弦 , 右 边 利 用 正 弦 定 理 变 形 ,然 后 根 据 二 倍 角 的 正 弦 函 数 公 式 化 简 ,由 A 和 B 为 三 角 形 的 内 角 , 根 据 正 弦 函 数 图 象 与 性 质 得 到 A与 B角 度 之 间 的 关 系 , 根 据 角 度 之 间 的 关 系 即 可 得 到 三 角 形 ABC 的 形 状 .

【数学卷· 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试( 201407 ) 】 C6C26 、求值

cos 200 cos 350 1 ? sin 200
A

?(
2



1

B

C

2
cos 200

D

3

【知识点】二倍角的正、余弦公式;辅助角公式;诱导公式. 【答案解析】C解析 :解:

cos350 1 - sin 200

=

cos2 100 - sin 2 100 cos350 1 - 2sin100 cos100

骣2 琪 cos100 + 2 sin100 2 2 0 2 0 0 0 琪2 2 cos 10 - sin 10 cos10 + sin10 桫 = = = cos 350 cos350 cos 350 cos100 - sin100
2 sin 550 = = 2 ,故选C. sin 550
【思路点拨】先利用二倍角的正、余弦公式把 cos 20 以及 1 - sin 200 转化,再利用辅助
0

角公式与诱导公式化简即可.

【数学卷· 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试( 201407 ) 】 C22 、如果

1 3? sin(? ? ? ) ? ? ,那么 cos( ? ? ) 的值为( 3 2
A. 1 3 B. 1 3



C.

2 2 3

D. -

2 2 3

【知识点】诱导公式. 【答案解析】A解析 :解:因为 sin(? ? ? ) ? ?

1 3? 1 ? ? ) = - sin a , ,即 sin a = - ,cos( 3 3 2

所以 cos(

3? 1 ? ? ) = ,故选A. 3 2

【思路点拨】利用诱导公式把已知条件和结论化简即可得到结果.

【数学卷· 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试 (201407) 】 C21、cos(?1560? ) 的值为( A. ? )

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

【知识点】运 用 诱 导 公 式 化 简 求 值 . 【答案解析】B解析 :解:

cos - 15600 = cos - 5? 3600 2400 = cos 2400 = cos 1800 + 600 = - cos 600 ,故选B.
【思路点拨】利 用 诱 导 公 式 , 先 将 负 角 化 成 正 角 , 再 将 大 角 化 成 锐 角 , 最 后 利 用 特殊角的三角函数进行计算.

(

)

(

)

(

)

【数学卷· 2016 届广东省惠州市第一中学(惠州市)高一下学期期末考试( 201407 ) 】

C25. ?ABC 边长 a、b、c 分别为 5, 7,8 ,则∠B 等于(
A. 30
?

) D. 90
?

B. 45

?

C. 60

?

【知识点】余弦定理. 【答案解析】C 解析 :解:由余弦定理得: cosB ? 【思路点拨】代入余弦定理公式即可求出∠B的值.

52 ? 82 ? 7 2 1 0 得∠B= 60 ,故选 C. ? , 2 ?5?8 2

【数学卷· 2016 届广东省惠州市第一中学 (惠州市) 高一下学期期末考试 (201407) 】 C22. 已 知 ?ABC 中, a ? 4, b ? 4 3, ?A ? 30 ,则 sin B 等于( ) D. ?

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

3 2

【知识点】正弦定理.

【答案解析】C 解析 :解:由正弦定理 【思路点拨】直接利用正弦定理即可.

a b 3 ,故选 C. ? 得: sin B ? sin A sin B 2

ABC 中,a, b, c 【数学卷· 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试 (201407) 】 C216. D
分别是角 A, B, C 的对边,若 b = ac, 且 a + bc = ac + c . (1)求 ?A 的大小; (2)求
2
2 2

b sin B 的值. c
3 2

【知识点】正弦定理;余弦定理. 【答案解析】(1) A = 60 (2)

ì b2 = ac ? 1 ? ? cos A ? A 60 . 解析 :解: (1) í a 2 + bc = ac + c 2 2 ? 2 2 2 ? ? a = b + c - 2bc cos A b sin B sin B ? sin B 2 2 (2) ,又 b ? ac ,有 sin B ? sin A sin C ,则 ? c sin C
b sin B 3 . ? sin A ? c 2

6分

12 分

【思路点拨】(1)利用已知条件结合余弦定理即可得到结果; (2)正弦定理结合已知条件

b 2 ? ac 的变形 sin 2 B ? sin A sin C 即可.

【 数学卷 · 2016 届 四川省 成都七 中高一下 学期期 末考试 ( 201407 ) 】 C2C615. 化 简:

cos100 cos 400 1 - sin100

= _____ .

【知识点】诱导公式;二倍角的余弦公式的逆用;辅助角公式. 【答案解析】 2 解析 :解:

cos100 cos 400 1 - sin100

=

cos2 50 - sin 2 50 cos 400

( cos5 - sin 5 )
0

0 2

2 sin 450 cos50 + cos 450 sin 50 cos50 + sin 50 2 sin 500 = = = = 2 ,故答案为 2 . cos 400 cos 400 cos 400
【思路点拨】借助于三角公式进行化简即可.

(

)

【数学卷· 2016 届云南省玉溪一中高一下学期期末考试 (201407) 】 D2C214、 已知 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? ,则 cos(a3 ? a7 ) ? 。

【知识点】等 差 数 列 的 性 质 ; 诱 导 公 式 的 应 用 ; 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 .

1 解析 : 解:?an ? 为 等 差 数 列 , 若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? , 则 有 3a5 = 8p , 2 8p 16p 16p p 1 = - cos = - , ∴ a5 = . ∴ a3 + a 7 = 2a 5 = , ∴ cos( a3 + a7 ) = cos 3 3 3 3 2 1 故答案为: - . 2 8p 16p 【思路点拨】由 条 件 利 用 等 差 数 列 的 性 质 求 得 a5 = , 可 得 a3 + a7 = 2a5 = , 3 3 16p 再 由 cos(a3 + a7 ) = cos ,利用诱导公式求得结果. 3
【答案解析】?

【数学卷·2016 届云南省玉溪一中高一下学期期末考试(201407) 】C26、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 2b cos C ,则这个三角形一定是( A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 )

D.等腰直角三角形

【知识点】余 弦 定 理 的 应 用 . 【答案解析】C 解析 :解:∵ a = 2b cos C = 2b ?
2 2 2 2 2 2

a 2 + b2 - c 2 2ab

a 2 + b2 - c 2 , a

∴ a = a + b - c ,∴ b = c ,因 为 b, c 为 三 角 形 的 边 长 , ∴ b = c , ∴ ABC 是 等 腰 三 角 形 . 故 选 C . 【思路点拨】先 根 据 余 弦 定 理 表 示 出 cos C ,代 入 整 理 即 可 得 到 b = c 从 而 知 是 等 腰 三角形.

C3

三角函数的图象与性质

?ABC 【数学理卷· 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 (201407) 】 C2C316、
0 中, ?A ? 60 ,点 M 为边 AC 的中点, BM ? 2 3 ,则 AB ? AC 的最大值为________ 【知识点】正弦定理、三角函数的性质

【答案解析】 4 7 解析:设 AB=c , AC=b ,∠ ABM= α ,∠ AMB= β ,由正弦定理得 AB+AC=c+b=c+2AM=

BM BM ? sin ? ? 2 ? ? sin ? ? 4 ? sin ? ? 2sin ? ? ? 4 ? sin ? ? 2sin ?120? ? ? ? ? = sin A sin A

4 2sin ? ? 3 cos ? ? 4 7 sin ? ? ? ? ? , 其 中

?

?

tan θ

=

3 2

, 显 然

4

7 ? s? i ?? n? ?

? AC 的最大值为 4 7 .所以 4AB 7

【思路点拨】在三角形 ABM 中,当直接求最值不方便时可把所求的边的关系利用正弦定理 转化为角的关系,利用角的范围求其最大值.

?ABC 【数学文卷· 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 (201407) 】 C2C316、
0 中, ?A ? 60 ,点 M 为边 AC 的中点, BM ? 2 3 ,则 AB ? AC 的最大值为________

【知识点】正弦定理、三角函数的性质 【答案解析】 4 7 解析:设 AB=c , AC=b ,∠ ABM= α ,∠ AMB= β ,由正弦定理得 AB+AC=c+b=c+2AM=

BM BM ? sin ? ? 2 ? ? sin ? ? 4 ? sin ? ? 2sin ? ? ? 4 ? sin ? ? 2sin ?120? ? ? ? ? = sin A sin A

4 2sin ? ? 3 cos ? ? 4 7 sin ? ? ? ? ? , 其 中

?

?

tan θ

=

3 2

, 显 然

4

7 ? s? i ?? n? ?

? AC 的最大值为 4 7 .所以 4AB 7

【思路点拨】在三角形 ABM 中,当直接求最值不方便时可把所求的边的关系利用正弦定理 转化为角的关系,利用角的范围求其最大值.

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高二下学期期末考试(201407) 】F3C318. (本小题满 分 12 分) 已知向量 a ? (sin x, sin x) , b ? (cosx, sin x)(x ? R) ,若函数 f ( x) ? a ? b . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 x ? [0,

?
2

] ,求 f ( x) 的最大值及相应的 x 值;

(3)若 x ? [0, ? ] ,求 f ( x) 的单调递减区间. 【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 ; 正 弦 函 数 的 单 调 性 .

【答案解析】(1) p ( 2 )

2 +1 3p 7p , ] ( 3) [ 8 8 2
2

解析 :解: f ( x) ? a ? b ? sin x cos x ? sin x ?

