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2017年北京市海淀区高三一模数学(理)试题及答案


海淀区高三年级第二学期期中练习

数学(理科)
作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

2017.4

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上

一、 选择题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合 A ? x x ? x ? 1? ? 0 ,集合 B ? ?x x ? 0? ,则 A ? B = A.

?

?

?x x ? ?1?
2 2

B.

?x x ? ?1?
B. ab ? 0

C.

?x x ? 0?

D.

?x x ? 0?
开始
x ? 0,y ? 9

2. 已知复数 z ? i(a ? bi)(a, b ? R) ,则“ z 为纯虚数”的充分必要条件为 A. a ? b ? 0 C. a ? 0,b ? 0

D . a ? 0, b ? 0

3. 执行右图所示的程序框图,输出的 x 的值为 A. 0 C. 6 4. 设 a, b ? R ,若 a ? b ,则
1 1 A. ? a b

B. 3 D. 8

x? y ? xy 2

x ? x ?1



y? y?x

B. 2 ? 2
a

b

C. lg a ? lg b 5. 已知 a ? ? xdx , b ? ? x 2 dx , c ? ?
0 0 1 1 1 0

D. sin a ? sin b
xdx ,则 a , b , c 的大小关系是

输出x
结束

A. a ? b ? c C. b ? a ? c

B. a ? c ? b D. c ? a ? b

? 2 t, ? x? ??? ? ??? ? ? 2 6. 已知曲线 C : ? ( t 为参数) , A? ?1,0? , B ?1,0? . 若曲线 C 上存在点 P 满足 AP ? BP ? 0 , ?y ? a ? 2 t ? ? 2
则实数 a 的取值范围为 A. [?
2 2 , ] 2 2

B. [?1,1]

C. [? 2, 2]

D . [?2, 2]

7. 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排,甲和乙都排在丙的同一侧,排法种数为 A. 12 B. 40 C. 60 D. 80

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8. 某折叠餐桌的使用步骤如图所示.有如下检查项目:

N N'

M
O C

M'
O'

1

2 4 3 D'
A B
图3
C'

D K L' L

A' B'

K'
图1 图2

项目①:折叠状态下(如图 1) ,检查四条桌腿长相等; 项目②:打开过程中(如图 2) ,检查 OM ? ON ? O ' M ' ? O ' N ' ; 项目③:打开过程中(如图 2) ,检查 OK ? OL ? O ' K ' ? O ' L ' ; 项目④:打开后(如图 3) ,检查 ?1=?2=?3=?4=90? ; 项目⑤:打开后(如图 3) ,检查 AB ? A ' B ' ? CD ? C ' D ' . 下列检查项目的组合中,可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是 A. ①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ③④⑤

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? a5 , a4 ? 8 ,则公比 q= ;前 n 项和 Sn ? ___.

10.已知 F1 (?2,0), F2 (2,0) ,满足 | PF1 | ? | PF2 | ? 2 的动点 P 的轨迹方程为____. 11.在? ABC 中, c ? a cos B . ① A ? _____;②若 sin C ?
1 ,则 cos(π ? B) ? ____. 3

12.若非零向量 a , b 满足 a ? (a ? b) ? 0 , 2 | a |?| b | ,则向量 a , b 夹角的大小为___.
? 1 ? x2, x ? 0, 13.已知函数 f ( x) ? ? 若关于 x 的方程 f ( x ? a) ? 0 在 (0, ??) 内有唯一实根,则实数 a 的最小 x ? 0. ?cos πx ,

值是_____.
? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.已知实数 u, v, x, y 满足 u ? v ? 1 , ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 则 z ? ux ? vy 的最大值是______. ? x ? 2, ?
2 2

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三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.(本小题满分 13 分) 已知
π 是函数 f ( x) ? 2cos2 x ? a sin 2 x ? 1 的一个零点. 3

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 单调递增区间.

