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浙江省杭州学军中学2012届高三第一次月考试题数学理


2011 学年杭州学军中学高三年级第一次月考 数学(理)试卷
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.卷面共 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、集合 A 可以表示为 { x , A.-1 B.0

y , 1 } ,也可以表示为 {0, x , x ? y} ,则 y ? x 的值为( x
C.1 D.-1 或 1



x , ,则 M ? N= ( ) ? 0 } N={ y y ? 3x 2 ? 1, x ? R } 3 ( x ? 1) A.? B.{ x | x ?1} C. x | x ?1} { D.{ x | x ?1 或 x ?0} 1 a 3.“ a ? ”是“对任意的正数 x , 2 x ? ? 1 ”的 ( ) 8 x
2.已知集合 M={ x | A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 4. 函 数 f (x ) 在 定 义 域 R 内 可 导 , 若 f ( x) ? f (2 ? x), 且 ( x ? 1) f '( x) ? 0 , 若

1 ( ) a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3), 则 a, b, c 的大小关系是 2 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. a ? c ? b 5.下列函数既是奇函数,又在区间 [?1,1] 上单调递减的是 ( ) 2? x 1 x ?x A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? ? | x ? 1 | C. f ( x ) ? ( a ? a ) D. f ( x) ? ln 2 2? x 6.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,
点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l ,弦 AP 的长为 d ,则函数 d ? f (l ) 的图象大致是 ( ) .

x 7.函数 f ( x) ? log a (2 ? b ? 1)(a ? 0,a ? 1) 的图象如图所示,则 a,b 满足的关系是(

)

A. 0 ? a C. 0 ? b

?1

? b ?1 ? a ? ?1

B. 0 ? b ? a D. 0 ? a
?1

?1

?1
O

y x

?1

? b ?1 ? 1

?1

?x ? ( x ? 0) 8.已知 f ( x) ? ? 2 ,则 f [ f ( x)] ? 1 的解集是( 2 ? x ( x ? 0) ?

)

A. (??, ? 2]

B. [4 2, ?? )

C. ( ??, ?1] ? [4 2, ??)

D. (??, ? 2] ? [4, ??)

9.已知定义域为 R 的函数 y ? f (x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) , 当 x ? 2 时,

f (x ) 单调递增,若 x1 ? x2 ? 4 且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值
大于 0 B.恒小于 0



)A. 恒

C.可能等于 0 D.可正可负 1 10.若函数 f ( x) ? loga ( x 3 ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (? ,0)内单调递增,则 a 的取值范围 2 是 ( ) 1 3 9 9 A.[ ,1) B.[ ,1) C. ( , ??) D.(1, ) 4 4 4 4 第 II 卷(共 100 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.若函数 f ( x) ? x ? x ? a 为偶函数,则实数 a ?
2

12.若 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围 x?2

13. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? ax ?1 在区间 (?1,1) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围 是 14.已知关于 x 的方程 4 x ? 2 x ?1 ? 3m ? 1 ? 0 有实根,则 m 的取值范围是 15.设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn ,则

a1 ? a2 ? ?? a99 的值为
16 . 已 知 函 数 f ? x ? 满 足 : f ?1? ?

.

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? , 则 4

f ? 2010 ? =_____________.
17.定义在 ?? ?,?? ? 上的偶函数 f ?x? 满足 f ?x ?1? ? ? f ?x ? ,且在 ?? 1,0? 上是增函数,下面是 关于 f(x)的判断: ① f ?x? 关于点 P(

1 ,0 )对称 2

② f ?x? 的图像关于直线 x ? 1 对称; ④ f ?2? ? f ?0? .

③ f ?x? 在[0,1]上是增函数;

其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上)

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18. (本小题满分 14 分) 已知条件 p : x ? A ? x | x2 ? 2x ? 3 ? 0, x ? R ,

?

?

条件 q : x ? B ? x | x2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0, x ? R, m ? R (Ⅰ)若 A ? B ? ?0,3? ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 p 是 ?q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 y ?

?

?

2x ? a 为 R 上的奇函数 2x ? 1

(1)求 a 的值 (2)求函数的值域 (3)判断函数的单调区间并证明 20. (本小题满分 14 分) 已知 x 满足不等式 (log2 x) 2 ? log2 x 2 ? 0 , 求函数 y ? 4
x? 1 2

? a ? 2x ?

a2 ? 1 ( a? R )的最小值. 2

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ln | x | , (Ⅰ )判断函数 f (x ) 的奇偶性; (Ⅱ )求函数 f (x ) 的单调区间; (Ⅲ )若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? 1 在 ( 0 ,?? ) 上有实数解,求实数 k 的取值范围.

