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湖北省新洲一中、红安一中、麻城一中2013年高三上学期期末联考数学(理)试题


新洲一中 红安一中 麻城一中 2013 年高三上学期期末联考

数 学 试 卷(理)
命题学校: 新洲一中
考试时间:2013 年 1 月 21 日

命题教师: 汪秋焱
15:00—17:00 试卷满分:150 分

一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小

题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1、设集合 A ? ? x A、 [2, 4]

?

x ? ? 0? , B ? x y ? ? x 2 ? 10 x ? 16 ,则 A ? B 等于( ) ? x?4 ?
B、 [0, 2] C、 ? 2, 4 ? D、 [0,8]

?

?

2、已知数列 ?an ? 为等比数列,且 a4 ? a6 ? 2a5 ,设等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,若 b5 ? 2a5 , 则 S9 = A、36 B、32 C、24 D、22
2

3、将函数 f ( x) ? cos(? ? x) (cos x ? 2sin x) ? sin x 的图象向左平移 具有性质( ) A、最大值为 2 ,图象关于直线 x ?

?
8

后得到函数 g ( x) ,则 g ( x)

?
2

对称

B、周期为 ? ,图象关于 (

?
4

, 0) 对称

C、在 ( ?

?
2

,0) 上单调递增,为偶函数
??? ? ??? ?
??? ?

D、在 (0,

? ) 上单调递增,为奇函数 4
3 ,则 ?ABC 等于( ) 2

4、在 ?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 3 , AB ? BC ? 0 ,且 ?ABC 的面积为

??? ?

A、 30? 或 150? B、 150? C、 30? D、 60? 或 120? 5、若一个正三棱柱的底面边长为 2,高为 2,其顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为( ) A、

16 ? 3

B、

19 ? 12

C、

28 ? 3

D、

7 ? 3

6、已知偶函数 y ? f ( x) ( x ? R) 在区间 [0,3] 上单调递增,在区间 [3, ??) 上单调递减,且满足

f (?4) ? f (1) ? 0 ,则不等式 x3 f ( x) ? 0 的解集是( )
A、 (?4, ?1) ? (1, 4) C、 (??, ?4) ? (?1,0) ? (1, 4) B、 (??, ?4) ? (?1,1) ? (3, ??) D、 (?4, ?1) ? (0,1) ? (4, ??)

7.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点 P 所转过 的弧 AP 的长为 l,弦 AP 的长度为 d,则函数 d ? f (l ) 的图象大致是( )

8、已知函数 f ( x) ? ln x ? 3x ? 8 的零点 x0 ?[a, b] ,且 b ? a ? 1 , a, b ? N ? ,则 a ? b ? A、5 9、椭圆 B、4 C、3 D、2 )

??? ??? ? ? x2 y 2 ? ? 1 上有两个动点 P 、 Q , E (3, 0) , EP ? EQ ,则 EP ? QP 的最小值为( 36 9
B、 3 ? 3 C、9 D、 12 ? 6 3

A、6

10、定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [0, 2]时,

f ( x) ? ex ? 7 2

1 ' 7 16 xf (0) ,则 f ( ) 与 f ( ) 的大小关系是( ) 2 3 2 16 ) 3
B、 f ( ) ? f (

A、 f ( ) ? f (

7 2

16 ) 3

C、 f ( ) ? f (

7 2

16 ) 3

D、不确定

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填写在答题 卡对应题号的位置上。 11.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,且直角 边长为 1,那么这个几何体的体积为_________.
主视图 左视图

俯视图

12、设 ?ABC 的内角的 A 、 B 、 C 对边分别为 a、b、c ,且满足 a cos B ? b cos A ?

3 c ,则 5

tan A ? tan B
? x ? y ? ?2 ???? ???? ? ? 13、已知 x 、 y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? ?2 ,若 O 为坐标原点, M ( x, y ) , N (1, ?2) ,则 OM ·ON ?2 x ? y ? 2 ?
的最小值是 14、已知直线 L : x ? y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x2 ? 2 y 2 ? 8x ? 8 y ?1 ? 0 ,点 A 在直线 L 上, B 、 C 为 圆 M 上两点,在 ?ABC 中, ?BAC ? 45? , AB 过圆心 M ,则点 A 横坐标范围为
1 x 15、下列命题:① ? 0 (1 ? e )dx ? 1 ? e ;②命题“ ?x ? 3 , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? 3 ,
2

??? ? x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ” ;③已知 x ? R ,则“ x ? 2 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件;④已知 AB ? (3, 4) ,
??? ??? ? ??? ? ? ? CD ? (?2, ?1) ,则 AB 在 CD 上的投影为 ?2 ;⑤已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ) ? 2(? ? 0) 的导函数 6
的最大值为 3,则函数 f ( x ) 的图像关于 x ?

