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2.1.1 椭圆及其标准方程 学案(人教A版选修1-1)


2.1 椭圆

2.1.1 椭圆及其标准方程

课标解读

1.掌握椭圆的定义会用待定系数法求椭圆的标准方程. (重点) 2.了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用.(难点)

椭圆的定义 【问题导思】 1.取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,这时能在图板

上画出一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖,画出什么样的一个图形?

【提示】 椭圆. 2.在上述画出椭圆的过程中,你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗? 【提示】 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长. 把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这 两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

椭圆的标准方程 【问题导思】 观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单? 【提示】 以椭圆两焦点 F1、F2 的直线为 x(y)轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y(x)轴建 系. 焦点在 x 轴上 标准 方程 焦点 a,b,c 的关系 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 (-c,0)与(c,0) c2=a2-b2 焦点在 y 轴上 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 (0,-c)与(0,c)

椭圆定义的理解及简单应用

(1)已知 F1(-4,0),F2(4,0),则到 F1、F2 两点的距离之和等于 8 的点的 轨迹是________; x2 y2 (2)椭圆 + =1 的两焦点分别为 F1、F2,过 F2 的直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF1 16 25 的周长为________. 【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗?(2)怎样用椭圆的定义求△ABF1 的周长?

【自主解答】 (1)由于动点到 F1、F2 的距离之和恰巧等于 F1F2 的长度,故此动点的轨 迹是线段 F1F2. (2)由椭圆的定义,|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF1|=2a, ∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=20, ∴△ABF1 的周长为 20. 【答案】 (1)线段 F1F2 (2)20

1. 定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据, 根据椭圆的定义可知, 集合 P={M||MF1| +|MF2|=2a},|F1F2|=2c,a>0,c>0,且 a、c 为常数. 当 a>c 时,集合 P 为椭圆上点的集合; 当 a=c 时,集合 P 为线段上点的集合; 当 a<c 时,集合 P 为空集. 因此,只有|F1F2|<2a 时,动点 M 的轨迹才是椭圆. 2. 注意定义的双向运用, 即若|PF1|+|PF2|=2a(a>|F1F2|), 则点 P 的轨迹为椭圆; 反之, 椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为 2a.

x2 y2 椭圆 + =1 上的一点 M 到左焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点, 则|ON|等于( 25 9 A.2 C.8 B.4 3 D. 2

)

1 【解析】 如图, F2 为椭圆右焦点, 连 MF2, 则 ON 是△F1MF2 的中位线, ∴|ON|= |MF2|, 2 又|MF1|=2,|MF1|+|MF2|=2a=10, ∴|MF2|=8,∴|ON|=4. 【答案】 B

求椭圆的标准方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两焦点坐标分别为(-4,0)和(4,0)且过点(5,0); (2)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过(2,0)和(0,1)两点. 【思路探究】 (1)焦点的位置确定了吗?怎样求出标准方程?(2)焦点位置不确定时该

怎么办?有没有简便的求解方法? 【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,

x2 y2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ∴2a= ?5+4?2+ ?5-4?2=10,

∴a=5.又 c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9, x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 9 (2)法一 当椭圆的焦点在 x 轴上时, x2 y2 设所求椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∵椭圆经过两点(2,0),(0,1),

?a +b =1, ∴? 0 1 ?a +b =1.
2 2 2 2

4

0

?a=2, ? 则? ? ?b=1.

x2 ∴所求椭圆的方程为: +y2=1; 4 当椭圆的焦点在 y 轴上时, y2 x2 设方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∵椭圆经过两点(2,0),(0,1),

?a +b =1, ∴? 1 0 ?a +b =1.
2 2 2 2

0

4

?a=1, ? 则? 与 a>b 矛盾,故舍去. ?b=2. ?

x2 综上可知,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 4 法二 设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点,

? ? ?m=4, ?4m=1, ? ∴ ∴? ?n=1, ? ? ?n=1,
x2 综上可知,所求椭圆方程为 +y2=1. 4

1

1.求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法,即先由条件确定焦点位置,设出方程, 再设法求出 a2、b2 代入所设方程,也可以简记为:先定位,再定量. 2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为它 包括焦点在 x 轴上(m<n)和焦点在 y 轴上(m>n)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而达 到了简化运算的目的.

