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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)专题三 高考中的数列问题


数学

北(文)

专题三 高考中的数列问题
第六章 数 列

考点自测

自我检测 查缺补漏

题号
1 2 3 4


答案 A
B A
2n 1-2-n

解析

>5

392

考点自测

高考题型突破

练出高分

高考题型突破
题型一 等差、等比数列的综合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 在等差数列{an}中, a10 =30,a20=50. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=2
a n ?10

, 证明: 数列{bn}

为等比数列; (3)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn.

考点自测

高考题型突破

练出高分

高考题型突破
题型一 等差、等比数列的综合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 在等差数列{an}中, a10 =30,a20=50. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=2
a n ?10

(1)设出数列{an}的通项公式, 结 合已知条件列方程组即可求

, 证明: 数列{bn} 解;
(2)由(1)写出 bn 的表达式,利用

为等比数列;

(3)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn. 定义法证明;

(3)写出 Tn 的表达式,考虑用错 位相减法求解.
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高考题型突破
题型一 等差、等比数列的综合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 在等差数列{an}中, a10 =30,a20=50.

(1)解

由 an=a1+(n-1)d, a10=30,

a20=50, ? ?a1+9d=30 (1)求数列{an}的通项公式; 得方程组? , ? a + 19 d = 50 ? 1 a ?10 ? (2)令 bn=2 n , 证明: 数列{bn} ?a1=12 解得? . ? d = 2 ? 为等比数列; 所以 an=12+(n-1)· 2=2n+10.

(3)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn.

(2)证明

由(1),得 bn= 2 an ?10

=22n+10-10=22n=4n,

bn+1 4n+1 所以 b = 4n =4. n
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高考题型突破
题型一 等差、等比数列的综合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 在等差数列{an}中, a10 =30,a20=50. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=2
a n ?10

所以{bn}是首项为 4,公比为 4 的等 比数列. (3)解 由 nbn=n×4n,得
Tn=1×4+2×42+…+n×4n ①

, 证明: 数列{bn}

为等比数列;

4Tn = 1×42 + … + (n - 1)×4n + n×4n+1,
n 4 ? 1 - 4 ? n+1 -n×4 = -n×4n+1. -3



(3)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn. ① - ② ,得- 3Tn = 4 + 42 + … + 4n

?3n-1?×4n+1+4 所以 Tn= . 9
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题型一 等差、等比数列的综合问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 在等差数列{an}中, a10 =30,a20=50. (1)求数列{an}的通项公式;

(1)正确区分等差数列和等比数列, 其中公比等于 1 的等比数列也是等

差数列. (2) 等差数列和等比数列可以相互 a n ?10 (2)令 bn=2 , 证明: 数列{bn} 转化,若数列{bn}是一个公差为 d 为等比数列; 的等差数列,则{ a bn }(a>0,a≠1) d 就是一个等比数列, 其公比 q = a ; (3)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn. 反之,若数列 {bn} 是一个公比为 q(q>0) 的 正 项 等 比 数 列 , 则 {logabn}(a>0,a≠1)就是一个等差 数列,其公差 d=logaq.
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高考题型突破
跟踪训练 1 数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2 且 Sn=Sn-1+ 2n(n≥2,n∈N+). (1)求 Sn; (2)是否存在等比数列{bn}满足 b1=a1,b2=a3,b3=a9?若存在, 求出数列{bn}的通项公式;若不存在,说明理由.
解 (1)因为 Sn=Sn-1+2n,
所以有 Sn-Sn-1=2n 对 n≥2,n∈N+成立. 即 an=2n 对 n≥2,n∈N+成立, 又 a1=S1=2×1,所以 an=2n 对 n∈N+成立. 所以 an+1-an=2 对 n∈N+成立, 所以{an}是等差数列, a1+an 所以有 Sn= 2 · n=n2+n,n∈N+.
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高考题型突破
跟踪训练 1 数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2 且 Sn=Sn-1+ 2n(n≥2,n∈N+). (1)求 Sn; (2)是否存在等比数列{bn}满足 b1=a1,b2=a3,b3=a9?若存在, 求出数列{bn}的通项公式;若不存在,说明理由.
(2)存在.
由(1)知,an=2n 对 n∈N+成立,
所以有 a3=6,a9=18,又 a1=2, b2 b3 所以有 b1=2,b2=6,b3=18,则b =b =3, 1 2 所以存在以 b1=2 为首项,以 3 为公比的等比数列{bn},

