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辽宁省庄河市2016


2018 届高二下学期期中考试数学(文)试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数 z 满足 z ? (1 ? i) =2,则 z 的虚部是 (
2

) C.2i D.2

A.-2

B.-2i

2. 设数列 {an } 是等比数列, 且 an > 0 ,S n 为其前 n 项和. 已知 a2 a4 ? 16 , 则 S5 等于 A . 40 D. 43 ( B . 20 ) C . 31

a4 ? a5 ? a8 ?8, a1 ? a2 ? a5
5 56 6 64

x y

2 25

3 ●

4 50

? ? 9.4 x ? 9.2 ,表中有一数据 3.两个相关变量满足如下关系: 根据表格已得回归方程: y
模糊不清,请推算该数据是( A.37 B.38.5 ) B. sin x ? ) C.39 D.40.5

4.下列命题中,是真命题的是( A. ?x0 ? R ,使得 e 0 ≤ 0
x

2 ? 2 2( x ? k? , k ? Z ) sin x

C. ?x ? R, 2x ? x2 5.把函数 y ? sin( x ?

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分不必要条件

?

6 ? 右平移 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 3 ? ? ? A. x ? ? B. x ? ? C. x ? 2 4 8
6.已知双曲线 C : C的 渐近线相切,则双曲线 C 的方程为 ( )

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

1 (纵坐标不变),再将图象向 2
( D. x ? )

?
4

x2 y 2 1 1 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的焦距为 2 5 ,抛物线 y ? x 2 ? 与双曲线 2 4 4 a b

1

A.

x2 y 2 ? ?1 8 2

B.

x2 y 2 ? ?1 2 8

C. x ?
2

y2 ?1 4

D.

x2 ? y2 ? 1 4

第1页 共 5页 7.一个几何体的三视图如图所示,其中正 (主 )视图和侧(左)视图是腰长为 l 的两个全等的 等腰直角三角形,则该多面体的各条棱中最长棱的长度为( A. 2 C. 5 B. 3 D. 7 )

8. 若两个正实数 x、y 满足 围是( ) 。

1 4 y ? ? 1 ,且不等式 x ? ? m 2 ?3m 有解,则实数 m 的取值范 4 x y

A.(-1,4) C.(-4,1)

B.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)

9.已知函数 f ( x) ? x3 ? x, x ? R , 若当 0 ? ? ? 则实数 m 的取值范围是( A. (0,1) )

?
2

时,f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,

B. (??,0)

C. (?? , )

1 2

D. (??,1)

10.四面体 ABCD的四个顶点都在某个球 O 的表面上, ?BCD 是边长为 3 3 的等边三角 形,当 A 在球 O 表面上运动时,四面体 ABCD所能达到的最大体积为 积为 ,则四面体 OBCD 的体

(A)

81 3 8

(B)

27 3 4

(C) 9 3

(D)

27 3 2

11.过点 M(-2 0)的直线 l 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1交于 p1 , p2 两点,线段 p1 p2 中点为 p ,设直 2

线 l 斜率为 k1 (k1 ? 0) ,直线 op 斜率为 k2 ,则 k1k2 等于( )

2

A.2

B.–2

C.

1 2

D. ?

1 2

12. 已知函数 f ( x) ? sin

? x ? 1( x ? 0) , g ( x) ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) .若它们的图象上存 2


在关于 y 轴对称的点至少有 3 对,则实数 a 的取值范围是( A. ? 0,

? ? ?

5? ? 5 ? ?

B. ?

? 5 ? ? 5 ,1? ? ? ?

C. ?

? 3 ? ? 3 ,1? ? ? ?

D. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ? ?

第2页 二、填空题(每小题 5 分 共 20 分)

第Ⅱ卷 共5页

?y ? x ? 13.已知实数 x, y 满足条件 ?3 y ? x ,且 z ? ?2 x ? y ,则 z 的最小值是 ? ?x ? y ? 4
14.已知 | a |? 1,| b |? 2,| a ? 2b |? 5 ,则向量 a, b 的夹角为



?

?

?

?

? ?



15. 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共为 4 升,则第五节的容积为 16. 椭圆 C 的中心在坐标原点,左、右焦点 点和右顶点, P 是椭圆上一点,且 轴, 在 x 轴上,已知 升

分别是椭圆的上顶

,则此椭圆的离心率为_____.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17—21 题每题 12 分)[Z-xk.Com] 17. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x . , ] 时 f ( x) 的值域; 12 3

(I)求 f ( x ) 的最小正周期及 x ? [

? 2?