16.(本小题满分 13 分) 据报道,巴基斯坦由中方投资运营的瓜达 尔港目前已通航.这是一个可以停靠 8-10 万吨 邮轮的深水港.通过这一港口, 中国船只能够更 快到达中东和波斯湾地区 .这相当于给中国平 添了一条大动脉!在打造中巴经济走廊协议 (简称协议)中,能源投资约 340 亿美元,公 路投资约 59 亿美元,铁路投资约 38 亿美元, 高架铁路投资约 16 亿美元,瓜达尔港投资约 6.6 亿美元,光纤通讯投资约 0.4 亿美元. 有消息称,瓜达尔港的月货物吞吐量将是 目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.下表记录了 2015 年天津、上海两港口的月吞吐量(单位:百 万吨) : 天津 上海 1月 24 32 2月 22 27 3月 26 33 4月 23 31 5月 24 30 6月 26 31 7月 27 32 8月 25 33 9月 28 30 10 月 24 32 11 月 25 30 12 月 26 30

(Ⅰ)根据协议提供信息,用数据说明本次协议投资重点; (Ⅱ)从上表中 12 个月任选一个月,求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过 55 百万吨的概率; (Ⅲ)将(Ⅱ)中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过 55 百万吨的概率,设 X 为瓜达尔港 未来 12 个月的月货物吞吐量超过 55 百万吨的个数,写出 X 的数学期望(不需要计算过程). 17.(本小题满分 14 分) 如图,由直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 和四棱锥 D ? BB1C1C 构成的几何体中,∠BAC=90° , AB ? 1 ,
BC ? BB1 ? 2 , C1 D ? CD ? 5 ,平面 CC1D ? 平面 ACC1 A1 .

(Ⅰ)求证: AC ? DC1 ; (Ⅱ)若 M 为 DC1 中点,求证: AM // 平面 DBB1 ; (Ⅲ)在线段 BC 上(含端点)是否存在点 P,使直线 DP 与平面
DBB1 所成的角为

M

π BP ?若存在,求 的值,若不存在,说 3 BC

明理由. 18.(本小题满分 13 分)
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已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 4(a ? 1)ln( x ? 1) ,其中实数 a ? 3 . (Ⅰ)判断 x ? 1 是否为函数 f ( x) 的极值点,并说明理由; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 在区间 [0,1] 上恒成立,求 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,与 x 轴不重合的直线 l 经过左焦点 F1 ,且与椭圆 G 相交于 A,B 两点,弦 2 AB 的中点为 M,直线 OM 与椭圆 G 相交于 C,D 两点.
已知椭圆 G: (Ⅰ)若直线 l 的斜率为 1,求直线 OM 的斜率; (Ⅱ)是否存在直线 l,使得 AM ? CM ? DM 成立?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说 明理由.
2

20.(本小题满分 13 分) 已知含有 n 个元素的正整数集 A ? {a1 , a2 , ???, an } (a1 ? a2 ? ??? ? an , n ? 3) 具有性质 P :对任意不大于
S ( A) (其中 S ( A) ? a1 ? a2 ? ??? ? an )的正整数 k , 存在数集 A 的一个子集, 使得该子集所有元素的和等于 k .

(Ⅰ)写出 a1 , a2 的值; (Ⅱ)证明: “ a1 , a2 ,?, an 成等差数列”的充要条件是“ S ( A) ? (Ⅲ)若 S ( A) ? 2017 ,求当 n 取最小值时, a n 的最大值.
n(n ? 1) ” ; 2

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海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(理科) 2017.4 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 C 6 C 7 D 8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9. 2, 2 n ? 1 12. 120? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 13 分)
π π π 2π 解: (Ⅰ)由题意可知 f ( ) ? 0 ,即 f ( ) ? 2cos2 ? a sin ?1 ? 0 3 3 3 3
π 3 ?1? a ?1 ? 0 , 即 f ( ) ? 2? ? ? 3 2 2 ? ?
2

10. x2 ? 13.

y2 ?1 3 1 ? 2

11.

90? , ?

1 3

14. 2 2

解得 a ? ? 3 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x ? 1
? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2

? 2sin(2 x ?