本例(2)若改为“经过(-2 3,1)和( 3,-2)两点”,其他条件不变,试求椭圆的标准 方程. 【解】 设椭圆的标准方程为 mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n),
? ?12m+n=1, 将点(-2 3,1),( 3,-2)代入上述方程得? ?3m+4n=1, ?

?m=15, 解得? 1 ?n=5,

1

x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 15 5

求与椭圆有关的轨迹方程 已知圆 x2+y2=9,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP′,垂

→ → 足为 P′,点 M 在 PP′上,并且PM=2MP,求点 M 的轨迹. 【 思 路 探 究 】 设动点M?x,y?,P?x0,y0? → 找M,P的关系

→ 用点M坐标表示点P坐标 → 代入圆方程 → 得点M轨迹 【自主解答】 设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x0=x,y0=3y. ∵P(x0,y0)在圆 x2+y2=9 上,
2 ∴x0 +y2 0=9.

x2 将 x0=x,y0=3y 代入得 x2+9y2=9,即 +y2=1. 9 x2 ∴点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆 +y2=1. 9

1.转代法(即相关点法)求轨迹方程: 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的, 只要把所求动点坐标 “转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称作 “转代 法”. 2.用转代法求轨迹方程大致步骤是: (1)设所求轨迹上的动点 P(x, y), 再设具有某种运动规律 f(x, y)=0 上的动点 Q(x′, y′);
? ?x′=φ1?x,y?, (2)找出 P、Q 之间坐标的关系,并表示为? ?y′=φ2?x,y?; ?

(3)将 x′,y′代入 f(x,y)=0,即得所求轨迹方程.

x2 y2 设 A、B 是椭圆 + =1 与 x 轴的左、右两个交点,P 是椭圆上一个动点,试求 AP 25 16 中点 M 的轨迹方程. 5 , ?x=x - 2 设 P(x ,y ),AP 的中点 M(x,y),则? y ?y= 2 ,
0 0 0 0

【解】

? ?x0=2x+5, 即? 代 ?y0=2y, ?

x2 y2 入椭圆方程 + =1, 25 16 ?2x+5?2 y2 得 + =1, 25 4 ?2x+5?2 y2 所以 AP 中点 M 的轨迹方程是 + =1. 25 4

已知 B、C 是两个定点,|BC|=8,且△ABC 的周长为 18,求这个三角 形顶点 A 的轨迹方程. 【思路探究】 (1)解答本题时如何建系更简单?(2)由△ABC 的周长为 18 能否得到 A

到 B、C 的距离之和为定值?这满足椭圆的定义吗? 【自主解答】 以过 B,C 两点的直线为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立平面直角 坐标系. 由|BC|=8,可知点 B(-4,0),C(4,0). 由|AB|+|BC|+|AC|=18, 得|AB|+|AC|=10>|BC|=8. 因此,点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为 2a=10,即 a=5,且点 A 不能在 x 轴上. 由 a=5,c=4,得 b2=9. x2 y2 所以点 A 的轨迹方程为 + =1(y≠0). 25 9

1.本题紧扣椭圆的定义求得了顶点 A 的轨迹方程,解答时不要漏掉 y≠0 这一条件. 2.用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合 椭圆的定义,若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可.

1 1 已知 A(- ,0),B 是圆 F:(x- )2+y2=4(F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线 2 2 交 BF 于 P 点,则动点 P 的轨迹方程为________.