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a,b,c,且角 C 为锐角, S?ABC

? 3 ,c=2,

? 3 1 f (C ? ) ? ? ,求 a,b 的值. 4 4 2

18.某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查,随机抽取了 20 名用户的评分,得到图 3 所示茎叶图,对不低于 75 的评分,认为用户对产品满意,否则,认为不满意,
3

(Ⅰ)根据以上资料完成下面的 2×2 列联表,若据此数据算得 K 2 ? 3.7781,则在犯错 的概率不超过 5%的前提下,你是否认为“满意与否”与“性别”有关? 不满意 男 女 合计 满意 4 合计 7

附:

P(K2≥k) k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

(Ⅱ) 估计用户对该公司的产品“满意”的概率; (Ⅲ) 该公司为对客户做进一步的调查, 从上述对其产品满意的用户中再随机选取 2 人, 求这两人都是男用户或都是女用户的概率.

19.

如图,在多面体 ABCDM 中,△ BCD 是等边三角形,△ CMD 是等腰直角三角形,

?CMD ? 90? ,平面 CMD ? 平面 BCD , AB ? 平面 BCD ,点 O 为 CD 的中点,
连接 OM . (Ⅰ) 求证: OM ∥平面 ABD ; (Ⅱ) 若 AB ? BC ? 2 ,求三棱锥 A ? BDM 的体积.

A M B C O D

x2 y2 20.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率 a b
为 , O 为坐标原点.

4

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,记 ?AOB 面积的最大值为 S k , 证明: S1 ? S 2

21.设函数 f ? x ? ? x e .
2 x

第4页

共5页

(Ⅰ)求曲线 f ? x ? 在点 ?1, e ? 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ? x ? ? ax 对 x ? ? ??,0? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求整数 n 的值,使函数 F ? x ? ? f ? x ? ?

1 在区间 ? n, n ? 1? 上有零点. x

选做题(两题任选其一) 22. (本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 2 ? sin(? ?

? x ? 1 ? cos? (?为参数) ,以 O 为极点, x 轴的非 ? y ? sin ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为

O、P ,与直线 l 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长.

5

23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? m ? 1 , m ? 0 , f ( x ? 3) ? 0 的解集为 (??,?2] ? [2,??) . (Ⅰ)求 m 的值;
2 (Ⅱ)若 ?x ? R, f ( x) ? 2 x ? 1 ? t ?

5 t 成立,求实数 t 的取值范围. 2

第5页

共5页

6

高二期中考试数学文科答案 1、D A 13、-5 14、 15、 16、 2、C 3、C 4、D 5、A 6、D 7、B 8、B 9、D 10、C 11、D 12、

5 5

17.

18.解:(Ⅰ)根据茎叶图,填写

列联表,如下;

7

计算, 1, 在犯错的概率不超过 5%的前提下,不能认为“满意与否”与“性别”有关; (Ⅱ)因样本 20 人中,对该公司产品满意的有 6 人,

故估计用户对该公司的产品“满意”的概率为

,

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,对该公司产品满意的用户有 6 人,其中男用户 4 人,女用户 2 人, 设男用户分别为 a,b,c,d;女用户分别为 e,f, 从中任选两人,记事件 A 为“选取的两个人都是男用户或都是女用户”,则 总的基本事件为 , , , , , , , , , , , 共 7 个, , , 共 15 个,
A

,

,

,

而事件 A 包含的基本事件为 , , ,

,
M B C
?

H O

D



19. (Ⅰ)证明:∵ △ CMD 是等腰直角三角形, ?CMD ? 90 ,点 O 为 CD 的中点, ∴ OM ? CD . ???????????????1 分

∵ 平面 CMD ? 平面 BCD ,平面 CMD ? 平面 BCD ? CD , OM ? 平面 CMD , ∴ OM ? 平面 BCD .????????????2 分
8

∵ AB ? 平面 BCD , ∴ OM ∥ AB ???3 分 ∵ AB ? 平面 ABD , OM ? 平面 ABD , ∴ OM ∥平面 ABD ?????4 分 (Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)知 OM ∥平面 ABD , ∴ 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离. ???????5 分 过 O 作 OH ? BD ,垂足为点 H , ∵ AB ? 平面 BCD , OH ? 平面 BCD , ∴ OH ? AB ????6 分 . ∵ AB ? 平面 ABD , BD ? 平面 ABD , AB ? BD ? B , ∴ OH ? 平面

ABD ??7 分
∵ AB ? BC ? 2 ,△ BCD 是等边三角形, ∴

BD ? 2 , OD ? 1 , OH ? OD ? sin 60? ?