其通项公式为 bn=2· 3n-1.
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题型二
【例 2】

数列与函数的综合问题
已知二次函数 y=f(x)
思维启迪 解析 思维升华

的图像经过坐标原点, 其导函数 为 f′(x)=6x-2, 数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N+) 均在函数 y=f(x)的图像上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn} anan+1 m 的前 n 项和,求使得 Tn< 对 20 所有 n∈ N+ 都成立的最小正整 数 m.
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题型二
【例 2】

数列与函数的综合问题
已知二次函数 y=f(x)
思维启迪 解析 思维升华

的图像经过坐标原点, 其导函数 为 f′(x)=6x-2, 数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N+) 均在函数 y=f(x)的图像上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn} anan+1 m 的前 n 项和,求使得 Tn< 对 20 所有 n∈ N+ 都成立的最小正整 数 m.
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(1)先求出函数 f(x),再利用 n, Sn 的关系求 an.

(2)可以利用裂项相消法求出 Tn. 通过 Tn 的取值范围确定最小正 整数 m.

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题型二
【例 2】

数列与函数的综合问题
已知二次函数 y=f(x)
思维启迪 解析 思维升华

的图像经过坐标原点, 其导函数 为 f′(x)=6x-2, 数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N+) 均在函数 y=f(x)的图像上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn} anan+1 m 的前 n 项和,求使得 Tn< 对 20 所有 n∈ N+ 都成立的最小正整 数 m.
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(1)设二次函数

f(x)=ax2+bx(a≠0),

则 f′(x)=2ax+b. 由于 f′(x)=6x-2,得 a=3,b=-2,
所以 f(x)=3x2-2x.
又因为点(n, Sn)(n∈N+)均在函数 y =f(x)的图像上, 所以 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3n2-2n -[ 3(n-1)2-2(n-1)] =6n-5;

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题型二
【例 2】

数列与函数的综合问题
已知二次函数 y=f(x)
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的图像经过坐标原点, 其导函数 为 f′(x)=6x-2, 数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N+) 均在函数 y=f(x)的图像上.

当 n=1 时,a1=S1=3×12-2 =6×1-5,
所以 an=6n-5(n∈N+).

(1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn} anan+1 1 ? 1? m ? 1 ? - = · 的前 n 项和,求使得 Tn< 对 ?, 2? ?6n-5 6n+1? 20 所有 n∈ N+ 都成立的最小正整 数 m.
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(2)由(1)得 3 3 bn= = anan+1 ?6n-5?[6?n+1?-5]

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题型二
【例 2】

数列与函数的综合问题
已知二次函数 y=f(x)
思维启迪 解析 思维升华 1 1 1 1 故 Tn = [(1 - ) + ( - ) + … + 2 7 7 13 1 1 1 1 ( - )]= (1- ). 2 6n-5 6n+1 6n+1

的图像经过坐标原点, 其导函数 为 f′(x)=6x-2, 数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N+) 均在函数 y=f(x)的图像上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn} anan+1 m 的前 n 项和,求使得 Tn< 对 20 所有 n∈ N+ 都成立的最小正整 数 m.
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1 1 m 因此, 要使 (1- )< 对 n∈N+ 2 6n+1 20 1 恒成立,则 m 必须且仅需满足 2 m ≤ ,即 m≥10. 20

所以满足要求的最小正整数为 10.

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题型二
【例 2】

数列与函数的综合问题
已知二次函数 y=f(x)
思维启迪 解析 思维升华

的图像经过坐标原点, 其导函数 为 f′(x)=6x-2, 数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N+) 均在函数 y=f(x)的图像上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn} anan+1 m 的前 n 项和,求使得 Tn< 对 20 所有 n∈ N+ 都成立的最小正整 数 m.
考点自测

数列与函数的综合一般体现在两 个方面: (1)以数列的特征量 n,an,Sn 等为 坐标的点在函数图像上, 可以得到 数列的递推关系;

(2)数列的项或前 n 项和可以看作关 于 n 的函数, 然后利用函数的性质求 解数列问题.

