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甘肃省会宁县第一中学2016届高三数学上学期第四次月考试题 理


会宁一中 2016 届高三第四次月考 数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时,将答案写在答题卡上, 在本试卷上答题无效。 第Ⅰ卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 M ? {x | ?1 ? x ? 2} , N ? {x |

x ? k ? 0} ,若 M ? N ? ? ,则 k 的取值范围是( A. k ? 2 B. ?1 ? k ? 2 ) B.? x∈R,- x+1≥0 D.? x∈R,cosx<2x-x2-3 C. k ? ?1 D. k ? ?1 ).

2. 下列命题正确的是( A.? x∈R,x2+2x+1=0 C.? x∈N*,log2x>0

? 3. 将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位,所得函数图象对应
的解析式为( )

y ? sin( 2 x ? ) ? 1 4 A.
C. y ? 2 sin x
2

?

B. y ? 2 cos x D. y ? ? cos 2 x

2

?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ? y ? kx ? 2 ?y ? x ? 4 ? 0 已知由不等式 ? 确定的平面区域 ? 的面积为 7,则 k 的值(
A. ?2 B. ?1 C. ?3 D. 2



5.设 l , m , n 表示不同的直线, ?,?,? 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ∥ l ,且 m ? ? . 则 l ? ? ; ②若 m ∥ l ,且 m ∥ ? .则 l ∥ ? ; ③若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n ,则 l ∥m∥n;

? ④若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? l , ? ? ? ? n, 且 n∥ ,则 l ∥m.
其中正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

1

6 . 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列
2 a3 ? 2a2a6 ? a3a7 ? (

{an } 中 , a3 ? 2 ?1, a5 ? 2 ? 1 , 则

) C.4 D. 8 ? 4 2

A. 8

B.6

y ? tan( x ?
7. 下列各点中,能作为函数 称中心的点是( )

?

5 ( x?R 且
3? , 0) D . 10 (

)

x ? k? ?

3? 10 , k ? Z )的一个对

A . (0, 0)

( , 0) B. 5

?

C . (? , 0)

1 1 1 1 23 ?n ? 2? ? ? ?? ? n ? 1 n ? 2 n ? 3 2 n 24 8. 用数学归纳法证明不等 的过程中, 由 n=k 递推
到 n=k+1 时,不等式左边( )

1 A.增加了一项 2(k ? 1)

1 1 ? B.增加了一项 2k ? 1 2( k ? 1)

1 1 1 ? C.增加了 2k ? 1 2( k ? 1) ,又减少了 k ? 1
1 2(k ? 1)
1 ,又减少了 k ? 1

D.增加了

9. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f(x) 满 足 : 对 任 意 的 x1 , x2 ∈ [0 , + ∞)(x1≠x2) , 有

f(x 2) - f(x1) ?0 x 2 - x1 ,则(

)

A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)
x y 1 1 10. 已知 x>0,y>0, lg2 ? lg8 ? lg2 ,则 + 的最小值是( x 3y

)

A.2

B.2 2

C.4

D.2 3
? ?g?x?,若f?x?≥g?x?, ?f?x?,若f?x?<g?x?. ?

11.已知 f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=? 的最值是( )

则 F(x)

A.最大值为 3,最小值-1 C.最大值为 3,无最小值 12.对于任意两个正整数

B.最大值为 7-2 7,无最小值 D.既无最大值,又无最小值

m, n ,定义某种运算“※”如下:当 m, n 都为正偶数或正奇数时,

m ※ n = m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※ n = mn .则在此定义下,
2

集合

M ? {(a, b) a

? ? ※ b ? 12, a ? N , b ? N } 中的元素个数是(



A.10 个

B.18 个

C.16 个

D.15 个

第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.) 13.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 ________________.

f(n) ? cos
14.已知

n? 2 ,则 f(1)+f(2)+...+f(2014)+f(2015)=_______________.

15.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示,其中主视图是直角三角形,侧视图是半圆, 俯视图是等腰三角形,则这个几何体的表面积是________.

