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高中数学平面向量测试题


平面向量板块测试
第Ⅰ卷
一、选择题(12?5′=60′) 1.下列五个命题:①|a | 2 = a 2 ;② a ?2b ? b ;③ (a ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ;④ (a ? b) 2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ;
a a

(选择题

共 60 分)

⑤若 a?b=0,则 a=0 或 b=0. 其中正确命题的序号是 A.①②③ B.①④

(

) C.①③④ D.②⑤ ( ) D.非等腰梯形 ( )

2.若 AB =3e, CD =-5e 且| AD |=| BC ,则四边形 ABCD 是

A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 3.将函数 y=sinx 按向量 a=(1,-1)平移后,所得函数的解析式是 A.y′=sin(x′-1)-1 B.y′=sin(x′+1)-1 C.y′=sin(x′+1)+1 D.y′=sin(x′-1)+1

4.若有点 M 1 (4,3)和 M 2 (2,-1),点 M 分有向线段 M 1 M 2 的比λ =-2,则点 M 的坐标 为 ( ) B.(6,7) C.(-2,- 7 ) 3 ) D.以上都不对 ( ) D.(0,-5)

A.(0,- 5 ) 3

5.若|a+b|=|a-b|,则向量 a 与 b 的关系是 ( A.a=0 或 b=0 B.|a|=|b| C.ab=0

6.若|a|=1,|b|=2,|a+b|= 7 ,则 a 与 b 的夹角θ 的余弦值为 C. 1 D.以上都不对 3 7.已知 a=3 e 1 -4 e 2 ,b=(1-n) e 1 +3n e 2 ,若 a∥b 则 n 的值为 ( A.B. A.- 4 5 ( B. 4 5 C.4 D.2
1 2 1 2

)

8.平面上三个非零向量 a、b、c 两两夹角相等,|a|=1,|b|=3,|c|=7,则|a+b+c|等于 ) A.11 B.2 7 C.4 D.11 或 2 7 ( D.-2 ( ) D.120° )

9.等边△ABC 中,边长为 2,则 AB ? BC 的值为 A.4 B.-4 C.2

10.已知△ABC 中, a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2c 2 (a 2 ? b 2 ) ,则∠C 等于 A.30° B.60° C.45°或 135°

11.将函数 y=f (x)cosx 的图象按向量 a=( 数 f (x)可以是 A.cosx ( ) B.2cosx

? ,1)平移,得到函数 y ? 2 sin2 x 的图象,那么函 4

C.sinx

D.2sinx

12.平面直角坐标系中, 为坐标原点, O 已知两点 A(3,1),B(-1,3), 若点 C 满足 OC =α OA + β OB ,其中α 、β ∈R,且α +β =1,则点 C 的轨迹方程为 A.3x+2y-11=0 B. ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ( ) D.x+2y-5=0

C.2x-y=0

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分)

二、填空题(4?4′=16′) 13.已知|a|=3,|b|=5,a?b=12,则 a 在 b 上的投影为 14.设 a=(-4,3),b=(5,2),则 2|a | 2 15.已知 a=(6,2),b=(-4, 方程是 .
1 ab= 2

. .

1 ),直线 l 过点 A(3,-1)?,且与向量 a+2b 垂直,则直线 l 的一般式 2

16. 把 函 数 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 的 图 象 按 向 量 a 平 移 后 , 得 到 y ? 2x 2 的 图 象 , 且 a⊥ b,c=(1,-1),b?c=4,则 b= . 三、解答题(5?12′+14′=74′) 17.若向量 a 的始点为 A(-2,4),终点为 B(2,1).求: (1)向量 a 的模. (2)与 a 平行的单位向量的坐标. (3)与 a 垂直的单位向量的坐标.

18.设两向量 e 1 、 e 2 满足| e 1 |=2,| e 2 |=1, e 1 、 e 2 的夹角为 60°,若向量 2t e 1 +7 e 2 与向 量 e 1 +t e 2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

19.已知向量 a=( cos

3 3 x x ? ? x , sin x ),b=( cos , ? sin ),且 x∈[- , ]. 2 2 2 2 3 4

(1)求 a?b 及|a+b|; (2)若 f (x)=a?b-|a+b|,求 f (x)的最大值和最小值.

20.设 a=(-1-x)i,b=(1-x)i+yj(x、y∈R,i、j 分别是 x、y 轴正方向上的单位向量),且|a|=|b|. (1)求点 M (x,y)的轨迹 C 的方程; (2)过点(4,0)作直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点,设 OP = OA + OB ,求证:四边形 OAPB 为 矩形.

21.已知△ABC 的顶点为 A(0,0),B(4,8),C(6,-4).M 点在线段 AB 上,且 AM =3 MB , P 点在线段 AC 上,△APM 的面积是△ABC 的面积的一半,求点 M、P 的坐标.