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跟踪训练 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切正整数 n,

点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x2+2x 的图像上,且过点 Pn(n,Sn) 的切线的斜率为 kn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Q={x|x=kn,n∈N+},R={x|x=2an,n∈N+},等差数列 {cn} 的 任 一 项 cn∈Q∩R , 其 中 c1 是 Q∩R 中 的 最 小 数 , 110<c10<115,求{cn}的通项公式.

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解 (1)∵点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x2+2x 的图像上,

∴Sn=n2+2n(n∈N+).

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1, 当 n=1 时,a1=S1=3 满足上式, 所以数列{an}的通项公式为 an=2n+1. (2)对 f(x)=x2+2x 求导可得 f′(x)=2x+2. ∵过点 Pn(n,Sn)的切线的斜率为 kn,∴kn=2n+2, ∴Q={x|x=2n+2,n∈N+},R={x|x=4n+2,n∈N+}. ∴Q∩R=R.
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又∵cn∈Q∩R,其中 c1 是 Q∩R 中的最小数,∴c1=6,
∵{cn}的公差是 4 的倍数,

∴c10=4m+6(m∈N+).
? ?110<4m+6<115 又∵110<c10<115,∴? ? ?m∈N+



解得 m=27,所以 c10=114,

c10-c1 114-6 设等差数列的公差为 d,则 d= = 9 =12, 10-1 ∴cn=6+(n-1)×12=12n-6,
所以{cn}的通项公式为 cn=12n-6.
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题型三 数列与不等式的综合问题
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【例 3】 已知数列{an}中, a1=2, a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+2 + Sn= 2Sn+ 1 + 1(n∈N+ ) ;数列 {bn} 中 , b1 = a1 , bn + 1 = 4bn + 6(n∈N+). (1)求数列{an}, {bn}的通项公式; (2)设 cn=bn+2+(-1)n-1λ· 2an (λ 为非零整数,n∈N+),试确 定 λ 的值,使得对任意 n∈N+, 都有 cn+1>cn 成立.
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题型三 数列与不等式的综合问题
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【例 3】 已知数列{an}中, a1=2, a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+2 + Sn= 2Sn+ 1 + 1(n∈N+ ) ;数列 {bn} 中 , b1 = a1 , bn + 1 = 4bn + 6(n∈N+). (2)设 cn=bn+2+(-1)n-1λ· 2an (λ 为非零整数,n∈N+),试确 定 λ 的值,使得对任意 n∈N+, 都有 cn+1>cn 成立.
考点自测

(1)先求 an, 再构造等比数列求 bn;

(2)不等式 cn+1>cn 恒成立,可以

(1)求数列{an}, {bn}的通项公式; 转化为求函数的最值问题.

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题型三 数列与不等式的综合问题
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【例 3】 已知数列{an}中, a1=2, a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+2 + Sn= 2Sn+ 1 + 1(n∈N+ ) ;数列 6(n∈N+). (2)设 cn=bn+2+(-1)n-1λ· 2an (λ 为非零整数,n∈N+),试确



(1)由已知,得

Sn+2-Sn+1-(Sn+1-Sn)=1,

{bn} 中 , b1 = a1 , bn + 1 = 4bn + 所以 an+2-an+1=1(n≥1).
又 a2-a1=1,
为公差的等差数列. 所以 an=n+1.

(1)求数列{an}, {bn}的通项公式; 所以数列{an}是以 a1=2 为首项, 1

定 λ 的值,使得对任意 n∈N+, 又 bn+1+2=4(bn+2), 所以{bn+2}是以 4 为首项, 4 为公 都有 cn+1>cn 成立.
比的等比数列.
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题型三 数列与不等式的综合问题
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【例 3】 已知数列{an}中, a1=2, a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+2 + Sn= 2Sn+ 1 + 1(n∈N+ ) ;数列 {bn} 中 , b1 = a1 , bn + 1 = 4bn + 6(n∈N+). (2)设 cn=bn+2+(-1)n-1λ· 2an (λ 为非零整数,n∈N+),试确 都有 cn+1>cn 成立.
考点自测

所以 bn=4n-2.
(2)因为 an=n+1,bn=4n-2,

所以 cn=4n+(-1)n 1λ· 2n 1 .
- +

要使 cn+1>cn 恒成立,
-(-1)n-1λ· 2n+1>0 恒成立, 即 3· 4n-3λ(-1)n-12n+1>0 恒成立.