5π )?2 6

π π 函数 y ? sin x 的增区间为 [2kπ ? ,2kπ ? ], k ? Z . 2 2 π 5π π 由 2kπ ? ? 2x ? ? 2kπ ? , k ? Z , 2 6 2
得 kπ ?
2π π ? x ? kπ ? , k ? Z , 3 6 2π π , kπ ? ] , k ? Z . 3 6

所以, f ( x) 的单调递增区间为 [kπ ? 16.(本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)本次协议的投资重点为能源, 因为能源投资 340 亿,占总投资 460 亿的 50%以上,所占比重大, (Ⅱ)设事件 A:从 12 个月中任选一个月,该月超过 55 百万吨. -----------------------------------1 分 根据上面提供的数据信息,可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是:
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56,49,59,54,54,57,59,58,58,56,55,56, 其中超过 55 百万吨的月份有 8 个, 所以, P( A) ?
8 2 ? ; 12 3

(Ⅲ)X 的数学期望 EX ? 8 . 17.(本小题满分 14 分) 解:{说明:本题下面过程中的标灰部分不写不扣分} (Ⅰ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC , 故 AC ? CC1, 由平面 CC1D ? 平面 ACC1A1 且平面 CC1D∩平面 ACC1A1=CC1, 所以 AC ? 平面 CC1D, 又 D C1?平面 CC1D, 所以 AC ? DC1. (Ⅱ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , 所以 AA1 ? AB , AA1 ? AC , 又∠ BAC=90° , 所以,如图建立空间直角坐标系 A - xyz , 依据已知条件可得 A(0, 0, 0) , C (0, 3, 0) , C1 (2, 3,0) ,
B(0, 0, 1) , B1 (2, 0, 1) , D(1, 3, 2) , ??? ? ???? 所以 BB1 ? (2,0,0) , BD ? (1, 3,1) ,

M

x

设平面 DBB1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
? ? ?? 2 x ? 0, ? ?n ? BB1 ? 0, ? 由? 即? ?? ? ? n ? BD ? 0, ? ? x ? 3 y ? z ? 0. ?

y

令 y ? 1 ,则 z ? ? 3 , x ? 0 ,于是 n ? (0, 1, ? 3) ,
???? ? 3 3 因为 M 为 DC1 中点,所以 M ( , 3,1) ,所以 AM ? ( , 3,1) , 2 2 ???? ? ???? ? 3 由 AM ? n ? ( , 3,1) ? (0,1, ? 3) ? 0 可得 AM ? n , 2

所以 AM 与平面 DBB1 所成角为 0 ? ,又 AM ? 平面 DBB1 , 所以 AM // 平面 DBB1 . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知平面 BB1 D 的法向量为 n ? (0, 1, ? 3) . 设 BP ? ? BC , ? ??0,1? , 则 P(0, 3?,1 ? ? ) , DP ? (?1, 3? ? 3, ? 1 ? ? ) .
π 若直线 DP 与平面 DBB1 成角为 ,则 3
?? ?
?? ? ?? ?

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cos? n, DP? ?

?? ?

n ? DP n DP
?? ?

?? ?

?

2 3? 2 4? ? 4 ? ? 5
2

?

3 , 2

5 解得 ? ? ?[0,1] , 4

故不存在这样的点. {说明 1:如果学生如右图建系,关键量的坐标如下: ??? ? ???? (Ⅱ) BB1 ? (0, 2,0) , BD ? ( 3,1,1) ,
? ? ?? 2 y ? 0, ? ?n ? BB1 ? 0, ? 由? 即? ?? ? ? n ? BD ? 0, ? ? 3x ? y ? z ? 0. ?

M

n ? (1, 0, ? 3) ,
???? ? 3 3 M ( 3, ,1) ,所以 AM ? ( 3, ,1) , 2 2

(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 可知平面 DBB1 的法向量为 n ? (1, 0, ? 3) . 设 BP ? ? BC , ? ??0,1? , 则 P( 3?,0, 1 ? ? ) , DP ? ( 3? ? 3, ? 1, ? 1 ? ? ) . } {说明 2:如果学生如右图建系,关键量的坐标如下: ??? ? ???? (Ⅱ) B1 B ? (2,0,0) , BD ? (?1,3,1) ,
? ? ?? 2 x ? 0, ? ?n ? B1 B ? 0, ? 由? 即? ?? ? ? n ? BD ? 0, ? ?? x ? 3 y ? z ? 0. ?