22.如图所示,有两条相交成 60°角的直路 XX′和 YY′,交点是 O,甲、乙分别在 OX、 OY 上,起初甲离 O 点 3 km,乙离 O 点 1 km,后来两人同时用 4 km/h 的速度,甲沿 XX′方 向,乙沿 Y′Y 的方向步行. (1)起初,两人的距离是多少? (2)用包含 t 的式子表示 t h 后两人的距离. (3)什么时候两人的距离最短?

第 22 题图

参考答案
1.B 由向量的数量积的定义即知. 2.C ∵AB∥CD,且 AD=BC,AB≠CD,故选 C. 3.A 点(x,y)按向量 a=(1,-1)平移后的点(x′,y′),

?x? ? x ? 1 ?x ? x? ? 1 ∴? 即 ? ? y? ? y ? 1 ? y ? y? ? 1
∴y′+1=sin(x′-1),即 y′=sin(x′-1)-1.

4 ? 2? 2 ? ?x ? 1 ? 2 ? 0 ? 4.D 设点 M(x,y),∴ ? ? y ? 3 ? 2 ? (?1) ? ?5 ? 1? 2 ? ∴点 M 的坐标为(0,-5).
5.C 设 a=( x 1 , y1 ),b=( x2 , y 2 ),由|a+b|=|a-b|, 得 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ,即 x 1 x2 + y1 y 2 =0. 又 a?b= x 1 x2 + y1 y 2 ,∴ab=0. 6.B |a+b| | 2 = | a | 2 ? | b | 2 ?2 | a | ? | b | ? cos ? ,

1 1 ,∴a 与 b 的夹角θ 的余弦值为 . 2 2 4 7.A ∵a=(3,-4),b=(1-n,3n),∴9n=-4(1-n),∴n=- ,故选 A. 5
∴7=1+4-4cosα 即 cosα =8.D 若两两夹角为 0°,则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=11; 若两两夹角为 120°,则 |a+b+c | 2 =|a | 2 +|b | 2 +|c | 2 +2|a||b|cos120°+2|b||c|cos120°+2|a||c|cos120° =1+9+49+2?(9.D

1 )?(1?3+3?7+1?7)=28,|a+b+c|=2 7 . 2

AB ? BC = 2 2 ?cos120°=-2.故选 D.

10.C 由 a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2c 2 (a 2 ? b 2 ) , 得 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? 2a 2 b 2 , ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 =± 2 ab=2abccosC,∴cosC=±

2 ,∴C=45°或 135°. 2

11.D 由平移公式,应有 2 sin 2 ( x ? ) ? 1 ? f ( x) cos x .

? 4



? ? c o s2( ? ) ? s i n x ? f ( x) c o s ,∴f (x)=2sinx. x 2 x 2

12.D 设 C(x,y),∵ OC =α OA +β OB , ∴(x,y)=α (3,1)+β (-1,3)=(3α ,α )+(-β ,3β )=(3α -β ,α +3β ).

? x ? 3? ? ? ∴? ? y ? ? ? 3?
13.

又∵α +β =1,∴x+2y-5=0.

12 5

∵a?b=|a|?|b|?cosθ ,∴a 在 b 上的投影为

12 . 5

14.57 2|a | 2 15.2x-3y-9=0

1 1 ?a?b=2(16+9)(-20+6)=50+7=57. 2 2
设 l 的一个方向向量为(m,n).a+2b=(-2,3),直线 l 与向量 a+2b 垂直,即

-2m+3n=0,直线 l 的斜率 k= 16.(3,-1)

2 n 2 ? ,直线 l 的方程为 y+1= (x-3),即 2x-3y-9=0. 3 m 3

y ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 y ? 3 ? 2( x ? 1) 2 ,

∴a=(-1,-3), 设 b=( x0 , y 0 ),则 ?

?? x0 ? 3 y 0 ? 0 ? x0 ? 3 ?? . ? x0 ? y 0 ? 4 ? y 0 ? ?1

17.解 (1)a= AB =(2,1)-(-2,4)=(4,-3) ,∴|a|= 4 2 ? (?3) 2 ? 5 . (2)与 a 平行的单位向量是±

a 1 4 3 4 3 =± (4,-3)=( ,- )或(- , ). |a| 5 5 5 5 5

(3)设与 a 垂直的单位向量是 e=(m,n),则 a?e=4m-3n=0,∴ 又∵|e|=1,∴ m 2 ? n 2 ? 1 .解得 m= ∴e=( 18.解

m 3 ? . n 4

3 4 3 4 ,n= 或 m=- ,n=- . 5 5 5 5

3 4 3 4 , )或(- ,- ). 5 5 5 5
2 e12 =4, e2 =1, e1 ? e 2 =2?1?cos60°=1,

2 ∴(2t e1 +7 e 2 )?( e1 +t e 2 )=2t e12 +(2 t 2 +7) e1 ? e 2 +7t e2 =2 t 2 +15t+7.