1 16.若定义在 R 上的偶函数 y = f ( x) 满足 f ( x ? 1) = f ( x ) ,且当 x ∈(0,1]时, f ( x) = x ,

?log3 x ? x +1 2 函数 g ( x) = ?

( x>0) (x ? 0) ,则函数 h( x) = f ( x) ? g ( x) 在区间[-4,4]内的零点的个数

为 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17.(满分 12 分)已知 p:x - 8x - 20 ? 0, q:x - 2x ? 1 - a ? 0 .若 p 是 q 的充分不必要
2 2 2

条件,求正实数 a 的取值范围.

f ( x) ? 5sin x cos x ? 5 3 cos 2 x ?
18. (满分 12 分)已知函数

5 3 2 (其中 x ? R ),求:

(1) 函数 f ( x) 的最小正周期;

(2) 函数 f ( x) 的单调区间;

(3) 函数 f ( x) 图象的对称轴和对称中心.
19.(满分 12 分)在公差不为 0 的等差数列{an}中,a1,a4,a8 成等比数列.

3

(1)已知数列{an}的前 10 项和为 45,求数列{an}的通项公式;

(2)若

,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若

,求数列{an}的公差.

20.(满分 12 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ? 2, AA1 ? 2 2 是 AA1 的中点,N是 BC1 的中点 (Ⅰ)求证:MN∥平面 A1 B1C1 ; (Ⅱ)求点 C1 到平面 BMC 的距离; (Ⅲ)求二面角 B ? C1M ? A1 的平面角 的余弦值大小。
2 21、(满分 12 分)设 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? ax .

∠ACB=90°,M

(1) 当 x ? 1 时, f ( x) 取到极值,求 a 的值; 1 1 当 a 满足什么条件时, f ( x) 在区间[- ,- ]上有单调递增区间? 2 3 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC=3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

? x ? 4 ? 5cos t , ? y ? 5 ? 5sin t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 已知曲线 C1 的参数方程为 ?
为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;

4

(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ). 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)< |a-1 |的解集非空,求实数 a 的取值范围.

5

会宁一中 2016 届高三第四次月考 数学试卷(理科)参考答案 一、选择题: 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C 9 A 10 C 11 B 12 D

9.【解】若 x2-x1>0,则 f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1), ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数, ∵3>2>1,∴f(3)<f(2)<f(1),又 f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2), ∴f(3)<f(-2)<f(1),故选 A.

? lg2 ,所以 x+3y=1. 【解】依题意得 lg(2 ? 8 )
x y

1 1 ?1 1 ? x 3y 所以 + =? + ?·(x+3y)=2+ + ≥2+2 x 3y ?x 3y? 3y x 1 即 x=3y= 时,等号成立.故选 C. 2

x 3y x 3y · =2+2=4,当且仅当 = , 3y x 3y x

11【解】作出 F(x)的图象,如图实线部分,知有最大值而无最小值,且最大值不是 3,故选 B.

12【解】由于两个正整数

m, n ,定义某种运算“※”如下:当 m, n 都为正偶数或正奇数时,

m ※ n = m ? n ; 当 m, n 中 一 个 为 正 偶 数 , 另 一 个 为 正 奇 数 时 , m ※ n = mn 所 以

M ? { (a , b ) a b ? 12, a ? N?, b ? N?} ※ 中当 a , b 都为偶数时有 (2,10) , (10,2) , (4,8) ,
(8,4), (6,6)共 5 个元素;当 a , b 都是奇数时有(1,11), (11,1), (3,9), (9,3), (5,7),(7,5);共有 6 个元素;当 a , b 为一奇一偶时有(1,12),(12,1),(3,4), (4,3).综上共有 15 个元素. 二、填空题 2 13. 3 14.-1 15.2(1+ 3)π +4 2 16. 5

13. 【 解 】 如 图 , 连 接 AC 交 BD 于 点 O , 连 接 C1O , 过 C 作 CH ⊥ C1O 于 点 H ,

6

? ? AA1⊥BD ?? AC∩AA1=A? ?
BD⊥AC

? BD⊥面ACC1A1? ?? CH? 面ACC1A1? ?