(1)求数列{an}, {bn}的通项公式; 需 cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ· 2n+2

n-1 n-1 所以 ( - 1) λ <2 恒成立. 定 λ 的值,使得对任意 n∈N+,

①当 n 为奇数时, 即 λ<2n 1 恒成立,


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题型三 数列与不等式的综合问题
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【例 3】 已知数列{an}中, a1=2, a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+2 + Sn= 2Sn+ 1 + 1(n∈N+ ) ;数列 {bn} 中 , b1 = a1 , bn + 1 = 4bn + 6(n∈N+).

当且仅当 n=1 时, 2n-1 有最小值 1, 所以 λ<1;
当且仅当 n=2 时,-2n-1 有最大值

②当 n 为偶数时,即 λ>-2n-1 恒成立,

(1)求数列{an}, {bn}的通项公式; -2. 所以 λ>-2, n-1 (2)设 cn=bn+2+(-1) λ· 2an 结合①②可知-2<λ<1. (λ 为非零整数,n∈N+),试确 又 λ 为非零整数,则 λ=-1. 定 λ 的值,使得对任意 n∈N+, 故存在 λ=-1,使得对任意 n∈N+, 都有 c + >c 成立.
n 1 n

都有 cn+1>cn 成立.
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题型三 数列与不等式的综合问题
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【例 3】 已知数列{an}中, a1=2, a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+2 + Sn= 2Sn+ 1 + 1(n∈N+ ) ;数列 {bn} 中 , b1 = a1 , bn + 1 = 4bn + 6(n∈N+). (1)求数列{an}, {bn}的通项公式; (2)设 cn=bn+2+(-1)n-1λ· 2an (λ 为非零整数,n∈N+),试确 定 λ 的值,使得对任意 n∈N+, 都有 cn+1>cn 成立.
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数列中有关项或前 n 项和的恒 成立问题, 往往转化为函数的最 值问题;求项或前 n 项和的不 等关系可以利用不等式的性质 或基本不等式求解.

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3 跟踪训练 3 (2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 2 Sn(n∈N+),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 (2)证明:Sn+S ≤ (n∈N+). 6 n

(1)解 设等比数列{an}的公比为 q, 因为-2S2,S3,4S4 成等差数列, 所以 S3+2S2=4S4-S3,即 S4-S3=S2-S4, a4 1 可得 2a4=-a3,于是 q= =- . a3 2 3 又 a1=2,所以等比数列{an}的通项公式为
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3 跟踪训练 3 (2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 2 Sn(n∈N+),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 (2)证明:Sn+S ≤ (n∈N+). 6 n

3 ? 1?n-1 n-1 3 ? ? an= × -2 =(-1) ·n. 2 ? 2 ? (2)证明
? 1? 由(1)知,Sn=1-?-2?n, ? ?

? ?2+ n 1 ,n为奇数, n ? ? 2 ? 2 + 1 ? ? 1n 1 1 Sn+ =1-?-2? + =? ? ? Sn 1 1 ? ? n ? ? ? - 1- 2 2+ n n ,n为偶数. ? ? ? 2 ? 2 - 1 ? ?
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3 跟踪训练 3 (2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 2 Sn(n∈N+),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 (2)证明:Sn+S ≤ (n∈N+). 6 n

1 当 n 为奇数时,Sn+S 随 n 的增大而减小, n 1 1 13 所以 Sn+ ≤S1+ = . Sn S1 6 1 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小, Sn 1 1 25 所以 Sn+ ≤S2+ = . Sn S2 12 1 13 故对于 n∈N+,有 Sn+ ≤ . Sn 6
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1 2 3 4 5 6

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1. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足: an+2SnSn-1=0(n≥2, ? ?1? ? 1 ? n∈N),a1= ,判断?S ? 与{an}是否为等差数列,并说明你的 ? 2 ? n? 理由.