∴2 t 2 +15t+7<0,∴-7<t<-

1 . 2

?2t ? ? 14 设 2t e1 +7 e 2 =λ ( e1 +t e 2 )(λ <0) ? ? , ? 2 t 2 =7 ? t=2 7 ? t? ?
∴λ =- 14 .

14 时,2t e1 +7 e 2 与 e1 + e 2 的夹角为π , 2 14 14 1 ∴t 的取值范围是(-7,)∪(,- ). 2 2 2 3 x 3 x 19.解 (1)a?b=cos xcos -sin xsin =cos2x. 2 2 2 2 |a|=|b|=1,设 a 与 b 的夹角为θ , a?b cos 2 x ? ? cos 2 x . 则 cosθ = | a | |b | 1?1
∴当 t=∴|a+b | 2 = a 2 +2a?b+ b 2 =1+2?1?1?cos2x+1=2+2cos2x=4 cos 2 x cos2x, 又 x∈[-

? ? , ],cosx>0,∴ | a ? b | =2cosx. 3 4 1 2 3 . 2

(2)f (x)=cos2x-2cosx=2 cos 2 x ? 2 cos x ? 1 ? 2(cos x ? ) 2 ? ∵x∈[-

1 ? ? , ],∴ ≤cosx≤1. 2 3 4 1 3 ∴当 cosx= 时,f (x)取得最小值- ;当 cosx=1 时,f (x)取最大值-1. 2 2
20.(1)解 由已知|a|=|b|,即 (?1 ? x) 2 ? (1 ? x) 2 ? y 2 , 整理得

y 2 ? 4x



(2)证明 由已知只需证 OA ⊥ OB 即可,即证 OA ? OB =0. 设 A ( x 1 , y1 ),B ( x2 , y 2 ), 当 l⊥x 轴时,A (4,4),B (4,-4),∴ x 1 x2 + y1 y 2 =0,即 OA ⊥ OB . 当 l 不与 x 轴垂直时,设 l 的斜率为 k,l 的方程为 y=k(x-4)(k≠0), 将②代入①得 k 2 x 2 ? x(8k 2 ? 4) ? 16k 2 ? 0 . ∴ x1 ? x2 ? 8 ? ②

4 , x 1 x2 =16. k2 4 ) ? 16] ? ?16 . k2

y1 y 2 = k 2 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? k 2 [16 ? 4(8 ?
∴ x 1 x2 + y1 y 2 =0,∴ OA ⊥ OB .故得证.

0 ? 3? 4 ? ?xM ? 1 ? 3 ? 3 ? 21.解 如图,M 分 AB 的比λ =3,则 M 的坐标为 ? ?y ? 0 ? 3? 8 ? 6 ? M 1? 3 ?

1 AM ? AP ? sin A S ?AMP 1 1 ? ,得 2 ? . 由 1 S ?ABC 2 2 AB ? AC ? sin A 2

AP 2 AM 3 ? ,∴ ? . AC 3 AB 4 AP 2 ∴ ? ,即 P 分 AC 所成的比λ =2. PC 1 0 ? 2?6 ? ?xP ? 1 ? 2 ? 4 ? ? ? y ? 0 ? 2 ? (?4) ? ? 8 ? P 1? 2 3 ? 8 则 M(3,6),P(4,- )为所求. 3
又∵ 22.解 (1)设甲、乙两人起初的位置是 A、B,

第 21 题图解

则由余弦定理 AB 2 ? OA 2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos 60? = 3 2 ? 12 -2?3?1? 所以甲、乙两人的距离是 AB= 7 km. (2)设甲、乙两人 t h 后的位置分别是 P、Q,则 AP=4t,BQ=4t. 当 0≤t≤ 当 t>

1 =7. 2

3 时,由余弦定理得 PQ 2 ? (3 ? 4t ) 2 ? (1 ? 4t ) 2 ? 2(3 ? 4t ) ? (1 ? 4t ) ? cos 60? , 4

3 时, PQ 2 ? (4t ? 3) 2 ? (1 ? 4t ) 2 ? 2(4t ? 3) ? (1 ? 4t ) ? cos 120? . 4

注意到上面两式实际上是统一的,所以

PQ 2 ? (16t 2 ? 24t ? 9) ? (16t 2 ? 8t ? 1) ? (16t 2 ? 8t ? 3) ? 482 ? 24t ? 7,
即 PQ= 48t 2 ? 24t ? 7 .

1 1 (3)∵ PO ? 48(t ? ) 2 ? 4 ,∴当 t= 时,PQ 的最小值是 2.即在第 15 min 末 PQ 最短. 4 4


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