?
3

对称,其中正确的命题是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、 (本小题满分 12 分) 已知命题 p:方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在 [?1,1] 上有解; 命题 q:只有一个实数 x 满
2 2

足不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围。
2

17、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R 且 a ? 0 。 2 a 2

(1)若对 ?x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围; (2)若 a ? 2 ,且 ?x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分)在等差数列 {an } 中, a1 ? 1,前 n 项和 Sn 满足条件 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ? an p ( p ? 0), 求数列 bn}的前n项和Tn . {
a

S2n 4n ? 2 ? , n ? 1,2,... Sn n ?1

19. (本小题满分 12 分)在四棱锥 P - ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? CD, AB ? BC ,

1 PA = AB = BC = CD = a . 2 (1)求证:面 PAD ⊥面 PAC ; (2)求二面角 D - PB - C 的余弦值.
A D

P

B

C

20、 本小题满分 13 分) ( 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 长轴长为 2 3 , 离心率为

3 , 3

经过其左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 P 、 Q 两点。 (1)求椭圆 C 的方徎; (2)在 x 轴上是否存在一 1 点 M ,使得 MP · MQ 恒为常数?若存在,求出 M 点的坐标和这个常数;若不存在,说明理由。

????

???? ?

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ? (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值 (2)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间

1 ? 2ax(a ? R) x

(3)若对任意的 a ? (?3, ?2), x1 , x2 ? ?1,3? ,恒有 (m ? ln 3) a ? 2 ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求实数

m 的取值范围。

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数学参考答案
1、C 2、A 3、D 4、B 11、 5、C 6、D 7、C 15、③ 8、A 9、A 10、C

1 6

12、4 13、-4

14、 [3, 6]

2 2 16、解:若命题 p 真:由 a x ? ax ? 2 ? 0 ,得 (ax ? 2)(ax ? 1) ? 0 ,

显然 a ? 0 ,? x ? ?

2 1 或x? a a
--------5 分

2 1 ? x ?[?1,1] ,故 | ? |? 1 或 | |? 1 ,? a |? 1 | a a

若命题 q 真:则抛物线 y ? x2 ? 2ax ? 2a 与 x 轴只有一个交点,

? ? ? 4a 2 ? 8a ,? a ? 0 或 a ? 2

--------10 分 --------12 分

? 命题“ p 或 q ”为假命题时, a ? (?1,0) ? (0,1)
17、解: (1) f ( x) ? sin x ? a sin x ? a ?
2

3 . a 3 a
---------2 分

令 t ? sin x(?1 ? t ? 1) ,则 g (t ) ? t ? at ? a ?
2

3 ? g (?1) ? 1 ? ? 0, ? ? a 对任意 x ? R. f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 ? ? g (1) ? 1 ? 2a ? 3 ? 0. ? a ?
解得 a 的取值范围为 (0,1] (2)因为 a ? 2 ,所以 ? ----------6 分

a ? ?1 . 2 3 a
--------8 分

所以 g (t ) min ? g (?1) ? 1 ?

因此 f ( x) min ? 1 ?

3 . a 3 ? 0, 解得 0 ? a ? 3 a

于是,存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 的充要条件是 1 ?

故 a 的取值范围是 [2,3]

--------12 分

18 、 1 ) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d , 由 (

S2 n 4n ? 2 a ? a2 ? ? 3 , 所 以 a2 ? 2 , 即 得: 1 a1 Sn n ?1
??5 分

d ? a2 ? a1 ? 1 ,所以 an ? n
a n 2 3

(2) bn ? an P n ,得 bn ? nP ,所以 Tn ? P ? 2P ? 3P ? ? ?(n ? 1) Pn?1 ? nPn , 当 p ? 1 时, Tn ?

n( n ? 1) ; 2
??12 分
2 3 4

当 p ? 1 时, pTn ? p ? 2 p ? 3 p ? ? ?(n ? 1) p n ? np n?1 ,

(1 ? p)Tn ? p ? p2 ? p3 ? ? ? p n?1 ? p n ? np n?1 ?
p(1 ? p n ) np n?1 Tn ? ? (1 ? p)2 1 ? p
即当 p ? 1 时, Tn ?

p(1 ? p n ) ? np n?1 1? p

n( n ? 1) p(1 ? p n ) np n?1 ;当 p ? 1 时, Tn ? ? 2 (1 ? p)2 1 ? p

1 19、 证明: PA=AB=BC= CD=a,连接 AC, RT△ABC 中, (1) 设 在 AC= 2a,在直角梯形 ABCD 中易求得 AD= 2 2 a,所以在△DAC 中有:AD +AC =CD ,∴AC⊥AD 又∵PA⊥底面 ABCD ∴PA⊥AC ∴AC⊥平面 PAD ?????6 分
2 2 2