?? ?

?? ?

?? ?

z B1

D

B

A1

C1 y

n ? (0, 1, ? 3) ,
???? ? 1 3 M ( , 3,1) ,所以 AM ? (? , 3,1) , 2 2
x A C

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知平面 DBB1 的法向量为 n ? (0, 1, ? 3) . 设 BP ? ? BC , ? ??0,1? , 则 P(2, 3?,1 ? ? ) , DP ? (1, 3? ? 3, ? 1 ? ? ) . } {说明 3:如果学生如右图建系,关键量的坐标如下: ??? ? ???? (Ⅱ) BB1 ? (2,0,0) , BD ? (1,- 3,1) ,
? ? ?? 2 x ? 0, ? ?n ? BB1 ? 0, ? 由? 即? ?? ? ? n ? BD ? 0, ? ? x ? 3 y ? z ? 0. ?

?? ?

?? ?

?? ?

z D B1

B y

A1 O

x C1

n ? (0, 1, 3) ,
???? ? 3 1 M ( ,0,1) ,所以 AM ? ( , ? 3,1) , 2 2

A

C

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知平面 DBB1 的法向量为 n ? (0, 1, 3) .
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设 BP ? ? BC , ? ??0,1? , 则 P(?1, 3 ? 3?,1 ? ? ) , DP ? (?1, 3 ? 3? , ? 1 ? ? ) . } 18.(本小题满分 13 分) 解:法 1: (Ⅰ)由 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 4(a ?1)ln( x ? 1) 可得 函数定义域为 (?1, ??) ,
?? ?

?? ?

?? ?

f '( x) ? 2 x ? 2a ?

4(a ? 1) x ?1

?

2 [x 2 ? ( 1 ?a x )? a ( ? 2)] x ?1

?

2( x ? 1)[ x ? ( a ? 2)] , x ?1

由 f '( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? a ? 2 . 因为 a ? 3 ,所以 a ? 2 ? 1 . 当 a ? 1 时, a ? 2 ? ?1 ,所以 f '( x),f ( x) 的变化如下表:

x
f '( x) f ( x)

(?1,1)

1
0 极小值

(1, ??)

?


?


当 1 ? a ? 3 时, ?1 ? a ? 2 ? 1 ,

f '( x),f ( x) 的变化如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(?1, a ? 2)

a?2
0 极大值

(a ? 2,1)

1
0 极小值

(1, ??)

?


?


?


综上, x ? 1 是函数 f ( x ) 的极值点,且为极小值点. (Ⅱ)易知 f (0)=0 , 由(Ⅰ)可知,
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当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上单调递减, 所以有 f ( x) ? 0 恒成立; 当 2 ? a ? 3 时,函数 f ( x ) 在区间 [0, a ? 2] 上单调递增, 所以 f (a ? 2) ? f (0) ? 0 ,所以不等式不能恒成立; 所以 a ? 2 时有 f ( x) ? 0 在区间 [0,1] 上恒成立. 法 2: (Ⅰ)由 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 4(a ?1)ln( x ? 1) 可得 函数定义域为 (?1, ??) ,

f '( x) ? 2 x ? 2a ?

4(a ? 1) x ?1

?

2 [x 2 ? ( 1 ?a x )? a ( ? 2)] x ?1

令 g ( x) ? x2 ? (1 ? a) x ? (a ? 2) ,经验证 g (1) ? 0 , 因为 a ? 3 ,所以 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? (1 ? a)2 ? 4(a ? 2) ? a2 ? 6a ? 9 ? (a ? 3)2 ? 0 , {说明:写明 ? ? (1 ? a)2 ? 4(a ? 2) ? a2 ? 6a ? 9 ? (a ? 3)2 ? 0 也可以} 由二次函数性质可得,1 是 g ( x) ? x2 ? (1 ? a) x ? (a ? 2) 的异号零点, 所以 1 是 f '( x) 的异号零点, 所以 x ? 1 是函数 f ( x ) 的极值点. (Ⅱ)易知 f (0)=0 , 因为 f '( x) ?