【解析】 如图,依题意知|PA|=|PB|,所以|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2,所以点 P 1 1 y2 1 2 的轨迹为以 A(- ,0),F( ,0)为焦点的椭圆,其方程可设为 x + 2=1,又因为 c= ,a 2 2 b 2 3 4 =1,所以 b2=a2-c2= ,从而所求的动点 P 的轨迹方程为 x2+ y2=1. 4 3 4 【答案】 x2+ y2=1 3

忽略椭圆标准方程中 a>b>0 的条件致误 x2 y2 方程 2+ =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 求实数 m 的取值范围. m ?m-1?2 x2 y2 1 【错解】 方程 2+ =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 则 m2<(m-1)2, 解得 m< , m ?m-1?2 2 1 所以实数 m 的取值范围是(-∞, ). 2 【错因分析】 错解只注意了焦点在 y 轴上,而没有考虑 m2>0 且(m-1)2>0,这是经 常出现的一种错误,解题时要注意. x2 y2 【防范措施】 椭圆的焦点在 x 轴上时,其方程为 2+ 2=1(a>b>0),焦点在 y 轴上 a b y2 x2 时,其方程为 2+ 2=1(a>b>0),应用时一定要注意条件 a>b>0,否则极易将焦点位置 a b 弄错. m >0, ? ? x y 2 【正解】 方程 2+ =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则??m-1? >0, m ?m-1?2 ? ??m-1?2>m2,
2 2 2

解得

m≠0, ? ?m≠1, ? 1 ? ?m<2.

1 故实数 m 的取值范围是(-∞,0)∪(0, ). 2

1.熟悉椭圆定义、标准方程,熟练掌握常用基本方法的同时,要注意揣摩解题过程所 运用的数学思想方法,以达到优化解题思路、简化解题过程的目的,但切忌只想不算,形成 解题思路后,一定要动手计算,没有形成结论就不应该停手. 2.在运用椭圆的定义解题时,一定要注意隐含条件 a>c. 3.注意焦点分别在 x 轴和 y 轴上对应的椭圆方程的区别和联系. 4.求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法.

x2 y2 1. 设 P 是椭圆 + =1 上的一点, F1, F2 是椭圆的两个焦点, 则|PF1|+|PF2|等于( 25 16 A.10 B.8 C.5 D.4

)

【解析】 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10. 【答案】 A x2 y2 2.椭圆 + =1 的焦点坐标是( 16 25 A.(± 4,0) C.(± 3,0) ) B.(0,± 4) D.(0,± 3)

【解析】 ∵a2=25, b2=16 且焦点在 y 轴上, ∴c=3, 焦点坐标为 F1(0, -3), F2(0,3). 【答案】 D 3.一椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距 离之和为 20,则此椭圆的标准方程为( x2 y2 A. + =1 100 36 y2 x2 C. + =1 100 36 ) y2 x2 B. + =1 400 336 y2 x2 D. + =1 20 12

【解析】 由题意 c=8,a=10 且焦点在 y 轴上,∴b2=a2-c2=100-64=36,∴方程 y2 x2 为 + =1. 100 36 【答案】 C 4.已知一椭圆标准方程中 b=3,c=4,求此椭圆的标准方程. 【解】 ∵b2=9,c2=16,∴a2=b2+c2=25. ∵此椭圆的焦点不确定,

x2 y2 y2 x2 ∴标准方程为 + =1 或 + =1. 25 9 25 9

一、选择题 1.已知平面内两定点 A,B 及动点 P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是: “点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆”,那么甲是乙的( A.充分不必要条件 C.充要条件 条件 【解析】 由椭圆定义知甲?/ 乙,但乙?甲,故甲是乙的必要不充分条件. 【答案】 B x2 y2 2.设椭圆 2+ 2 =1(m>1)上一点 P 到其左、右焦点的距离分别为 3 和 1,则 m= m m -1 ( ) A.6 B.3 C .2 D.4 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要 )

【解析】 由题意椭圆焦点在 x 轴上,则 2m=3+1=4,∴m=2. 【答案】 C x2 y2 3. 设 P 是椭圆 + =1 上一点, P 到两焦点 F1, F2 的距离之差为 2, 则△PF1F2 是( 16 12 A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 )

【解析】 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8,不妨设|PF1|>|PF2|,∵|PF1|-|PF2|=2, ∴|PF1|=5,|PF2|=3,又∵|F1F2|=2c=4,∴△PF1F2 为直角三角形. 【答案】 B x2 y2 4.若方程 2+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是( a a+6 A.a>3 C.a>3 或 a<-2 2 【解析】
2 ? ?a >a+6, ? ∵椭圆的焦点在 x 轴上,∴ ?a+6>0, ?