1 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

= (1)

2 ? 1 (sin 2 x ? ) ? 2 4 2
f ( x) 的 最 小 正 周 期 为 p ;
p 2 p p 3p p p 3p ? [ , ], ∴ 当 2x - = , 即 x= 时, 8 4 4 4 4 2

, ]时 , 2x ( 2) 当 x ? [ 0
sin(2x -

p )=1 , f ( x) 取 得 最 大 值 4

2 +1 ; 2

p p 7p ? [ , ], 4 4 4 p 3p kp ]k ( Z 上 ) 单调递减, 由 y = sinx 的 图 象 知 , 在 区 间 [ + 2kp , + 2 2 2 3p 7p p 7p p 3p p 3p ] k ? Z) [ , ] , 解 得 x ? [ , ] . 而 [- , ] [ + 2kp , + 2kp( 8 8 4 4 2 2 2 2 3p 7p , ]. ∴ f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 [ 8 8

,p ]时 , 2x ( 3) 当 x ? [ 0

【思路点拨】( 1 ) 根 据 向 量 的 数 量 积 和 三 角 函 数 的 恒 等 变 形 即 可 化 为

f ( x) =

2 p 1 sin(2x - ) + , 再 根 据 求 周 期 的 公 式 即 可 求 出 ; 2 4 2
p p 的 范 围 ,求 出 使 sin(2x - ) 取 得 最 大 值 的 x 的 4 4

( 2 )根 据 x 的 取 值 范 围 求 出 2x -

值 , 即 使 函 数 f ( x) 取 得 最 大 值 的 x 的 值 ;

x 的图象知,在区间 [ ( 3) 根 据 函 数 y = s i n
只 要 把 f ( x ) 中 的 2x -

p 3p + 2kp , + 2 kp ]k ( 2 2

Z 上 ) 单调递减,

p 看做一个整体求出即可. 4

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高二下学期期末考试(201407) 】C36.既是偶函数又在

? ) 上单调递减的函数是( 区间 (0,
A. y ? sin x B. y ? cos x

) C. y ? sin 2 x D. y ? cos 2x

【知识点】余 弦 函 数 的 奇 偶 性 和 单 调 性 . 【答案解析】B 解析 :解:由 于 函 数 y ? s i n x 和 y ? sin 2 x 都 是 奇 函 数 ,故 排 除 A 、

? ) 上 是 减 函 数 ,故 满 足 C .由 于 函 数 y ? cos x 是 偶 函 数 ,周 期 等 于 2 p ,且 在 (0,
0, 2是 偶 函 数 , 周 期 等 于 p , 在 琪 条件.由于函数 y ? cos x 琪 骣 p 琪 琪 ,p 上 是 增 函 数 , 故 不 满 足 条 件 . 故 选 B. 2 桫
【思路点拨】根 据 函 数 的 奇 偶 性 排 除 A 、C ,再 根 据 函 数 的 单 调 性 排 除 D ,经 检 验 B 中的函数满足条件,从而得出结论.

骣p 上是减函数,在 桫 2

【 数 学 卷 · 2016 届 黑 龙 江 省 哈 三 中 高 一 下 学 期 期 末 考 试 ( 201407 ) 】 H1C35. 直 线

x si n? ? y ? 2 ? 0 的倾斜角的取值范围是
A. 0, ? ?

?

B. ?0, ? ? ? ,? ? ? 4? ? 4 ?

? ??

? 3?

?

C. ?0,

? ?? ? 4? ?

D. ?0,

? ? ? ?? ? ? ,? ? ? 4? ? ? ?2 ?

【知识点】直线倾斜角的范围,倾斜角与斜率的关系,正弦函数的性质. 【答案解析】B解析 :解:

sin ? ???1,1?,?? sin ? ???1,1? ,? 已知直线的斜率范围为

? ? 3? ? ??1,1? ,由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是 ? ?0, 4 ? ? ? 4 , ? ? ,所以选D.

?

?

?

?

?

【思路点拨】由正弦函数的值域得直线的斜率范围,再由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407)】C4C317、(本小题满 分 14 分) 设函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 的图象的一条对称轴是直线

x?

?

8 (1) 求 ? ; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (3) 画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图象.

.

【知识点】五 点 法 作 函 数 y = Asin wx +j 由 y = Asin wx +j

(

) 的图象;正弦函数的单调性;

(

) 的部分图象确定其解析式.

【答案解析】(1) j = -

3p p 5p ], k (2) [kp + ,kp + 4 8 8

Z ( 3) 见 解 析

解析 :解 : ( 1) 因 为 x?

?

8

是 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 的 对 称 轴 , 所 以

p p p 3p j ) = 1 , 即 +j = kp + , k Z . 因 为 - p <j <0 , 所 以 j = . 8 4 2 4 3p 3p ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 j =, 因 此 y = sin(2 x ? ) . 由 题 意 得 4 4 p 3p p 3p 2kπ ? ≤ 2x? ≤ 2 k π + , k ? Z , 所 以 函 数 y = sin(2 x ? )的 单 调 区 间 为 2 4 2 4 p 5p [kp + ,kp + ], k Z . 8 8 3p ( 3 ) 由 y = sin(2 x ? )知 : 4 sin(2 ?

x

0

p 8

3p 8

5p 8

7p 8

p

y

-

2 2

-1

0

1

0

-

2 2

故 函 数 y=f ( x ) 在 区 间 [0 , π ] 上 的 图 象 是

【思路点拨】( 1 )因 为 函 数 f ( x) = sin 2x +j 就可得到含 j 的等式,求出 j 值. ( 2) 由 基 本 正 弦 函 数 的 单 调 性 可 知 2kπ ? 即可. ( 3) 利 用 五 点 法 作 图 , 令 x 分 别 取 0,

(

) 在 对 称 轴 时 有 最 大 或 最 小 值 ,据 此

p 3p p ≤ 2x? ≤ 2kπ + ,解 出 x 的 范 围 2 4 2

p 3p 5 p 7p , , , ,p , 求 出 相 应 的 y 值 , 8 8 8 8

就 可 得 到 函 数 在 区 间 [0, ? ] 上 的 点 的 坐 标 , 再 把 坐 标 表 示 到 直 角 坐 标 系 , 用 平 滑 的曲线连接即可得到所求图象.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】C2C37、 在 ?ABC

中,若

tan A a 2 ,则 ?ABC 的形状是( ? tan B b 2



A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形 【知识点】正 弦 定 理 ; 三 角 函 数 的 恒 等 变 换 ; 正 弦 函 数 图 象 与 性 质 . 【答案解析】B 解析 :解:由 正 弦 定 理 得 :

a b = = 2R , ( R 为 三 角 形 外 接 s i nA s i n B

圆 的 半 径 ) ,∴

2 s i nA c o s B si nA tan A a 2 = 2 , ? 2 变形为: c o sA s i n B s i nB tan B b

s = 2 s iA n co A, s 即 sin 2 B = s i nA 2, 化 简 得 : 2 s i nB c o B 由 A 和 B 为 三 角 形 的 内 角 , 得 到 2 A = 2B 或 2 A + 2B = p ,
即 A = B 或 A+B =

p , 则 △ ABC 的 形 状 是 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形 . 故 选 B 2

【思路点拨】把 已 知 等 式 的 左 边 利 用 同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系 切 化 弦 , 右 边 利 用 正 弦 定 理 变 形 ,然 后 根 据 二 倍 角 的 正 弦 函 数 公 式 化 简 ,由 A 和 B 为 三 角 形 的 内 角 , 根 据 正 弦 函 数 图 象 与 性 质 得 到 A与 B角 度 之 间 的 关 系 , 根 据 角 度 之 间 的 关 系 即 可 得 到 三 角 形 ABC 的 形 状 .

【 数 学 卷 · 2016 届 四 川 省 成 都 七 中 高 一 下 学 期 期 末 考 试 ( 201407 ) 】 C5C39. 设

2 tan130 1 3 ,则有( a = cos 60 sin 60 , b = 1 + tan 2 130 2 2
A. a < b B. a > b C. a ? b

) D. a , b 的大小关系不确定

【知识点】两角差的正弦公式;万能公式;正弦函数的单调性. 【 答 案 解 析 】 A 解 析 :









2 tan130 1 3 0 a = cos 60 sin 6 = sin 24 , b = 0 2 0 = sin 260 , 1 + tan 13 2 2
由正弦函数的单调性可知 sin 24 < sin 26 ,故选A. 【思路点拨】先把两个三角式化简,再利用正弦函数的单调性即可.
0 0

【数学卷·2016 届云南省玉溪一中高一下学期期末考试(201407) 】C6C317、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x ? 2cos2 x 。 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间。

【知识点】二 倍 角 的 余 弦 ;三 角 函 数 的 周 期 性 及 其 求 法 ;复 合 三 角 函 数 的 单 调 性 . 【答案解析】(Ⅰ) p (Ⅱ) ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ? 解析 :解:(Ⅰ) f ( x) ?

?

?

??

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2

3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 ?
? f ( x) 的最小正周期 T ?
(Ⅱ)令 2k? ?

????5 分 ????6 分

2? ? ?. 2

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z,
??8 分



k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z.

? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . ??10 分 3 6? ?
【思路点拨】(Ⅰ)利 用 倍 角 公 式 和 两 角 差 的 正 弦 公 式 化 简 解 析 式 ,再 求 出 函 数 的 最小正周期, (Ⅱ)根 据 正 弦 函 数 的 增 区 间 , 求 出 此 函 数 的 增 区 间 .

【数学卷· 2014 届江苏省南京市金陵中学高三第四次模拟考试( 201405 ) 】 C31. 函数

y ? 3 cos(2 x ?

?
4

) 的最小正周期为

.

【知识点】三 角 函 数 的 周 期 性 及 其 求 法 . 【答案解析】 ? 解析 :解:函数 y ? 3 cos( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为 T = 2?

2? =? . 2

(? x? ?) 【思路点拨】根 据 y ? As i n 的周期等于 T =

?

,求得结果.