? ? OC1⊥HC ?? BD∩OC1=0? ?
BD⊥HC

CH⊥面 BDC1,∴∠HDC 为 CD 与面 BDC1 所成的角, 设 AA1=2AB=2,OC= 2 3 2 OC·CC1 2 CH 2 ,CC1=2,OC1= ,CH= = ,∴sin∠HDC= = . 2 2 OG 3 CD 3

f ( n) ? cos
14. 【 解 】 由

n? ? f (2 ?) f 2 的 周 期 为 4 , 且 f (1)

(? 3 )f

? ( 4, ) 知0

f (1) ? f (2 ?) ? ? f (2010) ? f (2011) 为 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?1。故答案为: ?1 。
15. 【解】 此几何体是半个圆锥, 直观图如图所示,先求出圆锥的侧面积 S 圆锥侧=π rl =π ×2×2 3=4 3π ,S 底=π ×22=4π , 1 S△SAB= ×4×2 2=4 2, 2 4 3π 4π 所以 S 表= + +4 2 2 2 =2(1+ 3)π +4 2. 三、解答题: 17.(满分 12 分) 【解】解不等式 x2-8x-20>0 得 p:A={x|x>10,或 x<-2}. 解不等式 x2-2x+1-a2>0 得 q:B={x|x>1+a,或 x<1-a,a>0}. 依题意,p? q 但 q? / p,说明 A ? B. a>0 ? ? 于是,有?1+a≤10 ? ?1-a≥-2

,且等号不同时取得,解得 0<a≤3.

∴正实数 a 的取值范围是 0<a≤3. 18.(满分 12 分) 【解】(1) ? ;
5? 11? ? ? 5? ? ? ? ?k? ? 12 , k? ? 12 ? ?k? ? 12 , k? ? 12 ? ? ,其中 k ? Z; ? ,减区间: ? (2)增区间: ?
7

(3)对称轴方程:

x?

k? 5? ? , 2 12

? k? ? ? ? , 0? ? 对称中心: ? 2 6 ? ,其中 k ? Z。

19、(本题 12 分)【解】设等差数列{an}的公差为 d,由 a1,a4,a8 成等比数列可得, .即 ∴ , ,而 d≠0,∴a1=9d. ,

(1)由数列{an}的前 10 项和为 45,得 即 90d+45d=45,故 d= ,a1=3, 故数列{an}的通项公式为 ;

(2)



则数列{bn}的前 n 项和为 Tn=

= 故数列{an}的公差 d=1 或 d=﹣1. (本题满分 12 分) 【解】(1)如图所示, 取 B1C1 中点 D,连结 ND、A1D∴DN∥BB1∥AA1

=



1 1 BB1 ? AA1 ? A1 M 2 又 DN= 2
∴四边形 A1MND 为平行四边形。 ∴MN∥A1 D 又 MN ? 平面 A1B1C1 AD1 ? 平面 A1B1C1 ∴MN∥平面 A1 B1C1 ----------------------4 分 因三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, ∴C1 C ⊥BC,又∠ACB=90° ∴BC⊥平面 A1MC1,在平面 ACC1 A1 中,过 C1 作 C1H⊥CM,又 BC⊥C1H, 故 C1H 为 C1 点到平面 BMC 的距离。在等腰三角形 CMC1 中,C1 C=2 2 ,CM=C1M= 6
CM 3 .--------------------------8 分 ∴ (3)在平面 ACC1A1 上作 CE⊥C1M 交 C1M 于点 E,A1C1 于点 F, 则 CE 为 BE 在平面 ACC1A1 上的射影, ∴BE⊥C1M, ∴∠BEF 为二面角 B-C1M-A 的平面角, C1 H ? CC1 ? AC ? 4 3

8

4 3 BC 3 ? 2 在等腰三角形 CMC1 中,CE=C1H= 3 ,∴tan∠BEC= CE
2 7 7 ∴ cos∠BEC= .又二面角 B ? C1 M ? A 的平面角与∠BEC 互补, 2 7 所以二面角 B ? C1 M ? A 的余弦值为 7 --------------------12 分 ?
法 2:(1)同上。如图所示建系,