∵AC?平面 PAC ∴面 PAD⊥面 PAC

(2)以 B 为原点,BA,BC 所在直线分别为 x 轴,y 轴建立如图所示坐标系,则: A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0),D(2a,a,0),P(a,0,a) 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 =(x ′ ,y ′ ,z ′ ), 平 面 PBD 的 法 向 量 为 =(x,y,z), =(a,0,a), =(0,a,0),=(2a,a,0) 由⊥,⊥,⊥,⊥得:ax′+az′=0,y′=0,ax+az=0,2ax+ay=0

∴z′=-x′,y′=0,y=-2x,z=-x

∴=(1,0,-1),=(1,-2,-1) P z

1×1+0×(-2)+(-1)×(-1) 3 ∴cos<,>= = 3 2× 6 设二面角 D-PB-C 的平面角θ ,由图形易知θ 为锐角 3 ∴cosθ =|cos<,>|= ???????????12 分 3 x D y A

B C

(以 B 为原点,AD,AC 所在直线为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系参照给分) 20、 (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

? 2a ? 2 3 ?a ? 3 ? ? 2 由题意,得 ? c ,解得 ? ,所以 b ? 2 3 ?c ? 1 ? ? ? 3 ?a

---------3 分

x2 y 2 ? ?1 所求的椭圆方程为 3 2
(2)由(1)知 F1 (?1,0)

---------4 分

假设在 x 轴上存在一点 M (t ,0) ,使得 MP · MQ 恒为常数 ①当直线 l 与 x 轴不垂直时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) , P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 )

????

???? ?

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0 ?1 ? ? ?3 2
所以 x1 ? x2 ? ?

-------6 分

6k 2 3k 2 ? 6 , x1 x2 ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

-------7 分

???? ???? ? MP · MQ ? ( x1 ? t )( x2 ? t ) ? y1 y2 ? ( x1 ? t )( x2 ? t ) ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1)

? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ? t )( x1 ? x2 ) ? k 2 ? t 2
(k 2 ? 1)(3k 2 ? 6) (k 2 ? t )? k 2 6 (6t ? 1)k 2 ? 6 2 2 2 ? ? ?k ?t ? ?t 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

1 16 16 (2t ? )(2 ? 3k 2 ) ? (4t ? ) 4t ? 3 3 ? t 2 ? t 2 ? 2t ? 1 ? 3 ? 2 2 ? 3k 3 2 ? 3k 2

因为 MP · MQ 是与 k 无关的常数,从而有 4t ?

????

???? ?

16 4 ? 0 ,即 t ? ? 3 3

--------10 分

此时 MP · MQ ? ?

????

???? ?

11 9

----------11 分

②当直线 l 与 x 轴垂直时,此时点 P 、 Q 的坐标分别为 ? ?1,

? ? ?

2 3? ? 2 3? ? 、 ? ?1, ? ?, 3 ? ? 3 ? ? ? ?

当t ? ?

???? ???? ? 4 11 时,亦有 MP · MQ ? ? 3 9
1 x
……2 分

-------13 分

(1)当a ? 0 , f ( x) ? 2 ln x ? f ' ( x) ?

2 1 2x ? 1 ? 2 ? ( x ? 0) 21、 x x x2 1 1 1 x(0, ) ( ,??) 2 2 2 f ' ( x) ? 0 ?
f (x) ↘ 极小值 ↗ 1 1 当x ? 时f ( x) 极小值 ? f ( ) ? 2 ? lin 2 2 2 无极大值

??5 分

2?a 1 2ax 2 ? (2 ? a ) x ? 1 ? 2 ? 2a ? ( x ? 0) x x x2 1 1 10 当a ? 0时 ? ? (a ? 2) 2 的根 ? 与 a 2 ? 1 1 1 1 ?? ? 当? a 2即a ? ?2时(0,? )和( ,??)为减函数 a 2 ?a ? 0 ? (2) f ' ( x) ? 1 1 (? , )为增函数 a 2

? 1 1 1 1 ?? ? 2 当? a 2即 ? 2 ? a ? 0时(0, )和(? ,??)为减函数 2 a ?a ? 0 ? 1 1 ( ,? )为增函数 2 a 1 1 ??10 分 30 当 ? ? 即a ? ?2时(0,??)为减函数 a 2 (3)当 ? 3 ? a ? ?2时f ( x)在[1,3]上为减函数 2 ?| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? f (1) ? f (3) ? ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3 ? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) | max
0

2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3 2 2 ? ? ?ma ? ? 4a ?m ? ?4 ? ?? 3 3a ? ?a ? 0 ?? 3 ? a ? ?2 ? ? 13 ?m ? ? 3 ? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?

14 分


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