3 .????9 分 2



VA? BDM ? VM ? ABD ??10 分
1 1 ? ? ? AB ? BD ? OH 3 2
?11 分

1 1 3 3 . ? ? ? 2? 2? ? 3 2 2 3

∴ 三棱锥 A ? BDM 的体积为

3 . 3

??12 分

20. (本小题满分 12 分)(Ⅰ)解:由题意,得椭圆 C 的半焦距 c ? 1 ,右焦点 F (1,0) ,上 顶点 M (0, b) , 所以直线 MF 的斜率 k ? 得

b?0 3? 2 2 2 ? tan ? ?1 , 解得 b ? 1 , 由a ? b ? c , 0 ?1 4
椭 圆

a2 ? 2







C









x2 ? y 2 ? 1. 2

???? (4 分)

(Ⅱ)证明:设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,其中 k ? 1或2 , A(x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方

9

? y ? kx ? m ? 程组 ? x 2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
所以

????

(5 分)

? ? 16k 2 ? 8m 2 ? 8 ? 0
(6 分)

(?) ,于是有 x1 ? x2 ?

? 4km 2m 2 ? 2 , x x ? ,所以?? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

AB ? 1 ? k

2

? 4km 2 2m 2 ? 2 1? k 2 ( ) ? 4? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
m 1? k 2


8(2k 2 ? m 2 ? 1)

,因为原点 O

到直线 y ? kx ? m 的距离 d ?

???? (8 分)

所以 S ?AOB ?

1 2 AB ? d ? 2 1 ? 2k 2

m 2 (2k 2 ? m 2 ? 1)

???? (9 分)

当 k ? 1 时, S ?AOB ?

3 2 2 , m 2 (3 ? m 2 ) ,所以当 m 2 ? 时 S ?AOB 的最大值 S1 ? 2 3 2

验证知 (?) 成立; S ?AOB ?

2 9

m 2 (9 ? m 2 )
m2 ? 9 2
????

S2 ?

2 2

当 k ? 2 时,所以当时 S ?AOB 的最大值 验证知 (?) 成立;所以 S1 ? S 2 分)
2 x 21. 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? x ? 2 x e ,

(12

?

?

∴ f ? ?1? ? 3e ,∴所求切线方程为 y ? e ? 3e ? x ?1? ,即 y ? 3ex ? 2e ???????4 分 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? ax ,对 x ? ? ??,0? 恒成立,∴ a ?
x x

f ? x? ? xe x ,对 x ? ? ??,0? 恒成立. x

设 g ? x ? ? xe , g? ? x ? ? ? x ?1? e ,令 g? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 ,令 g? ? x ? ? 0 得 x ? ?1 , ∴ g ? x ? 在 ? ??, ?1? 上递减,在 ? ?1,0? 上递增,

1 1 ,∴ a ? ? ?????????????????????8 分 e e 1 1 2 x ? 0, (Ⅲ)令 F ? x ? ? 0 得 f ? x ? ? ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x e ? 0, x x
∴ g ? x ?min ? g ? ?1? ? ?
10

∴ F ? x ? 的零点只能在 ? 0, ?? ? 上,??????????????????????10 分

F ? ? x ? ? ( x 2 ? 2 x )e x ?

1 在 ? 0, ?? ? 上大于 0 恒成立,∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上递增. x2
∵ F ?1? ? e ? 1 ? 0, F ? ? ?

∴ F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上最多有一个零点.

?1? ?2?

e ?2? 0, 4

∴由零点存在的条件可得 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有一个零点 x0 ,且 x0 ? ? ,1? , ∴ n ? 0 ??12 分 22 解: (I)利用 cos φ +sin φ =1,把圆 C 的参数方程 ﹣1) +y =1,∴ρ ﹣2ρ cosθ =0,即 ρ =2cosθ .
2 2 2 2 2

?1 ? ?2 ?

为参数)化为(x

(II)设(ρ 1,θ 1)为点 P 的极坐标,由

,解得



设(ρ 2,θ 2)为点 Q 的极坐标,由

,解得



∵θ 1=θ 2,∴|PQ|=|ρ 1﹣ρ 2|=2.∴|PQ|=2. 23 解: (I)∵函数 f(x)=|x+3|﹣m+1,m>0, f(x﹣3)≥0 的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2, +∞) . 所以 f(x﹣3)=|x|﹣m+1≥0, 所以|x|≥m﹣1 的解集为为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) .所以 m﹣1=2,所以 m=3; ?(5 分) (II)由(I)得 f(x)=|x+3|﹣2 ∵? x∈R,f(x)≥|2x﹣1|﹣t + t 成立 即? x∈R,|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t + t+2 成立 ?(6 分)
2 2

令 g(x)=|x+3|=|2x﹣1|=

故 g(x)max=g( )=

?(8 分)

11

则有 |≥﹣t + t+2,即|2t ﹣5t+3≥0. 解得 t≤1 或 t≥ ,∴实数 t 的取值范围是 t≤1 或 t≥ ?(10 分)

2

2

12


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