? B (2, 0, 0), A (0, 2, 0), C (0, 0, 2 2) M (0, 2, 2), n 1 (2)可得, , ,设 ? ( x, y, z) 是平面 BMC
的法向量,C1 点到平面 BMC 的距离 h。 可 求 得 一 个 法 向 量 为

? n ? ( 0? , 1 , ,

????? C12 M? ) (0, 2, ? 2)

,

????? ? C1M ? n 4 3 h? ? ? 3 n

------------------------8 分

?? ??? ? C A M m ? ( x1, y1, z1 ) 是 CB ? (2,0,0) 1 1 (3)可知 是平面 的法向量,设 ?? BMC1 的法向量,求得一个法向量 m ? (2,1, 2) 平面
??? ? ?? CB ? m 2 7 cos ? ? ??? ? ?? ? 7 CB ? m

设 ? 是为二面角

B ? C1M ? A1 的 平 面 角 , 则

,又因为二面角

2 7 B ? C1M ? A1 的平面角是钝角,所以 cos ? ? ? 7 。-------------------12 分
21、(本题 12 分)【解】(1)由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞), 1 -2ax2-?2a+1?x 且 f′(x)= -2ax-1= , 1+x 1+x

由题意得:f′(1)=0,则-2a-2a-1=0,得

a??

1 4.

?4 分

又当

a??

1 1 1 1 x2- x x?x-1? 2 2 2 4 时,f′(x)= = , 1+x 1+x

当 0<x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0,

1 a?? ? 4 . 所以 f(1)是函数 f(x)的极大值,所以

?6 分

9

1 1 (2)解法一:要使 f(x)在区间[- ,- ]上有单调递增区间, 2 3 1 1 即要求 2ax+(2a+1)>0 在区间[- ,- ]上有解, 2 3 ①当 a=0 时,不等式恒成立; 2a+1 2a+1 1 ②当 a>0 时,得 x>- ,此时只要- <- , 解得 a>0; 2a 2a 3 2a+1 2a+1 1 ③当 a<0 时,得 x<- ,此时只要- >- ,解得-1<a<0. 2a 2a 2

? ??) . 综上所述, a ? (?1,
1 1 解法二:要使 f(x)在区间[- ,- ]上有单调递增区间, 2 3
2 1 1 即 ??ax ? (2a ? 1) x ? 0 在区间[- ,- ]上有解 2 3

?12 分

1 1 即要求 2ax+(2a+1)>0 在区间[- ,- ]上有解, 2 3

? ?1 ? 2a ? ? ? 1 1 ? x ? 1 ? min 即在区间[- ,- ]上, 2 3

?1 1 1 而 x ? 1 在区间[- ,- ]单调递增,所以 a ? ?1
2 3

? ??) . 综上所述, a ? (?1,
22【解】(1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE, 故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为直径,∠DCE=90°, 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线,

3 所以 BG= 2 .
设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60°. 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 所以 CF⊥BF,

3 故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 2 .

10

? x ? 4 ? 5cos t , ? y ? 5 ? 5sin t 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 23【解】(1)将 ?
即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.

? x ? ? cos ? , ? y ? ? sin ? 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 将?
ρ 2-8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ 2-8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, ? x ? 1, ? x ? 0, ? 2 ? ? 2 y ? 1 或 ? y ? 2. x ? y ? 2y ? 0 由? 解得 ?
π? ? π? ? ? 2, ? ? 2, ? 4 ?,? 2 ? . 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ?
24【解】(Ⅰ)原不等式等价于

3 3 ? ? 1 ?x ? , ?? ≤x≤ , 或? 2 2 2 ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3)≤6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3)≤6

1 ? ?x ? ? , 2 ? ? ? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3)≤6 , 或?

3 1 3 1 ? x≤2或 ? ≤x≤ 或 ? 1≤x ? ? 2 2 2, 解之得 2

即不等式的解集为 {x | ?1≤x≤2} .????????????????????(5 分)

? f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 ≥ (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 4 (Ⅱ) ,
? a ?1 ? 4
,解此不等式得 a ? ?3或a ? 5 .????????????????(10 分)

11


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