【数学(理)卷·2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试(201408) 】C35. 已知函 数 y = 2 sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ,则 b-a 的值不可能是( A. )

5? 6

B.π

C.

7? 6

D. 2π

【知识点】正 弦 函 数 的 图 象 ; 利 用 图 象 求 函 数 的 值 域 . 【答案解析】D解析 :解:函 数 y = 2 s i nx 在 R 上 有 - 2 #y

2

p ,值 域 - 2, 1 含 最 小 值 不 含 最 大 值 , 函数的周期 T=2 故 定 义 域 a, b 小 于 一 个 周 期

[

]

[ ] [

b - a<2p ,故 选 D
【思路点拨】 结 合 三 角 函 数 R上 的 值 域 , 当 定 义 域 为 a, b , 值 域 为 - 2,1 , 可 知 a, b 小于一个周期,从而可得结果.

[ ]

]

[ ]

C4

函数 y ? Asin(? x ? ? ) 的图象与性质
? ? ) 的图象向左平移 个单位后关于原点对称,则函数 f ( x) 在 2 6
)。

【数学(理)卷·2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试(201408)】C47.函数

f ( x ) ? sin(2 x ? ? )(| ? |?
[0, ] 上的最小值为( 2 3 A. ? 2

?

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

( x+j 【知识点】函 数 y = As i n w

) 的图象变换;函数的值域.

【答案解析】A 解析 :解:函 数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? )(| ? |?

? ? )的图象向左平移 个单 2 6
p = ] s i nx(+ 2 +j 3
.)

= s i n[ 琪 2x + 位 后 , 所 得 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为 f ( x) 琪
) = sin(2 x+ 再由所得图象关于原点对称, 可得 f ( x
∴j =-

骣 p +j 桫 6

p + j 3

) 奇函数, 为 故

p +j = kp , 3

p p = sin(2 x- ) ,又 因 为 x ? .可 得 函 数 f ( x) 3 3

轾p 0, , 2 x ? [ 0, p ] ,所以就有 犏 犏 臌2

p 2 x- ? 3

轾 p 2p p p 3 ,故当 2 x - = - ,函数有最小值,最小值为 ? ,故选 A. 犏 , 犏 3 3 2 臌3 3
) 的图象变换规律可得,所得图象对应的函数解
p + j 3 ) 奇函数, 为

( x+j 【思路点拨】根 据 y = As i nw
) = sin(2 x+ 析式为 f ( x
可得

p + j 3

) 根据 f ( x ) = sin(2 x+ .

p +j = kp , 求 得 j 的 值 可 得 函 数 解 析 式 , 然 后 在 定 义 域 内 求 最 值 即 可 . 3

【数学(文)卷·2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试(201408)】C47.函数

f ( x ) ? sin(2 x ? ? )(| ? |?
[0, ] 上的最小值为( 2
A. ? C.

? ? ) 的图象向左平移 个单位后关于原点对称,则函数 f ( x) 在 2 6

?

)。

3 2

B. ? D.

1 2

1 2

3 2

【知识点】函 数 y = As i n w ( x+j

的图象变换;函数的值域. )

【答案解析】A 解析 :解:函 数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? )(| ? |?

? ? )的图象向左平移 个单 2 6
p = ] s i nx(+ 2 +j 3
.)

琪 = s i n[ 琪 2x + 位 后 , 所 得 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为 f ( x)
) = sin(2 x+ 再由所得图象关于原点对称, 可得 f ( x
∴j =-

骣 p +j 桫 6

p + j 3

) 奇函数, 为 故

p +j = kp , 3

p p = sin(2 x- ) ,又 因 为 x ? .可 得 函 数 f ( x) 3 3

轾p 0, , 2 x ? [ 0, p ] ,所以就有 犏 犏 臌2

p 2 x- ? 3

轾 p 2p p p 3 ,故当 2 x - = - ,函数有最小值,最小值为 ? ,故选 A. 犏 , 犏 3 3 2 臌3 3
) 的图象变换规律可得,所得图象对应的函数解
p + j 3 ) 奇函数, 为

( x+j 【思路点拨】根 据 y = As i nw
) = sin(2 x+ 析式为 f ( x
可得

p + j 3

) 根据 f ( x ) = sin(2 x+ .

p +j = kp , 求 得 j 的 值 可 得 函 数 解 析 式 , 然 后 在 定 义 域 内 求 最 值 即 可 . 3

【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高二下学期期末考试(201407) 】D2C418. (本小题满 分 12 分)已知等差列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, S3 ? 9 (1)求数列 {an } 的通项公式: (2)若函数 f ( x) ? Asin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ? 为 a2,求函数 f ( x) 的解析式。 【知识点】等 差 数 列 的 通 项 公 式 ; y = Asin(2 x +j ) 的 解 析 式 的 求 法 .

?
6

处取得最大值,且最大值

【答案解析】(1) an ? 2n ? 1 (2) f ?x ? ? 3 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?
解得 d=2, …3 分

解析 :解:(1)设等差数列的公差为 d,依题意知 ? 所以 an ? 2n ? 1 。………5 分

a1 ? 1 ?s3 ? a1 ? 3d ? 9 ?

(2)由(1)知,最大值 a 2 ? 3,所以 A=3,………7 分 因为在 x ?

?
6

处取得最大值,所以 2 ?

?
6

?? ?

?
2

? 2k? , k ? Z ,………9 分

又 0 ? ? ? ? , 所以 ? ?

? 。……… 10 分 6
? ?

所以函数的解析式为 f ?x ? ? 3 sin ? 2 x ?

??

? 。……12 分 6?

【思路点拨】 (1) 设 出 等 差 数 列 的 公 差 d , 然 后 由 a1 = 1, S3 = 9 列 式 求 解 d , 则 数 列 {an } 的 通 项 公 式 可 求 ;(2)求 出 a2 的 值 ,即 A 的 值 ,再 由 在 x ?

?
6

处取得最大值结合

j 的 范 围 求 j , 则 函 数 f ( x) 的 解 析 式 可 求 .

【数学理卷·2014 届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试(201405) 】C8C417. (本小题 满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) 的图像是由 y ? sin x 的图像经过如下三步变换得到的: ①将 y ? sin x 的图像整体向左平移

? 个单位; 6
1 ; 2

②将①中的图像的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的

?将②中的图像的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍。
(Ⅰ)求的周期和对称轴; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 的对边,且 f (C ) ? 2, c ? 1, ab ? 2 3 ,且

a ? b ,求 a, b 的值。
【知识点】解三角形;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【答案解析】(Ⅰ)T=π; x= + (Ⅱ)a=2,b= .

解析 :解:(Ⅰ)由变换得:f(x)=2sin(2x+ 由 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得对称轴为 x= +

) ,∵ω=2,∴T=

=π;

,k∈Z; )=1,又 C 为三角形内角,

(Ⅱ)由 f(C)=2 得:2sin(2C+ ∴2C+ = ,即 C= ,∴cosC=

)=2,即 sin(2C+ ,又 c=1,ab=2 ,

在△ABC 中,根据余弦定理,有 c2=1=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣2× 2 整理得: a2+b2=7,与 ab=2 联立,且 a>b,解得:a=2,b= .

×



【思路点拨】(Ⅰ)得到 f(x)的解析式 y=2sin(2x+

) ,找出 ω 的值,代入周期公式, ,k∈Z,列出关于 x 的方程,

即可求出 f(x)的最小正周期;根据正弦函数的对称轴为 kπ+

求出方程的解得到 f(x)的对称轴; (Ⅱ)由 f(C)=2,将 x=C 代入 f(x)解析式中,使 其值等于 2,整理后根据 C 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值,求出 C 的度数, 利用余弦定理得到 c2=a2+b2﹣2abcosC,利用完全平方公式变形后,将 c,cosC 及 ab 的值代 入,求出 a2+b2=7,与 ab=2 联立,根据 a 大于 b,即可求出 a 与 b 的值.

【数学文卷·2014 届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试(201405) 】C47、要得到函数

y ? 2 cos 2 x 的图像,需要把函数 y ? sin 2 x 的图像(



? 个单位,再向上平移 1 个单位 4 ? B. 向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位 4 ? C. 向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位 4 ? D. 向右平移 个单位,再向下平移 1 个单位 4
A. 向右平移 【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【答案解析】B 解析 :解: ∵函数 y ? 2 cos 2 x =cos2x+1=sin(2x+ +1, ∴把函数 y=sin2x 的图象向左平移 图象,故选:B. 【思路点拨】根据函数 y ? 2 cos 2 x =sin2(x+ 换规律可得结论. )+1,利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变 个单位,再向上平移 1 个单位,可得函数 y=2cos x 的
2

)+1=sin2(x+



【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407)】C4C317、(本小题满 分 14 分) 设函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 的图象的一条对称轴是直线

x?

?

8 (1) 求 ? ; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (3) 画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图象.

.

【知识点】五 点 法 作 函 数 y = Asin wx +j 由 y = Asin wx +j

(

) 的图象;正弦函数的单调性;
Z ( 3) 见 解 析

(

) 的部分图象确定其解析式.
3p p 5p ], k (2) [kp + ,kp + 4 8 8

【答案解析】(1) j = -

解析 :解 : ( 1) 因 为 x?

?