2( x ? 1)[ x ? (a ? 2)] , x ?1

又因为 a ? 3 ,所以 a ? 2 ? 1 , 所以当 a ? 2 时,在区间 [0,1] 上 f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 单调递减, 所以有 f ( x) ? 0 恒成立; 当 2 ? a ? 3 时,在区间 [0, a ? 2] 上 f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 单调递增, 所以 f (a ? 2) ? f (0) ? 0 ,所以不等式不能恒成立;
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所以 a ? 2 时有 f ( x) ? 0 在区间 [0,1] 上恒成立. 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知可知 F1 (?1,0) ,又直线 l 的斜率为 1,所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),

4 ? ? y ? x ? 1, x2 ? ? ? ? x1 ? 0 ? ? 3 由 ? x2 解得 ? ,? , 2 ? y1 ? 1 ? y ? ? 1 ? ? y ? 1, ?2 2 ? 3 ? 2 1 所以 AB 中点 M (? , ) , 3 3
1 1 于是直线 OM 的斜率为 3 ? ? . 2 2 ? 3
(Ⅱ)解法 1: 假设存在直线 l,使得 AM ? CM ? DM 成立. 当直线 l 的斜率不存在时,AB 的中点 M (?1,0) , 所以 AM ?
2

2 , CM ? DM ? ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 ,矛盾; 2

故可设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,联立椭圆 G 的方程,
2 2 2 2 得: (2k ? 1) x ? 4k x ? 2(k ? 1) ? 0 ,

4k 2 2( k 2 ? 1) x x ? , , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 y ? y2 x ? x2 2k 2 k ? k ?( 1 ? 1) ? k ? (? 2 ? 1) ? 2 于是, 1 , 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 k , 点 M 的坐标为( ? 2 ), 2k ? 1 2k 2 ? 1
设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),则 x1 ? x2 ? ?

AB ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) = 1 ? k 2 ? (?
2 2

2 4k 2 2 2(k 2 ? 1) 2 2 ? (1 ? k ) = . ) ? 4 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

4k 2 1 , ? x ,联立椭圆 G 的方程,得: x 2 ? 2 2k ? 1 2k 4k 2 ? 1 1 2 2 2 2 ? 2 设 C(x0,y0),则 OC ? x0 , ? y0 ? (1 ? 2 ) ? x0 2k ? 1 4k
直线 CD 的方程为: y ? ? 由题知, AB ? 4 CM ? DM ? 4(| CO | ? | OM |)(| CM ? | OM |) ? 4(| CO |2 ? | OM |2 ) , 即:
2

4k 2 ? 1 k 2 (4k 2 ? 1) 8 ? (1 ? k 2 ) 2 ? 4( ? ), 2k 2 ? 1 (2k 2 ? 1)2 (2k 2 ? 1) 2
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化简,得: k 2 ?

2 1 ,故 k ? ? , 2 2 2 2 ( x ? 1), y ? ? ( x ? 1) . 2 2

所以直线 l 的方程为: y ? (II)解法 2:

假设存在直线 l 使得 AM ? CM DM 成立 由题意直线 l 的斜率不与 x 轴重合,设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,
? x ? my ? 1, 由? 2 得 (m2 ? 2) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 , 2 ?x ? 2 y ? 2

2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 y1 ? y2 ?

2m ?1 , , y1 y2 ? 2 m2 ? 2 m ?2

?4 ? 2 2(1 ? m2 ) ? 2m 2 , AB ? 1 ? m2 y1 ? y2 ? (1 ? m2 ) ? ( 2 ) ? 2 ?? m ?2? m2 ? 2 ? m ?2

2m2 ?4 , ?2? 2 2 m ?2 m ?2 ?2 m 所以 AB 中点 M 的坐标为 ( 2 , 2 ), m ?2 m ?2 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ?
所以直线 CD 的方程为: y ? ?
m x, 2

m ? 4 ? y ? ? x, 由? 得 x2 ? 2 , 2 m ?2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2 ?
2 由对称性,设 C ( x0 , y0 ) ,则 D(? x0 , ? y0 ) ,即 x0 ?