解 因为 an=Sn-Sn-1(n≥2), 又因为 an+2SnSn-1=0, 所以 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n≥2), 1 1 所以S - =2(n≥2), S n n-1 1 又因为 S1=a1= , 2 ? ?1? ? ? 所以 S ?是以 2 为首项,2 为公差的等差数列. ? n? ? ?
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1. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足: an+2SnSn-1=0(n≥2, ? ?1? ? 1 ? n∈N),a1= ,判断?S ? 与{an}是否为等差数列,并说明你的 ? 2 ? n? 理由. 1 1 所以S =2+(n-1)×2=2n,故 Sn= . 2n n -1 1 1 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - = , 2n 2?n-1? 2n?n-1? -1 所以 an+1= , 2n?n+1? -1 -1 而 an+1-an= - 2n?n+1? 2n?n-1? 1 ? -1? 1 ? 1 ? = 2n ?n+1-n-1?= . ? ? n?n-1??n+1?
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1. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足: an+2SnSn-1=0(n≥2, ? ?1? ? 1 ? n∈N),a1= ,判断?S ? 与{an}是否为等差数列,并说明你的 ? 2 ? n? 理由.
所以当 n≥2 时, an+1-an 的值不是一个与 n 无关的常数,

故数列{an}不是一个等差数列.
? ?1? ? ? 综上,可知 S ?是等差数列,{an}不是等差数列. ? ? n? ?

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1 1 2.设数列{an}满足 a1=0 且 - =1. 1-an+1 1-an (1)求{an}的通项公式;
n 1- an+1 (2)设 bn= ,记 Sn= ?bk,证明:Sn<1. n k=1

1 1 (1)解 由题设 - =1, 1-an+1 1-an
? ? 1 ? ? 即?1-a ?是公差为 ? ? n? ?

1 1 的等差数列,又 =1, 1-a1

1 1 故 =n. 所以 an=1-n. 1-an
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1 1 2.设数列{an}满足 a1=0 且 - =1. 1-an+1 1-an (1)求{an}的通项公式;
n 1- an+1 (2)设 bn= ,记 Sn= ?bk,证明:Sn<1. n k=1

1- an+1 n+1- n (2)证明 由(1)得 bn= = n n+1· n 1 1 = - , n n+1
? Sn= bk= ? ? k=1 k=1 ?

?

n

?

n

1 1 ? 1 ? - =1- <1. k k+1? n+1 ?
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3.如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交 曲线 y=ex 于点 Q1(0,1),曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P2,再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2,依 次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn, Qn.记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n). (1)试求 xk 与 xk-1 的关系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+…+|PnQn|.

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1 2 3 4 5
xk ?1

6



(1)设 Pk-1(xk-1,0),由 y′=ex 得 Qk-1(xk-1, e
xk ?1

)点处切

线方程为 y- e

=e

xk ?1

(x-xk-1),

由 y=0 得 xk=xk-1-1(2≤k≤n).

(2)由 x1=0,xk-xk-1=-1,得 xk=-(k-1),
所以|PkQk|= e =e-(k-1),
xk

于是 Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+…+|PnQn| -n 1-n 1 - e e - e =1+e-1+e-2+…+e-(n-1)= = . 1-e-1 e-1
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4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=10,an+1=9Sn+10. (1)求证:{lg an}是等差数列; 3 (2)设 Tn 是数列{ }的前 n 项和,求 Tn; ?lg an??lg an+1? 1 2 (3)求使 Tn> (m -5m)对所有的 n∈N+恒成立的整数 m 4 的取值集合.

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(1)证明

a2 依题意,得 a2=9a1+10=100,故 =10. a1

当 n≥2 时,an+1=9Sn+10,an=9Sn-1+10,
两式相减得 an+1-an=9an, an+1 即 an+1=10an, a =10, n 故{an}为等比数列,且 an=a1qn-1=10n(n∈N+), ∴lg an=n.∴lg an+1-lg an=(n+1)-n=1,

即{lg an}是等差数列.
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(2)解

1 1 1 由(1)知,Tn=3[ + +…+ ] 1×2 2×3 n?n+1?