8

是 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 的 对 称 轴 , 所 以

p p p 3p j ) = 1 , 即 +j = kp + , k Z . 因 为 - p <j <0 , 所 以 j = . 8 4 2 4 3p 3p ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 j =, 因 此 y = sin(2 x ? ) . 由 题 意 得 4 4 p 3p p 3p 2kπ ? ≤ 2x? ≤ 2 k π + , k ? Z , 所 以 函 数 y = sin(2 x ? )的 单 调 区 间 为 2 4 2 4 p 5p [kp + ,kp + ], k Z . 8 8 3p ( 3 ) 由 y = sin(2 x ? )知 : 4 sin(2 ?

x

0

p 8

3p 8

5p 8

7p 8

p

y

-

2 2

-1

0

1

0

-

2 2

故 函 数 y=f ( x ) 在 区 间 [0 , π ] 上 的 图 象 是

【思路点拨】( 1 )因 为 函 数 f ( x) = sin 2x +j 就可得到含 j 的等式,求出 j 值. ( 2) 由 基 本 正 弦 函 数 的 单 调 性 可 知 2kπ ? 即可. ( 3) 利 用 五 点 法 作 图 , 令 x 分 别 取 0,

(

) 在 对 称 轴 时 有 最 大 或 最 小 值 ,据 此

p 3p p ≤ 2x? ≤ 2kπ + ,解 出 x 的 范 围 2 4 2

p 3p 5 p 7p , , , ,p , 求 出 相 应 的 y 值 , 8 8 8 8

就 可 得 到 函 数 在 区 间 [0, ? ] 上 的 点 的 坐 标 , 再 把 坐 标 表 示 到 直 角 坐 标 系 , 用 平 滑 的曲线连接即可得到所求图象.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】C412、如图,单摆 从 某 点 开 始 来 回 摆 动 , 离 开 平 衡 位 置 O 的 位 移 y (cm) 和 时 间 t ( s ) 的 函 数 关 系 为

y ? 6 sin( 2?t ? ) ,那么单摆来回摆动一次所需的时间为 6
【知识点】 y = Asin wx +j

?

(

) 中 参 数 的 物 理 意 义 ;三 角 函 数 的 周 期 性 及 其 求 法 .
y ? 6 sin( 2?t ? ) ∴ 单 摆 来 回 摆 动 一 次 所 需 的 时 间 6

【答案解析】1S 解析 :解:∵ 为T =

?

2p = 1 ,故 答 案 为 1s . 2p

【思路点拨】 利 用 函 数 y = Asin w x+j 所 需 的 时 间 为 一 个 周 期 T.

(

) 中参数的物理意义可知单摆来回摆动一次

【数学卷· 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试( 201407 ) 】 C44 、函数

y ? A sin(?x ? ?)(? ? 0, ? ?

? , x ? R) 的部分图象如图所示,则函数表达式为( 2



? ? x? ) 8 4 ? ? B. y ? 4 sin( x ? ) 8 4 ? ? C. y ? 4 sin( x ? ) 8 4 ? ? D. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4
A. y ? ?4 sin( 【知识点】由 y = Asin wx +j

(

) 的部分图象确定其解析式.
T 2p p = 8,\ T = 16 , w > 0,\ w = = , 2 T 8
p 8 3p k? Z ; , 4

【答案解析】D 解析 :解:由 图 象 得 A = 4 , ① 若 A > 0 时 ,y = 4 s i n 琪 琪 x +j 又j

骣 p 8 桫

j = 2 kp , 当 x = 6 时 , x +j = 2 k p ,

<

p ,∴无解; 2
骣 p 8 桫
,当 x = - 2 时,

②若 A < 0 时, y = - 4 sin 琪 x +j 琪

p p x + j = 2 k p , j = 2 kp + , 8 4

k ? Z ;又 j

<

p p ,∴ j = . 2 4

? ? x ? ) . 故 选 D. 8 4 【思路点拨】先 由 图 象 的 最 高 点 、 最 低 点 的 纵 坐 标 确 定 A ( 注 意 A 的 正 负 性 ) ,再 通 过 周 期 确 定 w, 最 后 通 过 特 殊 点 的 横 坐 标 确 定 j , 则 问 题 解 决 .
综 合 ① ② 该 函 数 解 析 式 为 y ? ?4 sin(

【数学卷· 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试( 201407 ) 】 C43 、函数

5 y ? sin( 2 x ? ? ) 的一条对称轴方程是 2
A. x ? ?

( C. x ?



?

2

B. x ? ?

?

?
8

4

D. x ?

5? 4

【知识点】正弦函数的对称轴方程. 【答案解析】A解析 :解:由正弦函数的对称轴方程可知: 2 x +

5p p = kp + ,解得 2 2

kp ? - p ,易知当 k = 1 时, x ? ? ,故选A. 2 2 5p p = kp + ,解出 x 后令k取适当的值即可. 【思路点拨】由已知得 2 x + 2 2 x=

【数学卷· 2016 届广东省惠州市第一中学 (惠州市) 高一下学期期末考试 (201407) 】 C5C416. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 3 cos 2 x ? sin 2 x ? , x ? R . 2 2 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期和最值; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间. 【知识点】两角和的正弦公式;三角函数的最值、周期以及单调区间. 【答案解析】(1) f ( x) 的最小正周期为 T ? (2) [?

2? 5 1 最大值为 ,最小值为 ; =?, 2 2 2

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z )

解析 :解:

3 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? ?????????2 分 6 6 2 6 2 2? 5 1 ∴ f ( x) 的最小正周期为 T ? 最大值为 ,最小值为 ??????6 分 =?, 2 2 2 ? 3 ? ? ? (2)由(1) f ? x ? ? sin(2 x ? ) ? ,故 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? (k ? Z ) ?8 分 6 2 2 6 2
(1) f ? x ? ? sin

?

cos 2 x ? cos

?

sin 2 x ?

??

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z ) ?????????10 分

故函数 f ? x ? ? sin(2 x ?

?

3 ? ? ) ? 的单调递增区间为 [? ? k? , ? k? ](k ? Z ) ??12 分 6 2 3 6

【思路点拨】 (1)把函数 f ( x) 利用两角和的正弦逆用公式化简,再根据周期公式求出最小 正周期以及最大值和最小值; (2)根据正弦函数的单调性即可.

【数学卷·2016 届云南省玉溪一中高一下学期期末考试(201407) 】C410、已知 ? ? 0 ,

? ?

? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的部分图象如图所示.为了得 2


到函数 g ( x) ? sin ? x 的图象,只要将 f ? x ? 的图象(

A.向右平移

? 个单位长度 4

B.向右平移

? 个单位长度 8

C.向左平移

? 个单位长度 4

D.向左平移

? 个单位长度 8

? x+? ) 【知识点】函 数 y = As i n( 的图象变换
【答案解析】B 解析 :解:由 图 知 , ∴ f ( x) = sin(2 x +? ) , 又 ∴ ? = 2 kp + ∴ f (x -

1 5p 3p p 2p T= = ,\ T = =p , \ w = 2 , 4 8 8 4 w

p (k 4

3p ? 2 ? = 2 kp + p ( k Z ) , 8 ? p p Z ) , 又 ? ? , ∴ ? = , ∴ f ( x) = s i n ( 2 x+ , ) 2 4 4

轾骣 p p p ) = sin 犏琪 2琪 x+ = sin 2 x = g ( x) , 犏 8 4 臌桫 8

∴ 为 了 得 到 函 数 g x = s i n 2x的 图 象 , 只 要 将 f ( x) 的 图 象 向 右 平 移 度 , 故 选 : B. 【思路点拨】 由 图 知 ,T =

()

p 个单位长 8

2p 3p = p ,可 求 得 w = 2 ,由 y = f ( x) 经 过 ( , 0) 可求得 ? , 8 w

? x+? ) 利 用 函 数 y = As i n( 的图象变换即可求得答案.

C5

两角和与差的正弦、余弦、正切
?
3

【数学(理)卷·2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试(201408) 】C518. (本小题 满分14分)在 ?ABC 中,三个内角分别为 A, B, C ,且 cos( A ?

) ? 2 cos A .

6 , BC ? 3 ,求 AC . 3 ? 4 (2)若 B ? (0, ) ,且 cos( A ? B ) ? ,求 sin B . 3 5
(1)若 cosC ? 【知识点】两 角 和 差 的 正 余 弦 公 式 的 应 用 ; 正弦定理. 【答案解析】(1) AC ? 1 ? 6 (2) sin B = 解析 :解:因为 cos( A ?

4 3- 3 . 10

?
3

) ? 2 cos A ,得 cos A cos

?
3

? sin A sin

?
3

? 2 cos A ,

即 sin A ? 3 cos A ,因为 A ? ?0, ? ? ,且 cos A ? 0 , 所以 tan A ? 3 ,所以 A ?

?
3



(1)因为 sin C ? cos C ? 1 , cosC ?
2 2

6 3 , C ? ?0, ? ? ,所以 sin C ? 3 3 3 6 1 3 3 2? 3 ? ? ? ? , 2 3 2 3 6

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ? 由正弦定理知:

AC BC ? ,即 AC ? 1 ? 6 。 sin B sin A

(2)因为 B ? (0,

?
3

) ,所以 A ? B ?

?

? ?? ? B ? ? 0, ? , 3 ? 3?
3 , 5

sin 2 ( A ? B) ? cos2 ( A ? B) ? 1 ,所以 sin( A ? B) ?

所以 sin B ? sin ? A ? ? A ? B ?? ? sin A cos(A ? B) ? cos A sin( A ? B) ?

4 3 ?3 . 10

【思路点拨】先结合已知条件利用三角公式进行化简可求出角A,(1)先求 sin B ,再利用 正弦定理可求结果, (2)先求 sin( A - B) ,再求 sin B 即可.

【数学(文)卷·2015届浙江省重点中学协作体高考摸底测试(201408) 】C5C218. (本小 题满分14分)在 ?ABC 中,三个内角分别为 A, B, C ,且 cos( A ?

?
3

) ? 2 cos A .

6 , BC ? 3 ,求 AC . 3 ? 4 (2)若 B ? (0, ) ,且 cos( A ? B ) ? ,求 sin B . 3 5
(1)若 cosC ? 【知识点】两 角 和 差 的 正 余 弦 公 式 的 应 用 ; 正弦定理. 【答案解析】(1) AC ? 1 ? 6 (2) sin B = 解析 :解:因为 cos( A ?