)

B.a<-2 D. a>3 或-6<a<-

∴a>3 或-6<a<-2. 【答案】 D

x2 y2 5.(2013· 天水高二检测)设集合 A={1,2,3,4},m、n∈A,则方程 + =1 表示焦点在 x m n 轴上椭圆的个数是( A.6 ) B.8 C.12

【解析】 ∵椭圆焦点在 x 轴上,∴m>n,因此,当 m=4 时,n=1,2,3;当 m=3 时, n=1,2;当 m=2 时,n=1,共 6 种情况. 【答案】 A 二、填空题 x2 6.若方程 +ay2=1 表示椭圆,则实数 a 应满足的条件是________. a a>0, ? ? x2 y2 【解析】 将方程化为 + =1, 此方程表示椭圆须满足: ? 1 解得 a>0 且 a≠1. a 1 a≠ , ? ? a a 【答案】 a>0 且 a≠1 x2 y2 7.已知椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上,且焦距为 4,则实数 m=________. 10-m m-2 4 【解析】 由题意,焦点在 y 轴上,焦距为 4,则有 m-2-(10-m)=( )2,解得 m=8. 2 【答案】 8

图 2-1-1 8.(2013· 临沂高二检测)如图 2-1-1 所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点, M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是________. 【解析】 ∵折叠后的 M 与 F 重合,∴|PM|=|PF|,又∵|PM|+|PO|=r,∴|PF|+|PO| =r>|OF|,故点 P 的轨迹是以 O、F 为焦点的椭圆. 【答案】 椭圆 三、解答题 9.求符合下列条件的椭圆的标准方程. (1)过点 A( 6 2 2 , 3)和 B( ,1)的椭圆. 3 3

x2 y2 (2)过点(-3,2)且与 + =1 有相同焦点的椭圆. 9 4 【解】 (1)设所求椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).

∵椭圆过点 A(
2

6 2 2 , 3)和 B( ,1), 3 3
2

6 ? ? +n· ? 3? =1, ?m· 3 ∴? 2 2 ? ? +n· 1 =1, ?m· 3
2 2

1 解得 m=1,n= . 9 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 x2+ =1. 9 x2 y2 (2)∵已知椭圆 + =1 中 a=3,b=2,且焦点在 x 轴上,∴c2=9-4=5. 9 4 x2 y2 ∴设所求椭圆方程为 2+ 2 =1. a a -5 ∵点(-3,2)在所求椭圆上, 9 4 ∴ 2+ 2 =1. a a -5 ∴a2=15. x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1. 15 10 x2 y2 10.已知椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,P 是该椭圆上一点,且|PF1|=4,求: 9 2 (1)|PF2|的值; (2)∠F1PF2 的大小. 【解】 由题意知:a=3,b2=2,∴c= a2-b2= 7. (1)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=6. ∵|PF1|=4,∴|PF2|=2. (2)∵|F1F2|=2c=2 7,由余弦定理: 22+42-?2 7?2 1 cos∠F1PF2= =- , 2 2×2×4 ∴∠F1PF2=120° . x2 y2 11.已知点 M 在椭圆 + =1 上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为 P′, 36 9 并且 M 为线段 PP′的中点,求 P 点的轨迹方程. 【解】 设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x0,y0). x2 y2 x2 y2 0 0 ∵点 M 在椭圆 + =1 上,∴ + =1. 36 9 36 9 ∵M 是线段 PP′的中点,

y ∴x0=x 且 y0= . 2 x =x, ? ?0 x2 y2 x2 y2 0 0 把? 代入 + =1 中,得 + =1, y 36 9 36 36 ? ?y0=2 即 x2+y2=36. ∴P 点的轨迹方程为 x2+y2=36.


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