1 1 1 1 1 3n =3(1-2+2-3+…+n- )= . n+1 n+1
(3)解 3 3 ∵Tn=3- ,∴当 n=1 时,Tn 取最小值2. n+1

3 1 2 依题意有2>4(m -5m),解得-1<m<6,

故所求整数 m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}.

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5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=55,S20=210. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)设 bn= ,是否存在 m、k(k>m≥2,m,k∈N+),使得 an+1 b1、bm、bk 成等比数列?若存在,求出所有符合条件的 m、k 的值;若不存在,请说明理由.

n?n-1? 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ 2 d.
? ?10a +10×9d=55, 1 2 ? 由已知,得? 20×19 ? 20a1+ 2 d=210. ? ?
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? ?2a1+9d=11 即? ? ?2a1+19d=21



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5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=55,S20=210. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)设 bn= ,是否存在 m、k(k>m≥2,m,k∈N+),使得 an+1 b1、bm、bk 成等比数列?若存在,求出所有符合条件的 m、k 的值;若不存在,请说明理由.
? ?a1=1, 解得? ? ?d=1.

所以 an=a1+(n-1)d=n(n∈N+).

(2)假设存在 m、k(k>m≥2,m,k∈N+), 使得 b1、bm、bk 成等比数列,则 b2 m=b1bk, an n 1 m k 因为 bn= = , 所以 b1= ,bm= ,b = , an+1 n+1 2 m+1 k k+1
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5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=55,S20=210. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)设 bn= ,是否存在 m、k(k>m≥2,m,k∈N+),使得 an+1 b1、bm、bk 成等比数列?若存在,求出所有符合条件的 m、k 的值;若不存在,请说明理由. 2m2 m 2 1 k 整理,得 k= . 所以( )= × . 2 k+ 1 -m2+2m+1 m+ 1
以下给出求 m、k 的方法:
因为 k>0,所以-m2+2m+1>0,
解得 1- 2<m<1+ 2.
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5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=55,S20=210. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)设 bn= ,是否存在 m、k(k>m≥2,m,k∈N+),使得 an+1 b1、bm、bk 成等比数列?若存在,求出所有符合条件的 m、k 的值;若不存在,请说明理由.
因为 m≥2,m∈N+,所以 m=2,此时 k=8.
故存在 m=2,k=8,使得 b1、bm、bk 成等比数列.

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6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-2n+1. an (1)证明:数列{ n}是等差数列; 2 (2)若不等式 2n2-n-3<(5-λ)an 对任意 n∈N+恒成立,求 λ 的取值范围.
解 (1)当 n=1 时,S1=2a1-22 得 a1=4.


Sn=2an-2n 1,
当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-2n,两式相减得

an=2an-2an-1-2n,即 an=2an-1+2n,
n an-1 an an-1 2an-1+2 an-1 an-1 所以 n- n-1= - n-1= n-1+1- n-1=1. 2 2 2n 2 2 2

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6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-2n+1. an (1)证明:数列{ n}是等差数列; 2 (2)若不等式 2n2-n-3<(5-λ)an 对任意 n∈N+恒成立,求 λ 的取值范围. a1 又 1=2, 2 an 所以数列{ n}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. 2 an (2)由(1)知2n=n+1,即 an=(n+1)· 2n. 因为 an>0,所以不等式 2n2-n-3<(5-λ)an 等价于 2n-3 5-λ> n , 2
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6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-2n+1. an (1)证明:数列{ n}是等差数列; 2 (2)若不等式 2n2-n-3<(5-λ)an 对任意 n∈N+恒成立,求 λ 的取值范围.
2n - 1 + 2n-3 bn-1 2n 1 2n-1 记 bn= n ,n≥2 时, b = = , 2 2n-3 4n-6 n 2n
bn+1 3 17 所以 n≥3 时 b <1,(bn)max=b3=8,所以 λ< 8 . n
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