4 3- 3 . 10

?
3

) ? 2 cos A ,得 cos A cos

?
3

? sin A sin

?
3

? 2 cos A ,

即 sin A ? 3 cos A ,因为 A ? ?0, ? ? ,且 cos A ? 0 , 所以 tan A ? 3 ,所以 A ?

?
3



(1)因为 sin C ? cos C ? 1 , cosC ?
2 2

6 3 , C ? ?0, ? ? ,所以 sin C ? 3 3 3 6 1 3 3 2? 3 ? ? ? ? , 2 3 2 3 6

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ? 由正弦定理知:

AC BC ? ,即 AC ? 1 ? 6 。 sin B sin A

(2)因为 B ? (0,

?
3

) ,所以 A ? B ?

?

? ?? ? B ? ? 0, ? , 3 ? 3?
3 , 5

sin 2 ( A ? B) ? cos2 ( A ? B) ? 1 ,所以 sin( A ? B) ?

所以 sin B ? sin ? A ? ? A ? B ?? ? sin A cos(A ? B) ? cos A sin( A ? B) ?

4 3 ?3 . 10

【思路点拨】先结合已知条件利用三角公式进行化简可求出角A,(1)先求 sin B ,再利用 正弦定理可求结果, (2)先求 sin( A - B) ,再求 sin B 即可.

【数学卷· 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试( 201407 ) 】 C5C614 、 设

1 3 2 tan13 1 ? cos 50 a ? cos 6 ? sin 6 , b ? ,c ? , 将 a, b, c 用“ ? ”号连接起来为 2 2 2 1 ? tan 13 2
【知识点】两角差的正弦公式;二倍角的余弦公式;二倍角的正弦公式. 【答案解析】a < c < b 解析 : 解:a =

1 3 cos 60 sin 60 = sin 300 cos 60 - cos300 sin 60 2 2

sin130 0 0 2 tan13 cos130 = 2sin13 cos13 = sin 260 , = sin 240 , b = = sin 2 130 sin 2 130 + cos 2 130 1 + tan 2 130 1+ cos 2 130
0

2?

1 - 1 - 2sin 2 250 1 - cos 500 c= = = sin 250 , 因为 y = sin x 在 0,900 上是增函数, 2 2

(

)

(

)

所以 a < c < b ,故答案为 a < c < b . 【思路点拨】利用三角公式依次化简 a, b, c ,再利用正弦函数的单调性即可判断大小.

【数学卷·2016 届广东省惠州市第一中学(惠州市)高一下学期期末考试(201407) 】C517. (本题满分 14 分)

已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对应边分别为 a 、 b 、 c ,若

cos B cos C ? sin B sin C ?
(1)求 ?A ;

1 . 2

(2)若 b ? 2, c ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 【知识点】两 角 和 的 余 弦 公 式 ; 三 角 形 面 积 公 式 . 【答案解析】(1) ? A

2p (2) 3 3

解析 :解:(1)? cos B cos C ? sin B sin C ?

1 2

? cos( B ? C ) ?

1 2

???????????3 分

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?
3

?????????6 分 ?????????8 分

? A ? B ? C ? ? ,??A ?
(2)? ?A ?

2? . 3

2? 3 ?????????10 分 ,? sin A ? 3 2

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3 .???14 分 2 2 2

【思路点拨】( 1 ) 利 用 两 角 和 公 式 对 已 知 等 式 化 简 求 得 cos B +C 的 值 , 进 而 求 得 B +C , 最 后 利 用 三 角 形 内 角 和 求 得 A . ( 2) 利 用 三 角 形 面 积 公 式 和 已 知 条 件 求得三角形的面积.

(

)

【数学卷· 2016 届广东省惠州市第一中学 (惠州市) 高一下学期期末考试 (201407) 】 C5C416. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 3 cos 2 x ? sin 2 x ? , x ? R . 2 2 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期和最值; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间. 【知识点】两角和的正弦公式;三角函数的最值、周期以及单调区间. 【答案解析】(1) f ( x) 的最小正周期为 T ? (2) [?

2? 5 1 =?, 最大值为 ,最小值为 ; 2 2 2

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z )

解析 :解:

3 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? ?????????2 分 6 6 2 6 2 2? 5 1 ∴ f ( x) 的最小正周期为 T ? 最大值为 ,最小值为 ??????6 分 =?, 2 2 2 ? 3 ? ? ? (2)由(1) f ? x ? ? sin(2 x ? ) ? ,故 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? (k ? Z ) ?8 分 6 2 2 6 2
(1) f ? x ? ? sin

?

cos 2 x ? cos

?

sin 2 x ?

??

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z ) ?????????10 分

故函数 f ? x ? ? sin(2 x ?

?

3 ? ? ) ? 的单调递增区间为 [? ? k? , ? k? ](k ? Z ) ??12 分 6 2 3 6

【思路点拨】 (1)把函数 f ( x) 利用两角和的正弦逆用公式化简,再根据周期公式求出最小 正周期以及最大值和最小值; (2)根据正弦函数的单调性即可.

【 数 学 卷 · 2016 届 四 川 省 成 都 七 中 高 一 下 学 期 期 末 考 试 ( 201407 ) 】 C517. 已 知

1 3 cos ( a + b ) = , cos ( a - b ) = . 5 5
(1)求 tan a tan b 的值; (2)若 a + b ? 0, p a

(

)

骣 3p b? 琪 琪 ,0 , 求 cos 2 b 的值. 桫 2

【知识点】两角和与差的余弦公式. 【答案解析】(1)

1 3- 8 6 (2) 2 25

1 ? cos(? ? ? ) ? ? ? 5 解析 :解: (1) ? ? cos(? ? ? ) ? 3cos(? ? ? ) 3 ?cos(? ? ? ) ? ? 5 ?

? 4sin ? sin ? ? 2cos ? cos ? ? tan ? tan ? ?
1 ? 2 6 ?cos(? ? ? ) ? (2) ? 5 ? sin(? ? ? ) ? 5 ? ?? ? ? ? (0, ? )

1 2

5分

6 分

3 ? cos(? ? ? ) ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? (? ,0) ? 2 ?? ? ? ? (? 3? ,0) ? 2 ?

7分

sin(? ? ? ) ? ?

4 5
3?8 6 25

8分 12 分

cos 2 ? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ?

【思路点拨】 (1) 把两个已知条件展开即可; (2) 用 a + b 与 a - b 表示出 2 b 即可求 cos 2 b .

【 数 学 卷 · 2016 届 四 川 省 成 都 七 中 高 一 下 学 期 期 末 考 试 ( 201407 ) 】 C5C39. 设

2 tan130 1 3 0 0 ,则有( a = cos 6 sin 6 , b = 1 + tan 2 130 2 2
A. a < b B. a > b C. a ? b

) D. a , b 的大小关系不确定

【知识点】两角差的正弦公式;万能公式;正弦函数的单调性. 【 答 案 解 析 】 A 解 析 :









2 tan130 1 3 0 a = cos 60 sin 6 = sin 24 , b = 0 2 0 = sin 260 , 1 + tan 13 2 2
由正弦函数的单调性可知 sin 24 < sin 26 ,故选A. 【思路点拨】先把两个三角式化简,再利用正弦函数的单调性即可.
0 0

【数学卷·2014 届江苏省南京市金陵中学高三第四次模拟考试(201405) 】C1C515.(本题 满分 14 分) 如图所示,已知 ? 的终边所在直线上的一点 P 的坐标为 (?3, 4) , ? 的终边在第一象限且与 单位圆的交点 Q 的纵坐标为 ⑴求 tan(2? ? ? ) 的值; ⑵若
?
2
2 10

.

P?

y

?? ?? ,0 ? ? ?

?
2

,求 ? ? ? .
O

?

Q ? ?

x

图(15) 【知识点】任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 ; 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 ; 两 角 和 与 差 的 正 弦函数. 【答案解析】⑴

161 3p ⑵ 4 73
4 3

解析 :解:⑴由三角函数的定义知 tan ? ? ?

∴ tan 2? ?

2 ? (? 4 3) 2 4 1 ? ( 3)

?

24 7

.又由三角函数线知 sin ? ?

2 10

,

24 1 7 b 为第一象限角,\ tan b = ,\ tan ( 2a + b ) = 24 7 1+ 7 3 p p 0< b < , (2) cosa= - , ∵ <a< p, 5 2 2 p 3p ∴ <a + b< . 2 2
∵ sin a + b =sina cosb +cosasinb= ? 又∵

1 7 = 161 . 1 73 7

(

)

4 7 2 5 10

3 2 ? 5 10

2 . 2

p 3p 3p <a + b< ,∴ a +b = . 2 2 4

b ,然后再求 tan b; 【思路点拨】( Ⅰ ) 直 接 根 据 三 角 函 数 的 定 义 , 求 出 s i n
( Ⅱ ) 由 cosa , 求 出 a + b 的 正 弦 值 , 根 据

p p <a< p, 0< b < ,求出 a +b . 2 2

C6

二倍角公式

【数学(文)卷·2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试(201408) 】C2C614. 已 知 sin ? ? cos ? ? ? 1 ,则 sin 2? ? ________

5

【知识点】平方关系;二倍角正弦公式.

24 1 解析 :解:把 sin ? ? cos ? ? ? 1 两边平方可得 1 ? 2sin ? cos ? ? , 5 25 25 24 24 即 sin 2? ? ,故答案为 . 25 25
【答案解析】 【思路点拨】把原等式两边平方可得结果.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】F3C6B320、 (本小 题满分 14 分)其中第(1) (2)问文理科学生都要做,第(3)问按题目要求分文理来做。 已知 O 为坐标原点,向量 OA ? (sin ? ,1) , OB ? (cos ? ,0), OC ? (? sin ? ,2), 点 P 是直线

AB 上的一点,且 AB ? BP .
(1)求点 P 的坐标(用 ? 表示) ; (2)若 O, P, C 三点共线,求以线段 OA, OB 为邻边的平行四边形的对角线长; (3)(文科生做)记函数 f (? ) ? BP ? CA ,且 f ( ) ?

