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1.1.集合与集合的表示方法


第一章集合
1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念
【知识点】 1.一般地,把一些能够确定的不同的对象当作一个整体,这个整体就叫做 的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)。 2.如果 a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于集合 A, 记作 ; a 不属于集合 A 记作 ; ; 。 ,构成集合

3.集合中元素的特点:(1)确定性说明了一个集合的元素必须是 (2)互异性说明了对于一个给定的集合,集合中的元素一定是 (3)无序性说明集合中的元素是不分先后,没有顺序的。 4.常见的数集及记法:非负整数全体构成的集合,叫做自然数集,记作 正整数集记作 ;整数全体构成的集合,叫做整数集,记作

; ;

有理数全体构成的集合,叫做有理数集,记作 作 。

;实数全体构成的集合,叫做实数集,记

5.集合的分类

集合可根据它含有的元素的个数分为两类:

(1)有限集:含有有限个元素的集合. (2)无限集:含有无限个元素的集合. 特别地,把不含任何元素的集合叫做空集,记作 ? . 空集是一个很特殊的集合 ,它不含有任何元素,它在集合中的地位就像 0 在实数中的地位一 样. 【习题做一做】 1.下列各组对象不能构成集合的是( (A)参加 2013 年田径世锦赛的运动员 (C)直角坐标系中,横坐标为 4 的点 2.下列说法正确的是( (A)0 ? ? ) ) (B)某校高一年级中 16 岁以下的学生 (D)中国漂亮的工艺品

(B) 4 ? 错误!未找到引用源。Q

(C)由函数 y=x 图象上的点构成的集合是无限集 (D)面积为 100 cm2 的四边形构成的集合是有限集 3.由 2,2,4 组成的集合 A 共有 4.用符号“ ? ”或“ ? ”填空: 0 N,0
? ,-错误!未找到引用源。
1

个元素。

Z,π

Q,

sin 30°

Q,cos 30°

Q。

5.判断下列语句能否确定一个集合?如果能表示一个集合,指出它是有限集还是无限集. (1)高一数学必修 1 课本上的所有难题; (2)小于 100 的所有正偶数; (3)平面直角坐标系内,到原点距离等于 1 的点的集合; (4)方程 x2+1=0 的实数解. 6.下列对象能构成集合的是 ①数组 1,3,5,1 ③所有斜边长为 5 的直角三角形 ⑤某校高一(3)班中成绩优秀的同学. 7. 给出下列命题: ①N 中最小的元素是 1;②若 a ? N,则-a ? N;③若 a ? N,b ? N,则 a+b 的最小值是 2。 其中所有正确命题的个数为( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 ) ) . ②不等式 x+2>3 的实数解 ④著名的斯诺克球手

8.所给下列关系正确的个数是(

①-错误!未找到引用源。 ? R;②错误!未找到引用源。;③0 ? N+;④-3 ? N (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

9.已知集合 S 是由△ABC 的三边长 a,b,c 构成的三个元素的一个集合,那么△ABC 一定不是 ( ) (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形 )

(A)锐角三角形

10.已知集合 A 是由 0,x,x+1 三个元素组成的集合且 2 ? A,则实数 x 的值为( (A)1 (B)2 (C)1 或 2 (D)不确定 11.已知集合 A 中有三个元素 a-2,2a2+5a,12,且-3 ? A,求 a 的值。

12.已知由 1,x,x2 三个实数构成一个集合,求 x 应满足的条件。

2

1.2 集合的表示方法
【知识点】 1.表示集合的方法一般有 2.列举法 把集合中的所有元素都列举出来,写在花括号“{}”内表示这个集合的方法. 3.特征性质描述法 (1)集合的特征性质 如果在集合 I 中,属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x),而不属于集合 A 的元素都不 具有性质 p(x),则性质 p(x)叫做集合 A 的一个特征性质. (2)特征性质描述法 集合 A 可以用它的特征性质 p(x)描述为 【习题做一做】 1.下列语句: ①0 与{0}表示同一个集合; ②由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}; ③方程(x-1)2(x-2)2=0 的所有解的集合可表示为{1,1,2}; ④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示. (A)只有①和④ (B)只有②和③ ) 正确的是( (C)只有② ) (D)以上语句都不对
{x ? I | p ? x ?}







,它表示集合 A 是由集合 I 中具有性质 p(x)

的所有元素构成的.这种表示集合的方法,叫做特征性质描述法,简称描述法.

2.设 A={0},则下列各式中正确的是(

(A)0 ? A (B)A= ? (C)0 ? A (D)0=A 3.方程组错误!未找到引用源。的解为( ) (A){2,1} (B){x=2,y=1} (C)错误!未找到引用源。 4. 大 于 0 且 小于 6 的全体 奇数 组成 的集 合用列 举法 表示 为 为 。

(D){(2,1)} , 用 描述 法表 示

5.用列举法表示下列集合: (1)方程(x+1)(x2-4)=0 的解集; (2)不大于 10 的非负偶数集; (3)A={(x,y)|x+y=3,x ? N,y ? N}; (4)自然数中不大于 10 的质数集; (5)从 1,2 这两个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合。 6.用描述法表示下列集合: (1)被 5 除余 1 的正整数集合; (2)由 3 和 4 的所有正的公倍数组成的集合; (3)坐标平面内,两坐标轴上点的集合;
3

(4)三角形的全体构成的集合。 (5)点 P(1,3)和集合 A={(x,y)|y=x+2}之间的关系是 (6)集合 P={2,4,6,8,10}用描述法可表示为 (1)由所有非负奇数组成的集合. (2)由所有小于 10 且既是奇数又是质数的自然数组成的集合. (3)由抛物线 y=x2 上所有点组成的集合. (4)方程 x2+x+1=0 的实数根组成的集合; (5)由所有周长等于 10 cm 的三角形组成的集合. (7)不等式 2x+4>6 的整数解组成的集合; 8.下面三个集合:A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1}. 问:(1)它们是不是相同的集合? (2)它们各自的含义是什么? . ) 9.已知集合 A={x|x2-2x+a=0,a ? R}中只有一个元素,则 a 的值为 。 。

7.用适当方法表示下列集合,并说明集合是有限集,还是无限集.

10.若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x ? A,y ? B}中的元素的个数为( (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 【注意】:

1.用列举法表示集合的方法是:①求出集合中的元素;②把这些元素列举出来;③再用花括号括起来. 2.用列举法表示集合时应注意几点: (1)有限集,且元素不太多,如:方程 x2=1 的解集可写为{-1,1}; 或者虽然集合含有较多元素,若构成集合的这些元素有明显的规律,也可用列举法,如:不大于 100 的自然数 的全体构成的集合,可表示为{0,1,2,3,?,100}; 无限集有时也用列举法表示,如自然数集 N 可表示为{0,1,2,3,?,n,?}; (2)元素间用分隔号“,”;(3)元素不重复; (4)尽管集合内元素满足无序性,但表示元素较多的集合时,还是要注意元素间的顺序。 足的条件,如:由不等式 x-3>2 的所有解组成的集合可以表示为{x ? R|x-3>2}。 元素均不满足。 5.用特征性质描述法要注意以下几点: (1)写清楚该集合中元素满足的特征性质;(2)不能出现未被说明的字母; (3)多层描述时,应当准确使用“且”“或”; (4)所有描述的内容都要写在集合符号(花括号)内。 3.描述法的一般形式为{x ? I|p(x)},其中 x 表示集合的元素,I 表示元素 x 的取值范围,p(x)表示元素 x 满 4.用描述法表示集合时,必须找出各元素都满足的条件,这个条件必须是:①集合内元素均满足;②集合外

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