4 m ?2
2

CM DM ? 1 ?

m2 m2 m2 2 (m2 ? 4)(m2 ? 1) 2 , xM ? x0 1 ? xM ? x0 ? (1 ? ) x0 ? xM ? 4 4 4 (m2 ? 2)2
2 2

由 | AB |? 2 | AM | , AM ? CM DM 得 AB ? 4 CM DM ,
? 2 2(1 ? m2 ) ? (m2 ? 4)(m2 ? 1) 即? , ? 4 ? ? m2 ? 2 ? ? (m2 ? 2)2 ? ?
2

解得 m2 ? 2 ,故 m ? ? 2 , 所以直线 l 的方程为: x ? 2 y ? 1, x ? ? 2 y ? 1 . 20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) a1 ? 1, a2 ? 2 . (Ⅱ)先证必要性
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因为 a1 ? 1, a2 ? 2 ,又 a1 , a2 ,?, an 成等差数列,故 an ? n ,所以 S ( A) ? 再证充分性 因为 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an , a1 , a2 ,?, an 为正整数数列,故有
a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4, ???, an ? n ,

n(n ? 1) ; 2

所以 S ( A) ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 1 ? 2 ? ??? ? n ? 又 S ( A) ?

n(1 ? n) , 2

n(n ? 1) ,故 am ? m (m ? 1, 2,?, n) ,故 a1 , a2 ,?, an 为等差数列. 2

(Ⅲ)先证明 ?am ? 2m?1 (m ? 1,2, ???, n) . 假设存在 a p ? 2 p?1 ,且 p 为最小的正整数. 依题意 p ? 3 ,则
a1 ? a2 ? ??? ? ap?1 ? 1 ? 2 ? ??? ? 2 p?2 ? 2 p?1 ? 1 ,又因为 a1 ? a2 ? ? ? an ,

故当 k ? (2 p ?1 ? 1, a p ) 时, k 不能等于集合 A 的任何一个子集所有元素的和. 故假设不成立,即 ?am ? 2m?1 (m ? 1,2, ???, n) 成立. 因此 2017 ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 1 ? 2 ? ??? ? 2n?1 ? 2n ? 1 , 即 2n ? 2018 ,所以 n ? 11 . 因为 S ? 2017 ,则 a1 ? a2 ? ???an?1 ? 2017 ? an , 若 2017 ? an ? an ? 1 时,则当 k ? (2017 ? an , an ) 时,集合 A 中不可能存在若干不同元素的和为 k , 故 2017 ? an ? an ? 1 ,即 an ? 1009 . 此时可构造集合 A ? {1, 2, 4,8,16,32,64,128, 256, 497,1009} . 因为当 k ?{2, 2 ? 1} 时, k 可以等于集合 {1, 2} 中若干个元素的和, 故当 k ?{22 ,22 ? 1,22 ? 2,22 ? 3} 时, k 可以等于集合 {1, 2, 22 } 中若干不同元素的和, ??
8 8 8 8 8 故当 k ?{2 ,2 ? 1,2 ? 2,?,2 ? 255} 时, k 可以等于集合 {1,2, ?,2 } 中若干不同元素的和,

8 故当 k ?{497 ? 3, 497 ? 4,?, 497 ? 511} 时, k 可以等于集合 {1, 2,?, 2 , 497} 中若干不同元素的和,

8 故当 k ?{1009,1009 ? 1,1009 ? 2,?,1009 ? 1008} 时,k 可以等于集合 {1,2, ?,2 ,497,1009} 中若干不

同元素的和, 所以集合 A ? {1, 2, 4,8,16,32,64,128, 256, 497,1009} 满足题设, 所以当 n 取最小值 11 时, a n 的最大值为 1009.
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