?

2

3 2 sin 2? 的值。 5 ,求

(3)(理科生做)记函数 f (? ) ? BP ? CA , ? ? ( ?

? ?

, ), 讨论函数 f (? ) 的单调性,并求其 8 2

值域. 【知识点】向量的数量积公式;向量的坐标表示;二倍角公式;函数的单调性与值域. 【答案解析】(1) 2cos a - sin a , - 1 (2)

(

)

74 26 , (3) a ? 5 5

骣p p 琪 琪 , , 函数单调 桫8 8

递增; a ? 琪 琪,

骣 p p , 函数单调递减. 值域为 - 1, 2 ù ú ?. 8 2 桫

(

解析 : 解: (1) 设点 P 的坐标为 x, y , 则 AB = c o s as i n , 1a -

( )

(

) ,BP = ( x - cosa , y) ,

AB = BP ,\ cos a - sin a = x - cos a , y = - 1

\ x = 2cos a - sin a , y = - 1 ,\ 点 P 的坐标为 ( 2cos a - sin a , - 1)
(2)由 O, P, C 三点共线知: OP / /OC ,\

( - 1)( - sin a ) = 2? ( 2cos a

sin a ) ,

\ tan a =

sin a 4 2sin a cos a 2 tan a 24 = ,\ 2sin a cos a = 2 = = , 2 2 cos a 3 sin a + cos a tan a +1 25

\ OA + OB =

( sin a + cos a ) ( sin a - cos a )

2

+1 = 2sin a cos a + 2 =

74 5 26 , 5
74 26 , . 5 5

\ OA - OB =

2

+1 = 2 - 2sin a cos a =

所以以线段 OA, OB 为邻边的平行四边形的对角线长分别为 (3) (文科)

BP = ( cos a - sin a , - 1) , CA = ( 2sin a , - 1) ,

骣 p f ( a ) = 2sin a ( cos a - sin a ) +1 = sin 2a + cos 2a = 2 sin 琪 2a + 琪 4 桫
又f琪 琪

骣 q 3 2 = ,\ 2 5 桫

骣 p 骣 p 3 2 3 2 sin 琪 q+ = ,\ sin 琪 q+ = 琪 琪 5 5 桫 4 桫 4

轾 骣 骣 p 骣 p p sin 2q = - cos 琪 q+ =- 犏 1 - 2sin 2 琪 q+ 琪 + 2q = - cos 2 琪 琪 琪 犏 2 桫 桫 4 桫 4 臌
(3) (理科)

=-

7 25

BP = ( cos a - sin a , - 1) , CA = ( 2sin a , - 1) ,

骣 p 琪 f ( a ) = 2sin a ( cos a - sin a ) +1 = sin 2a + cos 2a = 2 sin 琪 2a + 4 桫 骣p p p a? 琪 琪 , ,\ 2a + 4 桫8 2
\ 2a + p 4 p 4 骣p ,即 a ? 琪 0, 琪 桫 2

骣 5p , 琪 0, 琪 桫 4 骣p p 琪 琪 , , 函数单调递增; 桫8 8

\ 2a +

骣 骣 p 5p p p 即a ? 琪 琪, 琪, , 函数单调递减. 琪 2 4 8 2 桫 桫
纟 2 骣 p p ú, 2 sin 琪 ?? ,1 2a + ? 琪 ? 2 ú 4 4 桫 棼

且 sin 琪 2a + 琪

骣 桫

(

1, 2 ù ú ?,

f ( a ) 的值域为 - 1, 2 ù ú ?
【思路点拨】(1)设点 P 的坐标为 x, y ,然后利用 AB = BP 可得点 P 的坐标; (2)由 O, P, C 三点共线 OP / /OC ,得到 tan a 后在计算出 OA + OB 以及 OA - OB 即可. (3) (文科)由 BP 与 CA 可化简 f a ,再结合 f 琪 琪

(

( )

( ) ( )

骣 q 3 2 即可. = 2 5 桫

(3) (理科)由 BP 与 CA 可化简 f a ,即可求出单调性及值域

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407)】C619、(本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且

f ( A) ? 2 cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 2 2 2 2

(1)求函数 f ( A) 的最大值; (2)若 f ( A) ? 0,C ?

5? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

【知识点】二 倍 角 的 正 弦 与 余 弦 ; 辅 助 角 公 式 ; 正 弦 定 理 .

【答案解析】(1) 2 (2)3 解析 :解:( 1 ) f ( A) ? 2 cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 2 2 2 2

骣 p p p 3p <A - < . .∵ 0 < A <p ,∴ 琪 = sin A - cos A = 2 sin 琪 A4 4 4 桫 4
∴当 A-

p p 3p = ,即 A = 时 , f ( A) 取 得 最 大 值 , 且 最 大 值 为 2 . 4 4 2

( 2) 由 题 意 知 f

( A) =

骣 p 琪 2 sin A琪 桫 4

骣 p , ∴ s i n琪 . A= 0 =0 琪 桫 4

p p 3p p p <A - < ,∴ A- = 0 ,∴ A = . 4 4 4 4 4 5p 7p p ∵C= , ∴ A +C = ,则 B = . 3 12 12
又知 -

a b a s i nB = = 由 得: b = sin A sin B s i nA

6? 2 2

3 2 =3.

【思路点拨】( 1 ) 逆 用 二 倍 角 的 正 弦 与 余 弦 及 辅 助 角 公 式 可 将 f ( A) 化 简 为

骣 p , 利 用 0 < A < p 及 正 弦 函 数 的 单 调 性 质 即 可 求 得 函 数 f ( A) 琪 f( A ) = 2 sin 琪A 桫 4
的最大值; ( 2 )在 △ ABC 中 ,由 f A = 0 可 求 得 A = 利 用 正 弦 定 理 即 可 求 得 b.

( )

p 5p ,而 C = ,从 而 可 求 得 B , a = 6 , 4 12

【数学卷· 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试( 201407 ) 】 C5C614 、 设

1 3 2 tan13 1 ? cos 50 a ? cos 6 ? sin 6 , b ? ,c ? , 将 a, b, c 用“ ? ”号连接起来为 2 2 2 1 ? tan 13 2
【知识点】两角差的正弦公式;二倍角的余弦公式;二倍角的正弦公式. 【答案解析】a < c < b 解析 : 解:a =

1 3 cos 60 sin 60 = sin 300 cos 60 - cos300 sin 60 2 2

sin130 2? 0 0 2 tan130 cos130 = 2sin13 cos13 = sin 260 , = sin 240 , b = = sin 2 130 sin 2 130 + cos 2 130 1 + tan 2 130 1+ cos 2 130

1 - 1 - 2sin 2 250 1 - cos 500 c= = = sin 250 , 因为 y = sin x 在 0,900 上是增函数, 2 2

(

)

(

)

所以 a < c < b ,故答案为 a < c < b . 【思路点拨】利用三角公式依次化简 a, b, c ,再利用正弦函数的单调性即可判断大小.

【数学卷·2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试(201407) 】C6C213、在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,角 A 为锐角,且 b ? 3a sin B ,则 tan 2 A ? 【知识点】二 倍 角 公 式 的 应 用 ; 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 的 应 用 . 【答案解析】

4 2 A s iB n, 解析 :解:∵ b ? 3a sin B , ∴ s i nB = 3 s i n 7

∵ sin B ?

1 2 2 0 , ∴ s i n A = , ∵ A 为 锐 角 , ∴ cos A = 1 - sin 2 A = , 3 3
4 2 sin A 2 2 t a nA 4 2 ,∴ tan 2 ,故答案为: . = A= = 2 7 cos A 4 1- t a n A 7

∴ tan A =

【思路点拨】 先 根 据 已 知 等 式 和 正 弦 定 理 求 得 sin A 的 值 , 进 而 求 得 cos A 和 tan A 的 A 的值. 值,最后利用正切的两角和公式求得 tan 2

【数学卷· 2016 届广东省湛江第一中学高一下学期期末考试( 201407 ) 】 C6C26 、求值

cos 200 cos 350 1 ? sin 200
A

?(
2



1

B

C

2
cos 200

D

3

【知识点】二倍角的正、余弦公式;辅助角公式;诱导公式. 【答案解析】C解析 :解:

cos350 1 - sin 200

=

cos2 100 - sin 2 100 cos350 1 - 2sin100 cos100

骣2 琪 cos100 + 2 sin100 2 2 0 2 0 0 0 琪2 2 cos 10 - sin 10 cos10 + sin10 桫 = = = cos 350 cos350 cos 350 cos100 - sin100
2 sin 550 = = 2 ,故选C. sin 550
【思路点拨】先利用二倍角的正、余弦公式把 cos 20 以及 1 - sin 20 转化,再利用辅助
0

0

角公式与诱导公式化简即可.

【数学卷· 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试( 201407 ) 】 C6C920. 已知函数

f ( x) = cos2 x + 2 3sin x cos x - sin 2 x .
(1)当时 x ? 犏 0,

轾p ,求 f ( x) 的值域; 犏2 臌

(2)如果 f (q ) = (3)如果 f (q ) =

6 p 2p , <q < ,求 cos 2q 的值; 5 6 3
骣 6 p ,求 tan 2 琪 - q 的值. 琪 5 6 桫

【知识点】降次公式;辅助角公式;函数的值域;两角差的余弦公式. 【答案解析】(1) [?1, 2] (2)

1 3? 4 3 (3) 4 10

解析 :解: (1)解: f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

)…

2分

? ? ? 7? ? x ? [0, ] ? ? 2 x ? ? 2 6 6 6 1 ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6
? f ( x) 的值域为 [?1, 2]



3分 …4分

? ? ? cos 2? ? cos[(2? ? ) ? ] 6 6

6 ? 3 ? sin(2? ? ) ? 5 6 5 ? 2? ? ? 3? 又 , ? ? 2? ? ? ?? ? 6 3 2 6 2 ? 4 ? cos(2? ? ) ? ? 6 5
(2)

f (? ) ?