22.(本题满分 15 分) b a 已知 f ( x ) ? ax ? ? 2 ln x ,且 f ( e ) ? be ? ? 2 ( e 为自然对数的底数)。 e x (1)求 a 与 b 的关系; (2)若 f ( x ) 在其定义域内为增函数,求 a 的取值范围; (3)证明:

ln2 ln3 lnn 2n2 ? n ? 1 ? 2 ? ??? ? 2 ? ( n ? N ,n ? 2 ) 22 3 n 4( n ? 1 )

(提示:需要时可利用恒等式: lnx ? x ?1 )

2011 学年杭州学军中学高三年级第一次月考 数学(理)答卷

一、选择题:答案请涂在答题卡上 二、填空题: 11. ; 13. 15. 17. ; ; ;

12. 14. 16. ;

; ;

三、解答题:本大题共 5 小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 18.

19.

20.

21.

22.

2011 学年杭州学军中学高三年级第一次月考 数学(理)答案

一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 11. 0 12. a ? 1 C 2 C 3 A 4 C 5 D 6 C 7 A 8 D 9 B 10 B

1 2

13.

4 a ? ? 或a ? 7 3

14. m ?

2 3

15.

-2



16.

1 2

17.

(1)(2)(4)



三、解答题:本大题共 5 小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 18. 解: (Ⅰ)A ? [?1, 3] ,B ? [?2 ? m, 2 ? m] , A ? B ? ?0,3? , ? 若 则 (Ⅱ) CR B ? (??, ? 2 ? m) ? (2 ? m, ? ?) ,若 A ? CR B ,

?? 2 ? m ? 0 , m?2 故 ? 2?m ?3

则 3 ? ?2 ? m 或 2 ? m ? ?1, 19.(1) a ? 1 (2)(-1,1) (3)R 上递增

故 m ? ?3 或 m ? 5

x 20、解:解不等式 (log2 x) 2 ? log2 x 2 ? 0 ,得 1 ? x ? 4 ,所以 2 ? 2 ? 16

y?4

x?

1 2

? a ? 2x ?

a2 1 a2 1 ? 1 ? (2 x ) 2 ? a ? 2 x ? ? 1 ? (2 x ? a) 2 ? 1 2 2 2 2

当 a ? 2 时 , ym i ? n

1 (2 ? a) 2 ? 1 ; 当 2 ? a ? 16 时 , ym i ? 1 当 a ? 16 时 , n 2

1 ymin ? (16 ? a) 2 ? 1 2
21、 解: )函数 f (x ) 的定义域为{ x | x ? R 且 x ? 0 } (Ⅰ

f (?x) ? (?x) 2 ln | ?x |? x 2 ln x ? f ( x)
(Ⅱ )当 x ? 0 时, f ?( x) ? 2 x ? ln x ? x 2 ?

∴f (x ) 为偶函数

1 ? x ? (2 ln x ? 1) x

若0 ? x ? e 若x?e
? 1 2

?

1 2

,则 f ?( x) ? 0 , f (x ) 递减; 则 f ?( x) ? 0 , f (x ) 递增.



再由 f (x ) 是偶函数, 得 f (x ) 的递增区间是 (?? , ? e 递减区间是 ( ? e
? 1 2

?

1 2

) 和 (e

?

1 2 ?

, ? ?) ;
1 2

, 0) 和 (0 , e ) .

(Ⅲ )由 f ( x) ? kx ? 1,得: x ln | x | ? 当 x ? 0 , g ?(x) ? ln x ? 1 ?

1 ?k x

令 g (x) ? x ln | x | ?

1 x

1 x2 ?1 ? ln x ? x2 x2

显然 g ?(1) ? 0

0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g(x) ?
∴ ? 0 时, g ( x) min ? g (1) ? 1 x

x ? 1时, g ?( x) ? 0 , g(x) ?

∴ 若方程 f ( x) ? kx ? 1有实数解,则实数 k 的取值范围是[1,+∞) .

22.解:(1)由题意

(2)由(1)知:

(x>0)

令 h(x)= x2-2x+ .要使 g(x)在(0,+∞)为增函数,只需 h(x)在(0,+∞)满足: h(x)≥0 恒成立. 即 x2-2x+ ≥0

上恒成立

又 所以 (3)证明:证:lnx-x+1≤0 (x>0),



.

当 x∈(0,1)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数; 当 x∈(1,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数; ∴x=1 为 k(x)的极大值点, ∴k(x)≤k(1)=0. 即 lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1. ②由①知 lnx≤x-1,又 x>0,


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