…5 分 …7 分

? ? ? ? 4 3 3 1 = cos(2? ? ) cos ? sin(2? ? ) sin =? ? ? ? 6 6 6 6 5 2 5 2
=
3? 4 3 10

…8 分

6 ? 3 ? sin(2? ? ) ? 5 6 5 ? ? 3 ? cos( ? 2? ) ? sin(2? ? ) ? 3 6 5
(3)

f (? ) ?

…10 分

sin 2 ( ? ? ) 1 ? cos( ? 2? ) 6 3 ? …12 分 ? tan 2 ( ? ? ) ? ? ? 6 2 cos ( ? ? ) 1 ? cos( ? 2? ) 6 3 3 1? 1 = 5? … 13 分 3 4 1? 5

?

?

?

【思路点拨】(1)先把函数化简,然后再借助于定义域可求; ( 2)利用已知条件可求出

p p ? ? sin(2q + ), cos(2q + ) ,然后代入 cos 2? ? cos[(2? ? ) ? ] 的展开式即可; (3)利 6 6 6 6
用正切式可求.

【 数学卷 · 2016 届 四川省 成都七 中高一下 学期期 末考试 ( 201407 ) 】 C2C615. 化 简:

cos100 cos 400 1 - sin100

= _____ .

【知识点】诱导公式;二倍角的余弦公式的逆用;辅助角公式. 【答案解析】 2 解析 :解:

cos100 cos 400 1 - sin100

=

cos2 50 - sin 2 50 cos 400

( cos5 - sin 5 )
0

0 2

2 sin 450 cos50 + cos 450 sin 50 cos50 + sin 50 2 sin 500 = = = = 2 ,故答案为 2 . cos 400 cos 400 cos 400
【思路点拨】借助于三角公式进行化简即可.

(

)

【数学卷·2016 届云南省玉溪一中高一下学期期末考试(201407) 】C6C317、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x ? 2cos2 x 。 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间。 【知识点】二 倍 角 的 余 弦 ;三 角 函 数 的 周 期 性 及 其 求 法 ;复 合 三 角 函 数 的 单 调 性 . 【答案解析】(Ⅰ) p (Ⅱ) ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ? 解析 :解:(Ⅰ) f ( x) ?

?

?

??

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2

?
? f ( x) 的最小正周期 T ?
(Ⅱ)令 2k? ?

????5 分

2? ? ?. 2

????6 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z,
??8 分



k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z.

? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . ??10 分 3 6? ?
【思路点拨】(Ⅰ)利 用 倍 角 公 式 和 两 角 差 的 正 弦 公 式 化 简 解 析 式 ,再 求 出 函 数 的 最小正周期, (Ⅱ)根 据 正 弦 函 数 的 增 区 间 , 求 出 此 函 数 的 增 区 间 .

C7

三角函数的求值、化简与证明

【数学(理)卷·2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试(201408) 】D2C714.设 S n 是 各项均为非零实数的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且满足条件 a1 ? a10 ? 4 ,则 S 9 的最大值
2 2

为 。 【知识点】等差数列的通项公式、性质、前n项和公式;三角换元,三角函数的最值.

q , a10 = r sinq , 所 【答案解析】 2 41 解析 :解 : 由 a1 ? a10 ? 4 , 可 设 a1 = r cos
2 2

si n q - rcos q, 以 r ? 2 . 设 ?an ? 的 公 差 为 d , 则 a1 0 - a1 = 9 d = r
所以 d =

rs i n q - r c oq s rs i n q - r c oq s q, 所 以 a9 = a 1 0 - d = r s i n , 9 9 rsinq - rcosq 9(r cosq + r sin q ) r 10cosq +8sin q 9(a1 + a9 ) ) 9 S9 = = = ( 2 2 2

? 10cosq 8sin q = 2 41sin (q +j

)

2 41 ,

所 以 S 9 的 最 大 值 为 2 41,故答案为 2 41 。

【思路点拨】由 a1 ? a10 ? 4 ,可 设 a1 = r cosq , a10 = r sin q ,代 入 求 和 公 式 ,利 用
2 2

三角函数的有界性即可求得其最大值.

【数学文卷·2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试(201407) 】C2C7C817.在

?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为内角 A、B、C 的对边,且

2a sin A ? ( 2b ? c ) sin B ? ?2c ? b ? sin C
(3) 求 A 的大小;(5 分) (4) 若 sin B ? sin C ? 1 ,判断 ?ABC 的形状.(7 分) 【知识点】正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 的 应 用 ; 解 三 角 形 ; 三 角 函 数 的 化 简 求 值 . 【答案解析】(1) A ? 120? ; (2)顶角为钝角的等腰三角形 解析 :解:(1)由正弦定理得 2a ? ?2b ? c ?b ? ?2c ? b ?c
2

即 b ? c ? a ? ? bc ∴
2 2 2

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ? ,∴ A ? 120? 2bc 2

(2)由(1)知 A ? 120? ,∴ B ? C ? 60? ∴ sin B ? sin C ? sin B ? sin( 60? ? B ) ?

1 3 sin B ? cos B ? sin( B ? 60? ) ? 1 2 2

∴ B ? 30?, C ? 30? ,∴ ?ABC 是等腰三角形 【思路点拨】(1)利 用 正 弦 定 理 把 题 设 等 式 中 的 角 的 正 弦 转 化 成 边 ,求 得 a , b 和 c 关 系 式 , 代 入 余 弦 定 理 中 求 得 cosA 的 值 , 进 而 求 得 A . (2)把 (1)中 a , b 和 c 关 系 式 利 用 正 弦 定 理 转 化 成 角 的 正 弦 ,与 sin B ? sin C ? 1 联 立 求 得 sinB 和 sinC 的 值 ,进 而 根 据 C , B 的 范 围 推 断 出 B=C ,可 知 △ ABC 是 等 腰 的钝角三角形.

B1

A1

C1 【数学文卷·2014 届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试(201405) 】C717 、 (本题满分 D 12 分) E
已知向量 a ? (2 sin x, cos x), b ? ( 3 cos x,2 cos x), 定义函数 f ( x) ?B a ? b ?1. (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的单调递减区间. 【知识点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 【答案解析】 解析 :解:函数 f ( x) ? a ? b ? 1 =

?

?

? ?

A

C
(18 文图)

? ?

= (1) (2)∵ (9 分)

(7 分)

∴函数f(x)的单调减区间为

(k∈Z) (13分)

【思路点拨】利用向量的数量积以及;两角和的正弦函数化简函数的表达式, (1)通过函数 周期公式直接求解函数 f(x)的最小正周期; (2)利用正弦函数的单调减区间直接求解函 数 f(x)的单调减区间.

【数学卷·2016 届云南省玉溪一中高一下学期期末考试(201407) 】C722、 (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 设 S 为 △ ABC 的 面 积 , 且

S?

3 2 2 (b ? c ? a 2 ) 。 4

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 6 ,求△ABC 周长的取值范围。 【知识点】三 角 形 的 面 积 公 式 ; 余 弦 定 理 、 正 弦 定 理 化 简 求 值 【答案解析】(Ⅰ) A ?

π (Ⅱ) (12,18] 3
1 3 bc sin A ? ? 2bc cos A ? tan A ? 3 , 2 4
?????4 分

解析 :解:(Ⅰ)由题意可知 所以 A ?

π 3

(Ⅱ)法一:由已知: b ? 0, c ? 0 , b ? c ? a ? 6 由余弦定理得: 36 ? b2 ? c2 ? 2bc cos (当且仅当 b ? c 时等号成立) ∴( (b ? c)2 ? 4 ? 36 ,又 b ? c ? 6 , ∴ 6 ? b ? c ? 12 , 从而周长的取值范围是 (12,18] . . . . . . . . . . . .12 分

?

3 1 ? (b ? c)2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 4 4 3

法二:由正弦定理得:

b c 6 ? ? ?4 3 sin B sin C sin ? 3

∴ b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C ,

2? ? ? ?b ? c ? 4 3(sin B ? sin C) ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B) ? 3 ? ?
?3 ? ? 3 ? 3 1 ? 4 3? sin B ? cos B ? 12 sin B ? cos B ? ? ? ?2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?

?? ? ? 12sin ? B ? ? . 6? ?


?
6

? B?

?
6

?

5? 6

∴ 6 ? 12sin ? B ?

? ?

??

? ? 12 ,即 6 ? b ? c ? 12 (当且仅当 B ? 时,等号成立) 6? 3
. . . . . . . . . .12 分

?

从而周长的取值范围是 (12,18] 【思路点拨】 (Ⅰ) 根据三角形的面积公式 S =

1 bc sin A , 根据余弦定理, 求 出 tan A , 2 根据 A 的范围利用特殊角的三角函数值即可得到 A 的度数;
( Ⅱ )求 △ABC 周 长 的 取 值 范 围 ,法 一 :利 用 余 弦 定 理 ,结 合 基 本 不 等 式 ,可 求 ; 法二:利用正弦定理,结合三角函数知识可求.

C8

解三角形

【数学理卷·2014 届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试(201405) 】C8C417. (本小题 满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) 的图像是由 y ? sin x 的图像经过如下三步变换得到的: ①将 y ? sin x 的图像整体向左平移

? 个单位; 6
1 ; 2

②将①中的图像的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的

?将②中的图像的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍。

(Ⅰ)求的周期和对称轴; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 的对边,且 f (C ) ? 2, c ? 1, ab ? 2 3 ,且

a ? b ,求 a, b 的值。
【知识点】解三角形;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【答案解析】(Ⅰ)T=π; x= + (Ⅱ)a=2,b= . =π;

解析 :解:(Ⅰ)由变换得:f(x)=2sin(2x+ 由 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得对称轴为 x= +

) ,∵ω=2,∴T=

,k∈Z; )=1,又 C 为三角形内角,

(Ⅱ)由 f(C)=2 得:2sin(2C+ ∴2C+ = ,即 C= ,∴cosC=

)=2,即 sin(2C+ ,又 c=1,ab=2 ,

在△ABC 中,根据余弦定理,有 c2=1=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣2× 2 整理得:a2+b2=7,与 ab=2 联立,且 a>b,解得:a=2,b= .

×



【思路点拨】(Ⅰ)得到 f(x)的解析式 y=2sin(2x+

) ,找出 ω 的值,代入周期公式, ,k∈Z,列出关于 x 的方程,

即可求出 f(x)的最小正周期;根据正弦函数的对称轴为 kπ+

求出方程的解得到 f(x)的对称轴; (Ⅱ)由 f(C)=2,将 x=C 代入 f(x)解析式中,使 其值等于 2,整理后根据 C 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值,求出 C 的度数, 利用余弦定理得到 c2=a2+b2﹣2abcosC,利用完全平方公式变形后,将 c,cosC 及 ab 的值代 入,求出 a2+b2=7,与 ab=2 联立,根据 a 大于 b,即可求出 a 与 b 的值.

【数学文卷·2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试(201407) 】C2C7C817.在

?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为内角 A、B、C 的对边,且

2a sin A ? ( 2b ? c ) sin B ? ?2c ? b ? sin C
(5) 求 A 的大小;(5 分) (6) 若 sin B ? sin C ? 1 ,判断 ?ABC 的形状.(7 分) 【知识点】正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 的 应 用 ; 解 三 角 形 ; 三 角 函 数 的 化 简 求 值 . 【答案解析】(1) A ? 120? ; (2)顶角为钝角的等腰三角形 解析 :解:(1)由正弦定理得 2a ? ?2b ? c ?b ? ?2c ? b ?c
2

即 b ? c ? a ? ? bc ∴
2 2 2

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ? ,∴ A ? 120? 2bc 2

(2)由(1)知 A ? 120? ,∴ B ? C ? 60? ∴ sin B ? sin C ? sin B ? sin( 60? ? B ) ?

1 3 sin B ? cos B ? sin( B ? 60? ) ? 1 2 2

∴ B ? 30?, C ? 30? ,∴ ?ABC 是等腰三角形 【思路点拨】(1)利 用 正 弦 定 理 把 题 设 等 式 中 的 角 的 正 弦 转 化 成 边 ,求 得 a , b 和 c 关 系 式 , 代 入 余 弦 定 理 中 求 得 cosA 的 值 , 进 而 求 得 A . (2)把 (1)中 a , b 和 c 关 系 式 利 用 正 弦 定 理 转 化 成 角 的 正 弦 ,与 sin B ? sin C ? 1 联 立 求 得 sinB 和 sinC 的 值 ,进 而 根 据 C , B 的 范 围 推 断 出 B=C ,可 知 △ ABC 是 等 腰 的钝角三角形.

B1

A1

C 1 .(本题满 【数学卷·2014 届江苏省南京市金陵中学高三第四次模拟考试(201405) 】C8 18 D 分 16 分) E
如图,直角三角形 ABC 中,∠B= 90 ,AB=1,BC= 3 .点 M,N 分别在边 AB 和 AC

B

A

上(M 点和 B 点不重合),将△AMN 沿 MN 翻折,△AMN 变为△ A? MN,使顶点 A? 落 C 在边 BC 上( A? 点和 B 点不重合).设∠AMN= ? . A (18 文图) (1) 用 ? 表示线段 AM 的长度,并写出 ? 的取值范围; N (2) 求线段 A?N 长度的最小值.

????
M ?? B 【知识点】解 三 角 形 的 实 际 应 用 . 【答案解析】(1) MA = A' C

1 2 , 45 ? ? ? 90 (2) 2 3 2sin q
1? x ,????4 分 x

解析 :解:解: (1)设 MA ? MA? ? x ,则 MB ? 1 ? x .????2 分 在 Rt△MB A? 中, cos(180 ? 2?) ? ∴ MA ? x ?

1 1 .????5 分 ? 1 ? cos2? 2sin 2 ?

∵点 M 在线段 AB 上,M 点和 B 点不重合, A? 点和 B 点不重合,∴ 45 ? ? ? 90 ?7 分 (2) 在 △ AMN 中 , 由 ∠ AMN= θ , 可 得 ∠ ANM=

2p - q ,∴ 根 据 正 弦 定 理 得 : 3

AN = s i nq

MA 1 , ∴ AN = 骣 骣 2p 2p s i n琪 2 sin q s i琪 n -q 琪 -q 琪 桫3 桫3
骣 骣 2p 1 3 - q = 2sin q 琪 sin q + cosq 琪 2 2 桫3 桫

令 t = 2sin q sin 琪 琪

=

1 + sin 2q - 300 , 2

(

)

45鞍 <q <90 , \ 60?<2q 30鞍 <150 ,

? 当 且 仅 当 2q - 30

90 ?,q

6 0时 , t 有 最 大 值

3 , 2

则 θ =60 °时 , AN 有 最 小 值 为

2 2 , 即 线 段 A?N 长 度 的 最 小 值 为 . 3 3

【思路点拨】( 1 ) 设 MA ? MA? ? x ,则 MB ? 1 ? x , 在 Rt △ MBA' 中 , 利 用 三 角 函 数 可求; ( 2 )求 线 段 A'N 长 度 的 最 小 值 ,即 求 线 段 AN 长 度 的 最 小 值 ,再 利 用 三 角 恒 等变换化简,从而求最值.

【数学(理)卷·2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试(201408) 】C817. (本小 题满分 12 分)在 ΔABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使 ΔABC 面积最大时,a,b 的值。 【知识点】正弦定理;余弦定理;三角形面积公式. 【答案解析】(1) C = 解析 :解: (1)

2 a? b c o s ( A ? C ) ? c c o s C

2p 3 (2) 3 3

,由题意及正弦定理 c o s ( A ? C ) ?? c o s (B )c ? ? o s B

?

2 s i n A ? s i n B? c o s B ? ? s i n C c o s C


2 s i n A c o s ? C ? ( s i n B c ? o s C c o s B ? s ? i n C ) ? s i ? n ? ( B C ) s i n A A ? ( 0 , ? ) ? s i n A ? 0 从而

cosC ??

2? …………………6 分 3 2 2 2 (2)由余弦定理 c ? ab ? ? 2 a bC c o s 1 22 2 2 2 2 4 ? a ? b ? a b ? 2 a b ? a b ? 3 a b ,? ? a ? b ? a b ?? 4a ? b ? 2 a b ?( ?) 即 4 2 4 1 3 (当且仅当 a ? b 时成立) ?4? 3 a b , a b? S b s i n C ? a b A B C? a 3 2 4 3 2 3 ? 当 a ? b 时 ΔABC 面积最大为 ,此时 a ? b = 3 3 2 3 3 故当 a ? b = 时,ΔABC 的面积最大为 . 3 3


1 2

C ? ( 0 , ? ) ?C?

【思路点拨】(1)利用诱导公式和正弦定理以及两角和的正弦公式可求得结果; (2)根据 余弦定理可判断出当 a = b ,ΔABC 面积最大,再求出最大值即可.

C9

单元综合

【数学卷· 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试( 201407 ) 】 C6C920. 已知函数

f ( x) = cos2 x + 2 3sin x cos x - sin 2 x .
(1)当时 x ? 犏 0,

轾p ,求 f ( x) 的值域; 犏 臌2

(2)如果 f (q ) = (3)如果 f (q ) =

6 p 2p , <q < ,求 cos 2q 的值; 5 6 3

骣 6 p ,求 tan 2 琪 - q 的值. 琪 5 6 桫

【知识点】降次公式;辅助角公式;函数的值域;两角差的余弦公式. 【答案解析】(1) [?1, 2] (2)

1 3? 4 3 (3) 4 10

解析 :解: (1)解: f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

)…

2分

? ? ? 7? ? x ? [0, ] ? ? 2 x ? ? 2 6 6 6 1 ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6
? f ( x) 的值域为 [?1, 2]



3分 …4分

? ? ? cos 2? ? cos[(2? ? ) ? ] 6 6

6 ? 3 ? sin(2? ? ) ? 5 6 5 ? 2? ? ? 3? 又 , ? ? 2? ? ? ?? ? 6 3 2 6 2 ? 4 ? cos(2? ? ) ? ? 6 5

(2)

f (? ) ?

…5 分 …7 分

? ? ? ? 4 3 3 1 = cos(2? ? ) cos ? sin(2? ? ) sin =? ? ? ? 6 6 6 6 5 2 5 2
=
3? 4 3 10

…8 分
f (? ) ? 6 ? 3 ? sin(2? ? ) ? 5 6 5

(3)

? ? 3 …10 分 ? cos( ? 2? ) ? sin(2? ? ) ? 3 6 5 ? ? sin 2 ( ? ? ) 1 ? cos( ? 2? ) ? 6 3 ? …12 分 ? tan 2 ( ? ? ) ? ? 6 2 ? cos ( ? ? ) 1 ? cos( ? 2? ) 6 3 3 1? 1 = 5? … 13 分 3 4 1? 5
【思路点拨】(1)先把函数化简,然后再借助于定义域可求; ( 2)利用已知条件可求出

p p ? ? sin(2q + ), cos(2q + ) ,然后代入 cos 2? ? cos[(2? ? ) ? ] 的展开式即可; (3)利 6 6 6 6
用正切式可求.


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